25、初一数学竞赛角的认识

上海市尚德实验学校 杨晓 Email:qdyangxiao@hotmail.com 初一数学竞赛系列讲座(13) 角的认识 一、知识要点 具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。 与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。 二、例题精讲 例1． 如图，已知 O 是直线 AC 上一点，OB 是一条射线， OD 平分∠AOD，OE 在∠BOC 内，∠BOE＝ 2 1 ∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC 的度数。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：易得∠EOC＝ 3 2 ∠BOC，而∠BOC +∠AOB＝180°，结合 OD 平分∠AOB，可作∠BOC 平分线，结合∠DOE 可求出∠BOC，从而求∠EOC 的度数 解：作∠BOC 平分线 OF，则 ∠BOF＝∠COF＝ 2 1 ∠BOC ∵ OD 平分∠AOB ∴ ∠AOD＝∠DOB＝ 2 1 ∠AOB 又∵ ∠BOC +∠AOB＝180° ∴ ∠DOB+∠BOF＝90° 即 ∠DOF＝90° ∴ ∠EOF＝∠DOF-∠DOE＝20° 又∵ ∠EOF＝∠BOF-∠BOE 而∠BOF＝ 2 1 ∠BOC，∠BOE＝ 3 1 ∠BOC ∴∠EOF＝ 2 1 ∠BOC- 3 1 ∠BOC＝ 6 1 ∠BOC ∴∠BOC＝6∠EOF＝120° ∴∠EOC＝ 3 2 ∠BOC＝ 3 2 ×120°＝80° 即 ∠EOC＝80° 例2． 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 分析：设该锐角为α，它的余角（90°-α）的补角β应为 180°-（90°-α）＝90°+α，β 与α的差（90°+α）-α＝90° 故选 B A CO B D E F 上海市尚德实验学校 杨晓 Email:qdyangxiao@hotmail.com 例3． 已知∠α的余角是∠β的补角的 5 1 ，∠β＞110°，求∠α的范围。 分析：显然∠α是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出∠α与∠β的关系，再由∠β的范 围，可求出∠α的范围。 解：∠α的余角为 90°-α，∠β的补角为 180°-β 由题意，得 90°-α＝ 5 1 （180°-β） ∴ β＝5α-270° ∵ ∠β＞110° ∴ 5α-270°＞110° ∴ α＞76° 又由条件知∠α为锐角 ∴ α＜90° 故∠α的范围是 76°＜α＜90° 评注：本例把∠α转化到∠β进而求出∠α的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略α ＜90°这一条件。 例4． 当时间是 2 点 32 分时，时针与分针的夹角是多少度？ 解：时针每小时转 1 大格，即 30°，所以每分针转 0.5°，而分针每分转 6°，当时针指 向整点时，分针指向 12 点。因此，我们以指向 12 点作为角的始边，在 2 点 32 分时，时 针与 12 点构成的角度是 2×30°+32×0.5°＝76°分针与 12 点构成的角度是 32×6°＝ 192°，从而，2 点 32 分时，时针与分针的夹角是 192°-76°＝116° 评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于 180°时，则需用 360°减去这个角，例 如：2 点 50 分时，按上述方法求得的角是 50×6°-(2×30°+50×0.5°) =300°-85°=215°＞180° 则时针与分针的夹角为 360°-215°＝145° （2）对于确定的时间，例如 x 点 y 分时，试写出用 x、y 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示时针与分针的夹角的表达式。 例5． 如图射线 OA 表示北偏东 60°，射线 OB 表示东南 方向，∠BOC 是∠AOB 的余角，射线 OD 是射线 OC 的反向延长线，写出射线 OD 所表示的方向。 解：∠AOB=30°+45°=75° ∠AOB 的余角∠BOC=90°-75°=15° ∴OC 表示南偏东 30°，OC 的反向延长线 OD 所表示 方向是北偏西 30° 评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线 OC 就有在∠AOB 外部和内部两种不同 位置，求 OD 的方向也就需要分两种情况求解。 例6． 如图，OA1，OA2，…，OA10 是以 O 为端点的十条射线，∠A1OA10＜90°，则图 中以 O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？ 西 东 北 南 O A BC D 上海市尚德实验学校 杨晓 Email:qdyangxiao@hotmail.com A1o A2 A10 解法一：以 O 为端点，以十条射线 OA1，OA2，…，OA10 的任意两条为边组成的角，取决 于从十条射线 OA1，OA2，…，OA10 中选出两条配成的对数。 共有 9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45 对， 所以图中以 O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有 45 个。 评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不 漏，因此，必须按照一定的规律去数。 解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交 OA1， OA2，…，OA10 于 A1，A2，…，A10，则每一个角对应于 A1 A10 上的某一条线段。反过来，A1 A10 上的每一条线段又对应于某一 个角，如∠A4OA6，它对应线段 A4A6，而线段 A4A6 恰好对应线段 于∠A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数 A1 A10 上的线段 数即可， 而 A1 A10 上的线段数有 9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45 条 因此，图中共有 45 个角 例7． 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。 证明：如图，AB、CD 相交于 O，则∠AOC 与∠BOD 成对顶角。设 OE、OF 分别为∠AOC、 ∠BOD 的平分线， ∵ ∠AOE= 2 1 ∠AOC ∠BOF= 2 1 ∠BOD 且 ∠AOC=∠BOD ∴ ∠AOE=∠BOF 又∵ ∠BOF+∠FOD+∠DOA=180° ∴ ∠AOE+∠FOD+∠DOA=180° 即 ∠EOF=180° ∴ OE、OF 在同一直线上。 评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题 例8． 已知：直角∠AOB，以点 O 为端点在∠AOB 的内部画出 1995 条射线，以 OA、OB 及这些射线为边的锐角的个数是多少？ 解：设以 O 为端点在∠AOB 的内部画出的 1995 条射线逆时针方向分别为射线 OP1，OP2， OP3…，OP1995 则以 OA 为始边，逆时针方向旋转，形成 1995 个锐角（终边分别为射线 OP1，OP2，OP3…， OP1995） 以 OP1 为始边，逆时针方向旋转，形成 1995 个锐角（终边分别为射线 OP2，OP3，…，OP1995， OB） 以 OP2 为始边，逆时针方向旋转，形成 1994 个锐角（终边分别为射线 OP3，OP4，…，OP1995， OB） O A10 A 4 A1 A6 A BC D E FO 上海市尚德实验学校 杨晓 Email:qdyangxiao@hotmail.com …… 以 OP1995 为始边，逆时针方向旋转，形成 1 个锐角（终边为射线 OB） ∴ 共有 1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个） 三、巩固练习 选择题 1、两个角 β,a 的补角互余，则这两个角的和 β+a 的大小是 A.180° B.135° C. 270° D.90° 2、如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线 OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC＝80°，则∠MON 为 （ ） A．30° B．40° C．45° D．50° 3、已知一个直角∠ ,AOB 以O为端点在∠ ,AOB 的内部画 10 条 射线，以 OBOA, 以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。 （A）110 （B）132 （C）66 （D）65 4、O 是直线 AB 上的一点，∠AOD＝120°，CO⊥AB 于 O ，OE 是∠BOD 的平分线，则图中彼此互补的角共有（ ） A．4 对 B．5 对 C．6 对 D．7 对 5、一张长方形的纸 ,ABCD 如图将C角折起到E处，作∠EFB 的 平分线HF，则∠HFG的大小是（ ） （A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定 6、当时间是 3 点 40 分时，时针与分针的夹角度数是（ ） A．110° B．130° C．120° D．150° 第 5题 填空题 7．已知角 a的补角等于角 a的 3.5 倍，则角 a等于＿＿度。 8．如图， AOE是一条直线， COEAOC ∠>∠ ，OB、OD 分别 是 COEAOC ∠∠ 、 角平分线则图中的钝角共有＿＿个。 9．不相等的两角 a和 β 的两边分别平行，其中 a角比 β 角的 3 倍少 20 0，则 a的大小是＿＿＿。 第 8 题 10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东 30°，那么，从灯塔看，船的方向在 。 11、O 为平面上一点，过 O 在这个平面上引 2001 条不同的直线 l1， l2，l3，…，12001，则可形成 对以 O 为顶点的对顶角。 12、图中三角形的个数是 。 解答题 13、一个角的余角的 2 倍和它的补角的 2 1 互为补角，求这个角的度数。 (第 12 题) 14、如图所示的五角星形中 共可数出多少个三角形。 A B O M C N 第2题 BO C D E 第4题 上海市尚德实验学校 杨晓 Email:qdyangxiao@hotmail.com 15、ΔABC 是锐角三角形，D、E、F 分别为 BC、AC、AB 上的点，连 DE、EF、DF，图 中大于 0°小于 180°的角有多少个？ 第 15 题 16、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值。 17、如图，BE、DE 是∠ABC、∠ADC 的角平分线 求证：∠E= 2 1 (∠A+∠C) 18、某人下午 6 点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是 110°，近 7 点钟返回 时，发现时针与分针的夹角又是 110°，则此人外出共用了多少时间？ 19、证明：一个锐角一半的余角的 2 倍，减去这个锐角 2 倍角的补角，仍等于原角。 20、已知∠AOB 是 120°，以 O 为端点在 OA 与 OB 之间作射线使它们与 OA、OB 之间形 成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？ A B C D E F 第17题 A B CD E F A B C D EF 第16题