Chapt.2-2.2

1 第 2 章 环与域 §2.2 环同态与环同构 ◆ 定义 定义 1 给定环 , ,S + i 与 , ,T ⊕ : ， 若存在 S 到T 的一个映射 f 使得对任意的 Sba ∈, ，有 )()()( bfafbaf ⊕=+ , ( ) ( ) ( )f a b f a f b= ⊗i , 则称 f 为从环 , ,S + i 到环 , ,T ⊕ : 的 环同态映射； 当 f 为满射时，称 , ,S + i 与 , ,T ⊕ : 是 同态环，记作 , , , ,S T+ ⊕i :∽ . 当 f 是双射时，称 f 为从环 , ,S + i 到环 , ,T ⊕ : 的 环同构映射， 并称 , ,S + i 与 , ,T ⊕ : 是 同构环，记作 , , , ,S T+ ⊕i :≌ . 注. 不难看出，环同态蕴含着群同态与半群同态，且 f 可保持 可分配性，即对任意 Scba ∈,, ，有 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f a b c f a f b c f a f f b f c f a f b f a f c + = ⊗ + = ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ i . 2 ◆ 例子 例 1 考虑两环 , ,I + i 与 , ,n n nZ + i ，则 , , , ,n n nI Z+ +i i∽ . [解 只需构造出一个环同态满映射即可. 令 : [ ] [ ] nf a I f a a Z∈ → = ∈ ， 则对 Iba ∈∀ , ，有 )()(][][][)( bfafbababaf nn +=+=+=+ ， ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( )n nf a b a b a b f a f b= = =i i i i . 于是， f 为从环 , ,I + i 到 , ,n n nZ + i 的环同态映射，且为满射.] 例 2 令 , ,S + i 为 , ,R R× + i 的子环， { , | }S a a a R= ∈ . 对任意 的 Rdcba ∈,,, ，定义＋和 •为： : , , , : , , , a b c d a c b d a b c d a c b d + + = + + =i i i i , 则 , , , ,S R+ ≅ +i i . 证 令 : , ( , )f a a S f a a a R∈ → = ∈ ， 显然， f 是双射，且不难验证 f 也是从 , ,S + i 到 , ,R + i 的环同态映射， 故 , , , ,S R+ ≅ +i i . Stability 矩形 Stability 矩形 3 ◆ 环同态核及其性质 定义 2 若 f 为从环 , ,S + i 到环 , ,T ⊕ : 的环同态映射， T0 为环 , ,T ⊕ : 的零元，则称集合 { | ( ) 0 , }f TK k f k k S= = ∈ 为环同态映射 f 的 核. 类似于群同态、群同构，有如下的结论（自证）： 定理 1 若 f 为从环 , ,S + i 到环 , ,T ⊕ : 的环同态映射，且 0 , 0 , 1 , 1S T S T分别为两个环的零元和幺元，则 (1) TSf 0)0( = . (2) )()( afaf −=− . (3) , ,fK + i 是 , ,S + i 的子环. (4) ( ), ,f S ⊕ : 是 , ,T ⊕ : 的子环. (5) f 是双射, 当且仅当 { }SfK 0= . 又若 f 是双射，即 f 为环同构映射时，则 (6) TSf 1)1( = ； (7) 若 Sa∈ ，且有乘法逆元 1−a ，则 11 )()( −− = afaf . 注 1. 由（2）可证: 环同态映射保持 减法运算. 4 [ 事实上，对于任意的 Sba ∈, ， 有 )()())(()( )()())(()( bfafbfaf bfafbafbaf −=−⊕= −⊕=−+=− ]. 注 2. 一个环没有零因子这一性质在同态映射之下未必能保持. 但在同构映射下，两个环的代数性质就没有什么区别. ◆ 例子 例 3 设 I 是整数环， nZ 是模n剩余类环，则映射： : ( ) [ ] na I a a Zφ φ∈ → = ∈ 显然是 I 到 nZ 的一个同态映射. 但是， I 是没有零因子的环，而当n不是素数时， nZ 是有零因子 的环. 例 4 设 {( , ) | , }R a b a b= 为整数 , 其代数运算定义为： 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 : , , , : , , , . a b a b a a b b a b a b a a b b ⊕ ⊕ = + + ⊗ ⊗ = ， 不难验证： R 构成一个环. 设 I 是整数环，则映射： : ( , )a b R a Iφ ∈ → ∈ 显然是一个 I 到 R 的一个同态映射， R 的零元为 )0,0( ，而 )0,0(),0()0,( =⊗ ba , 即 R 有零因子，而 I 没有零因子. Stability 矩形 Stability 矩形 5 若两个环是同构的，则有 定理 2 设 R 与 R是两个环，并且 R R≅ ，则 (1) 若 R 是整环， 则 R也是整环； (2) 若 R 是除环， 则 R也是除环. 注. 整环: 可交换、含幺、无零因子的环； 除环： | | 2R ≥ 、含幺、非零元有逆元的环. ◆ 环的理想 下面的定理揭示了环同态映射的核有理想结构： 定理 3 若 f 为从环 , ,S + i 到环 , ,T ⊕ : 的环同态映射，则 , ,fK + i 为 , ,S + i 的理想. 证 因 fs K∈0 ，所以， fK φ≠ . 对于 fKkk ∈∀ 1, ，由 fK 的定 义可知 1( ) ( ) 0Tf k f k= = . 又 TTTkfkfkkf 000)()()( 11 =−=−=− , 所以, fKkk ∈− 1 , (减法封闭). 又对于 , fa S k K∀ ∈ ∀ ∈ ，有 6 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , T T T T f k a f k f a f a f a k f a f k f a = ⊗ = ⊗ = = ⊗ = ⊗ = i i 故 , f fk a K a k K∈ ∈i i . 根据定理 6 知 , ,fK + i 为 , ,S + i 的理想. 例 4 设 : ( ) [ ] nf a I f a a Z∀ ∈ → = ∈ ， 则 f 为从环 , ,I + i 到 , ,n n nZ + i 的环同态映射. 于是, { | ( ) [0]} { | , } ( )fK k f k k k jn j I n= = = = ∈ = . 因此， , ,fK + i 为由n产生的主理想. Stability 矩形