2013年北京高考理科数学 - 数学（理科）

学 校 班 级 姓 名 学 号 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .装 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .订 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .线 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2013年北京高考理科数学 数学（理科） （时间 120分钟满分 150分） 审校：好望岛数学 https://www.hwdao.com 日期：2013-06-07 注意事项： 1.本试卷含三个大题，共 20题;答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置 上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效 ; 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出 证明或计算的主要步骤。 得分 评卷人 一. 选择题. 1. 已知集合 A = f�1; 0; 1g，B = f x j �1 6 x < 1 g，则 A \ B =（　）. A. f0g B. f�1; 0g C. f0; 1g D. f�1; 0; 1g 2. 在复平面内，复数 (2 � i)2对应的点位于（　）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. ”' = �”是 ”曲线 y = sin(2x+ ')过坐标原点的 ”（　）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（　）. 数学（理科） 第 1页 (共 6页) ᓔྟ L ��6 � �6 L L�� L!� 䕧ߎ6 㒧ᴳ ৺ 6��� �6�� ᰃ A. 1 B. 2 3 C. 13 21 D. 610 987 5. 函数 f (x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线 y = ex 关于 y轴对 称，则 f (x) =（　）. A. ex+1 B. ex�1 C. e�x+1 D. e�x�1 6. 若双曲线 x 2 a2 � y 2 b2 = 1的离心率为 p3，则其渐近线方程为（　） . A. y = �2x B. y = �p2x C. y = �1 2 x D. y = � p 2 2 x 7. 直线 l过抛物线 C : x2 = 4y的焦点且与 y轴垂直，则 l与 C 所围成的图形的面 积等于（　）. A. 4 3 B. 2 C. 8 3 D. 16 p 2 3 8. 设关于 x; y的不等式组 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>: 2x � y+ 1 > 0; x+ m < 0; y � m > 0 表示的平面区域内存在点 P(x0; y0)满 足 x0 � 2y0 = 2，求得 m的取值范围是（　）. A. � �1; 4 3 � B. � �1; 1 3 � C. � �1;�2 3 � D. � �1;�5 3 � 数学（理科） 第 2页 (共 6页) 得分 评卷人 二. 填空题. 9. 在极坐标系中，点 � 2; � 6 � 到直线 � sin � = 2的距离等于 . 10. 若等比数列 fang满足 a2 + a4 = 20，a3 + a5 = 40，则公比 q = ；前 n 项和 S n = . 11. 如图，AB为圆 O的直径，PA为圆 O的切线，PB与圆 O相交于 D，PA = 3， PD : DB = 9 : 16，则 PD = ，AB = . 𝐴 𝐵 𝑃 𝐷𝑂 12. 将序号分别为 1，2，3，4，5的 5张参观券全部分给 4人，每人至少一张，如 果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 13. 向量 �!a，�!b，�!c 在正方形网格中的位置如图所示，若 �!c = ��!a + ��!b (�; � 2 R)， 则 � � = . 𝑎 𝑏 𝑐 数学（理科） 第 3页 (共 6页) 14. 如图，在棱长为 2的正方体 ABCD � A1B1C1D1中，E为 BC的中点，点 P在线 段 D1E上，点 P到直线 CC1的距离的最小值为 . 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 𝐴1 𝐵1 𝐶1𝐷1 𝐸 𝑃 得分 评卷人 三. 解答题. 15. 在 4ABC中，a = 3，b = 2p6，\B = 2\A. (1) 求 cos A的值； (2) 求 c的值. 16. 下图是某市 3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表 示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1日至 3月 13日中的某一天到达该市，并停留 2天. 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日10日11日12日13日14日 50 100 150 200 250 (日期) 空 气 质 量 指 数 86 25 57 143 220 160 40 217 160 121 158 86 79 37 (1) 求此人到达当日空气重度污染的概率； (2) 设 X是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X的分布列与数学期望； 数学（理科） 第 4页 (共 6页) (3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证 明） 17. 如图，在三棱柱 ABC � A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4的正方形.平面 ABC ? 平面 AA1C1C，AB = 3，BC = 5. (1) 求证：AA1 ?平面 ABC； (2) 求二面角 A1 � BC1 � B1的余弦值； (3) 证明：在线段 BC1存在点 D，使得 AD ? A1B，并求 BDBC1 的值. 18. 设 L为曲线 C : y = ln x x 在点 (1; 0)处的切线. (1) 求 L的方程； (2) 证明：除切点 (1; 0)之外，曲线 C在直线 L的下方 19. 已知 A、B、C是椭圆 W : x 2 4 + y2 = 1上的三个点，O是坐标原点. (1) 当点 B是 W 的右顶点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形的面积； 数学（理科） 第 5页 (共 6页) (2) 当点 B不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理 由. 20. 已知 fang是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n项的最大值记为 An，第 n 项之后各项 an+1; an+2; � � � 的最小值记为 Bn; dn = An � Bn. (1) 若 fang为 2，1，4，3，2，1，4，3 � � �，是一个周期为 4的数列 (即对任意 n 2 N�，an+4 = an)，写出 d1，d2，d3，d4的值； (2) 设 d为非负整数，证明：dn = �d(n = 1; 2; 3 � � � )的充分必要条件为 fang是 公差为 d的等差数列； (3) 证明：若 a1 = 2，dn = 1(n = 1; 2; 3 � � � )，则 fang的项只能是 1或者 2，且 有无穷多项为 1 数学（理科） 第 6页 (共 6页)