2013年高考广东卷（理）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设集合 , ,则 ( ) A . B． C． D． 2．定义域为 的四个函数 , , , 中,奇函数的个数是( ) A . B． C． D． 3．若复数 满足 ,则在复平面内, 对应的点的坐标是( ) A . B． C． D． 4．已知离散型随机变量 的分布列为 则 的数学期望 ( ) A . B． C． D． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . B． C． D． 6．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若 , , ,则 B．若 , , ,则 C．若 , , ,则 D．若 , , ,则 7．已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ,离心率等于 ,在双曲线 的方程是 ( ) A . B． C． D． 8．设整数 ,集合 .令集合 ，若 和 都在 中,则下列选项正确的是( ) A . , B． , C． , D． , 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式 的解集为___________． 10．若曲线 在点 处的切线平行于 轴,则 ______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为______. 12. 在等差数列 中,已知 ,则 EMBED Equation.DSMT4 _____. 13. 给定区域 : ,令点集 ，是 在 上取得最大值或最小值的点 ,则 中的点共确定______条不同的直线. （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 的参数方程为 ( 为参数), 在点 处的切线为 ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 的极坐标方程为_____________. 15. (几何证明选讲选做题)如图, 是圆 的直径,点 在圆 上,延长 到 使 ,过 作圆 的切线交 于 .若 , ,则 _________. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数 , . (Ⅰ) 求 的值； (Ⅱ) 若 , ,求 ． 17．（本小题满分12分）某车间共有 名工人,随机抽取 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值； (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 名工人中有几名优秀工人； (Ⅲ) 从该车间 名工人中,任取 人,求恰有 名优秀工人的概率. 18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, , 为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 . (Ⅰ) 证明: 平面 ； (Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值. 19．（本小题满分14分）设数列 的前 项和为 .已知 , , . (Ⅰ) 求 的值； (Ⅱ) 求数列 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数 ,有 . 20．（本小题满分14分）已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 : 的距离为 .设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 的方程；[来源:学。科。网] (Ⅱ) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程； (Ⅲ) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值. 21．（本小题满分14分）设函数 (其中 ). (Ⅰ) 当 时,求函数 的单调区间； (Ⅱ) 当 时,求函数 在 上的最大值 . 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B 二、填空题 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题 16．(Ⅰ) ； (Ⅱ) 因为 , ,所以 , 所以 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 17．解：（1）由题意可知，样本均值 （2） 样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名， 可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为： （3） 从该车间12名工人中，任取2人有 种方法， 而恰有1名优秀工人有 所求的概率为： 18．(Ⅰ) 在图1中,易得 连结 ,在 中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知 , 所以 ,所以 , 理可证 , 又 ,所以 平面 . (Ⅱ) 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 , 因为 平面 ,所以 , 所以 为二面角 的平面角. 结合图1可知, 为 中点,故 ,从而 . 所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 . 向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, 则 , , 所以 , 设 为平面 的法向量,则 ,即 ,解得 ,令 ,得 由(Ⅰ) 知, 为平面 的一个法向量, 所以 ,即二面角 的平面角的余弦值为 . 19．. .(1) 解： ， . 当 时， 又 ， （2）解： ， . ① 当 时， ② 由① — ②，得 数列 是以首项为 ，公差为1的等差数列. 当 时，上式显然成立. （3）证明：由（2）知， ①当 时， ， 原不等式成立. ②当 时, , 原不等式亦成立. ③当 时, 当 时,， 原不等式亦成立. 综上，对一切正整数 ，有 . 20．(Ⅰ) 依题意,设抛物线 的方程为 ,由 结合 ,解得 . 所以抛物线 的方程为 . (Ⅱ) 抛物线 的方程为 ,即 ,求导得 设 , (其中 ),则切线 的斜率分别为 , , 所以切线 的方程为 ,即 ,即 同理可得切线 的方程为 因为切线 均过点 ,所以 , 所以 为方程 的两组解. 所以直线 的方程为 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 , , 所以 联立方程 ,消去 整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得 , 所以 又点 在直线 上,所以 , 所以 所以当 时, 取得最小值,且最小值为 . 21．(Ⅰ) 当 时, , 令 ,得 , 当 变化时, 的变化如下表: ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 右表可知,函数 的递减区间为 ,递增区间为 , . (Ⅱ) ,令 ,得 , , 令 ,则 ,所以 在 上递增, 所以 ,从而 ,所以 所以当 时, ；当 时, ； 所以 令 ,则 ,令 ,则 所以 在 上递减,而 所以存在 使得 ,且当 时, ,当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 因为 , ,所以 在 上恒成立,当且仅当 时取得“ ”. 综上,函数 在 上的最大值 . 图2 图1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� E B O D C A 第17题图 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 第15题图 O B C D E A . B z y 向量法图 � EMBED Equation.DSMT4 ��� E � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� n 第11题图 � EMBED Equation.3 ��� 开始 结束 输出� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 输入 否 是 第5题图 侧视图 俯视图 正视图 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� E D B O C . x O D C H � EMBED Equation.DSMT4 ��� E B O D C _1432142695.unknown _1432147586.unknown _1432150660.unknown _1432189488.unknown _1432236749.unknown _1432242009.unknown _1432242770.unknown _1432243304.unknown _1432244007.unknown _1432244464.unknown _1432286435.unknown _1432301248.unknown _1432244534.unknown _1432244535.unknown _1432244500.unknown _1432244225.unknown _1432244448.unknown _1432244052.unknown _1432243675.unknown _1432243758.unknown _1432243650.unknown _1432243360.unknown _1432243376.unknown _1432242891.unknown _1432243069.unknown _1432243213.unknown _1432242949.unknown _1432242844.unknown _1432242880.unknown _1432242780.unknown 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