十个利用矩阵乘法解决的经典题目

不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了 就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n 行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵 第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个 2 行 2 列的矩阵 乘以 2 行 3 列的矩阵，其结果是一个 2 行 3 列的矩阵。其中，结果的那个 4 等于 2*2+0*1： 下面的算式则是一个 1 x 3 的矩阵乘以 3 x 2 的矩阵，得到一个 1 x 2 的矩阵： 么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又 满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和 A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。 经 平移、缩放、翻转和旋转 这里的操作是对所有点同时进 旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩 阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直 接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面 5 个矩 阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部 乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。 矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什 典题目 1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有 行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况）， 经 由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可 以得 A^(n/2) * A （其中n/2 取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例 如，为了算出A^25 的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3 的值即可。根据 典题目 2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。 到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * 这里的 一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。 经典题目 3 POJ3233 (感谢rmq) 分别相加）。输出的数据mod m。 这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题 目的数据规模k进行二分。比如，当k=6 时，有： A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 = 题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + … + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置 k<=10^9。 (A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3) 应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求 即可得到原问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 。 经典题目 4 出A^3 后再递归地计算A + A^2 + A^3， VOJ1049 的序列。m<=10, k<2^ 首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置 换k/m次（取整，若有余数则剩 形式。例如，将 1 2 3 4 置换为 3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法： 题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后 31。 下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的 置换k/m次就相当于在 前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次 再乘以初始序列即可。 出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可 竞赛》207 页（2.1 代数方法和模型，[例题 5]细菌，版次 同可能页码有偏差） 求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过 2^31 根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个 2 x 2 的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果 2 x 2 的矩 方， 做 能还有几个置换需要模拟。 经典题目 5 《算法艺术与信息学 不 大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作， 然后二分求最终状态。 经典题目 6 给定n和p， 是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个 阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个 2 x 2 的矩阵很容 易构造出来： 题目 7 VOJ1067经典 我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为： 的小矩阵中的主对角线上填 1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都 在右上角的(n-1)*(n-1) 填 0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项： 利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为 1 的情况。 题目 8 给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 数mod 的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1 当且仅当存在一条边 i->j。令C=A*A，那么 (i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过 2 条边的路径数（枚举k为中转点）。 需要二分求出A^k即可。 经典 p的值 把给定 C 类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过 3 条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路 径数，我们只 经典题目 9 用 1 x 2 的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案，M<=5，N<2^31，输出 答案mod p的结果 我们以M=3 为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一 列地进行填充。其中前n-2 列已经填满了，第n-1 列参差不齐。现在我们要做的事情是把第 列也填满，将状态转移到第n列上去。由于第n-1 列的状态不一样（有 8 种不同的状态） 列一 n-1 ， 我们需要分情况进行讨论。在图中，我把转移前 8 种不同的状态放在左边，转移后 8因此 种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根 线。注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1 列竖着放一个多米诺骨牌（例 如左边第 2 种状态不能转移到右边第 4 种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。把 这 8 种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态 111 出发，恰好经 过n步回到这个状态有多少种方案。比如，n=2 时有 3 种方案，111->011->111、111->110->111 和 111->000->111，这与用多米诺骨牌覆盖 3×2 矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化 为了我们前面的例题 8。 后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。 经典题目 10 POJ2778 题目大意是， 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 所有可 的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出 10 个以内的病毒片段， 能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法 每个片段长度不超 过 下面的讲解中我们以 通过构图将问题转化为例题 8。我们找出所有病毒片段的前缀，把n位DNA分为以下 7 类： 以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以??结尾。其中问 号表示“其它情况”，它可以是任一字母，只要 缀。显然，这些分类是全集的一个划分（交集为空，并集为全集）。现在，假如我们已经知 道了长度为n-1 的各类DNA中符合要求的DNA个数，我们需要求出长度为n时各类DNA的个 数。我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如，从AT不能转移到AA， 从AT转移到??有 4 种方法（后面加任一字母），从?A转移到AA有 1 种方案（后面加个A）， 从?A转移到??有 2 种方案（后面加G或C），从GG到??有 2 种方案（后面加C将构成病毒片段， 不合法，只能加A和T）等等。这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。然后， 我们就把这个图转化成矩阵，让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从??状态到所有其它 状态的路径数总和。 题目中的数据规模保证前缀数不超过 100，一次矩阵乘法是三方的，一共要乘log(n)次。 因此这题总的复杂度是 100^3 * log(n)，AC了。 最后给出第 9 题的代码供大家参考（今天写的，熟 了避免大家看代码看着看着就忘了，我把这句话放在前面来说： Matrix67 原创，转贴请注明出处。 #include #define SIZE (1<