28．中考数学试题分类汇编解直 角三角形

28．解直角三角形 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．（2009年广西钦州）sin30°的值为（ ） A． B． C． D． 2．(2009年湖州)如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ） A． 　　　　　B．　C．　 　　　D． 3．（2009年漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A． B． C． D． 4．（2009年兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间 的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为 A．5m B．6m C．7m D．8m 5．（2009年长春）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．(2009年宁德市)如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（ ） A． B．4 C． D．2 7．(2009年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB．CD分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A． m B．4 m C． m D．8 m 3．(2009年潍坊)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米． A．25 B． C． D． 4．（2009年内蒙古包头）已知在中，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则，和；由知，如果设，则，结合得；∴，所以选A． 5．（2009年齐齐哈尔市）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．（2009年吉林省）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（） A．cmB．cmC．cmD．2cm 7．（2009年深圳市）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（） A．3B．5C．D． 8．（2009恩施市）如图5，在中，是上一点，于，且，则的长为（　　　） A．2 B． C． D． 9．（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ ） A． B． C． D．7 10．（2009湖南怀化）如图4，在中，，，将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ） A． B． C． D． （2009泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A．C两地的距离为 （A） （B） （C） （D） 6. (2009年鄂州)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA= ，BC＝10，则AB的值是（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 （2009年天津市）2sin的值等于（ ） A．1　　B．　　C．　　D．2 （2009白银市）7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　） A．8米 B．米 C．米 D．米 10．（2009年清远）如图，是的直径，弦于点，连结，若，，则=（ ） A． B． C． D． （2009年衢州）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是 A． B．4 C． D． （2009年益阳市）如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 A. B. 　 C. D. （2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确 的个数为（ ） ①DE=3cm； ②EB=1cm； ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 （2009年广州市）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 2．(2009年甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　） A．8米 B．米 C．米 D．米 （2009年包头）已知在中，，则的值为（ A ） A． B． C． D． （2009肇庆）8．如图3，中，，DE 过点C，且，若，则∠B的度数是（ ）A A．35° B．45° C．55° D．65° 1．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A． B． C． D． （2009青海）一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角，则AB的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 （2009年益阳市）如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 A. B. 　 C. D. （2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确 的个数为（ ） ①DE=3cm； ②EB=1cm； ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 （2009年广州市）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 填空题 3．（2009年济南）如图，是放置在正方形网格中的一个角， 则的值是 ． 4．（2009年济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点处安置测倾器，测得风筝的仰角； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线的长度为70米； （3）量出测倾器的高度米． 根据测量数据，计算出风筝的高度约为 米．（精确到0.1米，） 4. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 13．（2009年安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m． （2009年桂林市．百色市）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定 点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电 线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）． 2．（2009湖北省荆门市）=______． 解析：本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， =，故填． 2.（2009年齐齐哈尔市）用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是____________． 【关键词】直角三角形性质 【答案】14或16或18 2.（2009年宁波市）如图，在坡屋顶的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 图中，，屋顶的宽度为10米，坡角为35°，则坡屋顶高度为 米．（结果精确到0.1米） （2009桂林百色）15．如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）． （2009丽水市）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 ▲ cm2 (结果 精确到0.1，) . 2．（09湖南怀化）如图8，小明从地沿北偏东方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时小明离地 ． 18.2009年鄂州)小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为____________米． 【关键词】方位角 【答案】 13．（2009年孝感）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ▲ ． （2009泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 ． （2009年南宁市）17．如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为 _____________海里（结果保留根号）． （2009白银市）17．如图7，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B．C，那么线段AO=　　　　cm． （2009年衡阳市）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为_________. 3．（2009年广西梧州）在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，， 则AB的长是 ★ cm． （2009年包头）如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）． （2009年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）． (2009宁夏)10．在中，，则的值是　　　　　　． 4．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm． 【关键词】直角三角形的有关计算．勾股定理 【答案】10，（或） （2009年衡阳市）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为_________. （2009年益阳市）如图7，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 解答题 1．（2009辽宁朝阳）一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了10海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离（，结果保留整数）． 2．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离． 【关键词】解直角三角形 4．（2009眉山）计算： 【关键词】三角函数与实数运算 【答案】解：原式 18．(2009年南充)如图6，在平面直角坐标系中，已知点，轴于A． （1）求的值； （2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点，求点的坐标； （3）将平移得到，点A的对应点是，点的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点．的坐标． 19．(2009年湖州)（1）计算： 【关键词】实数的运算 【答案】（1）解：原式==3． 14．(2009年温州)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是 24．(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA．DF．设运动时间为t秒． (1)求∠ABC的度数； (2)当t为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式； ②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2时，求m的取值范围(写出答案即可)． 【关键词】平面直角坐标系，动点问题，三角函数，平行线的性质，一次函数解析式的确定，二次函数的性质等综合题目 【答案】 解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M， ∵C（0，2），B（3，2）， ∴BC∥OA， ∵BM=2，AM=2， ∴tan∠BAM=， ∴∠ABC=∠BAM=30°． （2）∵AB∥DF， ∴∠CFD=∠CBA=30°， 在Rt△DCF中，CD=2－t，∠CFD=30°， ∴CF=（2－t）， ∵AB=4， ∴BE=4－2t，∠FBE=30°， ∴BF=， ∴（2－t）+=3，∴t=． （3）①解法一：过点EG⊥x轴于点G，则EG=t，OG=+t ∴E（+t，t）∴DE∥x轴 S=S△DEF+ S△DEA=DE×CD+DE×OD=DE×OC =×（t+）×2=t+． 解法二：∵BF= ∴CF=3－= ∴S= S梯形OABC－ S△COA －S△CDF－ S△FEB =4－t－（2－t）（4t+1）－（4－2t）2 =t+. ②当S<2时，t+<2 ∴t<1 ∵t>0 ∵0 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：） 【关键词】方位角问题 【答案】过点作，是垂足， 则，， ，， ， ， ， ， 答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 3．（2009年哈尔滨）先化简．再求代数式的值． 其中a＝tan60°－2sin30°． 【关键词】特殊三角函数值 【答案】此题考查了分式的混合运算，计算时，可以先算括号里的，也可利用乘法分配律进行计算，注意约分.另外在计算a的值时，特殊的三角函数要记准确. 原式 当时，原式． 4．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号） 5．（2009年中山）计算：． 【关键词】特殊三角函数值 【答案】原式==4． 2．（2009年遂宁）计算： 5．（2009年凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路，已知点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点处测得在的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达处，测得在点的北偏西60°方向上． （1）是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：） （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ 1．（2009年赤峰市）计算： -2cos30°+（2009-π）0-（1/5）-1 2．（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积 1.（2009年泸州） 2.（2009年泸州）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在轴上，AO为其中的一段． (1)求点B和点C的坐标； (2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：) (3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少? 3. （2009年泸州）如图11，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 【关键词】三角函数及切线的判定. 【答案】 20．（2009年长春）如图，两条笔直的公路相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话． 【参考数据：．】 20. （2009年锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥.如图10所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号) 1.计算：|| 【关键词】锐角三角函数 【答案】解：原式＝ ＝ =1 （2009年郴州市）如图7，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数） 【关键词】直角三角形 （2009年常德市）如图5，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）． 【关键词】直角三角形 【答案】 设山高BC =，则AB=， 由，得 ， 解得米 20. (2009年达州)（6分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具．三角尺．标杆．小平面镜等. 首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30角）来测量”.于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1.6㎝，如图9（甲）所示. 然后，小红和小强提出了自己的想法. 小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.” 小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！” 根据以上情景，解答下列问题： （1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB的高度（结果保留整数.参考数据：，，，）； （2）你认为小红和小强提出的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 可行吗？如果可行，请选择一中方案在图9（乙）中画出测量示意图，并简述测量步骤. 【关键词】解直角三角形 【答案】20.解：（1）过点D作DE⊥AB于点E， 在Rt△BDE中，DE=AC=15m，∠BDE=30° ∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m) ∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m （2）小红和小强提出的方案都是可行的 小红的方案： 利用皮尺和标杆： （1）测量旗杆的影长AG （2）测量标杆EF的长度 （3）测量同一时刻标杆影长FH 小强的方案： 把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端 步骤： （1）测出AP的长度 （2）测出NP的长度 （3）测出小强眼睛离地面的高度MN （2009年崇左）计算：． 【关键词】二次根式．三角函数，0指数的运算． 【答案】 原式= =0． 4．(2009年宁德市)（本题满分10分）某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到0.1cm） 5.(2009年河北)图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ． （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 【关键词】解直角三角形,勾股定理, 解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24， ∴ED ==12． 在Rt△DOE中， ∵sin∠DOE = =， ∴OD =13（m）． （2）OE= =． ∴将水排干需： 5÷0.5=10（小时）． (2009年黄冈市)8．计算：tan60°=________． 【关键词】三角函数 【答案】, (2009年黄冈市)18．如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为千米，且位于临海市（记作点B）正西方向千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由． （2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？ 【关键词】解直角三角形的应用 【答案】（1）过点A作AC⊥MN于C,过点B作BD⊥MN于D. 在Rt△AMC中, ∠AMC=60°－15°=45° ∴AC=60 ∴滨海市不会受到此次台风的侵袭 在Rt△MBD中, ∠BMD=90°－60°=30° ∴BD=60 ∴临海市会受到此次台风的侵袭 （2）设台风中心在EF段移动时临海市受侵袭.则EB=FB=60 由勾股定理知ED= ∴EF=60 受影响的时间是=(时) (2009成都)计算： 【关键词】三角函数，实数运算 【答案】原式=2+2×1-4×+（-1） =2+2-2-1 =1 (2009年安顺)计算： 【关键词】锐角三角函数，实数运算 【答案】 (2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值) 【关键词】仰角，俯角 【答案】如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt△ABD中，BD=AB 又在Rt△ABC中，∵ tan30°= ∴，即BC=AB ∵BC=CD+BD，∴AB=CD+AB 即（-1）AB=60 ∴AB==30(+1)米 ∴教学楼高度为30(+1)米 (2009年安顺)如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E． （1） 求证：DE是⊙O的切线； （2） 作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长． 【关键词】切线定理 【答案】证明：连结OD． ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO． ∵BA=BC， ∴∠A=∠C． ∴∠ADO=∠C． ∴DO∥BC． ∵DE⊥BC ∴DO⊥DE． 又点D在⊙O 上 ∴DE是⊙O的切线 （2）(6′) 解： ∠DOF =∠A+∠ADO = 60° 在Rt⊿DOF中，OD = 4 DF = OD·sin∠DOF = 4·sin60°= 2 ∵直径AB⊥弦DG ∴DF = FG ∴DG = 2DF = 4 （2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． （1）求证：； （2）如果，求的值． （2009威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在处的北偏西37°方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65°方向上． 求B,C之间的距离（结果精确到0.1海里）． 参考数据： 【关键词】方位角问题 【答案】过点A作，垂足为D 在中，，， ∴． ． 在中，， ∴ （海里） 答：之间的距离约为21.6海里． 1．（2009年湖南长沙）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的点测得河西岸边的标志物在它的正西方向，然后从点出发沿河岸向正北方向行进550米到点处，测得在点的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】解：由题意得：中，， （米）． 答：他们测得湘江宽度为953米． 2．（2009年内蒙古包头）（本小题满分8分） 如图，线段分别表示甲．乙两建筑物的高，，从点测得点的仰角为60°从点测得点的仰角为30°，已知甲建筑物高米． （1）求乙建筑物的高； （2）求甲．乙两建筑物之间的距离（结果精确到0.01米）． （参考数据：） 1. （2009年淄博市）在等腰直角三角形ABC中，∠C=90º，则sinA等于（ B ） A． B． C． D．1 3. （2009山西省太原市）如图，从热气球上测得两建筑物．底部的俯角分别为30°和．如果这时气球的高度为90米．且点．．在同一直线上，求建筑物．间的距离． 【关键词】解直角三角形 【答案】 解：由已知，得 于点． 在中， 在中， （米）． 答：建筑物间的距离为米． 4. （2009襄樊市）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 1.（2009年贵州省黔东南州）如图7，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P，A．B是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45o，仰角∠PBA=30o，求汽球P的高度（精确到0.1米，=1.732） 【关键词】仰角，俯角 【答案】解：过点P作PC⊥AB于C点，设PC=x米． 在Rt△PAC中，tan∠PAB=， ∴=PC=x（米） 在Rt△PBC中，tan∠PBA= ∴BC==（米） 又∵AB=90 ∴AB=AC+BC= ∴（米） ∴PC=45(1.732－1)=32.9（米） 答：略 2.（2009年江苏省）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处． （1）求观测点B到航线的距离； （2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，， ，） 【关键词】方位角问题 【答案】（1）设与交于点． 在中，． 又． 在中，（km）． 观测点到航线的距离为3km． （2）在中，． 在中，． ． 在中，． ． ，（km/h）． 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h． 3. （2009年浙江省绍兴市）京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横断面中，将坡面的坡角由减至．已知原坡面的长为6cm（所在地面为水平面） （1）改造后的台阶坡面会缩短多少？ （2）改造后的台阶高度会降低多少？ （精确到0.1m，参考数据：） 【关键词】坡角问题 【答案】 3.（2009年齐齐哈尔市）如图1，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得．） 问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论． 问题二：如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明． 【关键词】直角三角形性质 【答案】（1）等腰三角形 （2）判断出直角三角形 证明：如图连结，取的中点，连结， 是的中点， ，， ． 同理，， ． ， ． ， ， 是等边三角形． ， ， 即是直角三角形． 4．（2009年吉林省）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75） 【关键词】锐角三角函数 【答案】解：作于点，于点． 根据题意，得=24mm，=48mm. 在Rt中，sin， mm 在Rt中，cos， mm． 矩形的周长=2（40+60）=200mm． 6．（2009年深圳市）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现 绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点 并与地面形成30º角时，绳子末端D距A点还有1米， 那么旗杆BC的高度为 【关键词】锐角三角函数 【答案】10m 7．（2009年深圳市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，点D是BC上一点， AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= 【关键词】锐角三角函数 【答案】1.4(或) 8．（2009年深圳市）如图10，AB是⊙O的直径，AB=10， DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD； （2）若sin∠BEC=，求DC的长． 【关键词】平行线的性质和判定．锐角三角函数 【答案】（1）证明：连结OC,易知∠ACO=∠CAO，又AD⊥DC，OC⊥DC ∴OC∥AC,∠CAO=∠CAD,故AC平分∠BAD； （2）由（1）知，∠BEC=∠CAO=∠CAD,在△ABC中易求 BC=sin∠CAO.AB=sin∠BEC.AB=10,∴AC=8 △ADC中易求DC=sin∠CAD.AC=sin∠BEC.AC= 1.（2009年台州市）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行， 现准备把坡角降为5°． （1）求坡高; （2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）． 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】 解：（1）在中， （米）． （2）在中， （米）； 在中， （米）， （米）． 答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米 3.（2009年宁波市）已知，如图，的直径AB与弦CD相交于，，的切线BF与弦AD的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连结BC，若的半径为4，，求线段AD．CD的长． 4.(2009年义乌) 计算 【关键词】特殊角的三角形函数值 【答案】原式 ． （2009河池）21． (本小题满分8分) 如图8，为测量某塔的高度， 在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为，目高1.5米， 试求该塔的高度． 【关键词】解直角三角形 【答案】解：如图，CD20，∠ACD60°， 在ACD中， ∴ ∴ AD20≈34 又∵ BD1.5 ∴ 塔高AB(米) （2009柳州）22．（本题满分6分） 如图8，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为， 看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m， 这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：） 【关键词】解直角三角形 【答案】解：如图8，过点作，垂足为 根据题意，可得 ，， 在Rt△中，由 得． 在Rt△中，由 得． ∴． 答：这栋楼高约为152.2 m． （其它解法参照给分） （2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米） （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58） (2009烟台市)腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据）． 【关键词】特殊三角形 【答案】 解：过点作于． ， ． ． 在中， ， ， 在中， ， （米）． 所以，雕塑的高度约为6.8米． 3．（09湖南邵阳）如图（十一），家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为→→→．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为→→→．已知，，，，米，米，，．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数） 温馨提示：． 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】在中， ， 四边形为平行四边形． ． 在中，，，， ，， 增加的路程= （米）． （2009年安徽）15．计算：|| 【关键词】三角函数 【答案】原式＝＝1 （2009年湖北荆州）22．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长. (参考数据：) 【关键词】解直角三角形和圆相关 【答案】 23．(2009年鄂州)如图所示，某居民楼Ⅰ高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1.8米．现计划在I楼的正南方距I楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米? 【关键词】三角函数在实际中的应用 【答案】设正午时，太阳光线正好照在I楼的窗台处，此时新建居民楼II高x米，过C作CF⊥l于F，在Rt△ECF中， EF=x－2，FC=30，∠ECF=30° ∴ ∴ 答：新建居民楼II最高只能建米． 20.（2009年河南）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便? (参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.) 【关键词】三角函数在实际中的应用 【答案】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F． ∵AB=AC, ∴CE=BC=0.5．　　　　　　　　　 在Rt△ABC和Rt△DFC中， ∵tan780=， ∴AE=EC×tan780 0.5×4.70=2.35.　　　　　　　　　　 又∵sinα==， DF=·AE=×AE1.007．　　　　　　　　　　　　 李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为： 1.007+1.78=2.787． 头顶与天花板的距离约为：2.90-2.7870.11． ∵0.05＜0.11＜0.20， ∴它安装比较方便． 3.（2009年烟台市）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据）． 4. （ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D， （1）求该一次函数的解析式； （2）求的值； （3）求证：． 【关键词】一次函数的图像．三角函数的应用. 【答案】（1）由，解得，所以　 （2），． 在△OCD中，，， ∴．　 （3）取点A关于原点的对称点， 则问题转化为求证． 由勾股定理可得， ，，， ∵， ∴△EOB是等腰直角三角形． ∴．　 ∴． （2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧两个凉亭之间的距离．现测得m，m，，请计算两个凉亭之间的距离． 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】如图，过点作垂直于交的延长线于点.在中，.∴，=15.又在中，，.，答：两个凉亭之间的距离为50m. 1．（2009贺州）如图，，矩形ABCD的对角线，边BC在OM上，当AC=3时，AD长是多少？（结果精确到0.01） 【关键词】直角三角形的边角关系 【答案】解：延长AC交 ON于点E， ∵AC⊥ON， ∠OEC=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AD=BC， 又∵∠OCE=∠ACB， ∴∠BAC=∠O=25°， 在Rt△ABC中，AC=3， ∴BC=AC·sin25°≈1.27 ∴AD≈1.27 （注：只要考生用其它 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解出正确的结果，给予相应的分值） （2009年南宁市）19．计算： 【关键词】锐角三角函数 【答案】 = = （2009年湘西自治州）22．如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问： （1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是 多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】22．解（1）如图，在Rt△ABC中，＝sin30° ∴ BC＝＝10米 （2）收绳8秒后，绳子BC缩短了4米，只有6米， 这时，船到河岸的距离为米． （2009白银市）22．．图10（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图10（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为120°，从室内看门框露在外面部分的宽为4cm，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到0.1cm，） 【关键词】直角三角形与实际生活的联系 【答案】22.解：从图中可以看出，在室内厚为acm的墙面． 宽为4cm的门框及开成120°的门之间构成了 一个直角三角形，且其中有一个角为60°． 从而 a=4×tan60° =4×≈6.9(cm)． 即室内露出的墙的厚度约为6.9cm． 21．（2009年清远）如图，某飞机于空中处探测到地平面目标，此时从飞机上看目标的俯角为，若测得飞机到目标的距离约为2400米，已知，求飞机飞行的高度约为多少米？ 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】解：由题意得： （米） 答：飞机飞行的高度约为1248米． 1．（2009年日照）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度． 【关键词】锐角三角函数 【答案】延长BC交AD于E点，则CE⊥AD． 在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比为1: 可知：∠CAE＝30°， ∴ CE＝AC·sin30°＝10× ＝5， AE＝AC·cos30°＝10× ＝5 ． 在Rt△ABE中， BE＝＝=11． ∵ BE＝BC＋CE， ∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）． 答：旗杆的高度为6米． 2. （2009年福州）如图8，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题： （1） 用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD； （2） 线段CD的长为 ； （3） 请你在的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． （4） 若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 . 【关键词】全等三角形,勾股定理, 正弦,正切, 锐角三角函数,网格 【答案】（2）如图 （2）; （3）∠CAD，(或∠ADC，); （4）. 22． (2009年甘肃定西)图10（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图10（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为120°，从室内看门框露在外面部分的宽为4cm，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到0.1cm，） 【关键词】解直角三角形 【答案】解：从图中可以看出，在室内厚为acm的墙面．宽 为4cm的门框及开成120°的门之间构成了一 个直角三角形，且其中有一个角为60°． 从而 a=4×tan60° =4×≈6.9(cm)． 即室内露出的墙的厚度约为6.9cm． （2009年包头）如图，线段分别表示甲．乙两建筑物的高，，从点测得点的仰角为60°从点测得点的仰角为30°，已知甲建筑物高米． （1）求乙建筑物的高； （2）求甲．乙两建筑物之间的距离（结果精确到0.01米）． （参考数据：） 【关键词】解直角三角形．三角函数 解：（1）过点作于点， 根据题意，得， 米， 设，则， 在中，， ， 在中，， （米）． （2），， （米）． （2009年长沙）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的点测得河西岸边的标志物在它的正西方向，然后从点出发沿河岸向正北方向行进550米到点处，测得在点的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：，） 【关键词】三角函数．解直角三角形 解：由题意得：中， ， （米）． 答：他们测得湘江宽度为953米． (2009年本溪)24．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度？ （结果精确到个位，参考数据：，，）． 【关键词】解直角三角形 【答案】 解：（1）延长交于点． 在中，， ∴．又∵， ∴．（2）过点作，垂足为．在中，， ，∴． ，∴．在中，，∴，． ∴（米）．答：这棵大树折断前高约10米． 2．（2009年湖北十堰市）计算： 【关键词】锐角三角函数 【答案】解：原式＝9+－1 ＝8+ 3．（2009年湖北十堰市）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）． （供选用的数据：≈1.414， ≈1.732） 【关键词】直角三角形的有关计算．测量问题．勾股定理 【答案】解：由题意可知 ∠ACP= ∠BCP= 90°，∠APC=30°，∠BPC=45° 在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC＝45°，∴ 在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC＝30°，∴ ∴ ≈60+20×1.732 =94.64≈94.6(米) 答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94.6米． 说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分． 5．（2009年山东青岛市）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度． （参考数据：，，，） 【关键词】直角三角形的有关计算．勾股定