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西安交通大学-电信学院-信号与系统A(讲义).pdf

西安交通大学-电信学院-信号与系统A(讲义)

amfong
2009-12-30 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《西安交通大学-电信学院-信号与系统A(讲义)pdf》,可适用于其他资料领域

信号与系统A(SignalsandSystems)绪论本章内容z本课程要研究的问题是什么?•本课程的任务和地位。•为什么要学习该课程?•怎样才能学好该课程?信号与系统的概念出现在范围相当广泛的各种领域信号与系统的思想在很多科学技术领域起着很重要的作用。如:通信、航空航天、电路设计、生物工程、声学、地震学、语音和图象处理、能源产生与分配、化工过程控制、工业自动化等等。一信号与系统的概念虽然在不同领域所表现出的信号与系统的物理性质不同但有两个基本点是共同的即:信号总是作为一个或几个独立变量(自变量)的函数而出现并携带着某些物理现象或物理性质的相关信息。正弦波信号心电图信号颈部核磁共振成像系统总会对给定的信号作出响应产生另一个信号或另外的几个信号。几个基本概念:信息:是指存在于客观世界的一种事物形象一般泛指消息、情报、数据、指令等有关周围环境的知识。凡是物质的形态、特性在时间或空间上的变化及人类的各种社会活动都会产生信息。人类通过自己的感觉器官从客观世界获取各种信息。信息是对消息中的不确定性的度量。消息:是用来表达信息的某种客观对象。如电报报文、电视图象、火光、声音、文字、图表、数字等等。信号:是消息的表现形式消息是信号的具体内容。信号通常表现为随自变量变化的物理量。如声、光、电、温度、力、速度等。系统系统系统:是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。它是一个非常广泛的概念。系统可以是物理的也可以是非物理的。系统可以很简单也可以很复杂。例如:一个RC电路是一个系统一架照相机、电视机、汽车、输变电网、交通网、计算机网络、通信网、导弹防御控制系统等都是物理的系统一个政府的经济决策支持过程、企业的管理调控体系、国家的司法体系、金融财政体系也是一个系统只不过是非物理的系统。因此系统的概念是非常广泛的。系统分析的理论与方法当然也是极其重要的。二本课程所涉及的内容两大模块:信号分析、系统分析研究对象:确知信号与线性时不变系统(LinearTimeInvariantSystem)信号分析法时域分析、频域分析和变换域分析(包括S域和Z域)系统分析法时域分析、频域分析和变换域分析(包括S域和Z域)•以信号分析为基础建立分析LTI系统的相应方法:•以信号分解为核心思想研究确知信号的分析方法:信号与系统的分类连续时间信号与离散时间信号连续时间信号自变量连续变化的信号信号本身可以有间断点。离散时间信号只在某些离散的时间点上才有定义的信号本质上是一串有序的数值也称为序列。这两类信号都是自然界客观存在的。连续时间系统与离散时间系统如果一个系统的输入是连续时间信号输出响应也是连续时间信号则称该系统是连续时间系统。如果系统的输入与输出都是离散时间信号则称该系统是离散时间系统。长期以来连续时间信号与系统在物理学、近代电路理论、通信系统等方面有很深的渊源。而离散时间信号与系统方法却在数值分析、统计学以及与经济学、人口统计学有关的数据分析、时间序列分析中有很深的根基。随着计算机、集成电路、数字技术的发展用时间样本来表示和处理连续时间信号显示出越来越多的优点促使这两大类信号与系统分析的理论与方法越来越紧密地交织在一起。三《信号与系统》课程的任务与地位•建立确知信号分析的理论与方法•建立LTI系统分析的理论与方法•系统设计本课程将并行地讨论这两大类信号与系统。信号与系统是电气信息类各专业的核心课程。信号与系统方面的课程不仅是工程教育中一门最基本的课程而且能够成为工程类学生在大学教育阶段所修课程中最有得益而又引人入胜和最有用处的一门课程。作为该课程核心的基本概念和方法对所有工程类专业都是很重要的。信号与系统分析方法的应用范围一直在不断扩大。四信号与系统分析的主要应用领域信号与系统分析的一个目的是研究系统对给定输入信号所产生的输出响应。™信号处理、图象恢复与增强、噪声抑制等™通信、电路设计、生物工程、远程医疗等另一个目的是研究为了使给定输入信号经过系统后其输出响应符合人们的希望或要求系统应该具有什么样的特性进而设计出该系统。噪声干扰图象恢复™工业控制、化工过程控制、资源遥感、地震预报、测控导航与制导、人工智能、高效农业、交通监控等™经济预测、财务统计、股市分析等直流电动机调速系统五学习《信号与系统》课程的目标与要求掌握信号与系统分析的基本概念、基本理论与分析方法灵活应用所学习的理论与方法解决各种相关的问题。要做到:理解概念、掌握方法、多做多练、融会贯通。为此必须认真地完成一定数量的习题。认真做好相关的教学实验。认真把握各个教学环节充分利用答疑时间及时解决学习中的疑难问题。™总学时:其中课内学时实验学时™学分:™适用专业:信息工程、自动化、教改、学硕班™使用教材:SignalsandSystems(美)AVOppenheim等著(第二版)刘树棠译西安交通大学出版社年月六、课程安排参考学时分配绪论:学时第一章:学时第二章:学时第三章:学时第四章:学时第五章:学时第六章:学时第七章:学时第八章:学时第九章:学时第十章:学时总计:授课学时习题课学时复习学时参考书目录AVOppenheim,ASWillskywithITYoungSignalsandSystemsPrenticeHallInc吴湘淇《信号、系统与信号处理》北京:电子工业出版社郑君里、杨为理《信号与系统》清华大学出版社,管致中夏恭恪《信号与线性系统》人民教育出版社阎鸿森、王新凤、田惠生《信号与线性系统》西安交通大学出版社信号与系统A(SignalsandSystems)第一章信号与系统„信号的描述„信号的自变量变换„基本信号„系统及其数学模型„系统的性质本章内容引言(Introduction)讨论信号与系统的基本概念建立其相应的数学描述方法利用数学描述方法建立一套信号与系统分析体系连续时间与离散时间信号(ContinuousTimeandDiscreteTimeSignals)一信号:信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信号可以分为确知信号与随机信号也可以分为连续时间信号与离散时间信号。确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。作为信号分析的基础本课程只研究确知信号。连续时间信号的例子:离散时间信号的例子:信号的描述:(),xt(,)xtt离散时间信号(),xn(,)xnn人口年份---人口统计数据连续时间信号连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成一个离散时间信号。二信号的能量与功率:,tt()ttExtdt=∫连续时间信号在区间的平均功率定义为:,tt()ttPxtdttt=−∫连续时间信号在区间的能量定义为:离散时间信号在区间的能量定义为,nn()nnnExn==∑离散时间信号在区间的平均功率为,nn()nnnPxnnn==−∑在无限区间上也可以定义信号的总能量:dtdtEtxtxTTT∫∫∞∞−−∞→∞==)()(lim•连续时间情况下:•离散时间情况下:∑∑∞∞−−∞→∞==)()(limnxnxENNN在无限区间内的平均功率可定义为:∑−∞→∞=NNNnxNP)(limlim()TTTPdtTxt∞−→∞=∫能量信号信号具有有限的总能量即:三类重要信号:,EP∞∞<∞=功率信号信号有无限的总能量但平均功率有限。即:,EP∞∞=∞<<∞信号的总能量和平均功率都是无限的。即:,EP∞∞=∞=∞如果信号是周期信号则()()xtTxt=()()xnNxn=三周期信号与非周期信号:或连续时间周期信号离散时间周期信号()TPxtdtT∞=∫(以T为周期)或()TTPxtdtT∞−=∫()NnPxnN−∞==∑(以N为周期)或()NnNPxnN∞=−=∑如果信号是非周期的且能量有限则称为能量信号。这种信号也称为功率信号通常用它的平均功率来表征。自变量变换(TransformationsoftheIndependentVariable)一由于信号可视为自变量的函数当自变量改变时必然会使信号的特性相应地改变。()xt()xtt−当时信号向右平移t>tt<时信号向左平移t()xn()xnn−当时信号向右平移n>nn<时信号向左平移||n时移变换:ShiftofSignals反转变换:ReflectionofSignals()xt()xt−信号以为轴呈镜像对称。t=()xn()xn−与连续时间的情况相同。尺度变换:Scaling()xt()xata>时,是将在时间上压缩a倍()xat()xta<<时,是将在时间上扩展a倍。()xat()xt实例:照片放大。由于离散时间信号的自变量只能取整数值因而尺度变换只对连续时间信号而言。()xn()xn()xnnn()xn例如:()()()xtxtxt→−→−显然是从中依次抽出自变量取偶数时的各点而构成的。这一过程称为对信号的抽取(decimation)。()xn()xn()xn综合示例:由()()xtxt⇒−()xtttt()xt−()xt−⇒tt→−⇒tt→做法一:做法二:()()()xtxtxt→→−做法三:()()(()xtxtxt→−→−()xttt()xtt⇒⇒tt→−tt→()xt−()xttt()xt−t()xt−⇒tt→−⇒tt−→−可视为周期信号但它的基波周期没有确定的定义。二周期信号与非周期信号:周期信号:()()xtTxt=()()xnNxn=满足此关系的正实数(正整数)中最小的一个称为信号的基波周期()。TN()xtc=可以视为周期信号其基波周期。()xnc=N=如果有则称该信号是偶信号。()()xtxt−=()()xnxn−=(镜像偶对称)三奇信号与偶信号:oddSignalsandevenSignals对实信号而言:非周期信号周期信号如果有则称该信号为奇信号(镜像奇对称)()()xtxt−=−()()xnxn−=−如果有则称该信号为共轭偶信号。()()xtxt∗=−()()xnxn∗=−如果有则称为共轭奇信号。()()xtxt∗=−−()()xnxn∗=−−对复信号而言:任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。对实信号有:()()()eoxtxtxt=()()()extxtxt=−()()()oxtxtxt=−−()()()eoxnxnxn=()()()exnxnxn=−()()()oxnxnxn=−−其中其中对复信号有:其中:其中:()()()eoxtxtxt=()()()extxtxt∗=−()()()oxtxtxt∗=−−()()()eoxnxnxn=()()()exnxnxn∗=−()()()oxnxnxn∗=−−()xtt()extt⇒⊕t()oxt例:例信号的奇偶分解:复指数信号与正弦信号(ExponentialandSinusoidalSignals)一连续时间复指数信号与正弦信号()atxtCe=其中C,a为复数实指数信号:Ca为实数a>呈单调指数上升。a>t()xtca<呈单调指数下降。a=()xtC=是常数。周期性复指数信号与正弦信号:ajω=不失一般性取C=()cossinjtxtetjtωωω==实部与虚部都是正弦信号。()xt显然是周期的其基波周期为:Tπω=一般情况下()cos()xtAtωφ=jtjtjjAAeeeeωωφφ−−=其基波周期为,基波频率为当时通常称为直流信号。Tπω=ωω=对而言它在一个周期内的能量是它的平均功率为:()jtxteω=TTjtTEedtdtTω==⋅=∫∫TP=成谐波关系的复指数信号集:{}()jktkteωφ=,,,k=±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅当k取任何整数时该信号集中的每个信号都是彼此独立的。只有该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。kωω该信号集中的每个信号都是周期的它们的频率分别为都是的整数倍因而称它们是成谐波关系的。ωTπω=kTkπω=T信号集中信号的基波频率为基波周期为各次谐波的周期分别为它们的公共周期是。一般复指数信号:()atxtCe=其中C,a为复数令则jCCeθ=arjω=()()jtjtjrtrtxtCeeeCeeωωθθ==该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。当时是指数增长的正弦振荡。时是指数衰减的正弦振荡。时是等幅的正弦振荡。r>r<r=r>r<r=()nxnCα=当时呈单调指数增长时呈单调指数衰减时呈摆动指数衰减时呈摆动指数增长α>α<<α−<<α<−二离散时间复指数信号与正弦信号()nxnCα=,Cα一般为复数实指数信号:均为实数,Cαα>α<<α−<<α<−正弦信号:()jnxneω=其中为实数。ω()cossinjnxnenjnωωω==()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnn=离散时间正弦信号不一定是周期的这是与连续时间正弦信号的重大区别。ω离散时间信号的频率表示为其量纲是弧度。一般复指数信号:()()njnxnCeωθα=cos()sin()nCnjnαωθωθ=⋅⋅()nxnCα=jCCeθ=jeωαα=令则其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。当时幅度呈指数增长时幅度呈指数衰减。α>α<α>α<离散时间复指数序列不一定是周期性的要具有周期性必须具备一定条件。()jnxneω=()()xnNxn=()jnNjnjNjneeeeωωωω=⋅=jNeω∴=即Nmωπ=于是有mNωπ=三离散时间复指数序列的周期性设则有:表明只有在与的比值是一个有理数时才具有周期性。ωπjneω()jtxteω=ω↑对当时对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。而对当时只要是变化的范围如则由于总是会有。这表明:当变化时并非所有的都是互相独立的。离散时间信号的有效频率范围只有区间。其中处都对应最低频率或处都对应最高频率。jneωω↑ωπkkωωπ=jkneπ=kjnjneeωω=ωjneωπω=kωπ=ωπ=kωππ=()cos()xnn=⋅=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=()cos()xnnπ=在满足周期性要求的情况下总能找到互为质数的两个正整数m,N使得:mNωπ=(m与N无公因子)此时即为该信号的周期,也称为基波周期,因此该信号的基波频率为。Nmπω=Nmωπω==离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。()jknNkneπφ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,,k=±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅该信号集中的每一个信号都是以N为周期的,N是它们的基波周期。称为直流分量称为基波分量。k=k=称为二次谐波分量等等。k=每个谐波分量的频率都是的整数倍。Nπ特别值得指出的是:该信号集中的所有信号并不是全部独立的。()()kNknnφφ=这表明:该信号集中只有N个信号是独立的。即当k取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。因此由N个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集。显然有:这是与连续时间的情况有重大区别的。信号和的比较„不同信号不同„对任何信号都是周期的„基波频率„基波周期:T„频差的整数倍时信号相同„仅当时信号是周期的„基波频率„基波周期:NπωmNπω=Tπω=Nmωπ=ωjteωjneω一离散时间单位脉冲与单位阶跃单位脉冲序列()nδ:单位冲激与单位阶跃(TheUnitImpulseandUnitStepFunctions){()nδ=n=n≠定义()nδn••••••••••••单位阶跃序列:()un定义{()un=n≥n<()nδ()un与之间的关系:()()()nununδ=−−一次差分()unn••••••()()()nkkunknkδδ∞=∞===−∑∑-()nδ具有提取信号中某一点的样值的作用。()xn()()()()xnnxnδδ=()()()()xnnnxnnnδδ−=−()nkδ−nk••••••••••单位阶跃()ut{()ut=t>t<()utt单位冲激()tδ定义:定义的不严密性由于在不连续因而在该处不可导。()()duttdtδ=()()tutdδττ−∞=∫()utt=二连续时间单位阶跃与单位冲激定义:定义如图所示:()utΔΔ()utΔtΔ()utΔ()ut可认为()()duttdtδΔΔ=()tδΔΔΔtlimΔ→()()ttδδΔ=()tδ即可视为一个面积始终为的矩形当其宽度趋于零时的极限。显然当时()tδ表示为()tδt()ttδ−tt矩形面积称为冲激强度。()tdtδ∞−∞=∫()()()tutdtdδττδττ∞−∞==−∫∫显然有:()()()()xttxtδδ=()()()()xtttxtttδδ−=−limΔ→()()()()xttxtδδΔ−=tΔ()xΔ()()xtδΔ()tδ也具有提取连续时间信号样本的作用:用阶跃表示矩形脉冲)()()(τ−−=tututG)()()(τ−−−−=ttuttutGG(t)τtG(t)tτt输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。连续时间系统()xt()yt连续时间与离散时间系统一系统(ContinuousTimeandDiscreteTimeSystems)连续时间系统:系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为系统。它可以是物理系统也可以是非物理系统。系统分析的基本思想:根据工程实际应用对系统建立数学模型。通常表现为描述输入-输出关系的方程。建立求解这些数学模型的方法。离散时间系统()xn()yn离散时间系统:输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。本课程所研究的对象LTI(LinearTime-InvariantSystems)系统就是这样的一类系统。()很多工程实际中的系统都能够利用这类系统的方法建模(即具有普遍性)。为此要求所研究的系统具有以下两点重要特性:()这一类系统应该具有一些性质和结构通过它们能够对系统的行为作出透彻的描述并能对这一类系统建立有效的分析方法(即可行性)。可以通过对简单系统(子系统)的分析并通过子系统互联而达到分析复杂系统的目的。也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。二系统的互联(InterconnectionofSystems)现实中的系统是各式各样的其复杂程度也大相径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的组合。并联(parallelinterconnection)ⅠⅡ⊕()xt()xn()yt()yn级联(cascadeinterconnection)ⅠⅡ()xt()xn()yt()yn反馈联结(Feedbackinterconnection)Ⅱ⊕()xn()xt()yt()ynⅠ工程实际中也经常将级联、并联混合使用如:ⅠⅡIII⊕Ⅳ在任何时刻系统的输出都只与当前时刻的输入有关而与该时刻以外的输入无关则称该系统是无记忆系统。否则就是记忆系统即(memorysystems或systemswithmemory)。如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关则系统是记忆的。系统的基本性质(BasicSystemProperties)记忆系统与无记忆系统(memorysystemsandmemorylesssystems)例如:()()tytxdCττ−∞=∫(电容)()()ytxt=−RC、RLC电路()()nkynxk=−∞=∑(累加器)()()()ynxnxn=−−(差分器)等都是记忆系统在无记忆系统中有一种特例即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同即有,或。这样的无记忆系统称为恒等系统(identitysystem)。()()ytxt=()()ynxn=可逆性与逆系统:(Inveritibilityandinversesystems)如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出即输入与输出是一一对应的则称该系统是可逆系统(invertiblesystems)。如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出则系统是不可逆的称为不可逆系统(noninvertiblesystems)。如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统则称后者是前者的逆系统(inversesystem)。ⅠⅡ()xt()xn()yt()yn()xt()xn例如:()()ytxt=是可逆系统其逆系统是:()()ytxt=()()nkynxk=−∞=∑是可逆系统其逆系统是:()()()ynxnxn=−−还原为。输入时,输入时,。()()ytxt=是不可逆系统因为有两个不同的()xt()xt−()()()ynxnxn=−也是不可逆的因为()nδ()yn=()nδ−()yn=()()ynxn=是不可逆系统因为无法从()xn()xn()()dxtytdt=不可逆也是不可逆系统。()yt=调制或编码过程必须是可逆的其逆系统是解调器或解码器。而输入和能产生相同的输出。如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的(causal)。否则就是非因果的(noncausal)。因果性(causality)一般说来非因果系统是物理不可实现的。这体现了因果性对系统实现的重要性。但对非实时处理信号的离散时间系统或信号的自变量并不具有时间概念的情况因果性并不一定成为系统能否物理实现的先决条件。例如在图像处理中,自变量是图像中各点的坐标位置而并非代表时间。对某些数据处理系统如股市分析、经济预测等,实际上是以足够的延时来换取非因果性的实现。()()ynxn=−n<Q时决定于以后时刻的输入。()yn()()()ynxnxn=−()()ytxt=是非因果系统。RLC电路,,都是因果系统。()()()ynxnxn=−−()()nkynxk=−∞=∑稳定性(stability)如果一个系统当输入有界时产生的输出也是有界的则该系统是稳定系统(stablesystem)。否则就是不稳定系统(unstablesystem)。例如:单摆、RC电路都是稳定系统也是稳定系统。()()ynxn=−()(),nkynxk=−∞=∑()(),()()tytxdyttxtττ−∞==∫都是不稳定系统。如果一个系统当输入信号有一个时移时输出响应也产生同样的时移。除此之外输出响应无任何其它变化则称该系统是时不变的(timeinvariant)。否则就是时变的(timevarying)。工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。时不变性(Timeinvariance)即:若()(),xtyt→()()xttytt−→−则系统是时不变的。检验一个系统时不变性的步骤:令输入为根据系统的描述确定此时的输出。将输入信号变为再根据系统的描述确定输出。令根据自变量变换检验是否等于。()xt()yt()(),xtxtt=−()yt()yt()ytt−()xt如当时()()()ynnxn=()()xnxn=()()()ynnxn=()()xnxn=时()()()ynnxn=由于()()()()ynnnnxnnyn−=−−≠∴系统是时变的。当令()()xnxnn=−则有:()()()ynnxnn=−又如:()()ytxt=−()()xtxt=()()ytxt=−()()xtxtt=−()()ytxt=−该系统是时变的。()()()()yttxttxttyt−=−−=−≠∴当时当时()()xtxt=令则有:()()ytxtt=−−而线性(Linearity)()()xtyt→()()xtyt→()()()()axtbxtaytbyt→其中a,b是常数(包括复数)满足此关系的系统是线性的。若例如:,满足可加性但不满足齐次性。当时其实部变为虚部虚部变为实部。{}()Re()ytxt=aj=满足齐次性但不满足可加性。()()()ytxtxt′=因为若输入为则()()xtxt()(()())()()ytxtxtxtxt′=()()()()()()()()xtxtxtxtxtxtxtxt′′′′=≠如果一个系统是线性的当我们能够把输入信号分解成若干个简单信号的线性组合时只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应就可以很方便的根据线性特性通过线性组合而得到系统对的输出响应。即:()xt()xt若且()()kkkxtaxt=∑()()kkxtyt→则()()kkkytayt=∑这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。在工程实际中有一类系统并不满足线性系统的要求。但是这类系统的输出响应的增量与输入信号的增量之间满足线性特性。这类系统称为增量线性系统(incrementallylinearsystems)。该系统既不满足齐次性也不满足可加性但当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时有()()ytxt=()()()xtytxt→=()()()xtytxt→=例如:()()()()()()xtxtytytxtxt−→−=−可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的它是一个增量线性系统。显然有任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统再加上一部分与输入无关的响应。⊕线性系统()xt()yt()yt()yt增量线性系统当增量线性系统的时。此时系统的输出响应完全由决定。此时系统处于零初始状态故将称为系统的零状态响应。()yt=()()ytyt=()yt()yt可见增量线性系统的响应包括零输入响应和零状态响应两部分。根据线性系统的齐次性可得出:线性系统当输入为零(即根本没有输入)时系统的输出响应为零(即没有输出响应)。这就是所谓线性系统的零输入零输出特性。增量线性系统当时有因此将称为系统的零输入响应。()xt=(),()()ytytyt==()yt建立了信号与系统的数学描述方法。讨论了信号自变量变换对信号的影响。介绍了作为信号分析基础的基本信号:复指数信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。讨论了增量线性系统及其等效方法。本章小结(Summary)由于在工程实际中相当广泛的系统其数学模型都可以描述成一个线性时不变(LTI)系统而且基于线性和时不变性为系统分析建立一套完整的、普遍适用的方法提供了可能因此线性时不变系统将成为本课程所研究的对象。信号与系统A(SignalsandSystems)第二章线性时不变系统•LTI系统的框图结构表示。本章内容:•LTI系统的时域分析卷积积分与卷积和。•LTI系统的微分方程及差分方程表示。•奇异函数。•信号的时域分解用表示离散时间信号用表示连续时间信号。()tδ()nδ引言(Introduction)基本思想:如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应就可以利用系统的线性特性将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。由于LTI系统满足齐次性和可加性并且具有时不变性的特点因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。问题的实质:研究信号的分解:即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求:本身尽可能简单并且用它的线性组合能够表示(构成)尽可能广泛的其它信号LTI系统对这种信号的响应易于求得。如果解决了信号分解的问题即:若有()()iiixtaxt=∑()()iixtyt→则()()iiiytayt=∑↓将信号分解可以在时域进行也可以在频域或变换域进行相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。分析方法:离散时间LTI系统:卷积和离散时间信号中,最简单的是,我们已经看到可以由它的线性组合构成即:()nδ()un()()()nkkunknkδδ∞=−∞===−∑∑一用单位脉冲表示离散时间信号对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点就可以将信号拆开来每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。()xn(DiscreteTimeLTISystems:TheConvolutionSum)二卷积和(Convolutionsum)于是有:()()()kxnxknkδ∞=−∞=−∑表明:任何信号都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。()xn如果一个线性系统对的响应是由线性特性就有系统对任何输入的响应为:()nkδ−()khn()xn()()()kkynxkhn∞=−∞=∑若系统具有时不变性即:()()nhnδ→若则()()nkhnkδ−→−因此只要得到了LTI系统对的响应()nδ()hn单位脉冲响应(impulseresponse)就可以得到LTI系统对任何输入信号的响应:()xn()()()()()kynxkhnkxnhn∞=−∞=−=∗∑这表明:一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和(Theconvolutionsum)。三卷积和的计算计算方法:有图解法、列表法、解析法(包括数值解法)。运算过程:将一个信号不动另一个信号经反转后成为,再随参变量移位。在每个值的情况下将与对应点相乘再把乘积的各点值累加即得到时刻的。()xk()hk−nn()xk()hnk−n()yn例:()()nxnunα=α<<()()hnun=()()()()()()()()kkknnkkynxnhnxkhnkukunkunαααα∞∞=−∞=−∞==∗=−=−−==−∑∑∑k()()kxkukα=nk()()hnkunk−=−例:()nxnotherwise≤≤⎧=⎨⎩,()nnhnotherwiseαα>≤≤⎧=⎨⎩nn−()xkkk()nkhnkα−−=①时n<()yn=②时n≤≤()()nnnknkkknnnynαααααααα−−==−−==−−=⋅=−−∑∑③时n≤≤()nknknnynααααααα−−−=−−==⋅−−=−∑④时n≤≤()nnkknynαααα−−=−−==−∑⑤时n>()yn=通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。例列表法分析卷积和的过程可以发现有如下特点:①与的所有各点都要遍乘一次()xn()hn()()kxkhnk∞=−∞−∑②在遍乘后各点相加时根据参与相加的各点都具有与的宗量之和为的特点。()xk()hnk−n()hn()xn()x()x()x()x()h−()h()h()h()h()y−()y()y()y()y()y()y()y优点:缺点:计算非常简单。①只适用于两个有限长序列的卷积和②一般情况下无法写出的封闭表达式。()yn(ContinuousTimeLTISystems:Theconvolutionintegral)一用冲激信号表示连续时间信号()()()tutdtdδττδττ∞−∞==−∫∫与离散时间信号分解的思想相一致连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系:对一般信号可以将其分成很多宽度的区段用一个阶梯信号近似表示。当时有()xtΔ()xtΔΔ→()()xtxtΔ→()xt连续时间LTI系统:卷积积分引用即:()tδΔ()ttotherwiseδΔΔ<<Δ⎧=⎨⎩则有:()ttotherwiseδΔ<<Δ⎧Δ=⎨⎩()xtΔkΔ()kΔt()xkΔ()xtΔ第个矩形可表示为:这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号即:k()()xktkδΔΔ−Δ⋅Δ()xtΔ()()()kxtxktkδ∞ΔΔ=−∞=Δ−Δ⋅Δ∑表明:任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。()xt()()()xtxtdτδττ∞−∞=−∫于是:当时Δ→kτΔ→

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西安交通大学-电信学院-信号与系统A(讲义)

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