高级宏观05

第五章 内生增长模型 在前面，我们讨论了 Ramsey模型、Solow—Swan模型以及它们的诸多推广.在那些模型 中，有一个共同的特点：在时间充分远的时期，资本积累路径、消费水平路径、产出路径等 经济主要参数的路径都收敛到各自的均衡值，之后不再增长.但是实际经济，从美国、日本 和欧洲等国家和地区的经济来看，经济是没有停止的，如何来解释这种现象呢？Solow模型 用技术进步来解释，在引入技术进步后，人均资本积累路径、消费水平路径、产出路径和内 生变量的路径将按照外生的技术进步率增长，但是注意到这种增长是因为外生的技术造成 的，是否具有一些内生的因素导致经济出现上面的收敛特征呢？本章就来考虑这类模型.事 实上，这类模型是在上世纪八十年代 Rome和 Lucas分别讨论后才成为人们解释经济增长的 重要模型，关于内生经济增长的模型在 1968年 Kurz就给出了一个例子，但是它没有引起人 们的注意，也没有很好的解释.这里给出的是 Lucas和 Romer的工作. §1. AK模型 在 Solow模型和 Ramsey模型中，如果要求均衡点存在，必须对生产 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 作一定的假设： 生产函数对各个变量的边际生产率是正的和递减的，而且满足 Inada条件.但是经济中有一类 函数，他不满足新古典的假设，这样就可能出现经济不再收敛到均衡点的特征.现在来研究 这一类的经济.我们将在 Solow模型的框架和 Ramsey模型的框架讨论这类模型. 1.Solow模型中的内生增长 在 Solow模型的基本假设下，人均资本存量的积累方程可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 ( ) ( ) ( )k t sf k nk t= −� 其中初始资本存量水平 给定， 和 分别为常数储蓄率和人口增长率.为简单起见，这 里没有考虑到资本存量的折旧. )0(k s n 如果生产函数 Akkf =)( 其中 为正常数，它可以反映技术进步参数，也可以表示资本的边际生产率.这样 为常数，它违背了 Inada 条件，因此第二章给出的讨论不再适用.需要重新考虑这个模型. A Akf =′ )( 在这个生产函数的假设下，人均资本存量的增长率很容易可以得到 ( ) ( )k k t sA n k t γ = = −� 因此，人均资本存量的增长率为常数，如果 ，它还是一个正常数.同时，因为人 均产出和人均消费水平为 nsA > Akkfy == )( ， )()1( kfsc −= 这样，人均资本存量水平的增长率等于人均消费水平的增长率，也等于人均产出的增长率. 这个公共的增长率为 nsAcyk −=== γγγ 我们把满足上面性质：资本存量水平的增长率、消费水平的增长率、产出的增长率都等 于常数的路径叫做平衡增长路径.这是内生经济增长模型的主要特征.我们对于特殊的生产函 数已经讨论了在均衡时资本存量、消费水平和产出等的增长率的特征.我们下面对一般的生 产函数而言，来考虑内生增长的条件和内生增长的特征. 对于一般的生产函数，资本存量的增长率可以表示为 ( ) / ( ) ( ) /k k t k t sf k k nγ = = −� 从而有下面的性质： 性质 5.1.1：对于生产函数 ，如果要保证均衡时资本存量的增长率为正常数，必须 要求 li 存在，而且这个极限满足 ( )f k m ( ) / k f k k→∞ snkkf k //)(lim >∞→ 118 证明过程很简单.因为对于内生经济增长，必须保证均衡时的资本存量的增长率为正常 数，从而可以得到性质的证明. 如果生产函数是连续可微的，性质 5.1.1 中给出的条件可以表示为 snkf k /)(lim >′∞→ 上面的条件表示要出现内生经济增长，资本存量的边际生产率要大于某一常数.下面给出几 个生产函数的例子 例 5.1.1.假设生产函数 αBkAkkf +=)( 其中 为正常数，BA, 10 <<α 为常数. 这样，资本存量的边际生产率 ，而且满足 1)( −+=′ ααBkAkf ABkAkf k =+=′ −∞→ 1)(lim αα 因此，在条件 下，由性质 5.1.1 知道均衡时的人均资本存量、人均消费水平和人 均产出的增长率为正常数，而且是相等，即 snA /> nsAcyk −=== γγγ 例 5.1.2.对于 CES 类的生产函数 βββ αα 1])1([),( −−− −+= LKLKF 其中 10 <<α ， 1−≥β 为常数. 显然， 仅当 0=β ，即 Cobb-Douglas 情形时，生产函数满足第一章性质 1.1.1 的条件， 从而可以得到均衡点是存在的、唯一的，进一步由性质 1.1 知道均衡点是鞍点稳定的.当 0>β 时，人均产出 βαα β 1)]1([)( −− −+== kkfy 而且 βααα ββ 1)]1([)( 1 −−−− −+=′ kkkf 因此， ，这也违背了 Inada 条件.就不可能出现第二章性质 2.1.1 出现的 结论.进一步地，在条件 下，均衡时人均资本存量、人均消费水平和人均产出的 增长率为相等的正常数，即 βα /1)(lim −∞→ =′ kfk ns >− βα /1 nscyk −=== − βαγγγ /1 . 从而出现了内生经济增长. 注：上面的模型可以这样来理解，假设存在 个厂商，对于每个厂商，他的技术的 Cobb-Douglas 型 的函数 N 1 j j jY AK L α α−= 其中 0 1α< < ， A是表示技术的参数.AK 模型把技术内生化，假设技术由所有社会的资本创造，即 0 1 1( ) N j j A A K N η = = ∑ ， 其中η度量了资本的“边干边学”的外部性. 为简单起见，假设 ，这样总量的人均产出为 1jL ≡ 1 0 NY A N Kα α η− − += 如果 1α η+ = ，我们就得到 AK 生产函数，这也是我们叫内生经济增长的原因. 2.Ramsey 模型中的内生增长 在 Ramsey 模型的基本框架和假设下，假设生产函数为 Akkf =)( ，这样 为 常数，它违背了 Inada 条件，因此，第三章给出的结论就不再适用.下面来仔细研究这个模 Akf =′ )( 119 型. 2.1 家庭的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 代表性家庭在他的预算约束下，选择消费路径和资本积累路径，来极大化他的效用，即 ∫∞ −= 0 ))((max dteetcuU tnt ρ 受约束于初始资本存量 和下面的预算约束条件 0)0( aa = )()()()()()( tnatctatrtwta −−+=� 以及下面的为避免债务水平过高的 NPG 条件 0]}))((exp[)({lim 0 ≥−−∫∞→ tt dvnvrta . 利用 Hamilton 系统求解上述优化问题，很容易可以得到人均消费水平的增长率为 ( ) ( ) ( )c c u c r c u c c γ ρ′= = − −′′ � 和横截性条件 0 lim{ ( )exp[ ( ( ) ) ]} 0 t t a t r v n dv→∞ − − =∫ 2.2 厂商的行为 和第三章不同，这里假设生产函数 Akkf =)( .这样，由厂商的利润极大化问题得到 δ−= Ar ， 0=w 这里因为劳动的边际生产率为零，因此工资率为零. 2.3 均衡 在均衡时，所有的需求等于供给.包括 ka = ， 因此，人均资本存量和人均消费水平的 积累方程分别为 ( )k A n kδ c= − − −� ( )/ [ ( )c u cc c A u c c ]γ ρ δ′= = − − −′′� 同时，TVC 条件可以写成 . 0lim )( =−−−∞→ tnA t ke δ 为得到显示的经济增长率，我们选取 CES 效用函数 1 1( ) 1 cu c θ θ − −= − ，其中 0>θ 为常数， 表示不同期间消费的跨时替代弹性的大小. 通过最优性条件，很容易可以求得显示的人均消费路径 tAectc )(/1)0()( ρδθ −−= 其中初始的消费 待定. )0(c 这样，为保证积分的收敛性和均衡时消费水平持续增长，必须假设 1 ( )A Aθ nρ δ δ ρθ −> + > − − + +δ 第一个不等式是为了保证消费水平的增长率为正，第二个不等式是为了保证积分的有界 性和横截性条件成立. 把显示的消费路径代入资本积累方程得到 1/ ( )( ) ( ) ( ) (0) A tk t A n k t c e θ ρ δδ − −= − − −� 因此，资本积累路径 ( ) 1/ (( ) (constant) (0) /A n t A tk t e c e )δ θ ρ δϕ− − − −= + 其中 ( )( 1) / /A nϕ δ θ θ ρ θ= − − + − 由横截性条件有 (0)lim{constant } 0t t c eϕϕ→∞ + = 因此， )0()0( kc ϕ= .进一步地，可以得到 ( ) ( )c t k tϕ= ，因此人均消费水平和人均资本存量 的增长率相等，为下面的公共的正常数 120 1 ( )k c Aγ γ δ ρθ= = − − 同时，注意到 Aky = ，进一步知道人均产出也等于上面的公共常数，即 )(/1 ρδθγγγ −−=== Acky 另外，总的储蓄率也为常数，他等于 ( 1)( ) / (1/ )( )k A ns K K Y A n A ρ θ θδ γ δ θ − + + −= + = + + =� δ 上面的结论是对于特殊的生产函数得到的，实际上，对于一般的生产函数，同样有上面 类似的性质，上面的结论综合如下 性质 5.1.2：在 Ramsey 模型中，如果资本存量的边际生产率趋近于常数 ，并且 满足 0>A ρδ +>A ，那么均衡时的人均产出，人均资本存量与人均消费水平的增长率相等，而 且为正常数，这个公共的常数为 1/ ( )y k c Aγ γ γ θ δ ρ= = = − − 进一步地，均衡时的消费水平与资本存量之比趋近于常数，即 lim / k c k ϕ→∞ = , 其中 ( )( 1) / /A nϕ δ θ θ ρ θ= − − + − 为常数. 证明：在 Ramsey 模型中，对于 CES 效用函数，我们得到 ( ) / /k f k k c k nγ δ= − − − 1 ( ( ) )c f kγ ρ δθ ′= − − 由横截性条件知道 lim[ ( ) ] lim( )kt tf k nδ γ→∞ →∞′ − > + 在均衡时，各个内生变量的增长率趋近于常数.如果假设 *lim 0k kt γ γ→∞ = > ，因此资本存量 保持长期的增长，且 .这样横截性条件为 ∞=∞→ ktlim *lim ( ) 0kt f k n nγ δ δ→∞ ′ > + + > + > 由假设 li ，我们得到均衡时人均资本存量的增长率为正常数的条件为m ( ) 0 t f k A→∞ ′ = > nA +> δ . 若 ，这样由0* >kγ 0)(lim >=′∞→ Akft 得到 )( 1* ρδθγ −−= Ac ，从而得到人均消费水 平增长率为正的要求是 ρδ +>A .由横截性条件的要求 n>ρ ，自然有 nA +> δ ，从而人 均资本存量也会无限地增长. 下面来证明 .首先由人均资本存量的积累方程，得到 ** ck γγ = * lim /k kA c k nγ δ→∞= − − − 若 ，这样人均资本存量的增长速度比人均消费水平的慢，因此有 ， 这样得到 ，与 矛盾.若 ，则 ** ck γγ < ∞=∞→ kck /lim −∞=*kγ 0* >kγ ** ck γγ > 0/lim =∞→ kck ，因此 ， 这与横截性条件 δγ −−= nAk* δγ ++>′∞→ nkf kt *)(lim 矛盾.因此，综合得到 . ** ck γγ = 由 *k *cγ γ= ，简单的计算可以求得 lim /k c k ϕ→∞ = ，其中 ( )( 1) / /A nϕ δ θ θ ρ θ= − − + − . 证明完成 上面性质给出了 Ramsey 模型中出现内生经济增长的充分条件.同时，给出了均衡时的基 本特征：人均消费水平、人均资本存量和人均产出的增长率为相等的正常数.下面给出内生 经济增长的动态过渡问题. 121 2.4.内生增长的动态过渡 在第三章均衡点存在时讨论了经济如何从初始的非均衡收敛到均衡点的过程.这里同样 考虑这种性质，在初始时，经济一般还没有达到均衡状态，初始的各个经济变量的增长率还 没有收敛到均衡时的状态，因此考虑经济从非均衡到均衡就具有重要的意义了.为简单起见， 以下面一类生产函数来说明 ),(),( LKAKLKFY Ω+== 其中 为正常数，生产函数 满足新古典的生产函数的性质. A Ω 由性质 5.1.2 知道，对于上面的生产函数类，因为资本存量的边际生产率趣近于 ， 因此内生经济增长在参数满足 A ρδ +>A 时是存在的，而且在给定的 CES 效用函数下，经济 增长率等于 * 1 ( )c Aγ δ ρθ= − − . 为简单起见，下面通过一个例子来讨论动态过渡问题.假设生产函数Ω为 Cobb-Douglas 形式，即 1( , )Y F K L AK BK Lα α−= = + 其中 和0, 0A B> > 0 1α< < . 把生产函数代入最优性条件得到资本存量和消费水平的增长率分别为 1 1 / ( 1/ [ ] k c A Bk c k n A B k α α )γ δ γ θ α δ ρ − − = + − − + = + − − 由性质 5.1.2 知道，当 δρ +>A 时，内生经济增长存在，而且资本存量和消费水平的 增长率会收敛到下面的公共常数 ][/1* ρδθγ −−= A 同时，人均收入水平和人均资本存量的比率也会收敛到一个常数.现在考虑经济如何收 敛的问题.为考虑这个问题，要进行变换把无穷远的情况转换成有限的情况来讨论.注意到， 人均消费水平、人均资本存量和人均产出的增长率为相等的正常数，因此，人均消费水平和 人均资本存量比率，人均收入和人均资本存量比率都会收敛到有限的常数.因此我们可以把 它们作为新的变量引入.为此，定义新变量 kkfz /)(= 和 kc /=χ .通过简单的计算可以得 到新变量的动态方程 (1 )( )( )z z A z nα χ δ= − − − − − −� [( ) ( )]z Aθ αχ χ χ ϕ θ −= − − −� 其中 ( )( 1) / /A nϕ δ θ θ ρ θ= − − + − . 均衡点 在),( ** χz 0== χ��z 时达到，它满足 Az =* ， ϕχ =* 很容易可以讨论这个均衡点的稳定性，这里只用相位图来说明.在（ χ,z ）平面中， 0=χ� 对应的曲线为 (z Aθ αχ ϕ θ −= + − ) ,它的斜率为 θ αθ − .因此如果 αθ > ，斜率为严格小于 1的 正数；当 αθ < 时，则斜率为负的，此时跨时替代弹性很小，这里不讨论.同理， 对 应的曲线为 或者 0=z� Az = δχ ++= nz .它们分别为平面中的垂线和斜率为 1 的直线.因此， 曲线 的斜率比曲线0=z� 0=χ� 的大.因此可以证明它们的交点，也就是均衡点 为鞍 点稳定的. ),( ** χz 当初始的收入—资本存量值大于均衡时的收入—资本存量值时，按图中所示的方向，消 费者选择初始的消费水平—资本存量比值，使得 ( (0), (0))zχ 正好位于鞍点路径，从而收入— 资本存量和消费—资本存量比值都单调下降，直到达到各自的均衡值. 122 0=z� 0=z� 0=χ� )0(χ ϕχ =* ϕ=*z )0(z z 3．熊彼特框架下的增长 下面按照熊彼特的框架考虑增长问题，在一个封闭的经济，最终产品由下面的技术生产 11 0 i i Y L A x diα α−= ∫ （5.1.1） 其中 ix 是投入生产第 种投入品，i iA 表示生产率的参数， 是劳动力投入. L 假设中间产品 ix 是由下面的技术生产 /i i ix K A= （5.1.2） iK 是投入在第 i个部门的资本，除以 iA 表示 ix 是由资本深化的技术生产. 假设垄断厂商生产第 i部门的投入品，假设每部门的价格按照产出的边际生产率决定， 即 1 1 i i ip A x L α αα − −= 成本函数是 ( ) ( ) ( )i iC x r K r A xi iδ β δ β= + − = + − （5.1.3） 其中 是利率，r δ 为折旧率， β 是资本积累的补贴率. 把 正规化 1，这样垄断厂商选择L ix 极大化利率 1max{ ( ) }i i i i iA x x r A x α iα δ β π− − + − = 显然，上面问题的解是与 i无关的.因此在均衡时 / /i iK A x K A k= = = 其中 1 1 0 0 ,i iK K di A Adi= =∫ ∫ .因此 是每个有效劳动的资本存量.上面问题的最有性条件为 k 2 1k rαα δ β− = + − （5.1.4） 这个等式表示了资本方程的第一个最优条件.第二个条件是无套利条件，下面来推导这 个条件. 第 个部门的技术的变革会把这个部门的边际生产率的参数i iA 提升到边际生产率的边 界 max max j jA A= .假设中间产品部门的变革服从 Poisson 过程， nλ ，λ是度量 R&D 的边际生 产率， 是每个中间产品的 R&D 的花费数量除以学习边界的生产率水平n maxA . 无套利条件表示 R&D 的净的边际成本1 ψ− 等于由一个单位的最终产品投入在 R&D 所产 生的预期的调整的生产率值，他等于 max/ Aλ 乘以在任意的中间品部门的变革的值.即 V r n π λ= + （5.1.5） 其中 1 max maxmax{ ( ) } ( ) (1 )i i i i iA x x r A x A k A kα απ α δ β π α α−= − + − = =� − . 因此， ( )1 k r n πψ λ λ− = + � （5.1.6） 方程（5.1.4）和（5.1.6）共同决定均衡的 R&D 水平，他是经济的参数的函数，在利率 给定的前提下，均衡的 R&D 会得到增加，如果 R&D 的补贴或者资本的补贴率增加，这样会提 高 R&D 的生产率；反之，如果资本的成本增加，均衡的 R&D 会减少. 现在考虑 R&D 到增长，假设跨部门的传播导致 maxA 增长，即 max max A n g A λ σ= =� （5.1.7） 其中 0σ > 是跨部门传播的大小. 下面考虑熊比特的增长，假设最终产品按照下面的过程生产 123 1 0 i i Y L R A x diη ν α= ∫ （5.1.8） 其中 是自然资源，R 1α η ν+ + = . 在均衡时，所有的中间产品部门生产相同的中间产品 /x K A= ，因此 1Y A K L Rα α η ν−= （5.1.9） 假设知识传播者的等式是 max max A A n g AA λ σ= = =� � 假设消费者的效用函数 1 1( ) 1 cu c θ θ − −= − ，消费者在自己的预算约束下极大化自己的贴现效 用，从而得到 11 1( ) ( ( )c Y A R c K K α ν )ρ δ α ρ δθ θ −∂= − − = − −∂ � （5.1.10） 假设政府需要保持自然资源按照常数 递减，这样 q /R R q= −� （5.1.11） 为保证消费的增长率为常数 0g ，考虑在均衡时 /A A nλ σ=� ， 0/ /K K c c g= =� � ，因此 1 0ln(( / ) ) (1 )( ) 0 dtd A K R n g qα ν α λ σ ν− = − − − = （5.1.12） 当 λ和σ 充分大时，总存在 ，即存在*n ,β ψ 满足方程（5.1.12）.从而 1( )A R K α ν− 为常数，可 以出现内生增长. 注：在古典的 Ramsey 模型中，假设产出Y AKRν= ，假设自然资源的存量 满足 S S R= −� 这样 Ramsey 模型为 1 0 1max 1 tc e dt θ ρ θ −∞ −− −∫ 受约束于 K Y c= −� ， S R= −� 定义 Hamilton 乘子 ( ) ( )H u c AKR c Rνλ ξ= + − − 其中 ,λ ξ 分别是 Hamilton 乘子，表示资本存量和自然资本的影子价格. 最优性条件为 H K λ ρλ ∂= − ∂ � 0H c ∂ =∂ ξ ρξ=� 1AKRνλν ξ− = 这样得到 / 1/ (c c ARν )θ ρ= −� 因此，ξ 按照 ρ 增长，从而趋近于∞，这样必须 ，从而消费水平的增长率为负的.这样不能出 现永久的增长. 0R→ §2.其它的内生增长模型 下面来考虑其他的出现内生增长的模型. 1.具有人力资本的一部门的 Ramsey 模型 假设厂商投入物力资本K和人力资本H生产出产出，生产过程由下面的满足新古典性 质的函数 表示.由生产函数的一阶齐次性，得到 ),( HKFY = ( , ) ( / )Y F K H Kf H K= = 124 其中 . 0(.) >′f 厂商投入人力资本与物力资本来生产产出，假设人力资本与物力资本的回报率分别为 和 .厂商的利润极大化问题就是选择投入多少人力资本和物力资本来极大化它的利 润.即 HR KR , max ( , ) K HK H F K H R K R H− − 得到最优性条件为 / ( / ) / ( / ) / ( / ) K H R Y K f H K H Kf H K R Y H f H K ′= ∂ ∂ = − ′= ∂ ∂ = 上面的条件还是熟悉的人力资本和物力资本的回报率等于各自的边际生产率.对这两种 资本，它们的净回报率分别为 HHR δ− 和 K KR δ− .在无套利的完备资本市场，资本是完全可 以替代的.因此这两种资本的回报率必须相等.这样得到 ( / ) (1 / ) ( / ) K Hf H K H K f H K δ δ′− + = − i 由上面的方程可以唯一地决定人力资本—物力资本比率 .因此最优时， 为 常数.这样厂商的生产函数可以写为 KH / KH / ( , ) ( / ) (constant)Y F K H Kf H K K= = = 这样生产函数在完备市场和资本可以自由移动的情形下，等价于 AK 类型的生产函数. 下面的讨论完全类似于前面.不再赘述. 2.具有技术进步的 Ramsey 模型 2．1 模型 在宏观经济中，假设第 个厂商的生产函数为 i ( , )i i iY F K A L= 其中 iA 为第 个厂商的技术指标，假设它的增长率为外生给定； 为第 i个厂商的劳动力投 入，假设总的劳动力为常数 . i iL L 在“边干边学”假设下，同时知识是可以传播的.因此可以假设每个厂商的技术指标一 致，它与当期的总的资本存量有关.即假设 iA K= . 厂商的利润可以表示为 [ ( , ) ( ) ]i i iL f k K r k wδ− + − f k K F K KL L= r其中函数 ，( , ) ( , ) /i i i i δ+ 为资本回报率， 为工资. w 假设厂商数量足够多，每个厂商的资本存量与总的社会资本存量比较足够小，因此对每 个厂商来讲，总的资本存量是外生给定的.因此，厂商选择自己的资本存量水平和劳动力来 极大化它的利润.这样，得到 1 1 / / i i i i i y k f r Y L f k f w δ∂ ∂ = = + ∂ ∂ = − = 均衡时的每个厂商的资本存量一致. 因此 ik k= 和 K kL= ，这样有 ( , ) / ( / ) ( )i i if k K k f K k f L= =� � 且 1( , ) ( ) ( )if k K f L Lf L′= −� � 2．2 分散经济 由消费者，厂商的的最优行为，可以得到均衡时的消费水平的增长率 1 1 1[ ( , ) ] [ ( ) ( ) ]c if k K f L Lf Lγ δ ρ δ ρθ θ ′= − − = − − � � − 在假设 (1 )( ) ( ) [ ( ) ( ) ]f L Lf L f L Lf Lθδ ρ δ ρ δθ −′ ′− > + > − − − +� � � � 时，均衡时的资本存量，消费水 平的增长率为正的，并且相等，它们等于公共的常数 1 [ ( ) ( ) ]f L Lf Lγ δ ρθ ′= − − − � � . （5.2.1） 125 2．3 中央 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 者经济 在中央计划者经济时这样，资本存量的动态积累方程写成 ( )k f L k c kδ= − −� � （5.2.2） 中央计划者选择资本存量来极大化社会福利，即 0 max ( ( )) tU u c t e ρ ∞ −= ∫ dt 受约束于给定的初始资本存量和约束条件（5.2.2）. 通过简单的计算得到均衡时的资本存量、消费水平的增长率相等，它们为公共的常数 1ˆ [ ( ) ]c f Lγ ρ δθ= − − � （5.2.3） 2．4 分散经济和中央计划者经济的不等价性 从方程（5.2.1）和（5.2.3）知道，分散经济的框架和中央计划者经济的框架给出的经 济增长率是不相等的.通过比较知道，中央计划者的经济增长率比分散经济的经济增长率高. 出现上面的原因是因为在分散经济中，消费者和厂商都根据各自的信息来决定最优行 为，他们都是在自己的部信息的情话下决定的.在分散经济时，市场利率等于资本存量的边 际生产率 ( ) ( )f L Lf L′−� � .而中央计划者是完全信息的，考虑到知识的传播作用，厂商的资本 存量的边际生产率为 ( )f L� ，他比分散经济的高. 在这种情形下，政府可以通过补贴等手段， 使得即使在分散经济下，也可以获得和中央计划者经济一样的经济增长率. 3.具有两种资本的单部门模型 仍然假设厂商投入物力资本K和人力资本H生产出产出， ( , )Y F K H= 其中生产函数满足新古典生产函数的性质，只是把劳动力变成人力资本. 假设在物力资本K和人力资本H 的投资分别为 .这样均衡时经济的资源约束可 以表示为 HK II , ( , ) K HY F K H C I I= = + + 即总的产出用来消费和投资，投资包括在物力资本上的投资和人力资本上的投资. 假设在两种资本的积累过程分别为 ,K HK I K H I Hδ δ= − = −� � 厂商雇佣人力资本与物力资本，假设其回报率分别为 和 ，由厂商的利润极大化， 得到 HR KR / ( / ) / ( / ) / ( / ) K H R Y K f H K H Kf H K R Y H f H K ′= ∂ ∂ = − ′= ∂ ∂ = 对这两种资本，它们的净回报率分别为 HHR δ− 和 KKR δ− .在无套利的完备资本市 场，这两种资本的回报率必须相等，因此，得到 ( / ) (1 / ) ( / ) K Hf H K H K f H K δ δ′− + = − 上面的方程可以唯一地决定 .因此 为常数，与系统无关.这样厂商的生产函数可 以写为 KH / KH / KKHKfHKFY )constant()/(),( === 因此也为 AK 模型的生产函数. 如果假设生产函数为 Cobb-Douglas 生产函数，而且 δδδ == KH ，这样有 αα −= 1// HK 这样均衡的资本回报率（人力资本和物力资本的回报率相等）为 δαα αα −−= −1)1(Ar 此时，得到的消费水平、人力资本和物力资本的增长率相同，都等于 ])1([/1 1* δρααθγ αα −−−= −A 这里得到在所有的物力资本 K 和人力资本 H 积累的路径上，始终要满足 αα −= 1// HK ，特别地对初始的时刻要满足上面的条件.因为初始的条件是给定的，因 126 此这一条件不一定满足.考虑下面的情况 当 αα −< 1/)0(/)0( HK .这样表明人力资本相对于物力资本的积累过渡.因此，必须 选择人力资本的投资路径 ，这样得到人力资本的路径为 0=HI teHtH δ−= )0()( 如果 ，Hamilton 函数定义为 0=HI )),(()( KCHKFCuH δν −−+= 这和新古典的问题一致.消费者在人力资本路径给定的情况下，选择消费水平和在物力 资本上的投资来极大化消费者的效用.与古典的差别是随着人力资本的下降，物力资本的上 升， 的水平上升直至达到HK / αα −= 1// HK .此时人力资本的边际回报率等于物力资 本的边际回报率.这样对人力资本投资的约束 0=HI 不再要求.这时两种资本的增长率和产 出的增长率相同，都等于 ])1([/1 1* δρααθγ αα −−−= −A 当 αα −> 1/)0(/)0( HK .这样表明人力资本相对于物力资本的积累不足.因此，必须 选择物力资本的投资路径 ，这样得到物力资本的路径为 0=KI teKtK δ−= )0()( 如果 ，Hamilton 函数定义为 0=KI )),(()( KCHKFCuH δν −−+= 和前面的讨论一致.消费者在物力资本路径给定的情况下，选择消费水平和在人力资本 上的投资来极大化消费者的效用.与古典的差别是随着物力资本的下降，人力资本的上升， 的水平下降直至达到HK / αα −= 1// HK .此时人力资本的边际回报率等于物力资本的 边际回报率.这样对人力资本投资的约束 0=KI 不再要求.这时两种资本的增长率和产出的 增长率相同，都等于 * 11/ [ (1 ) ]A α αγ θ α α ρ δ−= − − − 4.具有习惯资本的模型 假设消费者的效用定义在他的相对消费水平上，消费者的相对消费就是消费与资本的相 对量.为简单起见，假设效用函数为 CES效用函数，即 σ σ γ −= − 1 )( ),( 1 i i z c ii zcu 其中 为相对消费.z γ 衡量相对效用的重要程度的指标.如果 0=γ 就是通常的效用函数.如果 1=γ 就是直接的消费—资本存量效用.这和第三章第三节的效用函数一致.这里通常假设 10 <≤ γ .为保证效用函数的合理性假设 γσ −≥ 1 1 .这保证了效用函数的凹性. 同样地，也假设生产函数为 Aky = 对家庭 i来讲，因为相对整个经济来讲，他的经济足够的小，不足以影响相对消费，因 此在消费者行为中，相对消费路径是给定的.因此，消费者的问题就是选择消费路径和资本 存量路径极大化他的效用，即 ∫∞ −0 ),(max dtezcu tii β 受约束于 iii ckAk −−= )( δ� 初始资本存量 给定. )0(ik 考虑相对资本的增长，我们假设 （1）第一种情形：假设相对资本的增长满足下面的方程 )( ii zcz −= ρ� 127 其中 为整个社会的平均消费水平. c （2）第二种情形：假设相对资本增长满足下面的方程 )( iii zcz −= ρ� 先考虑第一种情形， 可以从方程直接解出，因此相对资本存量的路径是外生给定的. 定义 Hamilton方程 iz 1 ( , ) (( ) )i i i iH u c z A k cπ δ= + − − 其中π 为 Hamilton乘子，它还是代表财富的边际效用. 在第二种情形， 是内生给定的.此时，Hamilton方程定义为 iz 2 ( , ) (( ) ) ( )i i i i i iH u c z A k c c zψ δ λρ= + − − + − 其中 ,ψ λ分别为 Hamilton乘子，它们同样表示财富的边际效用. 4.1第一种情形 考虑相对资本存量满足第一种情形时，最优性条件为 cu π= ( )Aπ π β δ= + −� 和横截性条件 i i k k π βπ+ < � � 因为 iczicc zucu ��� +=π ，所以人均消费的增长方程为 1 ( (i i i i c z A c z δ β γ σσ= − − + − � � 1) ) 在均衡时，所有的家庭都是一致的，即 cci = ，这样我们得到 1 ( ( 1)(c cA c z δ β γ σσ 1))= − − + − − � 定义消费水平—资本存量比率 ，通过计算得到 zc / ( / ) [ ( 1d c z c c c dt z c z ρ )]= − −� 均衡时的消费水平—资本存量比率 收敛到常数，因此zc / ( / ) 0d c z dt = ，这样，均衡时的消费 水平—资本存量比率 满足 zc / 1 11 1 (1 ) c A z c β δ c ρ γ σ σ ρ − −= + = +− + � 从而得到消费水平的增长率为 (1 ) c A c β δ γ σ σ − −= − + � 上面的等式表明了参数和均衡时的消费增长率的关系.我们看到反应相对消费的变量 ρ 并不影响均衡时的消费水平的增长率.这是因为：如果 ρ下降，对一个给定的消费增长率， 均衡的消费水平—相对资本存量水平 增加.而相对资本存量水平是给定的，因此消费者 消费水平增加，也就是消费水平的增长率下降；同时， zc / ρ的下降可以使消费水平—相对资 本存量水平 的价格下降，因此消费水平增长率上升.两种效果正好抵消，因此对消费增 长率不影响. zc / 4.2第二种情形 考虑相对资本存量满足第二种情形，这样我们得到的一阶条件为 cu ψ ρλ= − ( ) zuλ ρ β λ= + −� ( )Aψ β δ ψ= + −� 和横截性条件 ；lim 0, 0t t e kβ ψ ψ−→∞ = ≥ lim 0, 0tt e zβ λ λ−→∞ = ≤ 下面求均衡时的经济增长率.首先由一阶条件，有 128 ( )( )c cu u zuψ ρ β ψ ρ= + + − −� � 从而得到 ( ) ( )( )c c zA u u uβ δ ψ ρ β ψ ρ+ − = + + − −� 这样， ( / ) [ ( 1)]c c cc z z c z ρ= − −�� 和 2 2 2 ( / ) ( / ) (2 2 (1 )) ( (1 ) 1)( / ) 2 (1 ) ( (1 )(2 1) 1(2 )) {( )( ) (1 ) [ ( (1 ) 1) (2 2 )]} d c c cc c A dt c c c cc z c z z A A A σ β ρ δ γρ σ ργρ γ γ σ γρ σ ργ σ σσ β ρ σ β δ ρ β β δ ργ σσ ρ γ σ β ρ δ = + + + − − − − − + + − + − − + + − + − + + + − + − × − + − + + − � �� � 在平面（ 中给出曲线)/,/ zccc� 0)/( =dt ccd � 和 .我们可以看到曲线0)/( =�zc 0)/( =dt ccd � 和 在第一象限和第四象限分别得到两个交点.我们考虑第一象限的交点，这就是均衡 时的消费水平的增长率和均衡时的消费水平—相对资本存量.我们可以证明这个均衡点是鞍 点稳定的.图中的黑线就是鞍点收敛路径. 0)/( =�zc c ( c/� =�zc 0)/ 0)/( =dt ccd � zc / 0)/( =dt ccd � 同理引入变量：资本存量—相对资本存量比率 ，因为 zk / ( / ) k k zk z z z z = −� �� 所以 ( / ) [ ( 1)]k ck z A z z δ ρ c z = − − − −� 同样可以求得均衡时的资本存量—相对资本存量比率 1 ( (1 ) ) ( )[ ] ( )(1 )( 1) k A z A ρ γ σ σ δ β ρ δ σ γ β − + + − −= − − − + 同样可以在平面中表明他们的收敛特征 ( zk / 0)/ =�zk zk / 129 )(/11 δρ −+ A Carroll在这种框架下讨论了经济学中的各种模型，如在这个框架下讨论了货币的作用， 讨论了消费函数，Compell，Sunderason和 Constainides等讨论了资产定价，在这个模型下给 出了资产定价的难题的讨论. §3. 两个部门的内生增长模型 我们现在考虑真正的两部门的增长模型，这个模型的增长特征和一个部门的模型具有很 大的差异，正是这些差异使得我们可以利用它来解释经济学中的难题 .我们主要考虑 Uzawa-Lucas模型，然后考虑在这个模型下的动态特征，以及这个模型出现的不定性的结论. 1.一般的两部门模型 我们采用 Rebelo(1991)给出的最一般的框架来考虑.假设厂商的投入分为物力资本K和 人力资本H，两种资本的的积累过程分别由两种生产过程给出，假设厂商投入物力资本K和 人力资本H的的用来生产消费品的产出的份额分别为 .这样有下面的积累方程 uv, 1( ) ( )Y C K K A vK uHα αδ −= + + =� 1((1 ) ) ((1 ) )H H A v K u Hη ηδ −+ = − −� 其中Y 为商品的产出， A和 为正参数. 0 1B α≤ ≤ 和 0 1η≤ ≤ 为技术参数， 和 为用来生产 消费品的产出的两种资本的份额. v u 对于消费者他的问题仍然是选择消费路径，两种资本积累路径来极大化他的效用和.这 样，和前面类似，有下面的 Hamilton 函数 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ] [ ((1 ) ) ((1 ) ) ] tJ u c e A vK uH C K A v K u H H β α α η η ν δ µ δ − − − = + − − + − − − 其中ν 和 µ 分别为相应的积累方程的 Hamilton 乘子.这样，有最优性条件 ,J J K H ν µ∂ ∂= − = −∂ ∂� � 从而得到消费水平的增长率为 (1 )1 [ ( / )C A vK uH α ]γ α δ βσ − −= − − 其中 (1 )( / )A vK uH αα δ− − − 为物力资本在生产过程中的边际生产率； 在均衡时，所有资本的边际生产率一定相等.这样，可以得到生产函数中各个系数的关 系 1 1 1 1 v u v u η α η α=− − − − 同时，当 时， ； 时，1=u 1=v 0=u 0=v . 记 /p µ ν= 为两种资本边际效用的比，或者为影子价格之比.通过计算和的条件，得到 1/ / ( / ) [(1 ) /(1 )] ( / )p A B vK uHη η αµ ν α η α η η− −= = − − 可以通过另外的方式来看待的问题，定义总的生产函数 1[(1 ) ] [(1 ) ]Q Y pB v K u Hη η−= + − − 这样，得到 νµ /=p 的增长率为 /( ) 1/( ) (1 ) /( ) /( )[ (1p A p p α η α α η α η α η α ηγ φ αφ α− − − −= − ) ]−− (5.3.1） 其中记 1/ ( / ) [(1 ) /(1 )]A B η ηφ α η α η −= − − .这里关键的是引入了 /p µ ν= 从而增长率仅与 相 关. p 如果α η≠ ，知道 与 是一一对应的关系，因此 的增长率由(5.3.1)给出. 同时，可以看到在均衡时，消费水平，物力资本和人力资本的增长率是相等的. p /vK uH /vK uH 2.Uzawa—Lucas模型 2．1模型的框架 Uzawa-Lucas在简单的框架下考虑了上面的模型，在上面的模型中取参数 0=η 和 .1=v 130 这样，生产过程为 1( )Y C K K AK uHα αδ −= + + =� (1 )H H B u Hδ+ = −� 很容易得到由一阶条件，得到最优性条件 1 (1 ) ( ) / / (1 ) / / tu C e A B u A u B β α α α α ν µ ν α ω ν ν α ω µ µ δ − − − − ′ = = − δ= − + = − + � � 其中ν 和 µ 分别为相应的积累方程的 Hamilton 乘子. 为考虑经济增长的特征和动态过渡，采用第一节给出的模型一致，按照 Sala-I-Martin 和 Mulligan 的讨论，引进变量 / , /K H C Kω χ= = .这样，可以得到物力资本和人力资本的 增长率分别为 1 (1 ) K Au α αγ ω χ δ− − −= − − (5.3.2） (1 )H B uγ δ= − − (5.3.3) 这样得到 /K Hω = 的动态方程 (5.3.4) χωγ ααω −−−= −−− )1()1(1 uBAu 另外， 在 CES 的效用函数的假设下，由最优性条件可以得到消费水平的增长率 1 (1 )1 1( ) [C r Au α α ]γ β α ω β δσ σ − − −= − = − − (5.3.6) 因此，结合方程（5.3.2）和（5.3.6）可以得到 /C Kχ = 的增长率 1 (1 ) 1 [ (1 ) ]Au α αχ α σγ ω χ δ σ βσ σ − − −−= + − − + (5.3.7） 同时，由一阶条件也可以求得 (1 ) /u B Buγ α α χ= − + − (5.3.8) 这样系统的动态特征可以由(5.3.4)，(5.3.7)和(5.3.8)给出. 2．2 平衡增长路径 在平衡增长路径，人力资本存量和物力资本存量、消费水平的增长率为常数，投资在人 力资本的份额也是常数，由方程（5.3.3）知道均衡时投资在人力资本的份额也是常数.由 （5.3.6）知道，均衡时 1 (1u )α αω− − − 为常数，从而由方程（5.3.2）知道均衡时 χ 和ω是常数. 这样，均衡时满足 0u χ ω= = =� �� ，即 * 1/(1 ) * * ( / ) [ ( 1) / ] ( 1/ 1/ ), ( 1) / . A B B u α ,ω α ϕ σ χ ϕ α σ ϕ σ σ −= + − = + − = + − σ 这样，可以得到均衡时的资本的公共回报率为 δ−= Br * 和公共的经济增长率 * 1 ( )Bγ β δσ= − − 横截性条件要求 ，因此给出的均衡时的** γ>r , ,uω χ 均为正数，而 保证经济增 长率 1* 0 . 2．3 动态过渡 下面考虑各变量的动态过渡性质，即这些变量怎样由非均衡状态过渡到均衡状态.首先 引进参数 )1(1 ααω −−−= Auz 因为物力资本的边际生产率为 zα ，所以它的回报率为 δα −= zr