网壳结构的屈曲分析研究_二_壳体屈曲和缺损的非线性分析

第12 卷第2 期 2006 年6 月 空　间　结　构 SPA T IAL STRU CTU R ES V o l. 12 N o. 2 Jun. 2006 收稿日期: 2005207208. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (50278086) Λ 作者简介: 杨联萍 (1960—) , 女, 上海人, 教授级高级工程师, 主要从事空间结构研究和 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 Λ 网壳结构的屈曲分析研究 (二) : 壳体屈曲和缺损的非线性分析 杨联萍, 林智斌, 钱若军 (同济大学建筑工程系, 上海 200092) 摘　要: 介绍了柯以特理论, 在讨论了壳体临界荷载和敏感度、缺损的类型, 并简单地回顾上个世纪 60 年代以来普 遍采用的平衡路线跟踪方法的原理的基础上, 提出基于广义稳定的概念、屈曲的定义及其数学描述的屈曲路线跟 踪方法Λ通过分析, 讨论了影响网壳结构屈曲类型及分枝荷载的因素, 为空间格构结构中常用的网壳结构设计临界 荷载值的确定提出了建议Λ 关键词: 网壳结构; 屈曲分析; 软化区; 临界应力; 缺损 中图分类号: TU 311. 2　　　　　　　文献标识码: A 　　　　　文章编号: 100626578 (2006) 0220007204 Buckl ing ana lysis of reticula ted shells (Ê ) : Shell buckl ing and non l inear im perfect ana lysis YAN G L ian2p ing, L IN Zh i2b in, Q IAN R uo2jun (D ep artm en t of C iv il E ng ineering , T ongj i U n iversity , S hang ha i 200092, Ch ina) Abstract: W idely u sed buck ling analysis of shells is stud ied un in terrup ted ly in the study on the structu ra l buck ling analysis. T hank s to d ifferen t st ructu ra l behavio r in the ret icu la ted structu res w ith d ifferen t geom 2 etry, behavio r of sing le2layer ret icu la ted structu res is sim ila r to tha t of con t inuum shells. T hu s, it is sig2 n ifican t to grasp buck ling analysis of shells. T he au tho rs expound the concep t of buck ling analysis of shells, w h ich is w ell su ited fo r reference in the buck ling analysis of sing le2layer ret icu la ted shells. Key words: ret icu la ted shells; buck ling analysis; soften ing reg ion; crit ica l st ress; im perfect ion s 1　概　述 在结构屈曲分析理论的研究中, 除了工程结构 中柱子、拱和框架以外, 应用更广泛的壳体的屈曲分 析的研究从未间断, 不仅如此, 研究格外深入Λ 空间 格构结构的结构行为随形而异, 在一定条件下, 单层 网壳结构的结构行为类似连续壳, 而其他一般空间 格构结构的结构行为则类似空间框架Λ 应当强调, 壳体线性分析所得的经典临界荷载 仅仅在一些类型上吻合试验所观察的破坏荷载, 譬 如承受外部压力或者拉力的圆柱面壳体Λ 而轴向受 压或者受弯的圆柱面壳体的屈曲, 又或者球壳的屈曲, 所得破坏荷载却小得多, 一般是经典临界荷载的30% , 有时仅为10% Λ Robertson (1928)首先得出试验结果, F lugge (1932) 和Donnell (1934) 相继进行了试验Λ 试验结果表明关于壳体经典的线性化理论不足以验证数值例子Λ2　经典临界荷载的缩减因子尽管偏差大, 但并不是说经典临界荷载作为破坏荷载的估计因偏差而放弃它, 认为它没有价值Λ从几个方面看, 经典临界荷载提供了有用的破坏荷载 的上临界点Λ尽管有限元很难准确预测到临界荷载, 但是, 经典临界荷载也仍是有限元程序很好地 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 依据Λ此外, 经典临界状态能够很好的估计壳体周面 的屈曲长度, 这将对非线性分析有所帮助Λ 最后, 由 于其简便性, 经典临界荷载方程为设计 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 所采用Λ 所以, 引入了基于 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 修正的缩减因子Λ到测试结 果中ΛSeide (1981)对受轴向均布荷载的圆柱壳的屈 曲进行了研究, 当 Z = l2 R h 1- v 2≥2. 85 (1) 时, 经典临界荷载 p cylcr = 1 3 (1- v 2) E h 2 R (2) 式中, Z 即为所谓的Batdo rf 参数 (1941) , 它表示了 当超出了所示范围, 上式是临界荷载的良好近似Ζ对 于短圆柱壳, 尤其Z < 2. 85 时, Chajes (1974) 给出经 典临界荷载 p cylcr = 1+ 12Z 2Π4 Π2Dl2 (3) 其中,D = E h 3 12 (1- v 2) , l 为圆柱壳的长度, h 为圆柱壳 的厚度Ζ 由屈曲预测而修正为 p cylcr = Λ 1 3 (1- v 2) E h 2 R (4) 其中, 当0. 5≤ 1R ≤5, 100≤ R h ≤3000 时Λ= 1- 0. 9 (1- e R öh ö16) (5) 这个关于缩减因子Λ的经验公式经过许多测试 已经作为下边界的包络线Ζ式 (4)也应用到截面受弯 矩作用的最大法向力的临界荷载p x xcr 中, 经过大量的 试验测试, 其缩减因子Λ= 0. 73 1- exp - 116 R öh ) (6) 在轴向受压和受弯的组合荷载作用下, 根据大 量试验测试, 从线性相交图中得到横截面的最大临 界荷载p x xcr 可近似安全地估计为 p ax x p a, x xcr + p bx x p b, x xcr = 1 (7) 其中, p ax x、p bx x 分别为单独受压和受弯下的最大法向 力, 而p a, x xcr 、p b, x xcr 为相对应的临界值Ζ基于测试, 线性 相交图也可应用到其它的壳体屈曲问题中, 譬如, 轴 向受压和侧向受压组合的圆柱壳屈曲分析Ζ 大量其它相似于式 (6) 并把经典荷载引入经验 缩减, 通过线性理论计算的公式可参见各种手册, 或 Ko lla r 和D u lacska (1984)的全面评论Λ 3　缺损敏感性的物理依据 为何许多壳体的实际临界荷载比经典理论的临 界荷载小得多, von Karm an 与D unn 和T sien (1940) 认为其根本的原因在于非线性和缺损性的组合效 应Λ在von Karm an 和T sien (1941)革命性的文章中, 他们通过采用近似非线性分析, 阐述了当通过临界 状态后, 荷载将伴随急剧增大的变形而减小, 即结构 软化Λ 他们进一步说明微小的扰动都将使壳体跳到 后屈曲状态上, 这时的承载能力急剧下降Λ 后来, Ko iter 在 1945 年他的荷兰语论文中认识到对于结 构所呈现的渐进性的性状可即刻表现为屈曲后行 为Λ 之后, 发展为一种概括性稳定理论, 组成势能函 数表达式的各项中的缺损效应表述了各种结构的各 种屈曲后缺损敏感性的特性Λ Ko iter 引入了多维空 间的想法, 它的坐标以荷载和各种可能屈曲模态的 幅值为轴Λ 他阐述通过对势能函数的一阶偏微分可 获得各种不同类型的平衡路径, 他又进一步说明通 过对势能函数的二阶偏微分可确定体系路径的稳定 性Λ Donnell 和W an (1950) 首先提出了壳体屈曲的 缺损性分析Λ 接近临界状态时随意缺损效应分析解 释了为何即便非常精细的试验都发现破坏模态有巨 大的离散性Λ 直到 A lm ro th, Ho lm es 和 B ru sh ( 1964)、Even sen ( 1964)、T ennyson ( 1969)、T en2 nyson 和M uggeridge (1969)、T ennyson,M uggridge 和Casw ell (1971) 才用试验证实了基于线性理论纯 理想轴向受压壳体临界状态的经典数学结果Λ 这离 L o rednz (1908, 1911)、T im o shenko (1910) 和 Sou th2 w ell (1914) 计算出临界荷载已经将近半个世纪Λ T ennyson 的测试采用了环氧树脂壳体, 加工非常精 确Λ 壳体屈曲的高缺损敏感性是由于势能展开表达 式 0 = a0+ a1q+ a2q2+ a3q3+ a4q4+ L (8) 中包含的二项式、三次项等, q 为伴随临界荷载的主 要屈曲模态的幅值Ζ 而a0、a1、a2, K 为依赖于荷载P (荷载参数Κ)、缺损幅值和类型的系数Ζ 在势能函数 中如果缺少三次项则为缺损不敏感结构, 呈现对称 分叉, 譬如柱和板Ζ 然而对于壳体, 这个项不为零并 且可能很大Ζ在线性稳定分析中, 势能函数当然总是 二次式, 因而三次式或更高阶次仅仅在非线性分析 中才可能出现Ζ 高阶项将影响稳定的概念是由 von Karm an 和 8 空　间　结　构　　　　　　　　　　　　　　　　第 12 卷　 T sien (1940)等通过一个简单的、有启发意义的非线 性弹性约束的柱的例子加以解释 (见图1) Ζ他们假定 力F 与弹簧的位移的关系为二次曲线 (图 1b) , 并表 述为F = C 1w - C 2w 2, 其中C 1 和C 2 为正常数Ζ则图1a 所示两刚性杆和弹簧体系的势能函数0 =∫F dw - 2PL (co sq0- co sq) (9) 其中, co sq0- co sq= (q2- q20) ö2, 而w = L (q- q0) , 积 分得其近似0 = 12 C 1L 2 (q- q0) 2- 13 C 2L 3 (q- q0) 3- PL (q2- q20) (10) 由条件50 ö5q= 0 得到了平衡路径的方程 P = C 1L 2 - C 2L 2 2 (q- q0) q- q0 q (11) 从这个方程中明显看到在荷载位移关系中存在二次 系数C 2 使理想系统 (q0= 0)在后屈曲响应中软化, 即 曲线P (q)存在负斜率Ζ从式 (11)也可知缺损值q0 越 大, 理想体系的最大荷载越小Ζ 图 1　两刚性杆和弹簧的体系 现在可以注意到适当的屈曲模态幅值引入到壳 体中因薄膜作用而引起的应变能 U m = E h2 (1- v 2)∫∫A [Ε2x x + Ε2y y + 2vΕx x Εy y + 2 (1- V ) Ε2x x ]dx dy (12) 和各向同性壳体中因弯曲作用而引起的应变能 U b= D2∫∫A [k2x x + k 2y y + 2vk x x k y y + 2 (1- V ) k2x x ]dx dy (13) 的势能函数中, 采用了适当的非线性应变和曲率Ζ壳 体的势能函数表达式通过简化近似为三次多项式, 类似于式 (10) Ζ 由于势能函数总的定性了相应的壳 体的平衡路径必然是在图 1c 中所定义的一种形式, 这些结论也可参见von Karm an 等人 (1940)的著述Ζ 并且, 发现对于壳体系数C 2 可以非常大, 而使屈曲 后斜率非常陡或呈现跃回现象Ζ 结果导致在很小的 实际变形下壳体的承载能力下降非常大Ζ 4　Ko iter 缺损敏感性准则 Ko iter (1945) 得到了一些简单、但是非常重要 的且普遍适用的规律, 即有关初始渐进屈曲后行为Ζ 由条件 50 ö5q= 0 得到的理想体系的平衡路径可由 幂展开: ΚΚcr = 1- c1q- c2q2 (14) 其中, q 代表伴随临界荷载的主要屈曲模态的幅值, 在临界状态处 q= 0; c1, c2 为常数, 定性所给结构; Κ 为荷载参数, 譬如Κ= N x x或者Κ= P , 而Κcr为Κ的临界 值Ζ依赖系数c1 的为零或不为零时c2 的符号, 接近临 界荷载的三个基本类型行为就可以区分, 如图 2Ζ Ko iter 说明理想系统接近临界状态的行为完全可由 式 (13) 伴随的势能函数所决定, 且完全可以确定系 统的屈曲类型及相应的缺损敏感性Ζ对于图2c 所示 屈曲类型Ë , c1> 0, 当缺损 q0 是较小量时, Ko iter 认 为该缺损系统的最大荷载参数Κm ax可渐进地表示为Κm axΚcr = 1- 2 (q0Θc1) 1ö2 (15) 其中, Θ是依赖于缺损形状系数, 而 q0 是缺损的幅 值Ζ 这种类型的缺损敏感性以受外部压力的球壳或 者受轴向力和弯矩的圆柱壳最为典型Ζ 值得注意的 是根据式 (15) 的缺损敏感性 (图 2d) , 屈曲后下降段 起点处切线为竖向切线, 因而, 最大荷载的比将随q0 →0 减小到无穷小Ζ 对于如图 2b 所示的屈曲类型Ê , c1 = 0, c2 > 0, Ko iter 认为该缺损系统的最大荷载参数Κm ax或初始 9　第2 期 杨联萍, 等: 网壳结构的屈曲分析研究 (二) : 壳体屈曲和缺损的非线性分析 缺损敏感性表示为Κm axΚcr = 1- 3 q0 Θ2 c2 2ö3 (16) 至于图 2a 所示屈曲类型É , c1= 0, c2 < 0, Ko iter 则认为结构为缺损不敏感体系Λ 图 2　屈曲后行为的基本类型 　　对缺损敏感性的Ko iter 幂法则在于它们的概括 性, 即事实上它们不仅限于上述的例子ΛKo iter 概括 性法则随即被T vergaard (1976) 拓展到接近临界状 态的初始渐进行为的分析, 此状态将耦合几个屈曲 模态Λ 当然, Ko iter 的分析仅限于初始屈曲后行为的 渐进表述, 不能用于大型屈曲后变形Λ 基于这个目 的, 势能函数或式 (11) 的平衡路径的高阶项必须计 算Λ 缺损敏感性壳体对应不同初始缺损值的典型屈 曲后响应见图3, 其中, 由ΒR öh 定性而Β为初始不均 衡的无量纲量度值, 详细的讨论可参见 Popov 和 M edw adow sk i(1981)的论述Λ 图 3　典型屈曲后响应 　　唯恐被认为所测破坏荷载与线性临界荷载的差 值仅仅是由于几何形状的缺损所产生的效应, 因而 必须认识到即便缺损为零, 设计时仍然需要考虑较 大的缩减最大荷载值Λ 因为假如屈曲后软化非常陡 峭, 即便非常小的扰动, 如荷载没对准等等都可能引 起结构跃过荷载变形曲线的顶点Λ 高缺损敏感性的 最终原因是它们的行为的强非线性Λ 壳体行为的非线性, 看起来是由于在缺损敏感 性壳体中存在许多不同接近或等于临界荷载的屈曲 荷载Λ 因而, 不同的屈曲模态发生耦合, 这种模态耦 合是有害的Λ例如, 通过承受轴向压力的圆柱壳体的 线性化分析, 可以看到伴随相同临界荷载有轴对称 和许多双周期模态Λ 这意味着当临界荷载相近时发 生耦合Λ 两种不同的屈曲模态的耦合行为将影响屈 曲后行为Λ 参考文献 [1 ] Z P Bazan t. Stab ility of Structu res [M ]. N ew Yo rk: O xfo rd, 1991. [2 ] K H useyin. N on linear T heo ry of E last ic Stab ility [M ]. L eyden: N oo rdhofe In ternat ional Pub lish ing House, 1975 [ 3 ] S J B ritvec. T he Stab ility of E last ic System s [M ]. N ew Yo rk: Pergamon P ress, 1976. [4 ] D O B rush, B O A lm ro th. Buck ling of Bars, P lates and Shells [M ]. N ew Yo rk: M cGraw 2H ill, 1975. 01 空　间　结　构　　　　　　　　　　　　　　　　第 12 卷