nullnull第三讲 导数及其应用null1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．nullnull3．复合函数求导
复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)．
4．函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．null5．函数的单调性与极值的关系
一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝0.
(1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值．
(2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．null6．利用定积分求曲边梯形的面积null 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为________．null【答案】 2x－y－e＋1＝0null【归纳拓展】 求曲线切线方程的步骤是：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．nullnullnull 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．nullnullnullnull【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．null变式训练2 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．nullnullnullnullf′(x)，f(x)随x的变化情况如下
表
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：nullnull【归纳拓展】 利用导数研究函数的极值的一般步骤：
(1)确定定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
时要注意分类讨论根是否在定义域内)
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．null变式训练3 设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，
所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
(2)由题设，g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．nullnullnullnullnullnull【得分技巧】 (1)求a的取值范围，关键转化为f′(x)≥0，从而利用不等关系求a的取值范围．这样可以得2～3分．
(2)第二个得分点是利用f(1)或f(4)求a的值，利用求最值
方法
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求最大值．nullnullnullnullnull(3)函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)·ex，
因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是[11，＋∞)．null本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
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