3.1 解的存在性定理

null§ 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/ § 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/ 内容提要/Constant Abstract/概念和定义存在唯一性定理内容提要/Constant Abstract/§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull本节要求/Requirements/ 掌握逐步逼近方法的基本思想 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull一 、概念与定义/Concept and Definition/1. 一阶方程的初值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (Cauchy problem) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull2. 利普希兹条件 函数称为在矩形域 :…………(3.1.5)关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L>0 使得不等式 对所有都成立。L 称为利普希兹常数。 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull二 、存在唯一性定理 定理1如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件, 则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 定义在区间 , 且满足初始条件这里§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull定理1的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 需要证明五个命题：  命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程  命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列  命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛  命题 4 证明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解  命题 5 证明唯一性§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull定理1的证明命题1 设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6) 的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull证 明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在 上的连续解. § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull反之，如果是 (3.1.6) 的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把 代入(3.1.8)，得到:因此， 是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在也成立。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnullxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 在上有定义、连续，且满足不等式: 证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当 n =1 时,§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。 即 当 n=k 时，在且满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当 n=k+1 时，上有定义，连续。在§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull  即命题２在 n=k＋１时也成立。 由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立。命题３在上是一致收敛的。命题２证毕函数序列考虑级数: 它的部分和为： § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method证明：null为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull现不妨假设对于正整数 n , 不等式 成立， 于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计: § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项， 由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在上一致收敛, 因而序列也在上一致收敛。 命题3证毕§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull则也在又可知 现设上连续，且由(3.1.10) 命题4 是积分方程(3.1.6)的定义于证 明:由利普希兹条件 以及在上一致收敛于 上的连续解。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即 即知序列 在一致收敛.这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于上的连续解。命题4 证毕§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull命题5也是积分方程(3.1.6)的定义于 上的一个连续解, 则证明:若首先证明也是序列的一致收敛极限函数。 为此，从 进行如下的估计 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull现设则有§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull有故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull因此，在上有:是收敛级数的公项, 故时 因而在 上一致收敛于 根据极限的唯一性，即得:命题5证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull例求初值问题 的第三次近似解。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull附 注/Remark/1）如果在 R 上存在且连续, 则 f (x,y) 在R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立。证在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L由中值定理故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull这条件是充分条件，而非必要条件。例1以 R 为半径中心在原点的矩形域但故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。在 R 上存在且有界 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。在 R 上存在且无界 f(x,y) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件。§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在 唯一的充分条件，而非必要条件。例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一不可能有界§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull4) 一阶隐式方程的解的存在唯一性§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且 在 邻域内连续，在以 为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y) 在D 中关于 y 满足Lipschitz条件。由解的存在唯一性定理，的解 y(x) 存在唯一，存在区间中的 h 可足够小。同时，有§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull三 、 近似计算和误差估计 第 n 次近似解第 n 次近似解的误差公式§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull例4方程 定义在矩形域试确定经过点(0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真 正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。解满足解的存在唯一性定理的条件Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Methodnull思考：1、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：