分形理论大自然的几何学

分形理论：大自然的几何学 天津航天科工集团8357研究所 陈运迪／文 分形理论是当今世界十分活跃的新 理论。作为前沿学科的分形理论认为，大 自然是分形构成的。大千世界，对称、均 衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对 称、不均衡的对象和状态才是多数和长期 的，分形几何是描述大自然的几何学。作 为人类探索复杂事物的新的认知方法，分 形对于一切涉及组织结构和形态发生的领 域，均有实际应用意义，并在石油勘探， 地震预测、城市建设、癌症研究，经济分 析等方面取得 了不少突破性的进展。本文 简要介绍分形理论的产生和应用概况。 分形概念的形成——英国的海岸线有 多长? 分形的概念是美籍数学家曼德市罗 特(B．B．Mandelbrot)率先提出的。1967 年他在美国 科学 杂志上发表了题为 英 国的海岸线有多长? 的著名论文。 海岸线作为曲线，其特征是极不规 则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变 化。它无法用常规的、传统的几何方法描 述。我们不能从形状和结构上区分这部分 海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这 种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说 明海岸线在形貌上是自相似的，也就是部 局形态和整体形态的相似。在没有建筑物 或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的 100公里长的海岸线与放大了的10公里长 海岸线的两张照片，看上去十分相似。 曾有人提出了这样一个显然是荒谬 的命题：“英国的海岸线的长度是无穷 人。”其论证思路是这样的：海岸线是破 碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度 去量得某个近似值，例如，每隔100米立 一 个标杆，这样，我们测得的是一个近似 值，是沿着一条折线计算而得出的近似 值，这条折线中的每一段是一条长为1【)【】 米的直线线段。如果改为每l0米立一个标 杆，那么实际量出的是另一条折线的长 度，它的每一个片段长10米。显然，后一 次量出的长度将大于前一次量出的长度。 如果我们不断缩小尺度，所量出的长度将 会越来越大。这样一来，海岸线的长度不 就成为无穷大了吗? 为什么会出现这样的结论呢?曼德 布罗特提出了一个重要的概念：分数维， 又称分维。一般来说，维数都是整数，直 线线段是一维的图形，正方形是二维的图 形。在数学上，把欧氏空间的几何对象连 续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这 就是拓扑维数。然而，这种维数观并不能 解决海岸线的长度问题。曼德布罗特是这 样描述一个绳球的维数 从很远的距离 观察这个绳球，可看作一点(零维 从较 近的距离观察，它充满了一个球形空间 (三维 再近一些，就看到了绳子(一维 再向微观深入，绳子又变成了三维的柱， 三维的柱又可分解成一维的纤维。那么， 介于这些观察点之间的中间状态又如何 呢?显然，并没有绳球从三维对象变成一 维对象的确切界限。英国的海岸线为什么 测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维 数不一致。根据曼德布罗特的计算，英国 海岸线的维数为1．26。有了分维的概念， 海岸线的长度就可以确定了。 1975年，曼德布罗特发现 具有自相 frJ,~的形态广泛存在于自然界中，如连绵 的山川、飘浮的云朵 岩石的断裂口、布 朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮 层⋯⋯曼德布罗特把这些部分与整体以某 种方式相似的形体称为分形(Fracta1)，这 个单词由拉丁语Frangere衍生而成，该 词本身具有 “破碎”、“不规则”等含义。 曼德布罗特的研究中最精彩的部分 是 l980年他发现的并以他的名字命名的 集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的 方式构成自相似的结构。Mandelbrot集 合图形的边界处，具有无限复杂和精细的 结构。在此基础上，形成了研究分形性质 及其应用的科学，称为分形理论(Fractal theory)或分形几何学(Fractal geometry)。 分形的特点和理论贡献 数学上的分形有以下几个特点： (1)具有无限精细的结构； (2)比例自相似性； (3)一般它的分数维大于它的拓扑 维数； (4)可以由非常简单的方法定义，并 计算机教育 2004．7 39 维普资讯 http://www.cqvip.com 由递归、迭代产生等。 (1)(2)两项说明分形在结构上的内在 规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得 分形的任何一个片段都包含了整个分形的 信息。第(3)项说明了分形的复杂性，第(4) 项则说明了分形的生成机制。 我们把传统几何的代表欧氏几何与 以分形为研究对象的分形几何做 ·比较， 可以得到这样的结 欧氏几何是建立在 公理之上的逻辑体系，其研究的是在旋 转、平移、对称变换下各种不变的量，如 角度、长度、面积、体积，其适用范围主 要是人造的物体；而分形由递归、迭代生 成，主要适用于自然界中形态复杂的物体， 分形几何不再以分离的眼光看待分彤中的 点、线、面，而是把它们看成一个整体。 我们可以从分形图案的特点去理解 分形几何。分形图案有一系列有趣的特 点，如自相似性、对某些变换的不变性、 内部结构的无限性等。此外，分形图案往 往和一定的几何变换相联系，在一些变化 下，图案保持不变，从任意的初始状态出 发，经过若干次的几何变换，图形将固定 在这个特定的分形图案上，而不再发生变 化。自相似原则和迭代生成原则是分形理 论的重要原则。 分形理论发展了维数的概念。在发 现分数维以前，人们习惯于将点定义为零 维，直线为一维，平面为二维，空间为三 维，爱因斯坦在相对论中引入时间维，就 形成四维时空。对某一问题给予多方面的 考虑，可建立高维空间，但都是整数维。 分形是20世纪涌现出的新的科学思 想和对世界认识的新视角。从理论上讲， 它是数学思想的新发展，是人类对十维 数、点集等概念理解的深化与推广。吲时 它又与现实的物理世界紧密相连，成为研 究混沌(Chaos)现象的重要：【具。众所周 知，对混沌现象的研究正是现代理论物理 学的前沿和热点之一。 由于分形的研究，人们对于随机性 和确定性的辩证关系有了进一步的理解。 40 计算机教育 2004．7 同样对十过程和状态的联系，对于宏观 和微观的联系，对于层次之间的转化，对 丁无限性的丰富多采，也都产生了有益 的影响。 分形理论还是非线性科学的前沿和 莺要分支，作为一种方法论和认识论，其 启示是 多方面的：一是分形整体与局部 形态的相似，启发人们通过认识局部来 认识整体，从有限中认识无限；二是分形 揭示了介干整体与部分、有序与无序、复 杂与简单之间的新形态和秩序；三是分 彤从特定层面揭示了世界普遍联系和统 一 的图景。 分形学的应用领域 除了理论上的意义之外，在实际应 用中，分形也显示了巨大的潜力，它已经 在许多领域中得到有效的应用，其应用范 围之广、效益之明显远远超过了十几年前 的任何预测。目前大量分形方法的应用案 例层出不穷。这些案例涉及的领域包括： 生命过程进化，生态系统，数字编码和解 码，数论，动力系统，理论物理(如流体力 学和湍流)等方面，此外，还有人利用分 形学做城市规则和地震预报。 分形技术在数据压缩中的应用是一 个非常典型的例子。美国数学会会刊在 1996年6月的刊物上发表了巴斯利的文章 利用分形进行图形压缩 ，他把分形用于 光盘制作的图形压缩中。一般来说，我们 总是把一个图形作为像素的集合来加以存 储和处理。一张最普通的图片也常常涉及 几十万乃至上百万像素，从而占据大量的 存储空间，传输速度也大大受到限制。巴 斯利运用了分形中的一个重要思想 ：分 形图案是与某种变换相联系的，我们可以 把任何一个图彤看作是某种变换反复迭代 的产物。因此，存储一个图形，只需存储 有关这些变换过程的信息，而无需存储图 形的全部像素信息。只要找到这个变换过 程，图形就可以准确地再现出来，而不必 去存储大量的像素信息。使用这种方法， 在实际的应用中，已经达到了压缩存储空 间至原来 1／8的效果。 近年来，由分形理论发展起来的分 形艺术(Fractal Art，FA)，在表现形式和 分形几何的理解等方面亦取得了突破性的 进展。分形艺术是二维可视艺术，在许多 方面类似于摄影。分形图像作品一般是通 过计算机屏幕和打印机来展现的。分形艺 术中的另一个重要部分便是分形音乐，分 形音乐是由一个算法的多重迭代产生的。 自相似是分形几何的本质，有人利用这 一 原理来建构一些带有自相似小段的合 成音乐，主题在带有小调的三番五次的 反复循环中重复，在节奏方面可以加上 一 些随机变化。 顺便再提及一句，我们常见的计算 机屏幕保护程序，许多也是通过分形计算 而得来的。为了加深读者的感性认识，笔 者特在http：／／www．flashday．net／ movie／fenxing．zip上提供了一个免费的 自由共享软件，有兴趣的读者不妨下载一 试 (图 1为根据分形软件所得的截图)。 事实上，关于分形的认识和研究，是 一 步也离不开计算机的。反过来，分形的 思想与方法又在计算机技术的发展中产生 了人们意想不到的影响和作用。分形概念 的产生与发展，进一步拓宽了我们的视 野。作为计算机专业的研究者和科技人 员，应当对分形理论有所了解和认识，这 对于我们开拓思路、启迪智慧是大有裨 益的。墨 图1 维普资讯 http://www.cqvip.com