白话经典控制理论

自动控制的故事 hartcomm注：作者 晨枫 旅居加拿大 据说是老三届的 文章很通俗 涉及自动控制的方方面 面 理论及应用 很通俗 远比教科书清楚 揭开了一些看似神秘的概念 掩盖在复杂数学公式 下的思想 不过如此 以及理论的实践应用 历史由来 真是一篇自动控制科普的雄文。 写完聚乙烯的故事，就有写自动控制的故事的念头，但一直没有动笔。这个题目太大了 ， 大得都不知道从何说起。既然大家看聚乙烯的故事还有一点意思，四一在催，马鹿要“一” 什么的，那就接着写自动控制的故事吧。反正是故事，别太当真，看着好玩就接着看，看着 枯燥就拍桌子，看着有错就提个醒，看着糊涂的尽管问，看着不耐烦了呢，也言语一声，我 好闭上嘴不再烦人。哈哈。 （一） 小时候喜欢看杂书，没什么东西看，不正在文化大革命嘛？不过看进去了两个“化”：机 械化和自动化。打小就没有弄明白，这机械化和自动化到底有什么差别，机器不是自己就会 动的吗？长大了，总算稍微明白了一点，这机械化是力气活，用机器代替人的体力劳动，但 还是要人管着的，不然机器是不知道该干什么不该干什么的；这自动化嘛，就是代替人的重 复脑力劳动，是用来管机器的。也就是说，自动化是管着机械化的，或者说学自动化的是管 着学机械的……啊，不对，不对，哪是哪啊！ 有人考证古代就有自动化的实例，但现代意义上的自动控制开始于瓦特的蒸汽机。据说 纽考门比瓦特先发明蒸汽机，但是蒸汽机的转速控制问题没有解决，弄不好转速飞升，机器 损坏不说，还可能说大事故。瓦特在蒸汽机的转轴上安了一个小棍，棍的一端和放汽阀连着 ， 放气阀松开来就关闭，转速增加；按下去阀就打开，转速降低；棍的另一端是一个小重锤， 棍中间某个地方通过支点和转轴连接。转轴转起来的时候，小棍由于离心力的缘故挥起来。 转速太高了，小棍挥会挥得很高，放汽阀就被按下去打开，转速下降；转速太低了，小棍挥 不起来，放汽阀就被松开来关闭，转速回升。这样，蒸汽机可以自动保持稳定的转速，即保 证安全，又方便使用。也就是因为这个小小的转速调节器，瓦特的名字和工业革命连在一起 ， 而纽考门的名字就要到历史书里去找了。类似的例子在机械系统里很多，家居必备的抽水马 桶是另一个例子。放水冲刷后，水箱里水位降低，浮子随水面下降，进水阀打开。随着水位 的升高，进水阀逐渐关闭，直到水位达到规定高度，进水阀完全关闭，水箱的水正好准备下 一次使用。这是一个非常简单但非常巧妙的水位控制系统，是一个经典的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ，但不容易用 经典的控制理论来 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，不过这是题外话了。 这些机械系统设计巧妙，工作可靠，实在是巧夺天工。但是在实用中，如果每次都需要 这样的创造性思维，那太累，最好有一个系统的方法，可以解决“所有”的自动控制问题，这 就是控制理论的由来。 从小大人就教我们，走路要看路。为什么呢？要是不看着路，走路走歪了也不知道，结 果就是东撞西撞的。要是看着路呢？走歪了，马上就看到，赶紧调整脚步，走回到正道上来 。 这里有自动控制里的第一个重要概念：反馈（feedback）。 反馈是一个过程： 1、设定目标，对小朋友走路的例子来说，就是前进的路线。 2、测量状态，小朋友的眼睛看着路，就是在测量自己的前进方向。 3、将测量到的状态和设定的目标比较，把眼睛看到的前进方向和心里想的前进方向作比较， 判断前进方向是否正确；如果不正确，相差有多少。 4、调整行动，在心里根据实际前进方向和设定目标的偏差，决定调整的量。 5、实际执行，也就是实际挪动脚步，重回正确的前进方向。 在整个走路的过程中，这个反馈过程周而复始，不断进行，这样，小朋友就不会走得东 倒西歪了。但是，这里有一个问题：如果所有的事情都是在瞬时里同时发生的，那这个反馈 过程就无法工作。要使反馈工作，一定要有一定的反应时间。还好，世上之事，都有一个过 程，这就为反馈赢得了所需要的时间。 小时候，妈妈在锅里蒸东西，蒸好了，从锅里拿出来总是一个麻烦，需要抹布什么的垫 着，免得烫手。但是碗和锅的间隙不大，连手带抹布伸进去颇麻烦，我常常不知天高地厚， 自告奋勇地徒手把热的碗拿出来。只要动作快，手起碗落，可以不烫手。当然喽，要是捧着 热碗再东晃晃，西荡荡，那手上感觉的温度最终会和热碗一样，肯定要把手心、手指烫熟不 可的。在从接触碗到皮肤温度和碗表面一样，这里面有一个逐渐升温的过程，这就是动态过 程（dynamic process）。这里面有两个东西要注意：一个是升温的过程有多快，另一个是最 终的温度可以升到多少。要是知道了这两个参数，同时知道自己的手可以耐受多少温度，理 论上可以计算出热的碗在手里可以停留多少时间而不至于烫手。 反馈过程也叫闭环（closed loop）过程。既然有闭环，那就有开环（open loop）。开环就 是没有反馈的控制过程，设定一个控制作用，然后就执行，不根据实际测量值进行校正。开 环控制只有对简单的过程有效，比如洗衣机和烘干机按定时控制，到底衣服洗得怎么样，烘 得干不干，完全取决于开始时的设定。对于洗衣机、烘干机这样的问题，多设一点时间就是 了，稍微浪费一点，但可以保证效果。对于空调机，就不能不顾房间温度，简单地设一个开 10分钟、关5分钟的循环，而应该根据实际温度作闭环控制，否则房间里的温度天知道到底 会达到多少。记得80年代时， 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 文学很流行。徐迟写了一个《哥德巴赫猜想》，于是全国 人民都争当科学家。小说家也争着写科学家，成就太小不行，所以来一个语不惊人死不休， 某大家写了一个《无反馈快速跟踪》。那时正在大学啃砖头，对这个科学新发现大感兴趣， 从头看到尾，也没有看明白到底是怎么无反馈快速跟踪的。现在想想，小说就是小说，不过 这无良作家也太扯，无反馈还要跟踪，不看着目标，不看着自己跑哪了，这跟的什么踪啊， 这和永动机差不多了，怎么不挑一个好一点的题目，冷聚变什么的，至少在理论上还是可能 的。题外话了。 在数学上，动态过程用微分方程描述，反馈过程就是在描述动态过程的微分方程的输入 项和输出项之间建立一个关联，这样改变了微分方程本来的性质。自动控制就是在这个反馈 和动态过程里做文章的。 房间内的空调是一个简单的控制问题。不过这只是指单一房间，整个高层大楼所有房间 的中央空调问题实际上是一个相当复杂的问题，不在这里讨论的范围。夏天了，室内温度设 在28度，实际温度高于28度了，空调机启动致冷，把房间的温度降下来；实际温度低于28 度了，空调机关闭，让房间温度受环境气温自然升上去。通过这样简单的开关控制，室内温 度应该就控制在28度。不过这里有一个问题，如果温度高于28度一点点，空调机就启动；低 于28度一点点，空调机就关闭；那如果温度传感器和空调机的开关足够灵敏的话，空调机的 开关频率可以无穷高，空调机不断地开开关关，要发神经病了，这对机器不好，在实际上也 没有必要。解决的办法是设立一个“死区”（dead band），温度高于29度时开机，低于27度时 关机。注意不要搞反了，否则控制单元要发神经了。 有了一个死区后，室内温度不再可能严格控制在28度，而是在27到29度之间“晃荡”。如 果环境温度一定，空调机的制冷量一定，室内的升温/降温动态模型已知，可以计算温度“晃 荡”的周期。不过既然是讲故事，我们就不去费那个事了。 这种开关控制看起来“土”，其实好处不少。对于大部分过程来说，开关控制的精度不高 但可以保证稳定，或者说系统输出是“有界”的，也就是说实际测量值一定会被限制在一定的 范围，而不可能无限制地发散出去。这种稳定性和一般控制理论里强调的所谓渐进稳定性不 同，而是所谓 BIBO稳定性，前者要求输出最终趋向设定值，后者只要求在有界的输入作用 下输出是有界的，BIBO指 bounded input bounded output。 对于简单的精度要求不高的过程，这种开关控制（或者称继电器控制，relay control， 因为最早这种控制方式是用继电器或电磁开关来实现的）就足够了。但是很多时候，这种“毛 估估”的控制满足不了要求。汽车在高速公路上行驶，速度设在定速巡航控制，速度飘下去 几公里，心里觉得吃亏了，但要是飘上去几公里，被警察抓下来吃一个罚单，这算谁的？ 开关控制是不连续控制，控制作用一加就是“全剂量”的，一减也是“全剂量”的，没有中 间的过渡。如果空调机的制冷量有三个设定，：小、中、大，根据室温和设定的差别来决定 到底是用小还是中还是大，那室温的控制精度就可以大大提高，换句话说，温度的“晃荡” 幅度将大幅度减小。那么，如果空调机有更多的设定，从小小到小中到……到大大，那控制 精度是不是更高呢？是的。既然如此，何不用无级可调的空调机呢？那岂不可以更精确地控 制室温了吗？是的。 无级可调或连续可调的空调机可以精确控制温度，但开关控制不能再用了。家用空调机 中，连续可调的不占多数，但冲热水淋浴是一个典型的连续控制问题，因为水龙头可以连续 调节水的流量。冲淋浴时，假定冷水龙头不变，只调节热水。那温度高了，热水关小一点； 温度低了，热水开打一点。换句话说，控制作用应该向减少控制偏差的方向变化，也就是所 谓负负反馈。控制方向对了，还有一个控制量的问题。温度高了1度，热水该关小多少呢？ 经验告诉我们，根据具体的龙头和水压，温度高1度，热水需要关小一定的量，比如说， 关小一格。换句话说，控制量和控制偏差成比例关系，这就是经典的比例控制规律：控制量 =比例控制增益*控制偏差，偏差越大，控制量越大。控制偏差就是实际测量值和设定值或 目标值之差。在比例控制规律下，偏差反向，控制量也反向。也就是说，如果淋浴水温要求 为40度，实际水温高于40度时，热水龙头向关闭的方向变化；实际水温低于40度时，热水龙 头向开启的方向变化。 但是比例控制规律并不能保证水温能够精确达到40度。在实际生活中，人们这时对热水 龙头作微调，只要水温还不合适，就一点一点地调节，直到水温合适为止。这种只要控制偏 差不消失就渐进微调的控制规律，在控制里叫积分控制规律，因为控制量和控制偏差在时间 上的累积成正比，其比例因子就称为积分控制增益。工业上常用积分控制增益的倒数，称其 为积分时间常数，其物理意义是偏差恒定时，控制量加倍所需的时间。这里要注意的是，控 制偏差有正有负，全看实际测量值是大于还是小于设定值，所以只要控制系统是稳定的，也 就是实际测量值最终会稳定在设定值上，控制偏差的累积不会是无穷大的。这里再啰嗦一遍 ， 积分控制的基本作用是消除控制偏差的余差（也叫残差）。 比例和积分控制规律可以应付很大一类控制问题，但不是没有改进余地的。如果水管水 温快速变化，人们会根据水温的变化调节热水龙头：水温升高，热水龙头向关闭方向变化， 升温越快，开启越多；水温降低，热水龙头向开启方向变化，降温越快，关闭越多。这就是 所谓的微分控制规律，因为控制量和实际测量值的变化率成正比，其比例因子就称为比例控 制增益，工业上也称微分时间常数。微分时间常数没有太特定的物理意义，只是积分叫时间 常数，微分也跟着叫了。微分控制的重点不在实际测量值的具体数值，而在其变化方向和变 化速度。微分控制在理论上和实用中有很多优越性，但局限也是明显的。如果测量信号不是 很“干净”，时不时有那么一点不大不小的“毛刺”或扰动，微分控制就会被这些风吹草动搞得 方寸大乱，产生很多不必要甚至错误的控制信号。所以工业上对微分控制的使用是很谨慎的 。 比例-积分-微分控制规律是工业上最常用的控制规律。人们一般根据比例-积分-微分的 英文缩写，将其简称为 PID控制。即使在更为先进的控制规律广泛应用的今天，各种形式 的 PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。 在 PID控制中，积分控制的特点是：只要还有余差（即残余的控制偏差）存在，积分 控制就按部就班地逐渐增加控制作用，直到余差消失。所以积分的效果比较缓慢，除特殊情 况外，作为基本控制作用，缓不救急。微分控制的特点是：尽管实际测量值还比设定值低， 但其快速上扬的冲势需要及早加以抑制，否则，等到实际值超过设定值再作反应就晚了，这 就是微分控制施展身手的地方了。作为基本控制使用，微分控制只看趋势，不看具体数值所 在，所以最理想的情况也就是把实际值稳定下来，但稳定在什么地方就要看你的运气了，所 以微分控制也不能作为基本控制作用。比例控制没有这些问题，比例控制的反应快，稳定性 好，是最基本的控制作用，是“皮”，积分、微分控制是对比例控制起增强作用的，极少单独 使用，所以是“毛”。在实际使用中比例和积分一般一起使用，比例承担主要的控制作用，积 分帮助消除余差。微分只有在被控对象反应迟缓，需要在开始有所反应时，及早补偿，才予 以采用。只用比例和微分的情况很少见。 连续控制的精度是开关控制所不可比拟的，但连续控制的高精度也是有代价的，这就是 稳定性问题。控制增益决定了控制作用对偏差的灵敏度。既然增益决定了控制的灵敏度，那 么越灵敏岂不越好？非也。还是用汽车的定速巡航控制做例子。速度低一点，油门加一点， 速度低更多，油门加更多，速度高上去当然就反过来。但是如果速度低一点，油门就加很多 ， 速度更低，油门狂加，这样速度不但不能稳定在要求的设定值上，还可能失控。这就是不稳 定。所以控制增益的设定是有讲究的。在生活中也有类似的例子。国民经济过热，需要经济 调整，但调整过火，就要造成“硬着陆”，引起衰退；衰退时需要刺激，同样，刺激过火，会 造成“虚假繁荣”。要达成“软着陆”，经济调整的措施需要恰到好处。这也是一个经济动态系 统的稳定性问题。 实际中到底多少增益才是最合适的，理论上有很多计算方法，但实用中一般是靠经验和 调试来摸索最佳增益，业内行话叫参数整定。如果系统响应在控制作用后面拖拖沓沓，大幅 度振荡的话，那一般是积分太过；如果系统响应非常神经质，动不动就打摆子，呈现高频小 幅度振荡的话，那一般是微分有点过分。中频振荡当然就是比例的问题了。不过各个系统的 频率都是不一样的，到底什么算高频，什么算低频，这个几句话说不清楚，应了毛主席那句 话：“具体情况具体分析”，所以就打一个哈哈了。 再具体说起来，参数整定有两个路子。一是首先调试比例增益以保证基本的稳定性，然 后加必要的积分以消除余差，只有在最必要的情况下，比如反映迟缓的温度过程或容量极大 的液位过程，测量噪声很低，才加一点微分。这是“学院派”的路子，在大部分情况下很有效 。 但是工业界有一个“歪路子”：用非常小的比例作用，但大大强化积分作用。这个方法是完全 违背控制理论的分析的，但在实际中却是行之有效，原因在于测量噪声严重，或系统反应过 敏时，积分为主的控制规律动作比较缓和，不易激励出不稳定的因素，尤其是不确定性比较 高的高频部分，这也是邓小平“稳定压倒一切”的初衷吧。 在很多情况下，在初始 PID参数整定之后，只要系统没有出现不稳定或性能显著退化， 一般不会去重新整定。但是要是系统不稳定了怎么办呢？由于大部分实际系统都是开环稳定 的，也就是说，只要控制作用恒定不变，系统响应最终应该稳定在一个数值，尽管可能不是 设定值，所以对付不稳定的第一个动作都是把比例增益减小，根据实际情况，减小1/3、1/2 甚至更多，同时加大积分时间常数，常常成倍地加，再就是减小甚至取消微分控制作用。如 果有前馈控制，适当减小前馈增益也是有用的。在实际中，系统性能不会莫名其妙地突然变 坏，上述“救火”式重新整定常常是临时性的，等生产过程中的机械或原料问题消除后，参数 还是要设回原来的数值，否则系统性能会太过“懒散”。 对于新工厂，系统还没有投运，没法根据实际响应来整定，一般先估计一个初始参数， 在系统投运的过程中，对控制回路逐个整定。我自己的经验是，对于一般的流量回路，比例 定在0.5左右，积分大约1分钟，微分为0，这个组合一般不致于一上来就出大问题。温度回 路可以从2、5、0.05开始，液位回路从5、10、0开始，气相压力回路从10、20、0开始。既 然这些都是凭经验的估计，那当然要具体情况具体分析，不可能“放之四海而皆准”。 微分一般用于反应迟缓的系统，但是事情总有一些例外。我就遇到过一个小小的冷凝液 罐，直径才两英尺，长不过5英尺，但是流量倒要8-12吨/小时，一有风吹草动，液位变化非 常迅速，不管比例、积分怎么调，液位很难稳定下来，常常是控制阀刚开始反应，液位已经 到顶或到底了。最后加了0.05的微分，液位一开始变化，控制阀就开始抑制，反而稳定下来 了。这和常规的参数整定的路子背道而驰，但在这个情况下，反而是“唯一”的选择，因为测 量值和控制阀的饱和变成稳定性主要的问题了。 对工业界以积分为主导控制作用的做法再啰嗦几句。学术上，控制的稳定性基本就是渐 近稳定性，BIBO稳定性是没有办法证明渐近稳定性时的“退而求其次”的东西，不怎么上台 面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面：一个当然是渐近 稳定性，另一个则是稳定性，但不一定向设定值收敛，或者说稳定性比收敛性优先这样一个 情况。具体来说，就是需要系统稳定在一个值上，不要动来动去，但是不是在设定值并不是 太重要，只要不是太离谱就行。例子有很多，比如反应器的压力是一个重要参数，反应器不 稳定，原料进料比例就乱套，催化剂进料也不稳定，反应就不稳定，但是反应器的压力到底 是10个大气压还是12个大气压，并没有太大的关系，只要慢慢地但是稳定地向设定值移动就 足够了。这是控制理论里比较少涉及的一个情况，这也是工业上时常采用积分主导的控制的 一个重要原因。 前面说到系统的频率，本来也就是系统响应持续振荡时的频率，但是控制领域里有三拨 人在捣腾：一拨是以机电类动力学系统为特色的电工出身，包括航空、机器人等，一拨是以 连续过程为特色的化工出身的，包冶金、造纸等，还有一拨是以微分方程稳定性为特色的应 用数学出身的。在瓦特和抽水马桶的年代里，各打各的山头，井水不犯河水，倒也太平。但 控制从艺术上升为理论后，总有人喜欢“统一”，电工帮抢了先，好端端的控制理论里被塞进 了电工里的频率。童子们哪，那哪是频率啊，那是……复频率。既然那些变态的电工帮（啊 耶，这下鹿踹真的要来了）能折腾出虚功率，那他们也能折腾出复频率来，他们自虐倒也算 了，只是苦了我等无辜之众，被迫受此精神折磨。 事情的缘由是系统的稳定性。前面提到，PID的参数如果设得不好，系统可能不稳定。 除了摸索，有没有办法从理论上计算出合适的 PID参数呢？前面也提到，动态过程可以用 微分方程描述，其实在 PID的阶段，这只是微分方程中很狭窄的一支：单变量线性常微分 方程。要是还记得大一高数，一定还记得线形常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变 量时间用 t表示的话，最常用的求解还是把 exp(λt)代入微分方程，然后解已经变成λ的代数 方程的特征方程，解出来的解可以是实数，也可以是复数，是复数的话，就要用三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 展 开了（怎么样，大一噩梦的感觉找回来一点没有？）。只要实根为负，那微分方程就是稳定 的，因为负的指数项最终向零收敛，复根到底多少就无所谓了，对稳定性没有影响。但是， 这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难以得出一般的结论。 法国人以好色、好吃出名，但是他们食色性也之后，还不老实，其中一个叫拉普拉斯的 家伙，捣鼓出什么拉普拉斯变换，把常微分方程变成 s的多项式。然后那帮电工的家伙们， 喜欢自虐，往 s里塞 jω，就是那个复频率，整出一个变态的频率分析，用来分析系统的稳 定性。不过说变态，也不完全公平，在没有计算机的年代，各种图表是最有效的分析方法， 还美其名曰“几何分析”。频率分析也不例外。美国佬 Evans搞出一个根轨迹（root locus）， 思路倒是满有意思的。他用增益作自变量，将系统的根（不管实的虚的）在复平面上画出轨 迹来，要是轨迹在左半平面打转转，那就是实根为负，就是稳定的。再深究下去，系统响应 的临界频率之类也可以计算出来。最大的好处是，对于常见的系统，可以给出一套作图规则 来，熟练的大牛、小牛、公牛、母牛们，眼睛一瞄，随手就可以画出根轨迹来，然后就可以 告诉你，增益变化多多少，系统开始振荡，再增加多少，系统会不稳定，云云。 根轨迹还是比较客气的，还有更变态的奈奎斯特、伯德和尼科尔斯法，想想脑子都大。 都是叫那帮电工分子害的。时至今日，计算机分析已经很普及了，但是古典的图示分析还是 有经久不衰的魅力，就是因为图示分析不光告诉你系统是稳定还是不稳定，以及其他一些动 态响应的参数，图示分析还可以定性地告诉你增益变化甚至系统参数变化引起的闭环性能变 化。咦，刚才还不是在说人家变态吗？呃，变态也有变态的魅力不是？哈哈。 以频率分析（也称频域分析）为特色的控制理论称为经典控制理论。经典控制理论可以 把系统的稳定性分析得天花乱坠，但有两个前提：一、要已知被控对象的数学模型，这在实 际中不容易得到；二、被控对象的数学模型不会改变或漂移，这在实际中更难做到。对简单 过程建立微分方程是可能的，但简单过程的控制不麻烦，经验法参数整定就搞定了，不需要 费那个麻烦，而真正需要理论计算帮忙的回路，建立模型太困难，或者模型本身的不确定性 很高，使得理论分析失去意义。经典控制理论在机械、航空、电机中还是有成功的应用，毕 竟从 F=ma出发，可以建立“所有”的机械系统的动力学模型，铁疙瘩的重量又不会莫名其妙 地改变，主要环境参数都可以测量，但是经典控制理论至少在化工控制中实用成功的例子实 在是凤毛麟角，给你一个50块塔板的精馏塔，一个气相进料，一个液相进料，塔顶、塔底出 料加一个侧线出料，塔顶风冷冷凝器，塔底再沸器加一个中间再沸器，你就慢慢建模去吧， 等九牛二虎把模型建立起来了，风冷冷凝器受风霜雨雪的影响，再沸器的高压蒸汽的压力受 友邻装置的影响，气相进料的温度和饱和度受上游装置的影响而改变，液相进料的混合组分 受上游装置的影响而改变，但组分无法及时测量（在线气相色谱分析结果要45分钟才能出 来），动态特性全变了。 老家伙歌德两百年前就说了，理论是灰色的，生命之树常青。我们知道马鹿喜欢金光的 或者银光的，至少也要红的，不过只好将就啦，青绿地干活。在实用中，PID有很多表兄弟 ， 帮着大表哥一块打天下。 比例控制的特点是：偏差大，控制作用就大。但在实际中有时还嫌不够，最好偏差大的 时候，比例增益也大，进一步加强对大偏差的矫正作用，及早把系统拉回到设定值附近；偏 差小的时候，当然就不用那么急吼吼，慢慢来就行，所以增益小一点，加强稳定性。这就是 双增益 PID（也叫双模式 PID）的起源。 想想也对，高射炮瞄准敌机是一个控制问题。如果炮管还指向离目标很远的角度，那应 该先尽快地把炮管转到目标角度附近，动作猛一点才好；但炮管指向已经目标很近了，就要 再慢慢地精细瞄准。工业上也有很多类似的问题。双增益 PID的一个特例是死区 PID（PID with dead band），小偏差时的增益为零，也就是说，测量值和设定值相差不大的时候，就随 他去，不用控制。这在大型缓冲容器的液位控制里用得很多。本来缓冲容器就是缓冲流量变 化的，液位到底控制在什么地方并不紧要，只要不是太高或太低就行。但是，从缓冲容器流 向下游装置的流量要尽可能稳定，否则下游装置会受到不必要的扰动。死区 PID对这样的 控制问题是最合适的。但是天下没有免费的午餐。死区 PID的前提是液位在一般情况下会“自 动”稳定在死区内，如果死区设置不当，或系统经常受到大幅度的扰动，死区内的“无控”状 态会导致液位不受限制地向死区边界“挺进”，最后进入“受控”区时，控制作用过火，液位向 相反方向不受限制地“挺进”，最后的结果是液位永远在死区的两端振荡，而永远不会稳定下 来，业内叫 hunting（打猎？打什么？打鹿？）。双增益 PID也有同样的问题，只是比死区 PID 好一些，毕竟只有“强控制”和“弱控制”的差别，而没有“无控区”。在实用中，双增益的内外 增益差别小于2：1没有多大意义，大于5：1就要注意上述的持续振荡或 hunting的问题。 双增益或死区 PID的问题在于增益的变化是不连续的，控制作用在死区边界上有一个 突然的变化，容易诱发系统的不利响应，平方误差 PID就没有这个问题。误差一经平方， 控制量对误差的曲线就成了抛物线，同样达到“小偏差小增益、大偏差大增益”的效果，还没 有和突然的不连续的增益变化。但是误差平方有两个问题：一是误差接近于零的时候，增益 也接近于零，回到上面死区 PID的问题；二是很难控制抛物线的具体形状，或者说，很难 制定增益在什么地方拐弯。对于第一个问题，可以在误差平方 PID上加一个基本的线性 PID， 是零误差是增益不为零；对于后一个问题，就要用另外的模块计算一个连续变化的增益了。 具体细节比较琐碎，将偏差送入一个分段线性化（也就是折线啦）的计算单元，然后将计算 结果作为比例增益输出到 PID控制器，折线的水平段就对应予不同的增益，而连接不同的 水平段的斜线就对应于增益的连续变化。通过设置水平段和斜线段的折点，可以任意调整变 增益的曲线。要是“野心”大一点，再加几个计算单元，可以做出不对称的增益，也就是升温 时增益低一点，降温时增益高一点，以处理加热过程中常见的升温快、降温慢的问题。 双增益或误差平方都是在比例增益上作文章，同样的勾当也可以用在积分和微分上。更 极端的一种 PID规律叫积分分离 PID，其思路是这样的：比例控制的稳定性好，响应快，所 以偏差大的时候，把 PID中的积分关闭掉；偏差小的时候，精细调整、消除余差是主要问 题，所以减弱甚至关闭比例作用，而积分作用切入控制。概念是好的，但具体实施的时候， 有很多无扰动切换的问题。 这些变态的 PID在理论上很难分析系统的稳定性，但在实用中解决了很多困难的问题。 大言不惭一句，这些 PID本人在实际中都用过。 打仗时，如果敌人太顽固，要么换更大的炮，把敌人轰倒；要么采用更巧妙的战术，把 敌人晕倒。控制也是一样，单回路 PID难以解决的问题，常常可以通过更巧妙的回路结构 来解决。 单一的 PID回路当然可以实现扰动抑制，但要是主要扰动在回路中，而且是明确的， 加一个内回路作帮手是一个很不错的主意。还记得洗热水澡的例子吗？要是热水压力不稳 定，老是要为这个而调整热水龙头，那很麻烦。要是有一个人专门负责根据热水压力调节热 水流量，把热水压力稳定下来，而且稳定在标定值，那洗澡的时候，水温就容易控制多了， 只要告诉那个人现在需要多少热水流量，而不必烦心热水压力对热水流量的影响。这个负责 热水流量的控制回路就是内回路，也叫副回路，而洗澡的温度就是外回路，也叫主回路，当 然是主回路指挥副回路，就像自动化指挥机械化、学自控的人指挥学机电的人……打住打住 ， 再扯远了要挨鹿踹了，或者马踹、牛踹、驴踹……。这种主回路套副回路的结构叫串级控制 （cascade control），曾经是单回路 PID后工业上第一种“先进过程控制”，现在串级已经用得 很多了，也不再有人叫它“先进过程控制”了。串级控制最主要的功用是抑制回路内的扰动， 增强总体控制性能。不过串级也不能乱用。如果主回路和副回路的相应速度差不多，或者主 回路的相应速度甚至慢于副回路（通过变态的调试是可以做到的），这样的串级要出问题。 理论上可以用共振频率什么的分析，但是不用费那个事，用膝盖想想就知道，一个急性子的 头儿把一个温吞水的下属指挥得团团转，结果只能是大家都精疲力竭，事情还办砸了。相反 ， 一个镇定自若的头儿指挥一个手脚麻利的下属，那事情肯定办得好。 如果主要扰动在回路以外，但是可以预知，那就要用另一个办法，就是马鹿前面说到的 前馈了。还是用洗热水澡的例子。如果冷水管和同一个水房的抽水马桶功用，你在洗澡，别 人一抽水，那你就变煮熟的龙虾了（本想说猴子 PP的，但是那个不雅，我们要五讲四美不 是？）。这个时候，要使那个人在抽水的同时告诉你一声 ，你算好时间，算好量，猛减热水 ， 那温度还是可以大体不变的。这就是所谓前馈控制（feedforward control）。前馈控制有两个 要紧的东西：一是定量的扰动对被控变量的影响，也就是所谓前馈增益；二是扰动的动态， 别人抽水到洗澡龙头的水温变热，这里面有一个过程，不是立时三刻的。如果可以精确知道 这两样东西，那前馈补偿可以把可测扰动完全补偿掉。但实际上没有精确知道的事情，要是 指望前馈来完全补偿，弄巧成拙是肯定的。所以前馈通常和反馈一起用，也就是在 PID回 路上再加一个前馈。一般也只用静态前馈，也就是只补偿扰动对被控变量的静态影响，而忽 略扰动的动态因素，主要是为了静态前馈已经把前馈80%的好处发掘出来了，动态前馈既复 杂又不可靠，在 PID回路里很少有人用。理论上的前馈都是在 PID的控制作用上再加一个 前馈作用，实际上也可以乘一个控制作用。乘法前馈的作用太猛，我从来没有用过，一般都 是用加法。在实施中，前馈是和扰动的变化（也就是增量）成比例的，所以扰动变量不变了 ， 前馈作用就消失，否则，整定前馈控制增益会对 PID主回路造成扰动。前馈增益可以根据 粗略计算得到，比如说，抽水的量会造成温度下降多少、需要调整多少热水流量才能维持温 度，这不难从热量平衡算出来。不想费这个事的话，也可以从历史数据中推算。一般算出来 一个前馈增益后，打上7折甚至5折再用，保险一点，不要矫枉过正。 前馈作用一般是用作辅助控制作用的，但是在特殊情况下，前馈也可以作为“预加载” （pre-loading）作为基准控制作用。比如说，在一个高压系统的启动过程中，压力可以从静 止状态的常压很快地什到很高的压力。高压系统不容许阀门大幅度运动，所以控制增益都比 较低，但是这样一来，启动升压过程中，压力控制的反应就十分迟缓，容易造成压力过高。 这时用压缩机的转速或高压进料的流量作前馈，将压力控制阀“预先”放到大概的位置，然后 再用反馈慢慢调节，就可以解决这个问题。 有点搞笑兄在前面提到用单个阀门有时难以控制大范围变化的流量，这是一个很实际的 问题。工业阀门一般 turn down只有10：1，也就是说，如果这个阀门的最大流量是100吨/ 小时的话，低于10吨/小时就难以控制了，当然，高于90吨/小时也几近失去控制。所以，要 真的保证0-100的精确控制，需要将一个大阀和一个小阀并列，小阀负责小流量时的精确控 制，大阀负责大流量时的精确控制，这就是所谓的分程控制（split range control）。分程控制 时，小阀首先打开，超过小阀最大流量是小阀就固定在全开位置，大阀开始打开，接过控制 。 这是开-开型分程控制。也有关-开型分程控制，比如反应器夹套温度控制，随温度逐渐上升 ， 冷却水逐渐关闭，直到冷却水全关，加热蒸气开始打开。分程控制当然不一定只有两截，三 截甚至更多都是可以的，道理都一样。分程控制的问题在于不同阀门的交接点。阀门在特别 小的开度时，控制非常不灵敏，前面说到的10：1也是这个道理。所以实用中，开-开型分程 控制常常在交接点附近有一段重叠，也就是小阀快要全开但还没有全开时，大阀已经开始动 作，这样，到小阀全开、不能再动弹时，大阀已经进入有效控制范围。关-开型分程控制常 常在交接点设置一个死区，避免出现两个阀都有一点点开度的情况。分程控制的交接点的设 置有一点讲究，应该根据阀的大小。比如 A阀比 B阀大一倍，那分程点应该设在1/3先开 B 阀，而不是懒汉做法的1/2。 很多过程参数都是可以测量的，但也有很多参数是没法直接测量的，这时，如果能够通 过别的可以测量的过程参数来间接计算真正需要控制的参数，这就是所谓的推断控制 （inferential control）。比如精馏塔顶的产品纯度可以用气相色谱（gas chromatograph，GC） 来测量，但结果要等40分钟才能出来，用来做实时控制，黄花菜都凉了。推断控制是和“软 传感器”（soft sensor）的概念紧密相连的。 对精馏塔塔顶纯度这个例子来说，可以用纯度和塔顶温度、压力作一个数学模型，用可 以测量的温度和压力，间接计算出纯度。在计算机控制普及的今天，这是很容易实现的，但 是在很多地方，推断控制仍然被看成很神秘的东西，悲哀。 有的时候，对同一个变量有不止一个控制手段。比如说，风冷器有风扇的转速可以调节 ， 也有百叶窗的开度可以调节。风扇转速的效果快，控制精确；百叶窗开度的效果猛，不容易 掌握，但有利于节能。所以，可以用风扇的快速响应来控制温度，但是用百叶窗开度来通过 温度间接地缓慢地影响风扇的转速，使风扇转速回到最经济的设定。当然百叶窗开度的控制 回路必须要比风扇转速的控制回路整定得慢得多，一般是缓慢的纯积分控制，否则两人要打 架。由于这相当于控制风扇转速的“阀位”，工业上称其为阀位控制（valve position control）。 这个阀位控制也可以变一变，风扇转速高于某一数值（比如80%的最大转速）时，把百叶窗 开大一格，还是高就继续开大；风扇转速低于某一数值（比如低于20%最大转速）时，把百 叶窗关小一格。这实际上是一个单向的积分作用，不同的地方有两点： 一、有两个设定值，由风扇转速是高还是低而定 二、积分作用只有在风扇转速在这两个“极限”的外面起作用，在里面时，百叶窗的开度不变 这样，风扇转速不必回到一个特定值，而是可以在一个范围内浮动。 另外一个两个控制器“竞争”一个控制阀的情况是选择性控制（override control或 selective control）。举个例子，锅炉的温度由燃料流量控制，温度高了，燃料流量就减下来，但是燃 料流量低到燃料管路压力低于炉膛压力，那要出现危险的回火，所以，这时，燃料管路压力 就要接管控制，而牺牲炉膛温度。换句话说，正常时候，炉膛温度控制起作用，燃料管路压 力低于一定数值时，燃料管路压力控制器作用。在实施时，就是炉膛温度控制器和燃料管路 压力控制器的输出都接到一个高选器，然后高选器的输出接到实际的燃料阀。这个概念很清 楚，但是初次接触选择性控制的人，常常容易被高选还是低选搞糊涂，明明是压力太低，怎 么是高选呢？其实，只要记住高选还是低选是从阀门这一头看的，和温度、压力的高度没有 关系。如果“非常”变量超过界限了，你要阀门打开，那就是高选；你要阀门关闭，那就是低 选。 PID从二、三十年到开始在工业界广泛应用，戏法变了几十年，也该换换花样了。PID 说一千道一万，还是经典控制理论的产物。50-60年代时，什么都要现代派，建筑从经典的 柱式、比例、细节的象征意义，变到“形式服从功能”的钢架玻璃盒子；汽车从用机器牵引的 马车，变到流线型的钢铁的艺术；控制理论也要紧跟形势，要现代化。这不，美国佬卡尔曼 隆重推出……现代控制理论。 都看过舞龙吧？一个张牙舞爪的龙头气咻咻地追逐着一个大绣球，龙身子扭来扭去，还 时不时跳跃那么一两下。中国春节没有舞龙，就和洋人的圣诞节没有圣诞老人一样不可思议 。 想象一下，如果这是一条看不见的盲龙，只能通过一个人在龙尾巴后面指挥龙尾巴，然后再 通过龙身体里的人一个接一个地传递控制指令，最后使龙头咬住绣球。这显然是一个动态系 统，龙身越长，人越多，动态响应越迟缓。如果只看龙头的位置，只操控龙尾巴，而忽略龙 身子的动态，那就是所谓的输入-输出系统。经典控制理论就是建立在输入-输出系统的基础 上的。对于很多常见的应用，这就足够了。 但是卡尔曼不满足于“足够”。龙头当然要看住，龙尾巴当然要捏住，但龙身体为什么就 要忽略呢？要是能够看住龙身体，甚至操纵龙身体，也就是说，不光要控制龙尾巴，控制指 令还要直接传到龙身体里的那些人，那岂不更好？这就是状态空间的概念：将一个系统分解 为输入、输出和状态。输出本身也是一个状态，或者是状态的一个组合。在数学上，卡尔曼 的状态空间方法就是将一个高阶微分方程分解成一个联立的一阶微分方程组，这样可以使用 很多线形代数的工具，在表述上也比较简洁、明了。 卡尔曼是一个数学家。数学家的想法就是和工程师不一样。工程师脑子里转的第一个念 头就是“我怎么控制这劳什子？增益多少？控制器结构是什么样的？”数学家想的却是什么 解的存在性、唯一性之类虚头八脑的东西。不过呢，这么说数学家也不公平。好多时候，工 程师凭想象和“实干”，辛苦了半天，发现得出的结果完全不合情理，这时才想起那些“性” （不要想歪了啊，嘿嘿），原来那些存在性、唯一性什么的还是有用的。 还是回过来看这条龙。现在，龙头、龙尾巴、龙身体都要看，不光要看，还要直接操控 龙头到龙尾的每一个人。但是，这龙不是想看就看得的，不是想舞就舞得的。说到“看”，直 接能够测量/观测的状态在实际上是不多的，所谓看，实际上是估算。要是知道龙身体有多 少节（就是有多少个人在下面撑着啦），龙身体的弹性/韧性有多少，那么捏住龙尾巴抖一抖 ， 再看看龙头在哪里，是可以估算出龙身体每一节的位置的，这叫状态观测。那么，要是这龙 中间有几位童子开小差，手不好好拉住，那再捏住龙尾巴乱抖也没用，这时系统中的部分状 态就是不可观测的。如果你一声令下，部分童子充耳不闻，那这些状态就是不可控制的。卡 尔曼从数学上推导出不可控和不可观的条件，在根本上解决了什么时候才不是瞎耽误工夫的 问题。这是控制理论的一个重要里程碑。 再来看这条龙。如果要看这条龙整齐不整齐，排成纵列的容易看清楚；如果要清点人数 ， 看每一个人的动作，排成横列的容易看清楚。但是不管怎么排，这条龙还是这条龙，只是看 的角度不同。那时候中国人的春节舞龙还没有在美国的中国城里闹腾起来，不知道卡尔曼有 没有看到过舞龙，反正他把数学上的线性变换和线性空间的理论搬到控制里面，从此，搞控 制的人有了工具，一个系统横着看不顺眼的话，可以竖着看，因为不管怎么看，系统的本质 是一样的。但是不同的角度有不同的用处，有的角度设计控制器容易一点，有的角度分析系 统的稳定性容易一点，诸如此类，在控制理论里就叫这个那个“ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型”。这是控制理论的又 一个里程碑。 观测状态的目的最终还是控制。只用输出的反馈叫输出反馈，经典控制理论里的反馈都 可以归到输出反馈里，但是用状态进行反馈的就叫状态反馈了。输出反馈对常见系统已经很 有效了，但状态反馈要猛得多。你想想，一个系统的所有状态都被牢牢地瞄住，所有状态都 乖乖地听从调遣，那是何等的威风？台商的大奶们的最高境界呀。 尽管学控制的人都要学现代控制理论，但大多数人记得卡尔曼还是因为那个卡尔曼滤波 器（KalmanFilter）。说它是滤波器，其实是一个状态观测器（state observer），用来从输入和 输出“重构”系统的状态。这重构听着玄妙，其实不复杂。不是有系统的数学模型吗？只要模 型精确，给它和真实系统一样的输入，它不就乖乖地把系统状态给计算出来了吗？且慢：微 分方程的解不光由微分方程本身决定，还有一个初始条件，要是初始条件不对，微分方程的 解的形式是正确的，但是数值永远差一拍。卡尔曼在系统模型的微分方程后再加了一个尾巴， 把实际系统输出和模型计算的理论输出相比较，再乘上一个比例因子，形成一个实际上的状 态反馈，把状态重构的偏差渐进地消除，解决了初始条件和其他的系统误差问题。卡尔曼滤 波器最精妙之处，在于卡尔曼推导出一个系统的方法，可以考虑进测量噪声和系统本身的随 机噪声，根据信噪比来决定上述比例因子的大小。这个构型其实不是卡尔曼的独创，隆伯格 （Luenburg）也得出了类似的结构，但是从系统稳定性角度出发，来决定比例因子。同样的 结构大量用于各种“预测-校正”模型结构，在工业上也得到很多应用，比如聚合反应器的分 子重量分布可以用反应器的温度、进料配比、催化剂等来间接计算，但不够精确，也无法把 林林总总的无法测量的干扰因素统统包括进数学模型里，这时用实验室测定的真实值来定期 校正，就可以结合数学模型及时的特点和实验室结果精确的特点，满足实时控制的要求，这 或许可以算静态的卡尔曼滤波器吧。卡尔曼滤波器最早的应用还是在雷达上。所谓边扫描边 跟踪，就是用卡尔曼滤波器估计敌机的位置，再由雷达的间隙扫描结果来实际校正。实际应 用中还有一个典型的问题：有时候，对同一个变量可以有好几个测量值可用，比如有的比较 直接但不精确，有的是间接的估算，有很大的滞后但精确度高，这时可以用卡尔曼滤波器把 不同来源的数据按不同的信噪比加权 “整合 ”起来，也算是民用版的 “传感器融 合”（sensorfusion）吧。 除了卡尔曼滤波器外，卡尔曼的理论在实际中用得不多，但是卡尔曼的理论在理论上建 立了一个出色的框架，对理解和研究控制问题有极大的作用。 顺便说一句，卡尔曼的理论基本局限于线形系统，也就是说，十块大洋买一袋米，二十 块大洋就买两袋米，都是成比例的。实际系统中有很多非线性的，两千块大洋还能买两百袋 米，但两千万大洋就要看米仓有没有货了，市场涨不涨价了，不是钱越多，买的米越多，有 一个非线性的问题。非线性的问题研究起来要复杂得多。实际系统还有其他特性，有的是所 谓时变系统，像宇宙火箭，其质量随时间和燃料的消耗而变，系统特性当然也就变了。很多 问题都是多变量的，像汽车转弯，不光方向盘是一个输入，油门和刹车也是输入变量。但是 ， 状态空间的理论在数学表述上为线性、非线性、单变量、多变量、时变、时不变系统提供了 一个统一的框架，这是卡尔曼最大的贡献。 前面说到，搞控制有三拨人：电工出身的，化工出身的，和应用数学出身的。在卡尔曼 之前，电工出身的占主导地位，数学家们好在象牙塔里打转转，化工出身则还对控制理论懵 里懵懂，还在“实干”呢。 卡尔曼之后，一大批数学出身的人，利用对数学工具的熟悉，转攻控制理论。一时间， 控制理论的数学化似乎成了“天下大势，顺我者昌，逆我者亡”了。在状态空间的框架下，多 变量没有太多的问题好研究，于是最优化成为控制理论的新时尚。 对于一根给定的曲线，求一阶导数为零的点，就是这个曲线的极点；在对这一极点球二 阶导数，大于零就是最小点，小于零就是最大点。这时牛顿老爷子就整明白的东东，现在高 中或大一人人都学过的东西。但是动态系统是一个微分方程，对微分方程求一阶导数为零， 就导致变分法和所谓欧拉方程。但这个东西用起来不方便。实际的最优控制不大直接使用变 分。 俄罗斯是一个奇怪的地方。老毛子们要么蔫蔫的，要么疯狂的。俄罗斯的悲剧电影看得 你也郁闷得想去自杀。但是老毛子要是搭错筋整出一个喜剧呢？那你要么跟着疯狂，要么被 逼疯狂。就是这么一个地方，除了无数托尔斯泰、柴可夫斯基、普希金、屠格涅夫等文艺巨 璧外，俄罗斯也盛产数学家，其中两个是庞特里亚京和河里学控制的人老惦记着的李亚普诺 夫。 庞特里亚京的极大值原理听起来吓人，其实说白了很简单。看见那山吗？山顶就是最高 点（切，这还用你说吗？）；看见那山坡吗？要是在山腰划一道线，从山下往上爬，尽管山 坡还在继续往上延伸，但是到线为止，不得逾越，那山腰上那道三八线就是最高点（切，这 还用说？）。这就是庞特里亚京的极大值原理。当然啦，庞特里亚京是用精巧、深奥的数学 语言表述的，要不然他在数学界里也别混了。不过呢，意思就是这么一个意思。 庞特里亚京极大值原理的一个典型应用就是所谓最速控制问题，或者叫时间最优控制 （time optimalcontrol）问题，简单地说，就是给定最大马力和最大刹车功率，怎么开汽车能 够最快地从 A点开到 B点（什么转弯、上下坡、红绿灯，这种琐碎的事情也要拿来烦人？ 一点品味都没有！）。你可以用优美但繁琐的数学求证，或者用膝盖想想，最快的方法，就是 一上来就加足马力，全速前进；然后在不到终点的某一地点，全力刹车，使慢下来的汽车在 到达终点时正好停下来。这时最快的方法，不可能比这更快了。稍微发挥一点想象力，可以 想象“梆”的一下，控制量的油门板一脚到底，再是“梆”的一下，刹车板一脚到底，控制任务 就完成了。所以最速控制也叫“梆-梆”控制（bang bang control）。 最速控制在理论上是一个很有趣的问题，解法也是简洁、优美，但在实际中直接使用的 例子实在是凤毛麟角，一般都是开始时用“梆-梆”，或者匀速上升到最大控制，以缓和控制 的冲击力；到终点附近时，改用 PID作闭环微调，以克服“梆-梆”的系统模型误差十分敏感 的缺点。电梯控制就是这样一个例子。从一楼到四楼，电动机很快匀速上升到最高转速，一 过三楼，电动机就匀速下降到较低的转速，然后根据电梯实际位置和楼面之差，有控制地减 速，直至停下来。要是控制参数调得好的话，一下子就稳稳当当地停下来；要是调的不够好 ， 会在停下来之前上下晃荡几下。 最速控制问题是较早的最优控制问题，它提供了一个很有趣的思路，但这颗树上开花结 果不多。相比之下，最优控制的另外一支枝繁叶茂，有生气得多了。这一支就是线型二次型 最优控制（linearquadratic control）。数学是有趣的，但数学也是盲目的。在数学上，最优化 问题就是一个在曲面上寻找凸点的问题，只要你能把一个物理问题表述成一个曲面，数学是 不理会姓无姓资的。既然如此，控制偏差的平方在时间上的累积就是很自然的选择，二次型 就是平方在线性代数里的说法。线型系统的偏差平方有很好的性质，这山峰是一个馒头山， 没有悬崖峭壁，没有沟坎，容易爬；一山只有一峰，不用担心找错地方。不过这山峰不能只 包含控制偏差，还要包含控制量，原因有三个： 1、如果不包括控制量，那最优控制的解是没有意义的，因为无穷大的控制量可以使累计平 方偏差为最小，但无穷大的控制量是不现实的。 2、控制量的大小通常和能量、物料的消耗连在一起，实际控制问题一般是“在最小能量、物 料消耗小达到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同时包含控制偏差和控制量是很自然的。 3、系统模型总是有误差的，误差“总是”在高频、大幅度控制作用下最突出，所以为了减低 系统对模型误差的敏感性，也有必要限制控制量的大小。 所以线性二次型最优控制的“目标函数”（也就是定义山峰形状的数学表述）是一个控制 偏差和控制量各自平方的加权和的积分。积分当然就是“在时间上的累积”了，加权和其实就 是在控制偏差的平方项和控制量的平方相前分别乘以比例因子，然后再相加。两个比例因子 的相对大小决定了谁更重要。运用矩阵微分和线型代数工具，不难导出线性二次型控制律— 一个基本的状态反馈控制律！只是反馈增益矩阵是按最优化的要求计算出来的。 线型二次型最优控制开创了一整个新的控制领域，很快从状态空间走出来，进入其他领 域，子孙繁衍，人丁兴旺。这一支是当今最优控制在应用中的主体。 线性二次型控制具有各种各样的优点，但是，线性二次型没有回答一个最基本的控制问 题：这个闭环系统是不是稳定。这里，我们的饱受牵记的李亚普诺夫同志出场了。李亚普诺 夫也是一个脑子搭错筋的人，一百多年前，玩微分方程玩出了瘾，整出两个稳定性（或者叫 收敛性）的定理，前一个没有什么太了不起的，把非线性系统线性化，就是把一根曲线用很 多一小段、一小段的直线近似，然后按直线来分析。后一个就有点邪门了。老李琢磨出一个 定理，说是对于任意一个系统，如果能找到一个自我耗散的能量函数（数学说法是正定函数 ）， 也就是其数值永远为正，但随时间渐进地趋向零，或者说这个能量函数对时间的导数永远为 负，那这个系统就是稳定的。据说定理的证明是一个天才的杰作，我等凡人只有频频点头的 份。不过想想也对，系统的能量耗散没了，系统不也就安分下来了吗？当然就稳定喽。 李亚普诺夫比卡尔曼还要数学家，他的定理只给出“如果存在……就……”，怎么找这个 自我耗散的能量函数他没说，这个函数一般是什么样他也没说。这难不倒搞自动控制的广大 革命群众。不是要正定函数吗？不是没有限制什么形式的正定函数吗？那就用控制偏差的平 方吧。说干就干，但是干着干着，好玩的事情出现了，对偏差平方（或二次型）的求导，导 出了和线性二次型最优控制推导过程中同样出现的一个所谓黎卡蒂方程（Riccati equation）， 感情这是殊途同归呀。换句话说，线性二次型控制总是稳定的。这是线性二次型控制的一个 重要贡献：把最优性和稳定性连到一起。 再扯一句李亚普诺夫，他的第二个定理非常威猛，但是有点像一个奇形怪状的大锤，到 现在人们还在找合适的钉子，好用