附 拉氏变换与拉氏反变换

nullnull补充知识： 拉氏变换及拉氏反变换南昌大学机电学院 主要内容 一 、拉普拉斯变换的定义 二、常用时间函数的拉氏变换 三、拉氏变换的主要运算定理 四、拉普拉斯反变换 五、利用拉氏变换求解常系数微分方程null南昌大学机电学院一 、拉普拉斯变换的定义 1、起因 例如：常系数线性微分方程 null 可见这类微分方程的解无非是一些： 之类的指数函数和正弦函数的组合。其中 时间特征量： α、ω 微分方程的系数有关； 幅 值： A、B、C 初始条件和外部条 件有关。 因此，出现了一种直接根据其系数和初始条 件求解微分方程的方法------拉氏变换法。 南昌大学机电学院null2、 拉普拉斯变换的定义 设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数，且积分 在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可记为： 式中：s =  + jω (复数)，称为复频率或拉氏算子 f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。 南昌大学机电学院null由原函数求象函数的变换称为拉普拉斯变换， 记为： 由象函数求原函数的变换称为拉普拉斯反变换， 记为： 即： 南昌大学机电学院null解释：a)拉氏变换是一种函数线性积分变换，对原 函数f(t)存在相应象函数F(s)与之对应； 例如： 可见拉氏变换可以将高等函数转换为初等函数。 正如对数运算可将运算等级降低一样，如 南昌大学机电学院null b)拉氏变换和拉氏反变换可以利用公式和图表简 化其运算，而不必求上述积分运算。 3、拉氏变换存在定理 若函数f(t)满足下列条件， 1）当t＜0时，f(t)=0； 2）f(t)是连续的或只有有限个极值点，当t→∞时，f(t)不超过某一指数函数，即满足 则下述积分在半平面Re(s)>α上一定存在。 控制工程中常见的一些函数一般都能满足上述条件。南昌大学机电学院null二、常用时间函数的拉氏变换 南昌大学机电学院1、阶跃函数 当R=1时，u(t)称为单位阶跃函数，记为1(t) 则: F[1(t)]=1(s)=1/s 而：null南昌大学机电学院2、指数函数 而： 若：null3、正弦函数 而：南昌大学机电学院null4、余弦函数 而：南昌大学机电学院null5、t的幂函数 而： 南昌大学机电学院null 南昌大学机电学院常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换南昌大学机电学院常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换南昌大学机电学院常用信号的拉氏变换null三、 拉氏变换的主要运算定理1、 线性定理（叠加定理和比例定理）南昌大学机电学院可见拉氏变换是一种线性变换。null2、微分定理南昌大学机电学院null推广：南昌大学机电学院null特别：利用这一定理可将系统微分方程转化为传递函数。 例：利用微分定理求f(t)=cosωt的拉氏变换。 解：南昌大学机电学院null 则： 3、积分定理所以：南昌大学机电学院null证明：南昌大学机电学院null推论：南昌大学机电学院null4、位移定理（复域位移定理）南昌大学机电学院null5、延迟定理（时域位移定理）南昌大学机电学院null对于右边第二式 这一定理表明，时间函数延迟 ，相当于其象函数 乘以时间因子 。 例：求方波信号的拉氏变换。南昌大学机电学院null 由此可得单位脉冲信号的拉氏变换 单位脉冲信号的定义：南昌大学机电学院ｆ（ｔ）　ｔ００ｔnullδ函数是一抽象函数，可视为方波信号当 的 一种极限。 6、初值定理 南昌大学机电学院null证明：由拉氏变换微分定理得： 利用此定理可由信号象函数求信号初值。 例如：南昌大学机电学院null7、终值定理南昌大学机电学院null 利用此定理可求信号的稳态值。 例如：求信号 的稳态值。 南昌大学机电学院拉氏变换的基本性质（1）拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移 频移南昌大学机电学院null四、拉普拉斯反变换1、一般公式 上式可由傅里叶变换推导而得，是由F(s)求f(t)的一般公式，右边积分称为拉氏反演积分，是一种复变函数积分，计算较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时，就是将F(s)展开为部分分式，再利用 拉氏变换表确定其原 函数。南昌大学机电学院null2、由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对F(s)进行部分分式展开象函数的一般形式：南昌大学机电学院null下面分三种情况讨论部分分式展开法： a)只含不相同的极点（一级极点） 所以，在已知极点的情况下，关键是求系数 求系数 的方法： Ⅰ、待定系数法； Ⅱ、利用留数计算规则求解。南昌大学机电学院null利用留数计算规则Ⅰ： 即： 则：南昌大学机电学院null南昌大学机电学院自测 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：12-3#null南昌大学机电学院b)含有共轭极点（一级极点） 设： 为一对共轭极点，其余为不相等极点 则： 其中： 用方法a)求取； 利用方法a)或利用下式求取。 上式是利用上述展开式两边乘以 并令 获得。null南昌大学机电学院null南昌大学机电学院null 利用上式还不能进行拉氏反变换，必须依据拉氏变换公式将上式更改为：南昌大学机电学院21null南昌大学机电学院null南昌大学机电学院null南昌大学机电学院c)含有r重极点（r级极点） 设：含有r重极点　，其余为不同极点，即其中： 运用留数计算法则Ⅱ计算，即null南昌大学机电学院解释：用式 分别乘以部分分式表达式得： null若令 ，则上式右边只剩下 ； 若对上式对s求一次导，并令 ，则上式右边只 剩下 ， 若对上式对s求二次导，并令 ，则上式右边只 剩下 ， 若对上式对s求 次导，并令 ，则上式 右边只剩下 。南昌大学机电学院null解：南昌大学机电学院自测题：null五、利用拉氏变换求解常系数微分方程南昌大学机电学院null南昌大学机电学院null利用拉氏变换求解常系数微分方程方法 1°对微分方程进行拉氏变换，将其转换成拉氏域内输出的象函数的代数方程； 2°将代数方程分解成部分分式的形式，并对其进行拉氏反变换，可得微分方程的时域解。南昌大学机电学院休息一下吧，去做做习题，看以上内容是否已熟记于心。加油哦！南昌大学机电学院休息一下吧，去做做习题，看以上内容是否已熟记于心。加油哦！