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首页 3.1 解的存在性定理

3.1 解的存在性定理.ppt

3.1 解的存在性定理

沩mi苄乖
2013-11-07 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《3.1 解的存在性定理ppt》,可适用于工程科技领域

§解的存在唯一性定理和逐步逼近法ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod§解的存在唯一性定理和逐步逼近法ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod内容提要ConstantAbstract概念和定义存在唯一性定理内容提要ConstantAbstract§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod本节要求Requirements掌握逐步逼近方法的基本思想深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod一、概念与定义ConceptandDefinition一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod利普希兹条件函数称为在矩形域:…………()关于y满足利普希兹(Lipschitz)条件如果存在常数L>使得不等式对所有都成立。L称为利普希兹常数。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod二、存在唯一性定理定理如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程()存在唯一的连续解定义在区间,且满足初始条件这里§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod定理的证明需要证明五个命题:命题求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程命题构造一个连续的逐步逼近序列命题证明此逐步逼近序列一致收敛命题证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解命题证明唯一性§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod定理的证明命题设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……()的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程()。积分方程()的连续解是微分方程的初值问题的解。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod证明因为是方程()的解故有:两边从积分得到:把()代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod反之如果是()的连续解则有:………()微分之得到:又把代入()得到:因此是方程()定义于上且满足初始条件()的解。命题证毕同理可证在也成立。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod现在取构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethodxyoxxaxayybybxhxh§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod命题对于所有的()中函数在上有定义、连续且满足不等式:证明:(只在正半区间来证明另半区间的证明类似)当n=时,§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod即命题当n=时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数n命题都成立。即当n=k时在且满足不等式在上有定义,连续上有定义连续而当n=k时上有定义连续。在§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod  即命题2在n=k+1时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有n均成立。命题3在上是一致收敛的。命题2证毕函数序列考虑级数:它的部分和为:§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod证明:为此进行如下的估计由逐步逼近序列()有:§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod现不妨假设对于正整数n,不等式成立于是由数学归纳法得到:对于所有的正整数k有如下的估计:§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod由此可知当时()的右端是正项收敛级数的一般项由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数()在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛。命题证毕§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod则也在又可知现设上连续且由()命题是积分方程()的定义于证明:由利普希兹条件以及在上一致收敛于上的连续解。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod因而对()两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛这就是说,是积分方程()的定义于上的连续解。命题证毕§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod命题也是积分方程()的定义于上的一个连续解,则证明:若首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此从进行如下的估计§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod现设则有§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod有故由数学归纳法得知对于所有的正整数n有下面的估计式§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod因此在上有:是收敛级数的公项,故时因而在上一致收敛于根据极限的唯一性即得:命题证毕综合命题即得到存在唯一性定理的证明。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod例求初值问题的第三次近似解。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod附注Remark)如果在R上存在且连续,则f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件反之不成立。证在R上连续则在R上有界记为L由中值定理故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod这条件是充分条件而非必要条件。例以R为半径中心在原点的矩形域但故f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。在R上存在且有界f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件。在R上存在且无界f(x,y)在R上关于y不满足利普希兹条件。§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod)定理中的两个条件是保证CauchyP存在唯一的充分条件而非必要条件。例当连续条件不满足时解也可能存在唯一。f(x,y)在以原点为中心的矩形域中不连续但解存在唯一§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod例当Lipscitz条件不满足时解也可能存在唯一。f(x,y)在(x,)的任何邻域内不满足Lipscitz条件但解存在唯一不可能有界§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod)一阶隐式方程的解的存在唯一性§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod事实上由条件知所确定的隐函数在邻域内存在且连续且在邻域内连续在以为中心的某一闭矩形区域D中有界所以f(x,y)在D中关于y满足Lipschitz条件。由解的存在唯一性定理的解y(x)存在唯一存在区间中的h可足够小。同时有§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod三、近似计算和误差估计第n次近似解第n次近似解的误差公式§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod例方程定义在矩形域试确定经过点(,)的解的存在区间并求在此区间上与真正解的误差不超过的近似解的表达式。解满足解的存在唯一性定理的条件Lipschitz常数取为L=因为§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod§ExistenceUniquenessTheoremProgressiveMethod思考:、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一:

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