结构力学-位移法

nullnull§9-1 概论 §9-1 概论 第九章 位移法（ Displacement Method ） 1、发展历史 1864年出现力法。 随后出现了混凝土，出现了高次超静定结构，用力法解高次超静定问题十分繁琐，于是，20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。 20世纪30年代出现了由位移法演变而来的渐近法（第十章）。 §9-1 概论 §9-1 概论 第九章 位移法 2、位移法与力法的区别 在给定的外部因素的作用下，（几何不变的）结构真实的解答是唯一的。两者有确定的关系，知其一必知其二。真实解答中 力法：先求力（未知力:内力、反力）， 再计算相应位移。位移法：先确定位移，再求内力。§9-1 概论 §9-1 概论 第九章 位移法 2、位移法与力法的区别 用力法求解，有6个未知变量。 用位移法求解，未知数= ？个。§9-1 概论 用位移法计算图示刚架。在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。 假定受弯杆两端之间的距离保持不变。 为了使问题简化，作如下计算假定：3、位移法基本思路第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 由上述假设可知，结点1只有转角Z1，而无线位移，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。 整个刚架的变形可用未知转角Z1来描述，如果能设法求得转角Z1，即可求出刚架的内力。第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 为了求出Z1值，可先对原结构作如下修改： 这样，原结构就被改造成两个单跨超静定梁： 1B是两端固定梁， 1A是一端固定、另端铰支梁。第九章 位移法 §9-1 概论 P 基本结构§9-1 概论 在基本结构上加上原来的力P，由于附加刚臂不允许结点1转动，此时只有梁lB发生变形，梁1A则不变形。 因此附加刚臂中产生了反力矩R1P（反力矩 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 以顺时针为正）。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：1．由于加了约束，使结点1不能转动， 而原来是能转动的。PR1P 基本结构第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 2．由于加了约束，产生了约束反力矩， 而原来是没有这个约束反力矩的。 为了消除基本结构与原结构的差别，在结点1的附加约束上人为地加上一个外力矩R11，迫使结点1正好转动了一个转角Z1，于是变形复原到原先给定的结构。第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 结点1正好转动一个转角Z1时， 所加的附加约束不再起作用， 其数学表达式为：R1=0 即外荷载和转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩等于零。 根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1＝R11＋R1P=0 （a) R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。 R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。第九章 位移法 §9-1 概论 null为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11改为 ：第九章 位移法 R1＝R11＋R1P=0 （a) 式（a）变为：PZ1R1§9-1 概论 其物理意义是，基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用，附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。由上式可得： r11 和R1P 如何求？第九章 位移法 §9-1 概论 位移法基本方程§9-1 概论 第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 r11第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 现取 图、MP图中的 结点1为隔离体:第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 将这些结果代入位移法基本方程 中解方程， 即得： 第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 1.　固定结点：在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载； 通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。 综上所述，位移法的基本思路是： ２.　放松节点：人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。第九章 位移法 §9-1 概论 §9-1 概论 §9-1 概论 第九章 位移法 4、位移法中需要解决的问题：⑴ 解出单跨超静定梁在常见外部因素作用下的内力。(记住P181表８－１，稍后再说)⑵ 确定以哪些结点的哪些位移为未知量。⑶ 如何求这些位移未知量（即如何建立一般情形下的基本方程）。§9-2 等截面直杆的转角位移方程§9-2 等截面直杆的转角位移方程第九章 位移法 1、基本结构：2、力法典型方程：3、求系数：null第九章 位移法 4、解方程得：见下页见下页null两端固定杆的 转角位移方程若B端为铰支，则：牢记：P181表 8-1 等直梁的杆端弯矩和剪力。 一端固定一端铰支 杆的转角位移方程A端固定B端定向杆 的转角位移方程§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构第九章 位移法 1、基本未知量先确定数目⑴ 角位移的数目（未知量）= 刚结点数固端支座——角位移 = 0铰支座，铰结点——角位移不独立。§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构第九章 位移法 ⑵ 线位移未知量数目首先必须强调 那么，由两个已知无线位移的点（不动点）引出的不共线的受弯杆形成的新的结点也无线位移（不动）。 Or 一般方法：(取铰接体系)结点线位移数=铰接体系的自由度数=使铰结体系成为几何不变体系所必须 添加的最少支座链杆数 注：后者不具有普遍性。§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构第九章 位移法 （图中数据表示独立线位移数）§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构第九章 位移法 2、基本结构——单跨(超)静定梁的组合体。⑴ 假设在刚结点处加上附加刚臂 -----阻止结点转动⑵ 适当地加入附加链杆 -----使结点无线位移§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构§9-3 位移法的基本未知量数与基本结构第九章 位移法 null位移未知数确定举例null位移未知数确定举例null位移未知数确定举例nullnullnullnull§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤第九章 位移法 一、基本原理及基本方程——充分利用叠加原理考虑如下结构：§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤第九章 位移法 基本结构转化为原结构的条件是 ：基本结构在给定荷载及结点位移Z1、Z2共同作用下，在附加约束中产生的总约束反力R1、R2应等于零，即：位移法基本方程§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤第九章 位移法 由叠加原理求解R1、R2 ，分解成下列几种情形：1、荷载单独作用——R1P、R2P（相应约束反力）§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤第九章 位移法 叠加以上结果得：——位移法典型方程§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤第九章 位移法 当有n个基本未知量时：根据反力互等定理：§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤第九章 位移法 副系数rij —— 可正、可负、可为零主系数rii —— 恒为正自由项RiP —— 可正、可负、可为零刚度系数位移法——刚度法位移法典型方程——刚度方程null二、计算步骤（实例分析）1、取基本结构：2、列刚度方程：null解典型方程，求位移：解得4、叠加绘M图：§9-1 概论 §9-1 概论 第九章 位移法 归纳出位移法解题的基本过程：⑴ 依据几何条件（支座、变形），确定某些结点位移为基本未知量，确定基本结构。⑵ 视各杆为单跨(超)静定梁，建立内力和位移的关系。⑶ 由基本方程（平衡方程）求位移。⑷ 求结构内力，作内力图。null位移法解题过程 ： （图解表示）先求某些结点位移结构内力解题过程：结构拆成单根杆件 的组合体加上某些条件1.杆端位移协调条件2.结点的平衡条件基本解题步骤为：null位移法解题步骤：（1）确定位移法基本未知量和基本结构。（2）分别做基本结构在单位基本未知量作用下的内力图和外因作用下的内力图。（3）利用内力图计算反力影响系数(主系数和副系数)和外因引起的广义荷载反力(自由项)。（4）建立位移法典型方程并求解。（5）利用叠加法绘制结构内力图。（6）校核，即结构的任意部分是否平衡。null基本体系30kN10kN/m例题1：试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。null例题 2:试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。null3、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算各系数nullnull例3：1、简化原结构，取基本结构:2、列基本方程：3、求系数：上杆连续，柱与杆铰接14null4、解方程得：§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤例题4无侧移刚架内力计算：第九章 位移法 null§9-4 位移法的典型方程及计算步骤§9-4 位移法的典型方程及计算步骤例题5有侧移刚架内力计算:第九章 位移法 null利用反力互等定理，尽量选取结点力矩方程求系数会减少工作量nullnull例题６排架内力计算基本体系基本方程第九章 位移法 null第九章 位移法 null第九章 位移法 null说明：排架的这种计算方法称剪力分配法。k 称剪力分配系数。柱顶剪力是按各柱的侧移刚度来分配的。剪力分配法的使用条件是梁的抗拉刚度无穷大，且仅在柱顶作用一水平荷载。第九章 位移法 null例题7支座移动引起的内力计算原始结构基本方程:基本结构第九章 位移法 null第九章 位移法 null校核时可以验算结构的位移是否和原结构的位移一致第九章 位移法 null选取静定的基本结构1(校核1点竖向位移)第九章 位移法 null选取静定的基本结构2第九章 位移法 null例题10剪切型刚架内力计算基本方程第九章 位移法 null第九章 位移法 null第九章 位移法 null第九章 位移法 §9-5 按平衡条件建立典型方程§9-5 按平衡条件建立典型方程第九章 位移法 1、确立基本未知量；2、按照转角位移方程，将各杆的 杆端力表示为基本未知量的函数：3、建立平衡方程：§9-5 按平衡条件建立典型方程§9-5 按平衡条件建立典型方程第九章 位移法 3、建立平衡方程：由此所得的方程与用位移法典型方程 所得一致，其它略。null练习：§9-6 对称性的利用 §9-6 对称性的利用 第九章 位移法 §9-6 对称性的利用 §9-6 对称性的利用 第九章 位移法 下面以奇跨为例，给以说明.§9-6 对称性的利用 §9-6 对称性的利用 第九章 位移法 正对称§9-6 对称性的利用 §9-6 对称性的利用 第九章 位移法 null例：求弯矩。1、取半结构：2、取基本结构：3、典型方程：4、求系数：5、解方程：6、作M图:本章小结本章小结第九章 位移法 1、记住转角位移方程及表8-1nullnull超静定单跨梁的力法结果(1)形形载形代表“形常数”载代表“载常数”null超静定单跨梁的力法结果(2)载载载null超静定单跨梁的力法结果(3)载载载null超静定单跨梁的力法结果(4)形载形载null超静定单跨梁的力法结果(5)载载载null超静定单跨梁的力法结果(6)载载载载null超静定单跨梁的力法结果(7)载载载形null超静定单跨梁的力法结果(8)载载载载null超静定单跨梁的力法结果(9)载载载载null超静定单跨梁的力法结果(10)载载载本章小结本章小结第九章 位移法 2、位移法中的两种方法⑴增加约束，固定所有结点，然后逐个放松，利用附加约束中产生的总反力等于零的条件，建立求解位移未知量的典型方程。⑵直接利用转角位移方程，再利用结点弯矩平衡条件（∑M=0）和横梁隔离体剪力平衡条件（∑Fx=0），建立求解位移未知量的方程。 两种方法思路不同，实质一样，对无结点线位移之刚架，用后者比较简单；对有结点线位移之刚架，则使用第一种方法比较方便。本章小结本章小结第九章 位移法 3、力法与位移法的比较以多余约束力作为未知量 以结点角位移和绝对线位移为未知量 力法位移法 ⑴未知量 ⑵未知量数目的影响因素 与结构超静定次数有关 与超静定次数无关，只与结构形式有关 本章小结本章小结第九章 位移法 力法位移法⑶基本结构去掉多余约束，代之以约束反力。一个结构的基本结构有无穷多个。加入附加刚臂和链杆，使结点完全固定。一般情况下，其基本结构是唯一的。⑷方程的性质利用多余约束处原来的位移及变形 条件，建立方程，式中包括力的未知量。本章小结本章小结第九章 位移法 力法位移法⑸计算内力步骤⑹适用范围对结点多（特别是有线位移）而多余约束少的结构。对于多余约束多而结点少的结构，使用比较方便。本章小结本章小结第九章 位移法 七次超静定 用位移法求解，未知量数目只有２个寻求简捷:练习1：练习1：练习2：练习1：练习1：一、取基本结构：二、基本方程：三、计算系数和自由项:null9/8-9/8null四、解方程:五、作M图练习2：练习2：1、基本结构：2、基本方程：3、求系数：MP图见下页null 4、解方程： 5、作M图：null补充：联合法与混合法1.联合法=+P/2力法:6个未知量位移法:6个未知量反对称荷载作用时，用力法（２个未知量）； 正对称荷载作用时，用位移法（２个未知量）．null例题对称刚架内力计算正对称反对称第九章 位移法 null 对称结构在正对称荷载作用下内力、反力和变形皆正对称，故可取半结构计算。由半结构特点采用位移法较好。第九章 位移法 正对称荷载作用null 对称结构在反对称荷载作用下内力、反力和变形皆反对称，故可取半结构计算。而此半结构仍具有对称结构特点。继续分解。第九章 位移法 反对称荷载作用null 利用对称性将结构分解成最简形式，而每个最简形式都是只含一个变量的超静定结构，可分别采用位移法和力法求解（联合法）。最后将半结构的结果叠加得原结构的解答。第九章 位移法 null基本思路 联合法是在两个不同的结构中(如:正、反对称荷载分别作用的结构)，联合应用力法、位移法。 混合法则是对同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。2.混合法null考察发现单独用哪种方法基本未知量数都不适合于手算。当以A 点为界时，其左半部分适合用位移法，其右半部分适合用力法。能否考虑使用两类基本未知量以简化计算？第九章 位移法 练习1:null混合法（混合了两类未知量的方法）基本方程第九章 位移法 null由反力位移互等定理:rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力X3引起的第 1，2 个附加约束上的约束反力影响系数。3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个附加约束上的约束位移影响系数（j = 1，2）; 33 表示单位多余未知力X3引起的本方向的位移影响系数。第九章 位移法 null第九章 位移法 null练习2:用混合法计算图示刚架,并作弯矩图. EI=常数.null这样做系数如何计算？ 系数间有什麽关系， 依据是什麽？ 如何建立方程， 其物理意义是什麽？请自行求系数、列方程、求解并叠加作弯矩图原则上与未知力对应的系数用图乘求，与位移对应的系数用平衡求。系数间有位移和反力互等的关系。按典型方程法建立方程，力法部分列位移协调方程，位移法部分列平衡方程。null超静定结构特性一、将静定结构与超静定结构进行比较第九章 位移法 null第九章 位移法 null第九章 位移法 null二、结论 超静定结构只有同时满足平衡条件和变形条件和本构关系的解答才是唯一的解答；  超静定结构有两种基本解法：力法和位移法。注意各自解题特点，并加以联合应用；  力法的基本思想是将超静定结构化成熟知的静定结构，然后比较两者的差别，通过消除差别使原问题得以解决； 第九章 位移法 null 一个结构的力法基本结构有多种，不同的基本结构正确的计算会得到相同的结果，但工作量可能不同，需要在练习中积累经验，选取合理的基本结构提高计算效率。  力法基本结构是在原始结构的基础上去除多余约束而得到的，不能任意改变约束性质和约束位置，更不能变成几何可变体系。  要培养对计算结果的正确性进行检查的良好习惯，主要是对变形协调条件的检验。  超静定结构的位移计算可以利用其基本结构的位移计算。第九章 位移法 null 对于对称结构，可取半结构进行计算，但要注意理解和熟记半结构模型的计算简图。  位移法的基本思想是通过施加附加约束，使原始结构变成基本单跨（超）静定梁系，在自动满足位移协调的基础上，使附加约束在荷载和结点位移共同作用下总反力等于零。  超静定结构计算的基本原理和基本方法是为后续课程的学习和结构设计打基础的，所以必须认真对待。第九章 位移法 null 有一则寓言，是说有两只蚂蚁想翻越前面一堵墙，寻找墙那边的食物。墙长有20米，高有近百米，其中一只蚂蚁来到墙前毫不犹豫地向上爬去，辛苦地努力着向上攀爬。可是每到它爬到大半时，就会由于劳累、疲倦等因素而跌落下来，可是它不气馁，它相信只要有付出就会有回报。它更相信只要坚持不懈，就会距离成功越来越近。一次跌下来，它迅速地调整一下自己，又开始向上爬去。 寓言故事null 而另一只蚂蚁观察了一下，决定从侧面绕过这段墙去。很快地，这只蚂蚁绕过墙来到食物面前，开始享用起来，而第一只蚂蚁还在不停地跌落下去又重新开始。 ※这个故事告诉我们:很多时候，成功除了坚持不懈外，更需要方法和方向。选择一个更适合自己的方法和方向很重要。也许有了一个好的方法和方向，成功来得会比想象得更快。null 本章到此结束！再 见!