2.1 模糊集合及模糊关系

nullnull她漂亮的程度？2.1.1 导论null请到机场接一位头发中长、双眼皮、笑起来还蛮好看的大学女教授…null天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低null 我们日常生活中每天都会遇到大量的模糊概念和模糊现象。从20世纪20年代开始，就有学者思考和研究如何描述客观世界中普遍存在的模糊现象，直到1964年，美国伯克利加利福尼亚大学电气工程系教授L.A.扎德（Lotfi Asker Zadeh)博士把经典集合与多值逻辑融为一体创立模糊集合理论时，才真正开辟了研究模糊逻辑的科学途径。 什么是模糊逻辑？ 为什么要研究模糊逻辑？ 模糊逻辑的特点。 模糊逻辑的发展和现状。（1）模糊逻辑是什么? （1）模糊逻辑是什么? 模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。 　　模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具。 　　例如：通常我们评判一个成年男子，当他的身高： 　　　　低于1.60米——矮个子 　　　　　　1.69米——中等 　　　　　　1.80米——高个子 　　　　大于1.90米——非常高 　　如果一个人的身高为1.74米，我们说他是比较高的，但是在二值逻辑中就无法表达“比较高”，在模糊逻辑中我们可以说此人46%属于高，54%属于中等,这样就比较符合人的思维。模糊逻辑本身并不模糊，而是用来对“模糊”进行处理，以达到消除模糊的逻辑。（2）为什么要研究模糊逻辑?  （2）为什么要研究模糊逻辑?  模糊性是客观世界的普遍现象。 世界上许多事物都具有模糊非定量的特点。例如：年轻人、老年人、胖子、瘦子、高个子、矮个子、温度偏高，等等。这些都是没有量化的模糊概念。但是大家都心领神会，明白对方的意思。  null人具有运用模糊概念和模糊决策的能力。 例1：当一个人看到水管开的太大，他自然会想到关小点。 例2：当你正在开会，有人告诉你想找一个秃顶大胡子的人，你只要扫视一下会场，就能把这个人找出来。然而他如果精确地告诉你，他要找得人头上长着6238根头发，胡子有4812根，眼睛的 尺寸 手机海报尺寸公章尺寸朋友圈海报尺寸停车场尺寸印章尺寸 是多少多少，你反而可能就无法判断是哪一个人。       这里，模糊的概念得到一个精确的结果；相反，如果给出精确的描述，得到的结果可能是模糊的。正如扎德（Zadeh）教授所说的，随着系统的复杂性的增加，我们描述系统行为的精确性和有效性就随之下降，一旦超过其阈值，其精确性和有效性（相似程度）几乎变成了互相排斥的特性了。null模糊逻辑体现了人脑模糊思维的逻辑特征， 它为自然语言的语义表达提供了一个具有充分弹性的自然的系统工具。同时，模糊逻辑作为常识性推理的基础，可用于模式识别、决策分析等信息不精确的领域。（3）模糊逻辑的特点 （3）模糊逻辑的特点 它不依赖于模型，用语言来表示变量，用规则进行模糊推理，处理事物。 承认真值的中间过渡性，认为事物在形态和类属方面亦此亦彼，模棱两可，相邻中介之间是相互交叉和渗透的。（4）模糊逻辑的发展和现状 （4）模糊逻辑的发展和现状 模糊理论起源于美国，但是它在美国却因为传统的习惯力量，发展并不顺利，同样在欧洲也受到一定程度的抵制。然而，现在模糊逻辑控制技术被越来越多的美国人和欧洲人所接受，甚至还带有一点狂热。在短短30年里模糊数学在理论和应用中取的令人刮目相看的成就。它涉及到自动控制，图像和文字识别，人工智能，地质地震，医疗诊断，气象分析，航空航天，火车汽车驾驶，交通管理，决策评价和社会经济等诸多领域。1974年英国学者E.H. Mamdani开辟了模糊控制之先河。1985年世界第一块模糊逻辑芯片在美国贝尔实验室问世，这是模糊技术进展的又一里程碑。 null 所不同的是模糊在东方天生就受到欢迎。大部分东方人一接触模糊理论，就感到很自然，好象本来就如此，应该这样处理。日本采用的则是实用主义的态度，他们只开发那些与直接应用有关的概念，而对那些 广泛理论的概念至少先放在一边。1987年日本模糊地铁电力机车自动运输系统投入运行。90年代模糊家电风靡日本，给日本企业家带来巨大效益。 中国所取得的这个领域的成就是以模糊数学理论为主。我国模糊理论方面的研究处于世界先进水平，先后出版了几十本有关模糊理论方面的书籍，每年发表的论文也非常多。相比之下工程技术应用则相对较弱。目前国内，模糊逻辑控制的应用研究工作正在蓬勃开展 ，并引起越来越多的人的兴趣。 null2.1.2 模糊集合及其运算经典集合: 集合是指具有某种特定属性的全体事物的总和。 论域是指讨论问题的范围。 经典集合所描述的是确切的概念，论域中的元素要么属于，要么不属于某集合。非此即彼，经纬分明，对应的特征 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数取值要么为1，要么为0，二者必居其一。 模糊集合： 经典集合并不能描述所有的事物，特别是对于模糊概念，为了对命题的”真(白)”和”假(黑)”之间存在的无穷多层次逐渐变化的灰度进行描述,扎德教授打破了绝对的隶属关系，于1965年提出了模糊集合的概念。null从经典集合到模糊集合 从经典集合到模糊集合 经典集合对事物只用“1”和“0”作简单的表示“属于”和“不属于”的分类；而模糊集合则把它扩展成可用从0到1之间连续变化的值，来描述元素属于该集合的程度。 大部分人都把从“15℃—25 ℃的室温称作舒适的温度，小于15 ℃为凉，大于15 ℃为热”。用经典集合来定义，把小于15 ℃的温度哪怕是14.9 ℃也看成是属于“凉”的温度，14.9 ℃与15 ℃只差0.1 ℃ ，就把15 ℃规为“舒适”，而把14.9 ℃规为“凉”，就人的感觉而言，显然是不恰当的。经典集合对温度的定义null 而用模糊集合来定义，就要用对某一个模糊元素具有0到1之间连续变化隶属度的特征函数来描述，在模糊逻辑中与人的感觉一致，小的温度变化只会引起系统性能的逐渐变化，14.9°C与15°C属于同一个集合的程度是很接近的。在这种情况下，32°C被认为属于“舒适”的程度是0.3，还同时属于“热”的程度是0.7。模糊集合对温度的定义如果把“舒适的温度”在常温范围内分成含5个元素的集合：舒适的温度＝{5°C，10°C，15°C，20°C，25°C，35°C，40°C}，那么“舒适的温度”M的模糊集合可表示为： M=0/5+0.5/10+1.0/15+1.0/20+1.0/25+0.5/30+0/35null模糊集合定义和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数：模糊集合： 如果 是对象x的集合，则 的模糊集合 ：称为论域或域null113精确集合模糊集合1136null隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 隶属函数是一条曲线，定义了怎样将输入空间（论域）上的每一点映射到一个从0 到1 之间的隶属度。null模糊集合的表示方法1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}null2) 连续形式:令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为: 图示:null模糊集合的公式表示：注意:并非求和和积分符号.上述三个例子分别可写为：/ 不是除法运算null①截集：可将模糊集合转化成明确集合。模糊集合的基本概念强截集：null举例:如有一离散模糊集合A = {0.5/a, 0.6/b, 1/c, 0.8/d, 0.3/e}，求-Cut 与Strong -Cut (当 = 0.5)： ②Support (台集、支集)、Core (核)与Height (高度)②Support (台集、支集)、Core (核)与Height (高度)当 = 0时，模糊集合A的-强截集为0-强截集，该集合有另一个名称叫Support (台集或支集) A s。 当 = 1时，模糊集合A的-截集常被称为该模糊集合A之Core (核)。 模糊集合Height (高度)h(A)的定义： 举例：假设有一个离散模糊集合A = {0.5/a, 0.6/b, 1/c, 0.8/d, 0.3/e}，试求Support、Core与Height： Support set = {a, b, c, d, e}; Core = {c}; Height h(A) = 1.③Normal Fuzzy Set (正则模糊集合)③Normal Fuzzy Set (正则模糊集合)当一个模糊集合的高度为1时，即称正则模糊集合。 同理可知，当一个模糊集合的高度小于1时，即称非正则 (Non-normal) 模糊集合。 举例：④Convex Set (凸形集合)④Convex Set (凸形集合)当一个模糊集合满足以下公式时，即为凸形集合： 其中 = [0, 1]。 令xk = (x1 + (1- ) x2)为介于x1与x2之间的点，则上述公式可改写为：null⑤ 分界点 ⑥单点模糊集合年龄隶属函数1.00.54590null模糊集合的基本运算①包含或子集：null②并（析取）null③交（合取）null④补（负）null例题： 设论域X={x1,x2,x3,x4} 以及模糊集合 null模糊集合运算的基本性质null (6)同一律 (7)达·摩根律 (8)双重否定律 以上运算性质与普通集合的运算性质完全相同，但是在普通集合中成立的排中律和矛盾律对于模糊集合不再成立，即 (9) α截集到模糊集合的转换 其中X表示论域全集，φ表示空集。 null模糊集合其他类型运算1．代数和：若有三个模糊集合 A，B和C，对于所有的x∈X，均有 则称C为A与B的代数和，记为 null3. 强制和:A B2．有界和:null举例：假设有两模糊集合A = 0.4/0 + 0.6/1 + 0.8/2 +1.0/3与B = 1.0/0 + 0.8/1 + 0.6/2 +0.4/3，则求上述四种模糊并集之解答。 Ans: 并集 : 1.0/0 + 0.8/1 + 0.8/2 + 1.0/3 代数和 : 1.0/0 + 0.92/1 + 0.92/2 + 1.0/3 有界差 : 0/0 + 0/1 + 0.2/2 + 0.6/3 有界和 : 1.0/0 + 1.0/1 + 1.0/2 +1.0/3 强制和 : 1.0/0 + 1.0/1 + 1.0/2 +1.0/34. 有界差:02null5．代数积： 6．有界积： 7. 强制积：A B null举例：设有两个模糊集合A = 0.4/0 + 0.6/1 + 0.8/2 +1.0/3与B = 1.0/0 + 0.8/1 + 0.6/2 +0.4/3，则求上述四种模糊交集之解答 Ans: 标准交集: 0.4/0 + 0.6/1 + 0.6/2 +0.4/3 代数积 : 0.4/0 + 0.48/1 + 0.48/2 +0.4/3 有界积 : 0.4/0 + 0.4/1 + 0.4/2 +0.4/3 强制积 : 0.4/0 + 0/1 + 0/2 +0.4/3null2.2 模糊关系直积(笛卡尔集)设有两个集合A和B ， A和B 的直积定义为： A×B={（a，b）| a∈A，b ∈ B} 它是由序偶（a，b）的全体所构成的二维论域上的集合。 一般来说, A×B ≠B×A 即A和B的次序是不可颠倒的。 两个集合的元素间所有可能配对。null举例： 有两组人，一组为男生 M = {m1, m2, m3}，一组为女生 W = {w1, w2}。则其笛卡尔乘积M×W结果为何？若其中有两对有婚姻关系，即 R(M, W) = {(m1, w2), (m3, w1)}，则二元关系如何表示？二元关系矩阵如何表示？ Ans: (1). M×W = {(m1, w1), (m1, w2), (m2, w1), (m2, w2), (m3, w1), (m3, w2)}. (2). R(M, W) = {0, 1, 0, 0, 1, 0}. (3).null经典关系 表示事物间是否存在关联关系的基本概念，是表示集合中元素间的联系。序偶可以表达关系这个概念，经典关系是明确的关系。例如：父子关系，弟兄关系，熟知关系，大于，小于关系等都是明确的关系。 模糊关系 世界上存在着另一类关系，论域中的元素很难用完全肯定的属于或完全否定的不属于来回答。例如：“大得多”“长得像”……这类关系就是模糊关系，它是普通关系的拓宽。描述事物之间对于某一模糊概念上关联的程度，就称为模糊关系。 null模糊关系的定义： 其特性可以由隶属度函数μR 来描述。 隶属度函数μR（x，y）表示序偶 （x，y）的隶属程度。 模糊关系和模糊集合一样。完全由隶属度函数μ（x，y）来刻画的，当 μ（x，y）仅取1或0两个极端时，模糊集合退化为经典集合。模糊关系退化为经典关系。 null精确关系模糊关系表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在或不存在的程度。举例null舉例： 若A = {a1, a2, a3 , a4}和 B = {b1, b2 , b3}分別為四位男士和三位女士的集合。假設有兩個二元關係分別如下： O = 夫妻關係 = {(a1, b2), (a2, b3), (a4, b1)} S = 同事關係 = {(a1, b2), (a1, b3), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b3), (a4, b1), (a4, b2)} 其中O  A×B，S  A×B。則試求下列關係的運算結果為何？ (1). “既是夫妻又是同事的關係” (2). “夫妻或同事的關係” (3). “沒有同事關係”传统明确关系的基本运算例子null O = 夫妻關係 = {(a1, b2), (a2, b3), (a4, b1)} S = 同事關係 = {(a1, b2), (a1, b3), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b3), (a4, b1), (a4, b2)}null 设R是工资集[100，1000]上“远远多于”的关系，R的 隶属函数可定义为： 可求出R（1000，100）=0.99，说明1000远远多于100的程度是0.99。 而 R（200，100）=0.5。模糊关系表示方法 ①模糊集表示 null 通常，模糊矩阵被用来表示二元模糊逻辑关系，当 X={x1, x2, …, xn}, Y={y1, y2, …, ym}是有限集合时,定义在X×Y上的模糊关系R可用如下的n×m阶矩阵来表示。 这样的矩阵称为模糊矩阵，由于其元素均为隶属度函数，因此他们均在[0，1]中取值。 例如子女和父母“相像”的关系可以有以下的模糊矩阵表示： ②模糊矩阵表示null③模糊图表示例1：用通俗的话来说：某夫妇有一子一女，子女和父母“相像”的程度为R(子,父)=0.8 ， R(子,母)=0.3 ， R(女,父)=0.3 ， R(女,母)=0.6 。 null例2：张三,李四,王五对 {英语,日语,德语,法语} 的掌握关系可有下述模糊矩阵表示。 用模糊图表示有： null例3： 有两个明确城市集合U = {北京, 郑州, 上海, 广州}及V = {上海, 广东, 深圳}。我门要定义U和V的关系R(U, V)为“很远”，且用矩阵形式來表示： 北京和上海很远的程度为0.5；北京和广州很远的程度为0.9。null模糊关系的基本运算 模糊关系是定义在直积空间的模糊集合，所以它也遵从一般模糊集合的运算规则。null假设有两个关系 O 和 S为两个有限集合A = {a1, a2, …, am}和B = {b1, b2, …, bn}的模糊关系。亦即： O  A×B, S  A×B (O和S是两个相同的直积之模糊关系) O的所有成员为oij，而S的所有成员为sij，其中i = m，j = n，模糊关系的基本运算如下： 并集运算(Union) –取最大值 ： OS = (oij)  (sij) = max (oij, sij) 交集运算(Intersection) – 取最小值：O S = (oij) (sij) = min (oij, sij) 补集运算(Complement) – 用1减去隶属度： 1-oij 代数积(Algebraic Product) –取代数积： O • S = (oij) • (sij) 代数和(Algebraic Sum) –取代数和： O + S = (oij) + (sij)-(oij) × (sij)nullnull模糊关系的合成 在日常生活中，两个单纯关系的组合， 可以构一种新的合成关系。例如，有u，v ，w三个人，若u是v的妹妹，而v又是w的丈夫，则u与w就是一种新的关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂＝兄妹○夫妻 其中○ 是合成运算符。 模糊关系和普通关系一样，两种模糊关系可组合成一种合成关系。  null 合成运算定义：设X、Y、Z是论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y到Z的一个模糊关系，则R到S的合成也是一个模糊关系，记为：T=R o S,它具有隶属度 其中V是并的符号，它表示对所有y取极大值或上界值，“*”是二项积的符号，因此上面的合成称为最大星合成(max-star composition)。其中二项积算子“*”可以定义为以下几种运算，其中 x,y∈[0,1] 交         代数积 有界积 x⊙y=max{0,x+y-1}     null若二项积采用求交运算，则 这时称为最大-最小合成(max-min composition),这是最常用的一种合成方法。 null 当论域X,Y,Z为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示。设 则例：已知子女与父母的相似关系模糊矩阵为父母与祖父母的相似关系的模糊矩阵为 求子女与祖父母的相似关系模糊矩阵？nullnullo21是指模糊關係O中的 第二橫列、第一直行的 值，即0.6。