时间步及质量缩放概念

时间步及质量缩放概念 Ls-dyna显式有限元的时间步及质量缩放概念源于赵海鸥《LS-DYNA动力分析指南》及Dyna手册，张剑整理 QQ：68115431 一．时间步 𝑚𝑢 +c𝑢 + 𝑘𝑢 = 𝑝 𝑡 如上图所示，先考虑简单的单自由度弹簧阻尼系统，根据达朗贝尔动力学原理可得： • 𝑢 为位移 • 𝑢 为速度 • 𝑢 为加速度 • 𝑃 𝑡 为t时刻的外力 (1) 对公式(1)，若为线性方程，可用解析法求解这个常微分方程，若为非线...

Ls-dyna显式有限元的时间步及质量缩放概念源于赵海鸥《LS-DYNA动力分析指南》及Dyna手册，张剑整理 QQ：68115431 一．时间步 𝑚𝑢 +c𝑢 + 𝑘𝑢 = 𝑝 𝑡 如上图所示，先考虑简单的单自由度弹簧阻尼系统，根据达朗贝尔动力学原理可得： • 𝑢 为位移 • 𝑢 为速度 • 𝑢 为加速度 • 𝑃 𝑡 为t时刻的外力 (1) 对公式 (1)，若为线性方程，可用解析法求解这个常微分方程，若为非线性问题，比如K为位移u的函数，则公式(1)改写为: 𝑚𝑢 +c𝑢 + 𝑘 𝑢 𝑢 = 𝑝 𝑡 (2) 此时用解析法一般很难求解，所以应用数值解法来求解，常用的有有限差分法和有限元法。上述公式具有普遍意义，对于有限元法而言，上述运动方程的矩阵形式为： 𝑀𝑈 +C𝑈 + 𝐾𝑈 = 𝑃 𝑡 (3) • 𝑈 为节点位移列阵 • 𝑈 为节点速度列阵 • 𝑈 节点加速度列阵 • 𝑃 𝑡 为t时刻的外力向量列阵 • M为质量矩阵 • C为阻尼矩阵 • K为刚度矩阵求解该运动方程目前有两种方法用的较多，一种是阵型叠加法，一种是逐步积分法，对于复杂问题，一般采用逐步积分法，大体分为增量法，迭代法和混合法。隐式的求解方法一般采用增量迭代法，需要转置刚度矩阵，通过一些列线性逼近(Newto-Raphson)来获得解，对于存在内部接触这样的高度非线性动力学问题，往往无法保证收敛。 Ls-Dyna采用显式中心差分法来进行时间积分，在已知0, ⋯ ⋯, 𝑡𝑛时间步解的情况下，求解 𝑡𝑛+1时间步的解，运动方程为： 𝑀𝑈 𝑡𝑛 =P 𝑡𝑛 − 𝐹 𝑖𝑛𝑡 𝑡𝑛 − H 𝑡𝑛 − C𝑈 𝑡𝑛 (4) • 𝑃 𝑡 为t时刻的外力向量列阵 • 𝐹𝑖𝑛𝑡为内力矢量，为单元内力和接触力之和 • H 𝑡𝑛 为沙漏阻力把质量矩阵移到方程的右边，求得𝑡𝑛时刻的加速度为： 𝑈 𝑡𝑛 =𝑀 −1 P 𝑡𝑛 − 𝐹 𝑖𝑛𝑡 𝑡𝑛 − H 𝑡𝑛 − C𝑈 𝑡𝑛 (5) 𝑡𝑛+1时刻的速度和位移由下面公式求得; 𝑈 𝑡(𝑛+1)/2 =𝑈 𝑡(𝑛−1)/2 + 𝑈 𝑡𝑛 ∆𝑡𝑛 (6) 其中∆𝑡(𝑛+1)/2 = ∆𝑡𝑛+∆𝑡𝑛+1 2 U 𝑡𝑛+1 = U 𝑡𝑛 + 𝑈 𝑡(𝑛+1)/2 ∆𝑡(𝑛+1)/2 (7) 这样可以求得在𝑡𝑛+1时刻的位移，更新𝑡𝑛时刻的系统几何构型，得到 𝑡𝑛+1时刻的系统新的集合构型。由于采用集中质量矩阵M，运动方程的求解是非耦合的，不需要组集成总体刚度矩阵，单采用中心单点积分，因此大大节省存储空间和求解机时。显式中心差分法是有条件稳定的，只有当 ∆𝑡 ≤ ∆𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 = 2 𝜔𝑚𝑎𝑥 (8) 求解才是稳定的，所以显式有限元算法采用很小的时间步来进行计算，一般只对瞬态问题有效。 𝜔𝑚𝑎𝑥 为有限元网格的最大自然角频率针对冲压这个具体问题，时间步用以下方法计算。冲压坯料一般采用壳单元进行计算，针对壳单元，其时间步的计算公式为： ∆𝑡 = 𝐿𝑠 𝑐 𝑐 = 𝐸 𝜌 1 − 𝑣2 (9) (10) 其中，𝐿𝑠为单元特征长度， 𝑐为声音在该材料中的传播速度，公式如下：由以上两公式可知，时间步的大小与单元最小特征长度成正比，与密度开根号成正比。其中𝐸为杨氏模量，𝑣为泊松比以下内容为本文档精华，只向参加Dynaform 培训的朋友开放。

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