光与物质相互作用的一些基本概念

1 第一章 光与物质相互作用的一些基本概念 瞬态相干光学过程，如自感应透明、超辐射、自由感应衰减、光学章动、光子回波和光学孤子等现象。 都涉及到相干光脉冲尤其是超短激光脉冲与物质体系的相互作用。瞬态相干光学就是研究瞬态相干光学作 用过程的瞬时变化规律。在近共振作用下，微扰理论不再适用，这种情况下最简单的一种处理方法是采用 光与物质的相互作用的半经典理论，即物质体系用量子力学描述，光场则采用经典的麦克斯韦方程组描述。 把半经典理论应用于最简单的二能级体系，从薛定谔方程出发，采用不同的绘景，都可以得到二能级体系 的运动方程，这是一组非线性常微分方程。这组方程的建立和简单的求解，有助于我们理解光与二能级体 系相互作用的一些基本概念。这些概念，既是量子光学课程的基础，也有助于理解光与物质相互作用和激 光物理学相关概念。 1.1 半经典理论的一些物理假设 半经典理论的处理方法，主要有薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景，以及密度矩阵的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，其 处理手段上虽有不同，但其结果是一致的。但不同的处理方案，对理解相关的量子力学处理方法与概念有 着不同意义，为了加深理论，用量子力学绘景和密度矩阵的方法处理光与物质相互作用的问题，主要是用 密度矩阵的方法。这一章简单讲述量子力学绘景的处理方法。 光与物质相互作用半经典理论主要基于的物理假设有： 1. 二能级近似 实际的原子、分子或其他物质体系总是有许多能级的，但在体系的许多能级中，如果只有二个成对的 能级的能量差接近作用光场的频率，那么其他能级的贡献可以忽略不计，只考虑有显著贡献的二个能级， 这就是光与物质相互作用的二级能近似模型。用光与二能级原子体系作用作为基本模型，既可以简化问题 又能反映出问题的本质。 2. 近共振激发 光场的能量等于或接近于二能级的能级差，且上、下能级有布居交换。 3. 忽略原子间的直接相互作用 原子间总是有存在各种各样的相互作用的，但是当原子的密度比较低时，原子间直接相互作用，可以 忽略。原子之间的碰撞作用可唯象地归入原子的驰豫或衰减。 要注意的是：体系中各个原子都在同一光场耦合，原子之间的这种间接作用，在一定条件下会导致原 子的集体效应。但这并非原子间的直接作用。 考虑原子间的相互作用，在原子密度较高时，采用近偶极-偶极相互(NDD)作用模型。如果涉及原子间 的量子相关，如量子纠缠，也是要考虑原子间的相互作用的。 4. 电偶极近似 光与原子相互作用时，通常原子的大小远小于光波的波长，这样，在原子的大小范围内，自然可以把 光场看成常数。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射时，电偶极近似是很好的近似。 5. 旋转波近似(RWA) 忽略掉非共振的高频项。 6. 慢变振幅近似 通常光场与极化强度可以分为慢变部分与高频的快变部分，如果慢变部分在一个光学周期内的变换可 以忽略不计，就称为慢变振幅近似或简称为慢变近似。 7. 绝热近似 如果光场的驰豫时间很长，即光场的损耗很小，而原子的变量(如偶极矩等)的驰豫时间短。这样，当 光场的慢变部分变化时，原子可以很快地、即时地跟随光场的变化；反过来说，在原子的驰豫时间内，光 场的慢变振幅可以看成与时间无关的常数。 2 1.2 量子力学的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述方法 量子力学对粒子微观状态的描述有二种基本的方法，即薛定谔波动力学方法和矩阵力学方法。薛定谔 的波动力学方法物理概念比较清楚，微观粒子波粒二象性表现的也比较清楚，是量子力学的主流方法。狄 拉克的矩阵力方法表述比较简单，在处理实际问题中得到广泛的应用。 另外还有一种狄拉克(Dirac)符号表示法。 1.2.1 薛定谔波动力学方法 如果波函数用如坐标表象或动量表象来表示波函数，动力学方程用薛定谔方程表达，是一种通常的表 示达方式。同一量子态 在 F 表象和F 表象中的不同表示关第，它们通过一个矩阵 S 相联系，可以证明： † † 1S S SS  (1.2.1) 即变换矩阵 S 乃是一个幺正矩阵，这种变换也称为幺正(unitary)变换。 1.2.2 矩阵力学表述 设量子态 ，经过算符 Lˆ运算后，变成另一个态 Lˆ  (1.2.2) 在以 k 为基矢的F 表象中，上式表示为 ˆ ˆk k k k k k k k k b L a a L      (1.2.3) 两边左乘 *j (取标积)，得： ˆ( , )j j k k jk k k k b L a L a    (1.2.4) 式中：内积的表示为： 3 *ˆ ˆ( , ) djk j k j kL L r L      (1.2.5) 式(1.2.4)可写在矩阵形式 1 11 12 1 2 21 22 2 b L L a b L L a                                  (1.2.6) 矩阵 ( )jkL 称为算符 Lˆ在 F 表象中的表示(用圆括号括号的符号，表示是一个矩阵，不加括号时，则表示该 矩阵的矩阵元)。它的矩阵元 jkL 刻画 F 表象中的基矢 k 在算符 Lˆ作用下如何变化。基矢 k 在 Lˆ运算后(变 成 ˆ kL )在 F 表象中的表示(分量)，即矩阵 ( )jkL 的第 k列元素 1 1 k k L L       。因此，矩阵 ( )jkL 一经给定，则任何 3 一个量子态在 Lˆ运算下的变化就随之完全确定。 由此可见，在引入特定表象后，量子力学中的波函数、力学量以及所有 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 都可以矩阵的方式来表达。 矩阵的方式有利于理解量子力学的运算方式并方便程序化。 矩阵是由矩阵是量子力学中常用的数学工具之一，下面我们简述一些基本表述与性质，以便应用与理 解有关内容。矩阵是由英国数学家 Cayley(1821~1895)和 Sylvester(1814~1897)大约在 1850 年左右提出来的。 Cayler 在研究坐标变换中中，引进矩阵的概念。矩阵是按矩形排列的一组“数”，可表示如下： 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] m m ij n n nm a a a a a a a a a a              A (1.2.7) A称为n m 矩阵，它有 n行和m列。矩阵中包含的“数”称为矩阵的元素，简称矩阵元。第 i列和第 j列 的矩阵元，以 ija 表示。通常，矩阵以大写的黑体字表示，如 A，或用矩阵元外加方括号表示，如[ ]ija 。 有时把矩阵的行数 n和列数m注在左下角，如[ ]ij n ma  。当矩阵的行列数相等时，称为方阵。 零矩阵[0]或0 是全部矩阵元为零的矩阵，如 2 3 0 0 0 [0] 0 0 0     。 除对角线上各元素外，其余都是零的方阵称为对角阵，例如： 11 22 33 0 0 0 0 [ ] 0 0 ij ij a a a a         A ， 11 22 33 0 0 0 0 [ ] 0 0 ij ij b b b b         B 式中， ij 称为克罗内克符号(Kronecker delta)，它的意义是 0 ( ) 1 ( )ij i j i j     (1.2.8) 两个同阶对角阵的乘积可以对易，即 AB BA (1.2.9) 用其乘积也是对角阵。 对角线上各元素为 1，其余均为零的方阵称为单位矩阵(unit matrix)，以 I或[ ]ij 表示，即 [ ] [ ]ij ijI  I (1.2.10) 如： 1 0 0 1     I ， 1 0 0 0 1 0 0 0 1        I 等。 矩阵和矩阵相乘：Cayley 定义矩阵乘法规则如下：一个 n行和m列的矩阵可以和m行和 k 列的矩阵 相乘，得到一个 n行和 k 列的矩阵，即 4 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 m k k m k k n n nm m m mk n n nk n m m k n k a a a b b b c c c a a a b b b c c a a a a b b a c a c                                                 C AB (1.2.11) 式中： 1 ( 1, 2, , ; 1, 2, , ) m ij ip pj p c a b i n j k       (1.2.12) 由此定可见，只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才能相乘，否则不能相乘。 把矩阵 [ ]ijaA 的行列互换，称为矩阵的转置，用 TA 表示，即： T[ ] [ ]ij jia a  A A (1.2.13) 若在转置矩阵 TA 中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵(the transpose complex conjugate of a matrix)，用符号 HA 表示，即 H *[ ] [ ]ij jia a  A A (1.2.14) A的转置共轭矩阵也用有符号 † * *, , A A A 表示。 凡方阵 A和它的转置共轭矩阵 HA 相等者，则称为 A的 Hermite 对称矩阵(Hermitian sysmmetric maxtrix)，简称 Hermite 矩阵，即 H *ij jia aA = A (1.2.15) 当 A之元素 ija 全部为实数，且 ij jia a 时，则称 A为对称矩阵。 方阵 A的对角元素之和称为迹(trace or spur)，以TrA或SpA表示，即 1 Tr Sp n ii i a   A A (1.2.16) 方阵 A的行列式为： 11 12 1 21 22 2 1 | | | | n n ij n nn a a a a a a A a a a       (1.2.17) 如果 | | 0A  ， A称为奇异方阵(singular matrix)， | | 0A  时，称为非奇异方阵(non-singular matrix)。 如果方阵 A为非奇异的，则可找到另一个同阶方阵 1A ，使 5 1 1 AA = A A = I (1.2.18) 则 1A 称为 A的逆矩阵(inverse matrix)，简称“逆”。 凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉阵或幺正矩阵(unitary matrix)，以U 表示，即 1 H U U (1.2.19) H 1 1 U U U U = I (1.2.20) 如果酉阵的元素都是实数，则此酉阵为正交阵(orthogonal matrix)。 n阶酉阵的各行或各列形成一组 n个正 交归一的矢量。反过来，由一组 n个正交归一矢量组成的方阵是酉阵。酉阵之逆也是酉阵。 把矩阵 A中与 ija 同行和同列的各元素划去后，余下的矩阵的行列式 ijA 称为余子式(minor)。 ( 1)i jij ijA A    (1.2.21) 是 ija 的代数余子式(cofactor)。由代数余子式组成的矩阵称为“矩阵元的代数余子式的矩阵”，它的转置矩 阵称为原方阵 A的伴随矩阵(classical adjoint of a square matrix)，并且以符号 adjA表示之，例如 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 | | | | | | adj | | | | | | | | | | | | a a a A A A a a a A A A a a a A A A                         A A (1.2.22) 非奇异方阵 A之逆等于它的伴随矩阵被 A的行列式所除，即 1 adj | |A   AA (1.2.23) 这提供了一种矩阵求逆的方法，这一求逆方法可适用于非对称方阵。 仅有一行的矩阵称为行矩阵，例如：  1 2[ ]i na a a a  A (1.2.24) 仅有一列的矩阵称为列矩阵，例如：   1 2T T 1 2 1 2{ } [ ] [ ]j n j n n b b b b b b b b b b b               B (1.2.25) 为了书写或印刷的节省起见，有时把列矩阵横转来写，但用大括号表示，或仍用中括号，但在右上角加上 转置符号T。 1.2.3 狄拉克符号 量子力学的理论表述，常采用狄拉克符号。它有两个明显的优点：1) 可以毋需具体表象来讨论问题； 2) 运算简捷。 一个量子力学体系的一切可能状态构成一个 Hilbert 空间。这空间的矢量(一般为复矢)用一个右矢 (ket vertor 或 ket)表示，若要 标志 禁止坐卧标志下载饮用水保护区标志下载桥隧标志图下载上坡路安全标志下载地理标志专用标志下载 某特殊的态，则于其内标上某种记号。如，  表示波函数 描述的 6 状态。对于本征态，常用本征值或相应的量子数标在右矢内。如，用 nE 或 n 表示能量的本征态(本征值 为 nE )。 注意，量子态的以上表示，都只是一个抽象的态矢量，未涉及到具体的表象。 与右矢 相应，左矢 (bra vector 或 bra)表示共轭空间的一个抽象矢量。如： 是  的共轭态矢。 左矢和右矢相乘就成为一个括号。事实上 bra 和 ket 两字是 Dirac 创造出来的，就是把 bracket(括号)拆成两 半。 两个态矢  与  的标积(scalar product)用   表示，通常简记为   (这种简记方式是最常用 的，特殊要注意理解其表达的具体含义)，而 *    (1.2.26) 若 0   ，则称态矢  与  正交。若态矢  是归一化态矢，则 1   。 设力学量完全集 Fˆ 的本征态记为 k ，以它们作为基矢的表象，称为 F 表象。这个离散表象的基矢的 正交归一性可以表示成 kjk j  (1.2.27) 而连续谱表象的基矢的正交“归一”性，可表示成 函数。 在 F 表象中(基矢 k )，任何一个态矢  可以用 k 来展开： k k a k  (1.2.28) 利用基矢的正交归一性，易知 ka k  (1.2.29) 它表示  在基矢 k 上的“投影”。当所有 ka 都给定，就给定了一个态  ，所以这一组数 { } { }ka k  (注意，这里花括号表示是一组数的意思)就是态  在 F 表象中的表示。可以把它们排成 列矢 1 2 1 2 a a                    (1.2.30) 把式(1.2.29)代入式(1.2.28)，得 k k k k k k     (1.2.31) 在上式中，可以把 k k 看成一个投影算符： kˆP k k (1.2.32) 7 它对任何矢量运行后，就把该矢量变成它在基矢 k 方向上的分矢量。或者说 kˆP 的作用是把任何矢量沿 k 方向的分矢量挑选出来，例如： kˆ k kP k k k k k a a k      (1.2.33) 它就是矢量  在基矢 k 上的分量。在式(1.2.12)中  是任意的，因此， ˆ k k k I (1.2.34) 此式对任何一组完备的基矢{ }k 都是成立的。这关系式对于表象变换极为方便。 用狄拉克符号表示算符也很为方便，并也矩阵力学的表述有很好的对应。我们知道，算符代表对量子 态的一种运算，它把一个态矢变成另一个态矢。例如，态矢  经过算符 Lˆ运算后，变成 Lˆ  (1.2.35) 注意与式(1.2.2)表述的比较。在这里还是抽象的运算，未涉及具体表象。在采取具体表象(如 F 表象)之后， Lˆ可表示如下，用 F 表象基矢 k 左乘(取标积)式(1.2.35)，利用式(1.2.34)得： ˆ ˆ j k k L k L j j    (1.2.36) 即 k kj j j b L a (1.2.37) 式中：内积的表示为： ˆkjL k L j (1.2.38) kb 和 ja 分别代表态矢  及  在F 表象中的表示，而 kjL 则是算符 Lˆ在 F 表象中中的矩阵表示。 下面我们再来看看狄拉克符号与矩阵表示的关系。 行矢可用行矩阵表示，列矢可用列矩阵表示。因为在n维空间的矢量有 n个分量 1 2, , na a a ，它们正 好用一个行矩阵[ ]ia 或列矩阵{ }ia 表示。如果矢量的分量 ia 中有复数，则称[ ]ia 为 n维复矢量。 狄拉克把行矢称为左矢以 表示之，把列矢称为右矢，以 表示之。左矢和右矢互为转置共轭，例 如： 1 2 n x x x         X ， 1 2 n y y y         Y (1.2.39) 则 H * * * 1 2[ ]nx x x  X X (1.2.40) 在n维复空间矢量 X 与Y 的标积定认为 8 1 2H * * * * * * * 1 2 1 1 2 2 H* 1 [ ]{ } [ ]j i n n n n n i i i y y x y x x x x y x y x y y x y                 X Y X Y = Y X (1.2.41) 当 X 与Y 的标积 0X Y 时，称矢量 X 与Y 正交。当一组矢量中任何两个都互相正交时，称为正 交矢量组。 当 Y X 时，标积 HX X 的平方根称为矢量 X 的长度或模(norm)，以 X 表示，即 H * * *1 1 2 2 n nx x x x x x    X X X (1.2.42) 长度等于 1 的矢量称为单位矢量，如有一组矢量 ( 1,2, , )i i n X ，其长度都等于 1，且全部互相正交， 则称为正交归一矢量组。 * * * 1 1 1 1 2 1 * * * 2* * * * *2 1 2 2 2 1 2 * * * 1 2 { }[ ] [ ] [ ] n n i j n i j n n n n n n n y y x y x y x y y x y x y x y x x x x y x y y x y x y x                            Y X (1.2.43) 所以 n维右矢与n维左矢的乘积是一个 n阶方阵，而左矢与右矢的乘积(即标积)则是一个数。 对线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x x x a x x a x a x a x x a x a x a x x                    (1.2.44) 写成矩阵的形式，即 AX X (1.2.45) 上式也可以写为： ( )  0A I X (1.2.46) 上式右端列矢量等于零，根据 Cramer 法则求解纯属一方程组的原理，，只有当 | | 0 A I 时，即采取 某些特定的数值时， X 才不等于零的解。我们称矩阵  K A I (1.2.47) 为 A的本征矩阵。 | |A I 称为 A的本征行列式，把它展开就得到一个次的n阶多项式 1 21 2( ) ( 1) ( ) n n n n nP P P P          (1.2.48) ( )P  称为本征多项式。我们称 | | 0 A I (1.2.49) 9 为本征方程。它的解 1 2, , , n   称为 A的本征值。把每一本征值 i 代回(1.2.45)式，得： ( 1, 2, , )i i i i n  AX X (1.2.50) 可求得一个解矢量 iX ，这样的解矢量称为本征矢量。 Hermite 方阵的本征值是实数。如果 A为 Hermite 方阵，X 是它的本征矢量，是本征值。是实数。 Hermite 方阵的不同本征值的本征矢一定互相正交。如果同一本征值有n个独立本征矢量，那么它 们一定可以线性组合成 n个正交归一的本征矢量。一个n阶的 Hermite 对称方阵 A，一定有 n个互相正交 归一的本征矢量 qX ，把 n个正交归一的本征矢量汇集起来，可以组成一个方阵 X 11 12 1 21 22 2 1 1 2 n n q q n n nn x x x x x x X X X x x x                    X = (1.2.51) 表示本征矢集合的方阵 X 是一个酉阵。 任何 Hermite 方阵总可以通过酉变换变为实元素的对角阵。如果 X 是酉阵，即 H 1X X ，所以 H 1 1  X AX X AX X XA =  (1.2.52) 式中 1 2 n             (1.2.53) 为本征值对角阵。式(1.2.52)所示的变换称为酉变换或幺正变换(unitary transformatiion)。通常酉变换使对称 方阵 A变为对角阵的过程称为对角化。Jacobi 建立了先求酉阵 X ，使 A对角化后立刻得到本征值 1 2, , , n   的 Jacobi 法。 在量子力学中，经常要进行矢量变换，亦即把原来一组矢量线性组合为一组新的矢量。比如，把一组 波函数 ( 1,2, , )i i n   用另一组波函数 ( 1,2, , , )j j m m n   的线性组合来表示，即 1 ( 1, 2, ) m i ij j j c i n      (1.2.54) 式中， ijc 称为线性组合系数。用上式所表示的变换称为线性变换。写成矩阵的形式为： 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 m m n n n nm n c c c c c c c c c                                            (1.2.55) 或简写为   C (1.2.56) 10 式中，C 称为把矢量变以矢量 的线性变换矩阵(transformation matrix)。 如果m n ，则C 为方阵，且如 | | 0C  ，此时称线性变换为非奇异的，则可找到C 的逆矩阵 1C ， 于是 1 1    C C C (1.2.57) 这就是式(1.2.56)的逆变换。 量子力学中也会用到用行矩阵来表示矢量 和的。在这种表示中，式(1.2.54)~式(1.2.57)应写成： 1 ( 1, 2, ) m i j ij j c i n      (1.2.58)     11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 n n n n m m mn c c c c c c c c c                    (1.2.59) 或简写为   C (1.2.60) 当m n ，且 | | 0C  ，则 1 1    C CC (1.2.61) 如果线性变换矩阵 C 为酉阵U ，那么式(1.2.56)所表示的线性变换就称为矢量的酉变换(unitary transformation of vectors)。前面所讲到的式(1.2.52)所表示变换是方阵 A的酉变换，它和矢量的酉变换有联 系也有区别，有时文献中把两者都简称为酉变换。酉变换和幺正变换是 unitary transformation 的两种译法， 前者是音译，后者是意译，幺正变换即指正交归一。矢量在酉变换下其长度不变。 理解量子力学中的表象、绘景、基矢等概念。并熟悉量子力学的表述方式，是我们应用量子力学解决 实际问题的关键。单纯抽象的理解量子力学的概念常显的困难，通常熟悉量子力学表述方式，再反回去理 解量子力学的相关概念有帮助的。 1.3 量子力学的基本概念 这一节，我们简述一下有关量子力学的一些概念和知识。 1.3.1 波函数 当量子力学用薛定谔波动力学方式来描述时，其状态是用波函数来表示的。在坐标表象中波函数表示 为： ( , )r t  ，自变量是空间坐标 r 和时间坐标 t。波函数也可以用动量为变量，就是动量表象。表示力学 量的算符也与所用的的变量有关，即与表象有关。 当量子力学用狄拉克矩阵力学方式来描述时，量子状态表示与表象无关。 由于从实验中显示出微观粒子具有波动特性，作为量子力学中第一个基本假设是状态，它是用波函数 ( , )r t  来描述。波函数的物理意义，通常采用统计解释。即认为，波函数在空间某处的强度 2 是和该处 发现粒子的几率成正比，即波函数描述的是几率波，几率在数学上又称为概率。根据统计的解释，其振幅 11 的平方即波的强度，决定了粒子在某处出现的几率。由于 可能是复数，而几率必须是正实数，因此，科 强度的表示不是用 2 ，而用它的绝对值平方 2 ，即 2 * ( , )      (1.3.1) 由于粒子任何时刻总在空间区域内的某处出现，所以在这区域中找到粒子的几率为 1，即 3( , ) d 1r t r   (1.3.2) 称为波函数的归一化条件。凡是描述微观粒子运动状态的波函数，都应满足归一化条件，符号表示积分 扩展到粒子所允许的所有空间。从物理上还要求波函数满足单值、连续和有限的条件。 量子力学中波函数的表述： 坐标表象： ( , )r t  矩阵表述： 1( ) ( )n a t a t            ，  † 1( ) ( )na t a t    (1.3.3) 注意： * 与 † 是不同的， * 只是取复共轭，而 † 取复共轭并转置。 狄拉克符号： ,  1.3.2 态叠加原理 如果波函数 1 2, , , ,j   是描述微观粒子的几个可能的状态，由这些波函数的线性叠加所得的波 函数为： 1 1 2 2 1 n j j j j j c c c c             (1.3.4) j j j c  (1.3.5) 这也是粒子的一个可能的状态。其中 1 2, , , ,jc c c 为常数，通常为复数。这就是量子力学的状态叠加原 理。它是量子力学的一个基本原理。 1.3.3 算符 所谓算符就是一个运算的符号，如 d dx 是一个微分算符， 是一个开方算符等等。即规定一个具体 的对应关系，用 Lˆ表示。使右矢空间中的某些右矢与其另一些右矢相对应，如使  与  相对应，记为： Lˆ  (1.3.6) 这样的对应关系 Lˆ称为算符。我们说算符 Lˆ作用于右矢  ，得到右矢  。 12 由于每一个右矢在左矢空间都有一个左矢与之对应，所以算符 Lˆ也就规定了左矢空间中一定范围内的 左矢  与左矢  的对应关系。这就是说，在右矢空间中每一个算符 Lˆ，都对应着左空间中的某一个算 符，这个左空间中与 Lˆ对应的算符，我们记为 †ˆL ，称为算符 Lˆ的伴算符。 †ˆ ˆ ˆ ˆL L L L          (1.3.7) 注意我们对左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢。伴算符的伴算符就是原来的算符本身： † †ˆ ˆ( )L L (1.3.8) 在算符的定义中，被算符 Lˆ作用的右矢全体，称为 Lˆ的定义域；得出的右矢全体称为值域。二者可以 不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。 †ˆL 的定义域和值域，是 Lˆ的定义 域和值域的左矢空间对应区域。 设在一个右矢空间中，算符 Lˆ把定义域中的一个右矢  变为值域中的一个右矢  ： Lˆ   (1.3.9) 若算符 Lˆ所建立的这个对应关系是一一对应的，即对应值域中的每一个  ，在定义域中有且只有一个  ，则由  到  的逆对应关系存在，这种关系称为 Lˆ的逆算符，用 1Lˆ 表示： 1Lˆ    (1.3.10) 于是，逆算符 1Lˆ 中显然满足 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL L LL I   (1.3.11) 逆算符 1Lˆ 的定义域和值域分别是 Lˆ的值域和定义域。逆算符相当于算符的除法，有时可以写成 1 ˆˆ ˆ IL L   (1.3.12) 有两个特殊的算符，对一切  都成立，即零算符： 0ˆ 0  (1.3.13) 和单位算符： Iˆ   (1.3.14) 所谓线性算符，就是对任意两个函数 1 和 2 ，算符 Lˆ满足以下关系： 1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( )L c c c L c L      (1.3.15) 13 1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( )L c c c L c L      (1.3.16) 1 1ˆ ˆ( ) ( )L c L c  (1.3.17) 式中， 1 2,c c 为任意常数，这时 Lˆ就称为线性算符。显然微分算符和开方算符都不是线性算符。 线性算符的要求来源于波函数必须满足状态叠加原理。 所谓算符的厄米性，即要求对任一函数 ，算符 Lˆ满足以下关系： * 3 * 3ˆ ˆ ˆd ( ) dL r L r L        (1.3.18) 满足以上关系的算符 Lˆ称为厄米算符，或称自厄算符。更一般地，对任意两个函数 1 和 2 ，若算符 Lˆ 满足以下关系： * 3 * 31 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆd ( ) dF r F r L        (1.3.19) 则称 Lˆ为厄米算符。厄米算符是其伴算符与其本身相等的算符，又称为自伴算符。在单一空间中称为自轭 算符。在数学上，对于某一类算符(无界算符)，厄米算符和自伴算符这两个概念略有差别，我们不涉及这 一问题。若算符 Lˆ满足 †ˆ ˆL L (1.3.20) 算符 Lˆ为厄米算符的充分必要条件是对其定义域中所有的矢量  满足 Lˆ  实数 (1.3.21) 等距算符是满足 † ˆˆ ˆ 1U U  (1.3.22) 的算符。 幺正算符是满足以下条件的算符 † † ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1U U UU  即 † 1ˆ ˆU U  (1.3.23) 幺正算符一定是等距算符。 1.3.4 本征函数和本征值 若算符 Lˆ作用在波函数 上得到一个常数与 的乘积，即： Lˆ  (1.3.24) Lˆ    (1.3.25) 则 称为算符 Lˆ的本征函数，称为本征值。 14 1.3.5 力学量的平均值 在状态 ( , )r t  (  )测量力学量 L的平均值为 3 * ˆd ( , ) ( , )L L r r t L r t      (1.2.26) 若波函数 ( , )r t  是算符 Lˆ的本征态，满足 ˆ ( , ) ( , )L r t r t    ，称 ( , )r t  称为算符 Lˆ的本征函 数，称为本征值，这时测量力学量有确定数值，否则力学量可以取各种不同的值。 在态 k ka  下，力学量 L的平均值表示为 * * ˆ ˆ ˆ( , ) ˆ( , ) kj j k j k k kj j kj kj L L L k k L j j a L a a L a                 (1.3.27) 写成矩阵的形式为：