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高中数学公式大全.doc

高中数学公式大全

chenxiwu0822
2009-12-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高中数学公式大全doc》,可适用于高中教育领域

高中数学常用公式及常用结论元素与集合的关系,德摩根公式包含关系EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT容斥原理.集合的子集个数共有个真子集有–个非空子集有–个非空的真子集有–个二次函数的解析式的三种形式()一般式()顶点式()零点式解连不等式常有以下转化形式EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得具体如下:()当a>时若则()当a<时若则若则一元二次方程的实根分布依据:若则方程在区间内至少有一个实根设则()方程在区间内有根的充要条件为或()方程在区间内有根的充要条件为或或或()方程在区间内有根的充要条件为或定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据()在给定区间的子区间(形如不同)上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是()在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是()恒成立的充要条件是或真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有()个小于不小于至多有个至少有()个对所有成立存在某不成立或且对任何不成立存在某成立且或四种命题的相互关系原命题       互逆       逆命题若p则q               若q则p       互       互  互        为   为        互  否                     否           逆   逆                    否      否否命题               逆否命题   若非p则非q    互逆      若非q则非p充要条件()充分条件:若则是充分条件()必要条件:若则是必要条件()充要条件:若且则是充要条件注:如果甲是乙的充分条件则乙是甲的必要条件反之亦然函数的单调性()设那么EMBEDEquationEMBEDEquation上是增函数EMBEDEquation上是减函数()设函数在某个区间内可导如果则为增函数如果则为减函数如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称反过来如果一个函数的图象关于原点对称那么这个函数是奇函数如果一个函数的图象关于y轴对称那么这个函数是偶函数.若函数是偶函数则若函数是偶函数则对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数两个函数与的图象关于直线对称若,则函数的图象关于点对称若,则函数为周期为的周期函数.多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数EMBEDEquationDSMT的偶次项(即奇数项)的系数全为零多项式函数是偶函数EMBEDEquationDSMT的奇次项(即偶数项)的系数全为零函数的图象的对称性()函数的图象关于直线对称()函数的图象关于直线对称两个函数图象的对称性()函数与函数的图象关于直线(即轴)对称()函数与函数的图象关于直线对称()函数和的图象关于直线y=x对称若将函数的图象右移、上移个单位得到函数的图象若将曲线的图象右移、上移个单位得到曲线的图象.互为反函数的两个函数的关系若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数几个常见的函数方程()正比例函数,()指数函数,()对数函数,()幂函数,()余弦函数,正弦函数几个函数方程的周期(约定a>)()则的周期T=a()或或EMBEDEquation,或,则的周期T=a()则的周期T=a()且则的周期T=a(),则的周期T=a()则的周期T=a分数指数幂()(且)()(且).根式的性质()()当为奇数时当为偶数时.有理指数幂的运算性质()()()注:若a>p是一个无理数则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质对于无理数指数幂都适用指数式与对数式的互化式EMBEDEquationDSMT对数的换底公式(,且,,且,)推论(,且,,且,,).对数的四则运算法则若a>a≠M>N>则()()()设函数,记若的定义域为,则且若的值域为,则且对于的情形,需要单独检验对数换底不等式及其推广若,,,,则函数()当时,在和上为增函数()当时,在和上为减函数推论:设且则()()平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N平均增长率为则对于时间的总产值有数列的同项公式与前n项的和的关系(数列的前n项的和为)等差数列的通项公式其前n项和公式为EMBEDEquationDSMT等比数列的通项公式其前n项的和公式为或等比差数列:的通项公式为其前n项和公式为分期付款(按揭贷款)每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).常见三角不等式()若则()若则()同角三角函数的基本关系式=正弦、余弦的诱导公式和角与差角公式(平方正弦公式)=(辅助角所在象限由点的象限决定,)二倍角公式三倍角公式三角函数的周期公式函数x∈R及函数x∈R(A,ω,为常数且A≠ω>)的周期函数(A,ω,为常数且A≠ω>)的周期正弦定理 余弦定理面积定理()(分别表示a、b、c边上的高)()()三角形内角和定理在△ABC中有EMBEDEquationDSMT简单的三角方程的通解特别地,有最简单的三角不等式及其解集实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数那么()结合律:λ(μa)=(λμ)a()第一分配律:(λμ)a=λaμa()第二分配律:λ(ab)=λaλb向量的数量积的运算律:()a·b=b·a(交换律)()(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b)()(ab)·c=a·cb·c平面向量基本定理 如果e、e是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数λ、λ使得a=λeλe.不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底..向量平行的坐标表示  设a=,b=且b则ab(b)a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.平面向量的坐标运算()设a=,b=则ab=()设a=,b=则ab=()设AB,则()设a=则a=()设a=,b=则a·b=两向量的夹角公式(a=,b=)平面两点间的距离公式=(AB)向量的平行与垂直设a=,b=且b则A||bb=λaab(a)a·b=线段的定比分公式 设是线段的分点,是实数且则EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT()三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是点的平移公式EMBEDEquationDSMT注:图形F上的任意一点P(xy)在平移后图形上的对应点为且的坐标为“按向量平移”的几个结论()点按向量a=平移后得到点()函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为()图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为()曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为()向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点角所对边长分别为则()为的外心()为的重心()为的垂心()为的内心()为的的旁心常用不等式:()EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT(当且仅当a=b时取“=”号).()EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT(当且仅当a=b时取“=”号).()()柯西不等式()极值定理已知都是正数则有()若积是定值则当时和有最小值()若和是定值则当时积有最大值推广已知则有()若积是定值,则当最大时,最大当最小时,最小()若和是定值,则当最大时,最小当最小时,最大一元二次不等式EMBEDEquationDSMT如果与同号则其解集在两根之外如果与异号则其解集在两根之间简言之:同号两根之外异号两根之间含有绝对值的不等式当a>时有或无理不等式()()()指数不等式与对数不等式()当时,()当时,斜率公式(、)直线的五种方程()点斜式(直线过点且斜率为).()斜截式(b为直线在y轴上的截距)()两点式()(、())()截距式(分别为直线的横、纵截距)()一般式(其中A、B不同时为)两条直线的平行和垂直()若①②()若,,且A、A、B、B都不为零,①②夹角公式()(,)()(,,)直线时直线l与l的夹角是到的角公式()(,)()(,,)直线时直线l到l的角是.四种常用直线系方程()定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数.()共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为(除)其中λ是待定的系数.()平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时表示平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是()λ是参变量.()垂直直线系方程:与直线(A≠B≠)垂直的直线系方程是,λ是参变量.点到直线的距离(点,直线:)或所表示的平面区域设直线则或所表示的平面区域是:若当与同号时表示直线的上方的区域当与异号时表示直线的下方的区域简言之,同号在上,异号在下若当与同号时表示直线的右方的区域当与异号时表示直线的左方的区域简言之,同号在右,异号在左或所表示的平面区域设曲线()则或所表示的平面区域是:所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分圆的四种方程()圆的标准方程()圆的一般方程(>)()圆的参数方程()圆的直径式方程(圆的直径的端点是、)圆系方程()过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,λ是待定的系数.()过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.()过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若则点在圆外点在圆上点在圆内直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:其中两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为OO半径分别为rr圆的切线方程()已知圆.①若已知切点在圆上则切线只有一条其方程是当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为再利用相切条件求k这时必有两条切线注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为再利用相切条件求b必有两条切线.()已知圆.①过圆上的点的切线方程为②斜率为的圆的切线方程为椭圆的参数方程是椭圆焦半径公式.椭圆的的内外部()点在椭圆的内部()点在椭圆的外部椭圆的切线方程()椭圆上一点处的切线方程是()过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是()椭圆与直线相切的条件是双曲线的焦半径公式双曲线的内外部()点在双曲线的内部()点在双曲线的外部双曲线的方程与渐近线方程的关系()若双曲线方程为EMBEDEquation渐近线方程:()若渐近线方程为EMBEDEquationEMBEDEquation双曲线可设为()若双曲线与有公共渐近线可设为(焦点在x轴上焦点在y轴上)双曲线的切线方程()双曲线上一点处的切线方程是()过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是()双曲线与直线相切的条件是抛物线的焦半径公式抛物线焦半径过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或P其中二次函数EMBEDEquationDSMT的图象是抛物线:()顶点坐标为()焦点的坐标为()准线方程是抛物线的内外部()点在抛物线的内部点在抛物线的外部()点在抛物线的内部点在抛物线的外部()点在抛物线的内部点在抛物线的外部()点在抛物线的内部点在抛物线的外部抛物线的切线方程()抛物线上一点处的切线方程是()过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是()抛物线与直线相切的条件是两个常见的曲线系方程()过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数)()共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中当时,表示椭圆当时,表示双曲线直线与圆锥曲线相交的弦长公式或(弦端点A由方程消去y得到,为直线的倾斜角为直线的斜率)圆锥曲线的两类对称问题()曲线关于点成中心对称的曲线是()曲线关于直线成轴对称的曲线是“四线”一方程对于一般的二次曲线用代用代用代用代用代即得方程曲线的切线切点弦中点弦弦中点方程均是此方程得到.证明直线与直线的平行的思考途径()转化为判定共面二直线无交点()转化为二直线同与第三条直线平行()转化为线面平行()转化为线面垂直()转化为面面平行.证明直线与平面的平行的思考途径()转化为直线与平面无公共点()转化为线线平行()转化为面面平行.证明平面与平面平行的思考途径()转化为判定二平面无公共点()转化为线面平行()转化为线面垂直.证明直线与直线的垂直的思考途径()转化为相交垂直()转化为线面垂直()转化为线与另一线的射影垂直()转化为线与形成射影的斜线垂直.证明直线与平面垂直的思考途径()转化为该直线与平面内任一直线垂直()转化为该直线与平面内相交二直线垂直()转化为该直线与平面的一条垂线平行()转化为该直线垂直于另一个平行平面()转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.证明平面与平面的垂直的思考途径()转化为判断二面角是直二面角()转化为线面垂直空间向量的加法与数乘向量运算的运算律()加法交换律:a+b=b+a.()加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).()数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠)a∥b存在实数λ使a=λb.三点共线EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT、共线且不共线EMBEDEquationDSMT且不共线共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使.推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使或对空间任一定点O有序实数对使对空间任一点和不共线的三点A、B、C满足()则当时对于空间任一点总有P、A、B、C四点共面当时若平面ABC则P、A、B、C四点共面若平面ABC则P、A、B、C四点不共面.四点共面EMBEDEquationDSMT与、共面EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT(平面ABC)空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组xyz使p=xa+yb+zc.推论设O、A、B、C是不共面的四点则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数xyz使射影公式已知向量=a和轴e是上与同方向的单位向量作A点在上的射影作B点在上的射影则〈ae〉=a·e向量的直角坐标运算设a=b=则()a+b=()a-b=()λa=(λ∈R)()a·b=设AB则=.空间的线线平行或垂直设则EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT夹角公式设a=b=则cos〈ab〉=推论此即三维柯西不等式四面体的对棱所成的角四面体中,与所成的角为,则.异面直线所成角=(其中()为异面直线所成角分别表示异面直线的方向向量)直线与平面所成角(为平面的法向量)若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角则特别地,当时,有若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角则特别地,当时,有二面角的平面角或(为平面的法向量)三余弦定理设AC是α内的任一条直线且BC⊥AC垂足为C又设AO与AB所成的角为AB与AC所成的角为AO与AC所成的角为.则三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ则有(当且仅当时等号成立)空间两点间的距离公式若AB则=EMBEDEquationDSMT点到直线距离(点在直线上直线的方向向量a=向量b=)异面直线间的距离(是两异面直线其公垂向量为分别是上任一点为间的距离)点到平面的距离(为平面的法向量是经过面的一条斜线)异面直线上两点距离公式()(两条异面直线a、b所成的角为θ其公垂线段的长度为h在直线a、b上分别取两点E、F,,)三个向量和的平方公式长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为夹角分别为,则有EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例)面积射影定理(平面多边形及其射影的面积分别是、它们所在平面所成锐二面角的为)斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则①②.作截面的依据三个平面两两相交有三条交线则这三条交线交于一点或互相平行.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截那么所得的截面与底面相似截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等对应边对应成比例的多边形是相似多边形相似多边形面积的比等于对应边的比的平方)相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)()=各面多边形边数和的一半特别地,若每个面的边数为的多边形则面数F与棱数E的关系:()若每个顶点引出的棱数为则顶点数V与棱数E的关系:球的半径是R则其体积,其表面积.球的组合体()球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长()球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长()球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.柱体、锥体的体积(是柱体的底面积、是柱体的高)(是锥体的底面积、是锥体的高)分类计数原理(加法原理)分步计数原理(乘法原理)排列数公式==(∈N*且).注:规定排列恒等式()()()()()()组合数公式===(∈N*且)组合数的两个性质()=()=注:规定组合恒等式()()()()=()()()()()()排列数与组合数的关系.单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列()“在位”与“不在位”①某(特)元必在某位有种②某(特)元不在某位有(补集思想)(着眼位置)(着眼元素)种()紧贴与插空(即相邻与不相邻)①定位紧贴:个元在固定位的排列有种②浮动紧贴:个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种注:此类问题常用捆绑法③插空:两组元素分别有k、h个()把它们合在一起来作全排列k个的一组互不能挨近的所有排列数有种()两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列小球必分开问有多少种排法?当时无解当时有种排法()两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个各组元素分别相同的排列数为.分配问题()(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人各得件其分配方法数共有()(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆其分配方法数共有()(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人物件必须被分完分别得到…件且…这个数彼此不相等则其分配方法数共有()(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人物件必须被分完分别得到…件且…这个数中分别有a、b、c、…个相等则其分配方法数有()(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的…件无记号的堆且…这个数彼此不相等则其分配方法数有()(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的…件无记号的堆且…这个数中分别有a、b、c、…个相等则其分配方法数有()(限定分组有归属问题)将相异的()个物体分给甲、乙、丙……等个人物体必须被分完如果指定甲得件乙得件丙得件…时则无论…等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为推广:个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为.不定方程的解的个数()方程()的正整数解有个()方程()的非负整数解有个()方程()满足条件(,)的非负整数解有个()方程()满足条件(,)的正整数解有个二项式定理二项展开式的通项公式EMBEDEquation等可能性事件的概率互斥事件AB分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).个互斥事件分别发生的概率的和P(A+A+…+An)=P(A)+P(A)+…+P(An).独立事件AB同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B)n个独立事件同时发生的概率P(A·A·…·An)=P(A)·P(A)·…·P(An).n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率离散型随机变量的分布列的两个性质()()数学期望数学期望的性质()()若~,则()若服从几何分布,且则方差标准差=方差的性质()()若~则()若服从几何分布,且则方差与期望的关系正态分布密度函数式中的实数μ(>)是参数分别表示个体的平均数与标准差标准正态分布密度函数对于取值小于x的概率回归直线方程其中相关系数|r|≤且|r|越接近于相关程度越大|r|越接近于相关程度越小特殊数列的极限()()()(无穷等比数列()的和)函数的极限定理EMBEDEquationEMBEDEquation函数的夹逼性定理如果函数f(x)g(x)h(x)在点x的附近满足:()()(常数),则本定理对于单侧极限和的情况仍然成立几个常用极限()()()两个重要的极限()()(e=…)函数极限的四则运算法则若则()()()数列极限的四则运算法则若则()()()()(c是常数)在处的导数(或变化率或微商)瞬时速度瞬时加速度在的导数EMBEDEquation函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率相应的切线方程是几种常见函数的导数()(C为常数)()()()()()导数的运算法则()()()复合函数的求导法则设函数在点处有导数函数在点处的对应点U处有导数则复合函数在点处有导数且或写作常用的近似计算公式(当充小时)()()()()()(为弧度)()(为弧度)()(为弧度)判别是极大(小)值的方法当函数在点处连续时()如果在附近的左侧右侧则是极大值()如果在附近的左侧右侧则是极小值复数的相等()复数的模(或绝对值)==复数的四则运算法则()()()()复数的乘法的运算律对于任何有交换律:结合律:分配律:复平面上的两点间的距离公式()向量的垂直非零复数对应的向量分别是则EMBEDEquationEMBEDEquationDSMT的实部为零EMBEDEquationDSMT为纯虚数EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationEMBEDEquationDSMT(λ为非零实数)实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程①若,则②若,则③若它在实数集内没有实数根在复数集内有且仅有两个共轭复数根(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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