分形理论及其在林业科学中的应用_高峻

分形理论及其在林业科学中的应用* 高　峻　张劲松　孟平 (中国林业科学研究院林业研究所, 北京 100091) 摘要　概述了分形理论, 并综述了该理论在森林土壤、森林气象、森林火灾、植被景观格局、树木结构、木材科学 及工艺、林业遥感图像中的纹理分析等方面的应用现状。 关键词　分形理论　林业科学 Fractal Theory and Its Applications in Forestry Gao Jun　Zhang Jinsong　Meng Ping ( Resear ch Institute of For estry , CAF , Beijing 100091, China) Abstract　T he basic concept of f ractal theo ry was described. The author s review ed and analy zed the applicat ions of f ractal theory in forest systemat ically , such as the research on so il performances, the research on eco logy , the st ructur e o f t ree, the forest f ire, the applicat ion in w ood science and technolo gy , the analysis of t ree dynamic process, the tex ture analy sis of forest remote sensing image and the meteorolo gy of forest ry . Key words : f ractal theory, forest ry science� 　　分形理论( Fr actal Theory )是 20 世纪 70 年 代由法国数学家 Mandelbrot [ 1]提出的,用以定量 表达自然界中传统欧式几何学不能描述的复杂而 有规则的几何现象,揭示了非线性系统中有序和 无序的统一、确定性和随机性的统一问题, 为人们 认识和分析复杂性问题提供了有力的武器。分形 理论经过几十年的发展, 现已被广泛应用于生物 学、物理学、化学、气象学、地质学、计算机图形学、 材料学、经济学等自然科学和社会科学研究中, 成 为当今国际上许多学科的前沿研究领域之一。 1　分形理论概述 分形 ( f ractal ) 概念 是法国数 学家 B B M andelbrot 于 20 世纪 70 年代中期在其著作 “Fractals: Form , Chance and Dimensions”中提出 的。对于什么是分形, M andelbrot 给其下的原始 数学定义较为简单, 即“分形是其豪斯道夫维数 ( Hausdorf f dimension, Df )严格大于拓扑维数 ( Dt )的集, 即 Df> Dt”。后来经众多研究者的修 正,给出了分形较为全面而恰当的定义,该定义认 为分形是具有下列性质的集: ( 1)具有精细结构, 即在任意小的比例尺下, 都可呈现出更加精致的 细节; ( 2)其不规则性在整体和局部均不能用传统 的几何语言加以描述; ( 3)具有某种自相似的形 式,但不是完全数学意义上的自相似性,而是统计 的自相似性,或是近似的自相似性; ( 4)一般 Df> Dt , 即豪斯道夫维数严格大于拓扑维数; ( 5)该集 常可由极简单的方法来定义, 可能由迭代产生; ( 6)其大小不能用通常的测度(例如面积、长度、体 积等)来量度。 一般而言,分形结构有 2个明显的特征[ 1] : 一 是自相似性 ( self similarity) ,即重复放大分形的 细部(分形元)又可看到本身相似结构的再度出 现,并且这种出现过程具有随机性,只有大小的区 别,而没有形状的不同, 亦即标度不变性;二是缺 乏平滑性 ( no smoothing ) , 分形总是凹凹凸凸, 弯弯曲曲,到处都不连续,亦不可微分。 分形的特点由分形维数(又称分数维或分维) 来描述。维数是几何学和空间理论的基本概念, 我 们熟悉的是欧氏空间的经验维数, 或者说是拓扑 维数, 用 d来表示, 如欧氏的点 d= 0,曲线的 d= 1, 平面和曲面的 d= 2,球和其他几何体的 d= 3。 这种维数的特点是, 若用 n 维的测量单元 1去测 量某个 d 维几何形状时, 只有 n= d,测量结果才 第 17 卷　第 6 期 2004 年 12 月 　　　　　　　　　　　　　世　界　林　业　研　究Wor ld Fo restr y Research 　　　　　　　　　　　Vol. 17　No . 6Dec. 2004 　 � 由国家自然基金项目( 30471371)支持。收稿日期: 2003- 11- 03 是有限值,若 n< d, 测量值为∝;若 n> d,则测量 值为 0。这样测得的维数是整数维。分形的特点也 是由维数来描述, 但一般而言,分维不是一个整 数,而是个分数,分维可能是整数, 这时它与欧氏 空间维数等价。关于分维的具体测算,根据分形基 本概念, 如果具有大于 r 的特征尺度的客体数目 N ( r)满足关系式: N ( r)∝ro 则定义了一个分形集 合。式中 D为客体的分维。根据不同的研究目的, 可将 r 定义为时间、长度、距离、能量等。根据测 算,自然界中大量的现象都是非整数维的, 整数维 只是其中的特殊现象, 例如山地表面,其分维介于 2. 1～2. 9;山峰的轮廓线、湖岸线、海岸线等线型 分形,分维介于 1～2。 2　分形理论在林业科学中的应用 2. 1　森林土壤 土壤系统具有高度的非线性性和动态性特 征,是已知的最为复杂的系统之一。分形理论作为 一门新兴的非线性科学, 应用于土壤学科已有十 几年的历史。现在已可以用分形维数定量描述土 壤结构、土壤水力学特性等过去只能定性描述的 性质, 如颗粒表面积、颗粒直径的分布、土壤空隙 结构、孔径大小分布、土壤中植物的根系分布、土 壤胶体表面吸附变化特性等。同时,分形理论可提 供定量描述从小尺度到大尺度情形下的空间变异 性的方法,因而可用于建立更通用的具有空间变 异性的土壤物质运移过程模型,适用各种尺度的 预测。目前,国内外已有众多研究者应用分形理论 对农田土壤性质进行深入的分析, 取得了颇有意 义的研究结果, 主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 涉及: 土壤结构[ 2～8]、土 壤水力学性质[ 9～15]、土壤特性的空间变异性 [ 16, 17] 等因子的分形特征。 有关森林生态系统土壤分形特征的研究工作 始于 20世纪 90年代, 起步相对较晚,但取得了重 要的进展。如:梁士楚等 [ 18]应用分形理论分析了 英罗港红树林土壤粒径分布的分形特征,结果表 明,红树林土壤的分形维数为 2. 6837～2. 8834, 不同质地土壤的分形维数呈现砂壤土< 轻壤土< 中壤土< 重壤土< 轻粘土的规律, 外滩红树林土 壤的分形维数低于中滩和内滩,土壤分形维数与 其盐分和有机质含量呈显著正相关;何东进等 [ 19] 运用分形理论对杉木纯林、毛竹纯林、杉木毛竹混 交林的土壤团粒结构进行了研究, 建立了土壤团 粒结构的分形维数与土壤团粒聚体含量、土壤结 构体破坏率之间的回归模型,并运用了弹性分析 和边际分析法进一步探讨了土壤团粒结构的分形 维数对土壤性质变化所产生的影响效应,为科学 施肥提供了重要的理论依据;刘金福等 [ 20]运用分 形模型对不同起源格氏栲林分表层土壤团粒结构 进行研究,探讨了分形维数与土壤肥力的关系, 为 不同起源格氏栲林分表层土壤肥力特征描述提供 新尺度、新方法。 2. 2　森林气象 气候变化一直是各国气候学家和政府极关注 的一个重要问题,因为它直接影响人类的生存环 境及经济与社会的发展。气候变化对森林的影响 是当今世界生态学和森林学研究的热点领域之 一。有关森林气象学及边界层气象学的研究十分 引人注目。要研究在不同时空尺度下形成的要素 场的综合效应并非易事。以前的研究多立足于人 工观测或风洞模拟或理论模拟分析, 不仅人力物 力消耗比较大,而且观测数据的连续性相对较差, 风洞模拟数据与实际数据的相似性也仍然是一个 没有定论的问题,理论模拟分析结果则需要实测 数据来验证。同时,这些研究大多把随时间的变化 假定为一些确定性的函数, 或者将它们以一定时 间内的平均值作为边界条件输入模型,即假定为 平稳时间系列过程。从动态意义上来说,要研究系 统内的各处能量随时空的变化规律, 以及“涨落” 的幅度, 用这些简化了的模型难以真实地描 述 [ 21]。而通过研究气候时空分布的分形特征, 可 以使我们进一步认识一个地区气候变化内在的规 律性和制约机制。这在预测该地区未来气候的演 变趋势等方面,具有重要的指导意义。近年来, 人 们已提出了几种描写湍流风速的分形模型。这些 模型利用分形的概念生成一个时间序列,用以近 似代替实际的风速时间序列,并应用于理论和工 程实践中,取得了较好的效果[ 22～24]。 2. 3　森林火灾 2. 3. 1　林火初期蔓延 林火蔓延是林火行为的重要内容之一。人们 对它的研究越来越深入, 从计算机数值仿真技术 到渗流理论的应用。在林火蔓延的近似计算方面, 人们常采用的是椭圆法、双椭圆法和抛物线法, 但 是这些方法中的形状与实际林火蔓延偏离较大。 参差不齐的线具有连续不可微的特点,在分形理 论中,分形曲线正好也是连续不可微的,因此分形 曲线与火场边界更具有相似性。蒋礼等[ 25]为林火 12　　　　　　　　　　　　　　　　　　世　界　林　业　研　究　　　　　　　　　　　　　　　　　第 17 卷 蔓延建立了模型, 该模型是以三角形、菱形为源多 边形,用 koch 曲线围成的分形闭合的面积代替 火场面积,源多边形的面积取决于林火火头蔓延 的速度、时间、风力等因素。因此,可以根据不同的 火场形状选取适当的源多边形,再根据不同的火 场边界采用不同分数维的分形曲线进行操作, 适 用面广,应用方便,计算结果误差小。林火是涉及 面很广而又十分复杂的自然现象,在越混乱、越无 规律、越复杂的领域,分形理论越有效。 2. 3. 2　林火扩展 森林火场扩展取决于燃烧物特性和气象气候 因子以及地形的作用, 森林可燃物本身(表面积) 无特征尺度, 而林火的扩展过程具有自复制性, 这 两者使火场扩展具有自相似性,因而火行为可用 分形几何进行描述。朱启疆等[ 26]以大兴安岭林区 五岔沟林火作为试验区,应用分形理论,结合火场 能量平衡的半经验模型与地面温度场的物理模 型,在低分辨率的 NOAA- AVHRR图像上发现 火场, 在相应高分辨率的 TM 图像上进行火场扩 展模拟,在遥感和地理信息系统的支持下, 采用描 述生长现象的有限扩展集聚( DLA)方法来模拟, 为火场扩展提供实用描述工具。 2. 3. 3　火灾火场周长 森林火灾的周长, 具有奇形怪状和边界参差 不齐的特点, 以往所采用的椭圆、双椭圆法以及多 边形估算火场的周长最突出的不足之处是用光滑 的曲线代替参差不齐的火场边界, 不可避免地会 带来较大的误差,不能如实地反映火势蔓延和火 场边界的真实情况。如果应用分形理论中的分形 曲线来描述参差不齐的火场边界, 则其相似性较 一般曲线要高。蒋礼等[ 27]曾用分形模型研究火场 周长的蔓延问题, 取得了令人满意的结果。 2. 4　植被格局 目前分形理论在植被格局研究中的应用已经 相当广泛,从植物的分枝、植冠、种群、群落、到景 观各个层次的空间格局均已有不同程度的研究, 植被格局的分形特征已在研究中初步得到证 实[ 28～32]。有些研究已将空间格局与生态过程和功 能研究紧密结合。通过分形方法研究植被格局, 可 以比较深刻地认识植被作为一个分形体的自相似 特点。由于自相似性意味着大尺度结构是小尺度 的放大形式, 因此,小尺度结构可以被看作分形基 元。为应用分形方法来生成、复制、调控植被格局 提供了新途径。但是, 同时存在的事实是, 环境变 化相对于植物个体间相互作用距离来说可以认为 是长程的。大尺度环境变化对小尺度个体间相互 作用的影响微弱, 可以忽略。环境的异质性只在更 大尺度影响植物个体分布, 因此,可以认为个体间 直接相互作用发生在同质环境的基质上。由于植 物个体间小尺度相互作用, 在不同尺度、不同等级 环境异质性约束下多次发生临界自组织,最终形 成植被的空间格局。这样一个尺度依赖自组织行 为的存在,导致植被格局在各个自组织层次之间 存在着结构关联。高级层次上的格局由低级层次 上的格局通过自组织, 在环境异质性约束下镶嵌 而成,它在机制上显示出分形体的自相似性特征。 马建华等[ 33]运用盒子计数法分别计算了河南省 洛宁县森林覆被类型及区域所有森林覆被空间分 布的分维值。结果表明, 森林覆被是一类随机分 形,具有统计自相似性,分维值能有效地表征森林 覆被及其变化空间结构信息的特征, 分维值的大 小与森林面积、斑块数量和平均斑块面积等项指 标没有直接关系, 而是三者有机结合的综合表现。 2. 5　树木结构 从 19世纪中期开始,植物学家就开始探索植 物形态结构中的数学规律。20世纪 50年代以后, 更多的数学家和植物学家致力于用数学的方法来 研究植物的生长和形态结构,但由于所用数学方 法大多属于对植物整体及各器官的解析或统计描 述,难以反映植物形态结构在整个生长过程中的 特点,因而具有局限性 [ 34～36] 2. 5. 1　树木根系结构 生长在土壤环境中的根系是一个典型的分形 结构[ 36]。因此,分形理论及方法就成为根系结构 研究上最有效的手段, 这不仅体现在分维数是根 系长度、体积、重量定量分析的基础, 而且还体现 在分形几何为根系形态的描述提供了许多有意义 的概念和参数。廖成章等[ 37]在研究马尾松根系结 构与分形维数的关系时发现,根系结构径级含量 分布的分形维数不仅能够表征根系结构特征, 而 且还能反映植物的生长状况,根系结构的各径级 含量对根系径级含量分布的分形特征影响很大, 同时单一根系径级含量的集中程度对分形维数的 数值也会产生重要影响。即分形维数越低,表明植 物细根含量越低,表征着植物主根发达程度越高 的特性,胸径、树高也大;分形维数越高,表明植物 细根含量越高, 表征着植物主根发达程度越低的 特性。谢春华等[ 38]根据树木根系的数码照片, 采 13第 6 期　　　　　　　　　　高　峻　张劲松　孟　平:分形理论及其在林业科学中的应用　　　　　　　　　　　 用计盒维数方法, 计算并比较了高山柳 ( Sal ix sp. )、冬瓜杨( Populusp ur domii )、峨眉冷杉( Abies f abr i)的分形结构特征。结果表明:根系分形维数 越大,根系结构越复杂,且具有多层次细微分枝结 构;分形维数越小,分枝结构越简单。对上述 3种 树木根系结构与稳定土体能力的研究表明, 根系 分形维数与抗拉阻力的对数呈比较稳定的指数函 数关系,说明树木根系的分形维数能够很好地揭 示根系的结构特征与发育动态。因此,植物根结构 的分形维数不失为一个反映植物根系生长状况的 理想的指标, 这在生产经营和科研上有一定的应 用价值。且植物根系各径级含量、植株的胸径、树 高等与分形维数有着明显对应关系, 所以分形理 论作为一种研究和处理植物根系结构的理论工具 具有重要意义。 2. 5. 2　冠层结构特征的描述 在树木生长、人工林经营管理过程中, 冠层结 构特征对木材生长量和质量有直接的影响, 因此 对其研究对 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 树木生长和生产力具有重要意 义。树木冠层是结构非常复杂的分形体,很难用经 典的传统几何进行准确的描述和定量分析, 因此 可以用分形几何来进行描述,这不仅可以定量分 析树木的年轮宽度与冠形变化、与总叶面积之间、 与分枝间的相互关系, 而且还能提供描述树冠形 态许多有意义的概念和参数。Zeide 等 [ 39]应用表 面积/体积法对树冠的研究表明,分形维数是叶片 对树冠填充程度的表征,同时,他还研究了不同种 类的树冠结构,得到了差异明显的分形维数,说明 不同树种具有不同生长对策。毕晓丽等[ 40]对黄山 松林不同树种树冠分形特征的研究表明,冠幅分 形维数大,则种间竞争小;冠幅分形维数小, 其种 内竞争激烈。梁士楚[ 41]等通过分析红树林木榄种 群植冠层结构的分形特征表明,分形维数值能揭 示分枝结构的复杂程度以及占据生态空间和利用 生态空间的能力,为了解木榄的光能利用效率和 掌握它的生长发育过程提供了一个有用的指标。 随着种群个体年龄的增长, 树冠被叶片填充的程 度及其分形维数均出现了由高到低的动态变化特 征。由植冠层的灰度图分析得出的计盒维数表明, 种群植冠层计盒维数越大, 种群植冠层的空间结 构越松散,透光的空斑块越多。计盒维数有效地揭 示了种群植冠层包含于图像中的结构信息及其复 杂性。 2. 6　木材科学与工艺学 分形理论在木材方面的应用研究始于 20 世 纪 90年代[ 42～44] , 主要是对木材表面和水进入木 材过程的分析。 2. 6. 1　木质部的形成 在人工用材林的定向培育中, 木质部细胞的 形成质量和数量指标一直是很重要的研究内容。 季节变化、林木本身异常性的不同以及环境因子 变化等因素均影响形成层细胞的分裂过程和木质 部细胞的形成过程,若将形成层细胞分裂的时间 序列和木质部细胞形成的时间序列看作分形体, 运用分形理论定量分析, 能够更好地揭示细胞在 变化过程中的内在规律, 更好地解释细胞复杂的 生长现象。目前还未见有关这方面的报道,但医学 上细胞的生长和发育用分形研究较多 [ 45]。 2. 6. 2　木材物理性质分析 木材是由胞间层、胞腔和胞壁纹孔等构成的 多孔物质,木材中的空隙度是木材学研究中的一 项重要指标,空隙度与木材密度、木材吸湿性、木 材传热性、木材传音性、木材耐处理性以及木材的 机械强度等都密切相关。Jose和 Redinz[ 46]利用水 浸泡法在相同的气压下测定 4种树的空隙度以及 不同气压下测定同一树种的空隙度, 结果表明, 分 维数可作为木材空隙度的一个相关参数,对木材 的水分吸收分析, 收到了很好的效果。另外,可以 根据频谱求维数的方法对木材密度、电学性质和 声学性质进行研究。通过对时空随机变量的观测, 将这些连续变化值看作频谱,把频谱图形输入计 算机,利用图像处理系统进行图像处理,可以得到 图像的维数。在木材的弹性、应力、强度、导热性、 导温性、聚集态的物理性质、多孔性以及材性、木 材表面花纹图像等也可以用分形理论进行定量的 研究。 2. 6. 3　木材力学行为的研究 木材和木质材料内部裂纹的产生、发展以及 对木材性质的影响一直是比较复杂的研究内容, 如何对产生的形象加以解释和进行有效控制, 目 前还没有理想的研究手段, 如果引入分形理论, 进 行双对数关系图分形分析, 可能会有新的突破。木 材断裂力学的研究,国内外运用传统的断裂实验 方法居多,但普遍结论是规律不明显或找不到规 律,定量分析也有很大难度。Mandelbrot 认为, 断 裂表面具有分形结构性。有研究进一步表明,分形 概念应用于断口定量分析, 可以导出断口表面分 维数和材料断裂韧性之间的定量关系,还可运用 14　　　　　　　　　　　　　　　　　　世　界　林　业　研　究　　　　　　　　　　　　　　　　　第 17 卷 断口面积和断口周长之间关系测定断口的分形维 数,对断口的断裂程度进行定量分析。在非木质材 料上的分形研究内容越来越多, 而木材断裂分形、 粗糙表面的分形接触等研究还未见报道[ 45]。 2. 7　植物形态的模拟 要成功地模拟植物的形态结构及其动态变 化,所用的数学工具必须满足植物形态结构的几 个特点: ( 1)遗传的确定性; ( 2)外界条件的塑性影 响; ( 3)一定程度上的随机性等。分形理论基本上 可满足上述特点。分形模拟的方法很多,主要有迭 代函数系统( Iterated Funct ion system , IFS) , L- 系 统 和 DLA 模 型 ( Dif fussion - Limited Agg regat ion)等。分形理论的创立为植物形态的 定量模拟提供了有力的手段,通过分形模拟建立 植物的动态形态库,使植物分类学真正做到定量 化、系统化; 而对于植物系统学,分形模拟中特定 形态的对应码对植物进化的研究有重要意义; 结 合遗传学、分子生物学及基因 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 等的研究成果, 就可以通过计算机来模拟植物的生长过程, 并通 过这种模拟结果来指导育种,从而大大缩短传统 育种方法的研究周期。 2. 8　林业遥感图像的纹理分析 在现代森林资源调查中, 遥感图像是空间数 据源, 它包括森林全貌和森林分布状况等各种信 息, 如树种组成、树高、树冠覆盖率和材积等指 标[ 47 ]。通过对图像的增强处理、特征提取、模式识 别等,使遥感图像再现整体森林的空间分布。遥感 图像是三维空间在二维表面的投影, 其形成的二 维影像的灰度表面也是分形布朗面, 且分维数等 于空间三维法向法量。这一结论的意义在于,影像 的分形性可以反映真实表面的分形性。因此提出 了应用多光谱图像数据的纹理分析方法。由于地 学自然分形是随机的, 其自相似性的层次是有限 的,因此在自然分形算法中多属于分维估算法。对 遥感图像的分维最常用的算法主要有以下几种: 基于尺度变换求分维的方法;利用测度关系求分 维的方法;用密度相关函数求分维的方法; 利用光 谱密度求分维的方法; 基于表面积与体积的分形 关系求分维的方法;用分布函数求分维的方法; 用 表征图像灰度曲面和自然形状的代表性模式—— Fr actalBrown 函数来计算分维值。 3　结束语 随着科学技术在近现代的蓬勃发展,新思维、 新理念、新发现推动着新兴学科、交叉学科不断涌 现。许多传统学科一方面派生出新的分支学科, 另 一方面又在与其它学科的融合中形成新的综合性 学科。分形理论作为一种崭新的研究手段正渗透 到各个学科领域,应用于不同学科中的各个复杂 系统, 它不仅可以解决用传统方法无法或很难解 决的许多问题,而且可以探索新的规律。分形理论 已开始在林业中应用, 并解释了很多现象,也解决 了一些问题。但是从总体上看,无论是在深度或广 度上都还不够。某些领域还只是侧重于分形维数 的计算,基本上仅涉及到问题的几何方面,问题的 其它方面的分析和计算往往在单独阶段进行。所 以,分形理论在林业科学中的应用道路还很长, 我 们应在现有的研究基础上向着更高层次的方向发 展。 参 考 文 献 1　Mandelbrot B B. 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