2009 考研数学试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055\82378805
教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题
一、 选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
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（1） 当 时， 与( ) axxxf sin−= ( ) ( )bxxxg −= 1ln20→x 等价无穷小，则（ ）
6
1,1 −== ba
6
1,1 == ba. (B) . （A）
6
1,1 =−= ba
6
1,1 =−= ba（C） . （D） .
【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见木艾迪考研数学春季基
础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强
化 299》16、17 等例题。【答案】A
1
66
sinlim
6
sinlim
3
cos1lim
)(
sinlim
)1ln(
sinlim
32
0
2
0202020
=−=
⋅−
=
−=−
−=−⋅
−=−
−
→
→→→→
b
a
ax
a
b
axa
bx
axa
bx
axa
bxx
axx
bxx
axx
x
xxxx
ba 63 −= 意味选项 错误。 CB，
20 3
cos1lim
bx
axa
x −
−=→ 1=a)0(0cos1 →→− xaxa存在，应有 ，故 ，D 错误，所以选 A。 再由
( ){ }1,1, ≤≤ yxyx（ 2 ） 如 图 ， 正 方 形 被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域
, 则( ) ∫∫==
KD
KK xdxdyyIkD cos,4,3,2,1 { }kk I41max≤≤ ＝ （ ）
dD1
X
Y
-1
-1 1
1
D1
D2
D3
D4
（A） (B) (C) (D) 3I1I 2I 4I
【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称
性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季
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班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大
学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。
xy cos−
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42 ,DD 关 于 x 轴 对 称 ， 而 即 被 积 函 数 是 关 于 的 奇 函 数 ， 所 以
; 两区域关于
y
( ) xyxy coscos =−31 ,DD042 == II 轴对称，y x即被积函数是关于 的
偶函数，由积分的保号性，
( ){ }∫∫ ≤≤≥ >= 10,,1 0cos2 xxyyx xdxdyyI ( ){ }∫∫ ≤≤−≤ <= 10,,3 0cos2 xxyyx xdxdyyI，
所以正确答案为 A。
(3) 设函数 在区间 [ 上的图形为 ])(xfy = 3,1−
)(xf
-2 -1 0 1 2 3 x
-1
则函数 为 ( )
0
( )
x
F x f t dt= ∫
)(xF )(xF
1 1
x
-2 0 1 2 3 x -2 0 1 2 3
-1 －1
（A） (B)
)(xF )(xF
1 1
x x
-1 0 1 2 3 -2 0 1 2 3
-1
(C) (D)
【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积
分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。由 ( )xfy = x的图形可见，其图像与
( )xF ( )xF轴及 轴、 所围的图形的代数面积应为函数y 0=x ，由于 有第一类间断点，
只能为连续函数，不可导。
)(xf
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( )xF)0,1(−∈x
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时， 且为常数，应有0)( >xf 单调递增且为直线函数。
)1,0(∈x 时， 0)(
xf
( )xF)3,2(∈x 0)( =xf
（4）设有两个数列{ } { },, nn ba 0lim =∞→ nn a 则（ ） 若
（A）当 收敛时， 收敛。 （B）当∑ 发散时，∑ 发散。 ∑∞
=1n
nb ∑∞
=1n
nnba
∞
=1n
nb
∞
=1n
nnba
（C）当∑∞
=1n
nb 收敛时， 收敛。 （D）当∑∞
=1
22
n
nnba ∑∞
=1n
nb 发散时， 发散。 ∑∞
=1
22
n
nnba
【解析与点评】以下方法 1 是水木艾迪考生的首选方法。
2
10lim =∞→ nn b（方法 1） 收敛，则 ，又 ，必存在 ，使当 时
2
1
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
,* 1−= CCC
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−∗
01
10
6
0
0
6
0
0
0
0
0
0
*
*
1
11
A
A
B
B
A
B
B
A
B
A
B
A
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
03
20
0
2
1
3
10
6 *
*
*
*
A
B
A
B
，故答案为 B。
【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的
逆矩阵等。
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Φ+Φ=
2
17.03.0 xxxF )(xΦ (7)设随机变量 X 的分布函数为 其中 为
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
正态分布
函数，则EX ＝（ ）
（A）0. (B)0.3. (C)0.7 (D)1.
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Φ+Φ=
2
17.03.0 xxxF 【解析】因为
( ) ( ) 2
22
22
)1(
2
22
17.0
2
13.0
2
1
2
7.03.0 ×
−−− +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=′
xx
eexxxF ππϕϕ所以 ，
2
2
2
1 xe
−
π由于 是 的密度函数，故其期望为 0， )1,0(N
2
2
22
)1(
22
1 ×
−− x
eπ 是 的密度函数，其期望为 1.所以 )2,1(
2N
( ) 7.017.003.0 =×+×=′= ∫+∞∞− dxxFxEX ，【答案】(C)
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【点评】这是一个已知分布函数求期望的问题，属于概率论的基本题型。其中需要知道正态
分布的基本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。
(8)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N（0，1），Y 的概率分布为
{ } { }
2
110 ==== YPYP , 记 为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 的间断点
个数为（ ）
)(zFZ )(zFZ
（A）.0 (B).1 (C).2 (D).3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1)1(00 ==≤+==≤=≤= YPYzXYPYPYzXYPzXYPzFZ【解析】
( ) ( )[ ]10
2
1 =≤+=≤ YzXYPYzXYP =
( ) ( )[ ]100
2
1 =≤+=≤⋅ YzXYPYzXP=
( ) ( ) ([ ]zXPzXPzFZ ≤+≤⋅= 02
1 )由于 X,Y 独立。 。
( ) ( ) ( )zzFz Z Φ=< 2
1,01 则若 ； ( ) ( ) ( )( )zzFz Z Φ+=≥ 12
1,02 则若
z=0 为间断点，故选（B）
【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利
用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。
yx
z
∂∂
∂ 2( )xyxfz ,=（9）设函数 具有二阶连续偏导数，( vuf , ) ＝ 。 则
【解析与点评】本题为多元函数偏导数计算的基本题目，同类题目可参见参见水木艾迪 2009
考研数学模拟试题数 1-10 题，水木艾迪考研《大学数学同步强化 299》例 10.12，10.13，10.15
等，还有《考研数学三十六技》例 15-1，15-3，15-5 等，以及《考研数学通用辅导讲义----
微积分》101，103 等例题。
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答案： 22212 fxyffx ′′+′+′′
,21 yffx
z ⋅′+′=∂
∂
2221222212
2
fxyffxfxyffx
yx
z ′′+′+′′=′′+′+′′=∂∂
∂
( ) ,21 xexCCy +=（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 0=+′+′′ byyay 的通解为 则非
齐次方程 满足条件xbyyay =+′+′′ ( ) ( ) 00,20 =′= yy 的解为 y= 。
二阶常系数线性齐次微分方程解与方程的关系
【解析与点评】答案： 2++−= xxey x
由 得二阶常系数线性齐次微分方程( ) ,21 xexccy += 0=+′+′′ byyay 的特征值
xyyy =+′−′′ 21,2 =−= ba,121 == λλ 故 ，要求解的微分方程为 。
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xyyy =+′−′′ 2
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设特解 代入微分方程为BAxy +=0 xBAxA =++− 2 ，得出
xyyy =+′−′′ 2 2+=′′ xy2,1 == BA ，故微分方程为的 特解 ，通解为
( ) 221 +++= xexccy x
( ) 20 =y代入初始条件 ， ，得( ) 00 =′y 1,0 21 −== cc ，要求的解为 。 2++−= xxey x
参见水木艾迪 2009 考研数学模拟试题数 1-12 题，【水木艾迪考研】《大学数学同步强化
299》133，134，《考研数学三十六技》例 11-8，例 11-11，例 11-12，《考研数学通用辅导讲
义----微积分》例 8.20，例 8.21，例 8.29，例 8.30。
( )20: 2 ≤≤= xxyL（11）已知曲线 ，则 。 ∫Lxds
( ) ( ) ,41 222 dxxdxyxds +=′+′=【解析与点评】由题意， ,20,, 2 ≤≤== xxyxx 则
( )22
0
222
0
4141
8
141 xdxdxxxxds
L
++=+= ∫∫∫ 所以
( )
6
1341
3
2
8
1 2
0
32 =+⋅ x
6
13＝ 。【答案】
参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》114，《考研数学三十六技》例 19-1
《微积分通用辅导讲义》例 13.1，例 13.3
( ){ }1,, 222 ≤++=Ω zyxzyx（12）设 ，则 ＝ 。 ∫∫∫
Ω
dxdydzz 2
【解析与点评】以下方法 1 是水木艾迪考生的首选方法。
（方法一）由轮换对称性，
∫∫∫
Ω
dxdydzx2 == ∫∫∫
Ω
dxdydzy2 ∫∫∫
Ω
dxdydzz 2
( ) =++= ∫∫∫
Ω
dxdydzzyx 222
3
1 ρϕρρϕθ ππ ddd sin
3
1 21
0
2
0
2
0
⋅∫∫∫∫∫∫
Ω
dxdydzz 2 π
15
4=
（方法二） ρϕϕρρϕθ ππ ddddxdydzz 221
0
2
0
2
0
2 cossin∫∫∫∫∫∫ =
Ω
πϕϕπ π
15
4
5
1
3
cos2
0
3
=⋅= ∫ d( ) ρρϕϕθ ππ ddd ∫∫∫ −= 10 40 220 coscos
参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》125，《考研数学三十六技》例 18-5，例 18-6，
例 18-7，《微积分通用辅导讲义》例 12.13，12.29。【答案】 π
15
4
（13）若 3 维向量 β,a 满足 ,其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值
为 。
Ta Taβ2=βTa a
( ) ,2 βββββ ⋅== TT aa【解析】由 ，2=βTa 的非零特征值为 2。 Taβ
【点评】本题考查的知识点有：特征值和特征向量的概念。
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本题也可根据矩阵 是秩为 1 的 3 阶矩阵，可知其特征值必为 0，0， ，而 Taβ )( Ttr βα
2)( == βαβα TTtr ，求得答案。【答案】2。
( )pnB , X
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（14）设 为来自二项分布总体mXXX ,,, 21 L 的简单随机样本， 和 分别为样
本均值和样本方差。若
2S
2kSX + 为 的无偏估计量，则2np =k 。
( ) 22 npkSXE =+【解析】由 2kSX + 为 的无偏估计，即2np ，
( ) npXE = ( ) )1(2 pnpSE −= ( ) 21 nppknpnp =−+，所以 由于
即 ，从而 ，【答案】－1。 ( ) ppk =−+ 11 1−=k
【点评】这是一个考查样本均值与样本方差的典型问题，只要记住样本均值是总体均值的无
偏估计以及样本方差是总体方差的无偏估计的结果，很容易获得结论。
三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字
说明、证明过程或演算
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
。
( ) ( ) yyyxyxf ln2, 22 ++=（15）（本题满分 9 分）求二元函数 的极值。
【解析与点评】考点：二元函数的局部极值问题。
( ) ( ) 022, 2 =+=′ yxyxf x ( ) 01ln2, 2 =++=′ yyxyxf y ，
e
yx 1,0 ==驻点为 。
( ) xyf
y
xfyf xyyyxx 4,
12,22 22 =′′+=′′+=′′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=′′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 21,0
122
e
f
e
xx 01,0
=′′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
e
xyf ef
e
yy =′′ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 1,0
则 ， ，
ee
f 11,0 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛( ) 0,0 2 >′′′′−′′>′′ yyxxxyxx ffff ，二元函数存在极小值在驻点，
参见水木艾迪 2009 考研数学模拟试题数 1-19 题、基础班 2009 模拟试题 2-（3）题，还
可参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》106，107，108 等，《考研数学三十六技》
例 16-5，以及《考研数学通用辅导讲义-----微积分》例 11.10，例 11.11，11.20。
( )L,2,11 == + nxy nnxy =（16）（本题满分 9 分）设 为曲线na 与所围成区域的面积，记
求 与 的值。 ,,
1
122
1
1 ∑∑ ∞
=
−
∞
=
==
n
n
n
n aSaS 1S 2S
【解析与点评】考点：定积分求面积，级数求和。级数求和的零部件组合安装法是水木艾迪
强调的重要技巧。
曲线 与 在点nxy = 1＋nxy = 10 == xx 和 处相交，
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( ) ,
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
211
0
1
+−+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−+=−=
+++∫ nnxnxndxxxa nnnnn
2
1
2
1
2
1lim
2
1
1
1
3
1
2
1limlim
11
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−+++−=== ∞→∞→=∞→
∞
=
∑∑ nnnaaS NN
N
n
nNn
n L
LL ++−++−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−== ∑∑
∞
=
∞
=
− 12
1
2
1
3
1
2
1
12
1
2
1
11
122 nnnn
aS
nn
n
( ) ( )( ) LL +−++−=+ −
n
xxxx
n
n 12 1
2
11ln 1=x由 ，令 得
( ) 215
1
4
1
3
1
2
112ln S−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+−−= L ，
2ln12 −=S 。
参见水木艾迪 2009 考研数学模拟试题数 1-16 题、基础班 2009 模拟试题 1-17 题，以
及【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》76，78，例 158-1 等，《考研数学三十六技》
例 9-16，10-8，《考研数学通用辅导讲义-----微积分》例 15.14，例 16.18。
1
34
22
=+ yx
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（17）（本题满分 11 分）椭球面积 是椭圆1s x绕 轴旋转而成，圆锥面积 是
过点 且与椭圆
2s
1
34
22
=+ yx( 0,4 ) x轴旋转而成。 相切的直线绕
（I）求 及 的方程；（II）求 与 之间的立体体积。 1s 2s 1s 2s
1
34
222
=++ zyx【解析】(I) 的方程为1s ，
过点 与( )0,4 1
34
22
=+ yx x的切线为两条，由线绕 轴旋转体的几何意义，只需求一条即可，
切线 1
34
00 =+ yyxx
0
0
4
3
y
xk −=过点 ，斜率为( 0,4 ) ，得到切点为
2
2
1 −= xy
2
3,1 00 ±== yx 2
1−=k 。 ， ，取一条切线
2
22 2
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+ xzy得到 的方程为 2s
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
4
13
2
2
xy2
2
1
1 −= xy（II）记 ，则 ，
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dxxdxxxdxydxyVx ∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−=−=
2
0
24
0
22
0
2
2
4
0
2
1 4
3342
4
1 ππππ
πππ
3
4
4
134
12
1 2
0
3
4
0
23 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= xxxxx
在 [ ]ba,( )xf ( )ba,（18）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 上连续，在
可导，则存在 ( ba,∈ )ξ ( ) ( ) ( )( )abfafbf −′=− ξ 。 使得
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（II）证明：若函数 ( )xf 在 处连续，在0=x ( )( )0,0 >δδ 内可导，且 则
存在，且 。
( ) Axf
x
=′+→0lim ( )0+′f
( ) Af =′+ 0
【解析与点评】
（Ⅰ）过 与 的直线方程为 ))(,( afa ))(,( bfb
)()()()()( ax
ab
afbfafxy −−
−−=
)()()()()()( ax
ab
afbfafxfxF −−
−−−= )()( bFaF =， 则 ； 取辅助函数
ab
afbfxfxF −
−−′=′ )()()()(在 [ 上连续，在 内可导，且])(xF ),( baba, 。
0)( =′ ξF),( ba∈ξ ，即 由罗尔定理，存在 ，使
0)()()( =−
−−′
ab
afbff ξ ))(()()( abfafbf −′=− ξ 。 ，或
),0( δ∈x ，则函数 满足： )(xf（Ⅱ）任取
在闭区间 上连续，开区间（ ）内可导，由拉格朗日中值定理可得： [ x,0 ] ),0( 0x
0
)0()()( −
−=′
x
fxff ξ),,0(),0( δξ ⊂∈∃ x ， 使得
Axf
x
=′•→ )(lim0两边取 时的极限，注意到
+→ 0x ，可得
( ) ( ) ( ) ( ) Af
x
fxff
x
==−
−=′ ++ →→+ ξξ 00 lim0
0lim0
于是 存在，且 。 ( )0+′f ( ) Af =′+ 0
导数定义与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考点，尤其是拉格朗日微分
中值定理本身的证明方法，及其在处理问题中的桥梁功能与逐点控制功能（连锁控制功能）
是我们教学中一再强调的概念与方法，相关例题参见水木艾迪《考研数学通用教材-----微积
分》（清华大学出版社）。
2009 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055\82378805
教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民
水木艾迪 www.etsinghua.org
( )∫∫∑ ++
++=
2
3
222 zyx
zdxdyydzdxxdydzI（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 其中 Σ 是曲面
的外侧。 422 222 =++ zyx
3R【考点】 中复连通域上的 Stokes 定理、Guass 公式。在水木艾迪 2009 点题班上曾强调数
一考生今年要特别注意复连通域上的 Stokes 定理、Guass 公式与 Green 公式，并注意用积分
与的约束条件简化计算。
( )∫∫Σ ++
++=
2
3
222 zyx
zdxdyydzdxxdydzI ，其中 422 222 =++ zyx【解析与点评】
( ) ( ) ( )232222322223222 ,, zyx
zZ
zyx
yY
zyx
xX
++
=
++
=
++
= ，则 记
( )25222
222 2
zyx
xzy
x
X
++
−+=∂
∂ ，
( )25222
222 2
zyx
yzx
y
Y
++
−+=∂
∂
( )25222
222 2
zyx
zyx
z
Z
++
−+=∂
∂， 由轮换对称性， ,
0),,( =∂
∂+∂
∂+∂
∂=
z
Z
y
Y
x
XZYXdiv 。 除原点外，散度
记 ，由复连域上的 Stokes 公式及 Guass 公式，注意到约束条件可得： 1: 2221 =++ zyxS
( ) ( )∫∫∫∫ ++
++=
∑ ++
++
1 2
3
2222
3
222 S zyx
zdxdyydxdzxdydz
zyx
zdxdyydxdzxdydz
ππ 4
3
433
1
=⋅==++= ∫∫∫∫∫
Ω
dVzdxdyydxdzxdydz
S
【水木艾迪考研】可参见《大学数学同步强化 299》129，130 等例题，《考研数学三十六技》
例 20-4（完全相同），例 20-5，例 20-6，以及《考研数学通用辅导讲义微积分》例 14.8，例
14.12，例 14.15，14.31，水木艾迪 2009 考研数学模拟试题数 1-19 题。
（20）（本题满分 11 分）设 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
=
2
1
1
,
240
111
111
1ξA
地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 10
(Ⅰ)求满足 的所有向量13212 , ξξξξ == AA 32 ,ξξ ；
32 ,ξξ 321 ,, ξξξ(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量 线性无关。 ，证明：
12 ξξ =A ， 【解析】（Ⅰ）解方程
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⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ −−
→
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ −−−
→
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−
−−−
0000
2
1
2
110
2
1
2
101
0000
2
1
2
110
1111
2240
1111
1111
。
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛−
=
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
12 kξ ，其中 为任意常数。解方程 ， 132 ξξ =A1k故
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
→
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
0000
0000
2
1011
2044
1022
1022
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
044
022
022
2A ， ，
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
+
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
=
1
0
0
0
1
1
0
0
2
1
323 kkξ ，其中 为任意常数。 32 ,kk故
（Ⅱ）证明：由于
( ) 0
2
11
2
1
2
2
1
2
11
2
100
2
2
1
2
11
2
1
2
1
2
11
11
31
21
31
21
21
≠−=−+−=
−
−
−
=
−
−
−−+−−
kk
kk
kk
kk
kk
kk
。
321 ,, ξξξ 线性无关。 故
【点评】本题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，线性无关
的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。
（21）（本题满分 11 分）设二次型 3231232221321 22)1(),,( xxxxxaaxaxxxxf −+−++=
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 的
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
形为 ，求 a 的值。 2221 yy +f f
【解析】 （Ⅰ） 。
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−=
111
10
10
a
a
a
A
121
10
00
111
10
0
111
10
10
+−−
−
−
=
+−−
−
−−
=
+−−
−
−−
=−
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
AE
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
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( ) )2)(1)((2)()()( 2 +−−−−=−−+−−= aaaaaa λλλλλλ 。
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所以二次型的矩阵 的特征值为A 1,,2 +− aaa 。
（Ⅱ）若规范形为 ，说明有两个特征值为正，一个为 0， 2221 yy +
当 时，三个特征值为 0，2，3，这时，二次型的规范形为 。 2221 yy +2=a
【点评】本题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的规范形，惯性定理等。
（22）（本题满分 11 分）袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取
两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。
{ 01 == ZXP }。②求二维随机变量 ( )YX , 的概率分布。 ①求
【解析】（1）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1
个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以
9
4
3
2)01( 2
1
2 =×=== CZXP 。
⑵X，Y 取值范围为 0，1，2，故
,
3
1
6
)1,0(,
36
1
6
1)0,2(
,
6
1
6
)0,1(,
4
1
6
)0,0(
2
1
3
1
2
1
2
2
2
1
3
1
2
2
2
3
1
3
=××=======
=×====×===
CCCYXPYXP
CCYXPCCYXP
0)2,2(,0)2,1(,
9
1
6
)2,0(
,0)1,2(,
9
1
6
)1,1(
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
=======×===
====×===
YXPYXPCCYXP
YXPCCYXP
X
Y
0 1 2
0
4
1 6
1 36
1
0 1
9
1
3
1
0 0 2
9
1
【点评评注】这是一个放回摸球问题的简单推广，属于古典概型的题目，只要用排列组合的
技巧就可以解决。
（23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 ，其中参数
⎩⎨
⎧ >=
−
.,0
0,
)(
2
其他
，xxe
xf
xλλ
( 0> )λλ 未知， 是来自总体 X 的简单随机样本。 nxxx ,..., 21
λ λ（I） 求参数 的矩估计量；（II）求参数 的最大似然估计量。
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λλ
λ 22
0
2 == −+∞∫ dxexEX x XEX = λ【解析】（1）由 ，令 ，可得总体参数 的矩估计量
X
2ˆ =λ .
（2） 构造似然函数
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>∑⋅⋅== =
−
==
∏∏
.0
0,,,,,......, 1
1
2
11
1
其他，
n
xn
l
l
n
n
l
ln
xxexxfxxL
n
l
l
L
λλλ
当 时，取对数 ∑∑
==
−+=
πλλ
11
lnln2ln
i
i
n
i
i xxnL0,..., 21 >nxxx
020ln
1
=−⇒= ∑
=
n
i
ix
n
d
Ld
λλ ∑∑
==
== n
i
i
n
i
i xn
x
n
11
1
22λ
X
2ˆ =λ 令 ， ，故其最大似然估计量为
【点评】这是一个典型的求矩估计和最大似然估计的题目，有固定的解法步骤。辅导讲义中
有许多这种问题的求解。
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