习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
3－1
[解]一维非稳态导热的Dufort-Frankel格式的截断误差为：
3-1-1
将
，
在点
处进行Taylor展开，有：
3-1-2
3-1-3
3-1-4
3-1-5
式（3-1-1）在Dufort-Frankel格式下，可以写成：
3-1-6
将式（3-1-2）、式（3-1-3）、式（3-1-4）、式（3-1-5）代入式（3-1-6），整理得到：
3-1-7
式（3-1-7）即为Dufort-Frankel格式的截断误差。
由相容性定义：当时间、空间的网格步长趋近于零时，离散方程的截差趋于零。
所以要使式（3-1-7）满足相容性，必须有
，即空间步长在数值上要远大于时间步长。
习题3－3
[解]先将
用
代替，再将
代入到该差分公式中，有：
3-3-1
经整理得到：
3-3-2
由稳定性条件：
3-3-3
对于任意复数，它的模要大于等于该复数实部的绝对值。从而，式（3-3-3）可以转变为：
3-3-4
要使不等式（3-3-4）对于任何可能的
，
值下均成立，则应该使
，
取最小及最大值时，不等式也成立；取最小值时成立是显然的，取最大值时成立得：
从而得到该格式的稳定性条件：
3-3-5
习题3－4
[解]
方向上采用向前差分，有
3-4-1
方向上采用中心差分的显式格式，有
3-4-2
将式（3-4-1）、式（3-4-2）代入微分方程中，可以得到：
3-4-3
式（3-4-3）即为用显式离散格式。
采用von-Neumann 方法分析该格式的稳定性条件。由格式稳定性条件
3-4-4
将
代入式（3-4-3）中，可以得到：
3-4-5
将式（3-4-5）进行整理即得。
习题3－9
[解]扩散项的中心差分格式可以写成：
3-9-1
在图3-9所示的均匀网格系统中，任意取出一段有限区间来分析。
相应于对式（3-9-1）在
的积分，有：
3-9-2
式（3-9-2）表明区间积分等于左端导入减去右端导出，因此扩散项的中心差分格式具有守恒性。
习题3－10
[解] 将二阶迎风格式应用于一维非稳态纯对流方程的非守恒形式：
有：
3-10-1
采用离散扰动分析法，对于节点
在
时层有：
3-10-2
其中
，所以
3-10-3
而在节点
处，有：
3-10-4
因为
，于是有
。
可见
点的扰动仅仅向运动的方向传递，故此离散格式具有迁移特性。
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浙公网安备 33021202002483