自动控制原理 胥布工 答案2

1 第 4 章习题及解答 4-1 常用的测试信号有哪几种，它们的特点有哪些？ 解：参考书本 4.2.1 节。 4-2 假设温度计可用放大系数为 1 的一阶系统来描述其特性，现在用温度计测量盛在容 器内的水温。发现需要1分钟时间才能指示出实际水温的 95%的数值，试问该温度计指示出实 际水温从 5%变化到 95%所需的时间是多少? 解：由于 13 T （分钟），则 3 1T （分钟）， 05.01)( 1 1   T t eth ，则 95.0ln1 Tt  ， 95.01)( 2 2   T t eth ，则 05.0ln2 Tt  ，所以 98.005.0 95.0ln12  Ttttr （分钟）。 4-3 已知系统信号流图如图 4-37 所示，其中 )15.0(2)(  ssG ，为使调整时间减少为 原系统 )(sG 的 0.5 倍，并保证的总放大倍数不变。求参数 1K 和 0K 的数值。 1K 0K 1)(sG )(sR )(sY 图 4-37 习题 4-3 图 解：未加反馈时系统的传递函数 15.0 12)(  ssG ，对于一阶系统调节时间 5.1%)5(3  Tts ，放大倍数为 2。当采用图中的负反馈结构时，系统的闭环传递函数为： 1 21 5.0 21 2 )21(5.0 2 15.0 2 1 15.0 2 )(1 )()( 1 1 0 1 0 1 0 1 0     s K K K Ks K s K s K KsG sGKsT 此时系统的调节时间 %)5( 121 5.033 K Tts  ，放大倍数为 1 0 21 2 K K  。由系统调整时间减少 为原来的 0.5 倍，而系统的总放大倍数不变，可得：      2 21 2 5.05.1 21 5.03 1 0 1 K K K 所以可得 5.0,2 10  KK 。 4-4 系 统 在 静 止 平 衡 状 态 下 ， 加 入 输 入 信 号 tttr 2)(1)(  ， 测 得 响 应 为 tetty 2045.0)45.0()(  ，试求系统的传递函数。 解：由于系统在静止平衡状态下，输出和输入的拉氏变换分别为 2 )20( )2(10 20 45.045.01)( 22   ss s sss sY ， 以及 2 21 )( ss sR  则 20 10 )( )()(  ssR sYsT 。 4-5 某控制系统结构图如图 4-38 所示，其中 51 K ， 5.01 T 。 （1）求系统的单位阶跃响应； （2）计算系统的性能指标 rt ， pt ， st ( %5 )， % ； （3）若要求将系统设计成二阶 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 最佳参数 707.0 ，应如何改变 1K 值？ )1( 1 1 sTs K)(sR )(sY 4.0 图 4-38 习题 4-5 图 解：系统的闭环传递函数为 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 5 214.0 )( T K s T s T K KssT K sT   则有 , 5 2 1 12 T K n  114/5.2 TK 。 当 51 K ， 5.01 T 时， 25 2 1 1  T K n ， 5.04/5.2 11  TK 。 42 45.2 5 214.0 )( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1     ss T K s T s T K KssT K sT （1）该系统的单位阶跃响应为                  ) 3 7321.1sin(1547.115.2 ) 3 3sin( 3 3215.2)sin( 1 15.2)( 2     te tetety t t d t n n （2）系统的性能指标为： )(82.1 1 ),(21.1 1 22 stst n p n r         %3.16%100%);05.0(),(33 21/    est ns （3）设计 5.24/5.2707.0 111  KTK 3 从以上计算可以看到 1K 和 1T 对系统动态响应的影响： 1T 确定时， 1K 增大， 将减小， 超调量增大； 1K 减小时， 增大， 1K 过小时， 甚至会超过 1，成为过阻尼。若 1K 一定时， 1T 增大，不仅使 减小， % 增大，同时还将引起 n 减小，调节时间将增大。可见， 1T 的增 大对系统的动态性能的影响是不利的。 4-6 设二阶控制系统的单位阶跃响应如图 4-39 所示，若该系统为单位负反馈控制系统， 试确定其开环传递函数。 )(ty t0 0.1 15.0 2.1 图 4-39 习题 4-6 图 解：由图可知，该系统为欠阻尼二阶系统，从图中直接得出 %20%  ， 15.0pt 根据公式 2.0% 21       e ， 15.0 1 2      n pt 解得 456.0 )(ln )(ln 22 2    ， 1 2 53.23 1    s t p n   于是开环传递函数为 )46.21( 8.553 )2( )( 2  sssssG n n L   4-7 设图 4-40（a）所示系统的单位阶跃响应如图 4-40（b）所示。试确定系统参数 ,1K 2K 和 a。 )( 1 ass K  2K )(sR )(sY )(ty 0 3 2.0 49.3 t 4 （a） （b） 图 4-40 习题 4-7 图 解：由系统阶跃响应曲线有       o o o o pt y 3.163)349.3( 2.0 3)(  系统闭环传递函数为 22 2 2 1 2 21 2 )( nn n ss K Kass KK sT    由         o o o o n p e t 3.16 2.0 1 21 2    联立求解得     13.18 5.0 n  可知     13.182 32921 n n a K   另外 3lim1)(lim)( 2 1 2 21 00   KKass KK s sTsy ss 4-8 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 )12.0( )(  ss KsGL 试分别求出当 5K 和 20K 时系统的阻尼比 ，无阻尼自然频率 n ，单位阶跃响应的超调 量 % 及峰值时间 pt ，并讨论 K 的大小对系统性能指标的影响。 解:闭环系统的传递函数为 Kss K Kss K sG sG sT L L 55 5 2.0)(1 )( )( 22  当 5K ， 255 25)( 2  sssT ，则 25 2 n ， 52 n ，可以求出 5n ， 5.0 %3.16%100% 21    e st n p 725.0 1 2      当 20K ， 1005 100)( 2  sssT ，则 100 2 n ， 52 n ，可以求出 10n ， 25.0 %45.44%100% 21    e st n p 324.0 1 2      可知： K 增大时， % ， pt 。 5 4-9 设电子心率起搏器系统如图 4-41 所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一个纯积 分器。要求： （1）若 5.0 对应于最佳响应情况，问该情况下起搏器的增益 K 应为多大？ （2）若期望心速为 60 次/min，并突然接通起搏器，问 1 s后实际心速为多少？瞬时最大 心率为多大？ )(sE 期望心速 电子起搏器 心脏 实际心速)(sR )(sY s 1 104.0 s K 图 4-41 习题 4-9 图 解： （1）系统的开环传递函数为： )104.0( )(  ss KsG 所以闭环传递函数为： Kss K Kss KsT 2525 25 )104.0( )( 2  Kn 25 2  ， 252 n ， 5.0 解之得： 25K ， 25n （2）闭环传递函数写为： 62525 625)( 2  sssT ，闭环极点 35.125.122,1 js  。 方法一：系统的阶跃响应为 ) 3 35.12sin( 3 321 )1sin( 1 11)( 5.12 2 2           te tety t n tn sec/1) 3 35.12sin( 3 321)1( 5.12 次  ey 方法二：取 02.0 ， 0.32s 255.0 4 st ，故 sec/1)1( 次y 峰值时间： 0.145s 25.0125 14.3 1 2     n pt %30.16%100%100% 75.0 5.0 1 2        ee 最大心率为 min/78.69%)30.161(60 次 4-10 分别考虑系统如图 4-42（a）和（b）所示，试求： （1）当 0a ， 4K 时，分别确定系统的阻尼系数 ，无阻尼自然振荡频率 n 和 ttr )( 作用下系统的稳态误差； （2）当 4K , 75.0 时，分别确定参数 a 值及 ttr )( 作用下系统的稳态误差； （3）在保证 5.0 且当输入为 ttr )( 时的稳态误差 5.0ssre 的条件下，分别确定参数 6 a 和 K 。 )(sE)(sR )(sY as )1( ss K )(sR )(sY )1( ss K1 as )(sE （a） （b） 图 4-42 习题 4-10 图 解： 对于（a）图有： （1）当 4,0  Ka 时，闭环传递函数为 22 2 2225.02 2 4)1( 4 )1( 41 )1( 4 )(1 )()(    ssss ss ss sG sGsT L L 系统是一个二阶系统， 2,25.0  n . 系统的开环函数为 )1( 4)(  sssGL ，在 ttr )( 作用下，查表得 25.0 4 1 )1( 4lim 1 )(lim 1 )(1 1 lim 0 0 2 0        ss sssGsG s s e s LsL sss （2）开环传递函数 )1( )1( 1 )1()( Kass K as ss K ss K sGL   闭环传递函数为 KsKas K Kass K Kass K sT    )1( )1( 1 )1()( 2 当 75.0,4  K 时，即 275.0241  a ，故 5.0a ，则 )3( 4)(  sssGL ，在 ttr )( 作 用下 75.0 4 3 )3( 4lim 1 )(lim 1 )(1 1 lim 0 0 2 0        ss sssGsG s s e s LsL sssr （3）在 ttr )( 作用下， 7 K Ka Kass KsssGsG s s e s LsL sssr        1 )1( lim 1 )(lim 1 )(1 1 lim 0 0 2 0 由 22 2 2 2)1( )( nn n ssKsKas KsT    ，可知 2 2 4)1(  K Ka 。已知 5.0,5.0  ssre ， 则有 2 2 )5.0(4)1(  K Ka ， 5.01  K Ka ，解得 4K ， 25.0a 。 对于(b) 图有： (1) 由系统框图可得开环传递函数： )1( )1()(   ss asKsGL ，当 0a 和 4K 时，闭环传递函 数 4 4 )1( )1()( 22   ssKsKas asKsT 。 则求得 25.0 ， 2n ， ttr )( 作用下系统的稳态误差 25.0ssre 。 (2) 当 4K 时，系统的闭环传递函数 2 4( 1)( ) (4 1) 4 asT s s a s     ，且当 75.0 时可得 314 a 得 5.0a ， ttr )( 作用下系统的稳态误差 25.0ssre 。 (3) 由开环传递函数 )1( )1()(   ss asKsGL 当输入为 ttr )( 时的稳态误差 5.0ssre 则 2K ， 此时闭环传递函数 2)21( )1(2)( 2   sas assT 且 5.0 得 212 a ，求得 207.0a 。 4-11 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图 4-43（a）和（b）分别为 开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的 pK 值为 1。 （1）若 )(1)( ttr  ， 0)( td 两种系统从响应开始达到稳态温度值的 63.2％各需多长时 间？ （2）当有阶跃扰动 1.0)( td 时，求扰动对两种系统的温度的影响。 )(sR 15 s K p 加热器 )(sD )(sY )(sR 15 s K p 加热器 )(sD )(sY 10 放大器 温度传感器 1 （a） （b） 图 4-43 习题 4-11 图 解： （1） 对图（a）系统： 15 1 15 )(  ss KsGL ，时间常数 5T ；当输入为单位阶跃函数时， 8 得一阶系统的单位阶跃响应为 Ttety /1)(  。由于 632.0)( Ty 所以图（a）系统达到稳态温 度值的 63.2%需要 5 个单位时间； 对图（b）系统： 1 11 5 11 10 115 10)(   ss sTb ，时间常数 11 5T ；所以系统达到稳态温度值 的 63.2%需要 0.4545 个单位时间。 (2) 对（a）系统： 1 )( )()(  sD sYsGd ， 1.0)( td 时，该扰动对温度的影响为 100%，且一直保 持。 对（b）系统： 115 15 15 101 1 )( )()(     s s s sD sYsTd ，当 1.0)( td 时，最终扰动对温度的影 响为 00909.0 11 11.0  。 4-12 已知单位负反馈的系统开环传递函数为 )2( )1()( 2 n dn L ss ssG     其中 1.0 和 16  sn ，如果希望闭环系统的阻尼系数为 6.0 ，请确定 d ，并计算闭环系统 的超调量和调节时间（ 05.0 ）。 解：由系统的开环传递函数 )(sGL 且 1.0 和 16  sn 可求得系统的闭环传递函数 36)362.1( )1(36 )( 2   ss s sT d d   ，由闭环系统的阻尼系数为 6.0d 可得 66.02362.1  d ， 求 得 167.061 d ； 由 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 可 求 得 系 统 的 极 点 为 8.46.3)54(666.01 22,1 jjjs dnnd   ，系统的零点为-6，则零点与任 一 共 轭 极 点 的 距 离 为 3666.58.2804.2376.58.4)6.36( 22 l , 1071.1 3666.55 24arcsin 1 arcsin 2   l z d . 由超调量的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 %7.9%1000970.0%1001085.08944.0 %1008944.0%1008944.0 %100 6 3666.5%100% 2213.28.0 7771.1 6.01 )6.0arccos0345.2(6.0 1 )arccos( 22        ee ee z l d dd    则 s zl t nd d s 8643.066.0 6.01ln)6/3666.5ln(3) 1ln/ln3 22     。 9 4-13 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 )2( )( 2 n n L ss sG    系统的单位阶跃响应误差函数为 tt eete 59.561.1 4.04.1)(   试求系统的稳态误差 sse 和二阶系统的特征参量 及 n 。 解：系统的稳态误差为 0)(lim   tee tss , 059.5 4.0 61.1 4.1lim)(lim 00      sssssE ss 特征方程为： 9999.82.7)5.59)(61.1(2 222  ssssss nn  则 9999.82 n ， 2.72 n 可得 3n ， 2.1 。 4-14 已知闭环传递函数的一般形式为 01 1 1 01 1 1)( asasas bsbsbsbsT n n n m m m m         误差定义为 )()()( tytrte  。对于一个稳定的系统，试证： （1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为 01 1 1 0)( asasas asT n n n    （2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为 01 1 1 01)( asasas asasT n n n      解：（1）系统的闭环传递函数为 01 1 1 0)( asasas asT n n n    由于 )](1)[()()()( sTsRsYsRsE  01 1 1 1 1 1 asasas sasas s R n n n n n n         R asasas asas n n n n n n 01 1 1 1 2 1 1          根据终值定理可知： 0)(lim 0   ssEe sss 。因此，在阶跃信号输入下， 01 1 1 0)( asasas asT n n n    是系统稳态误差为零的一个充分条件。 （2）系统的闭环传递函数为 01 1 1 01)( asasas asasT n n n      。由于 10 R asasas asas asasas sasas s R sTsRsYsRsE n n n n n n n n n n n n 01 1 1 2 3 1 2 01 1 1 2 2 1 1 2 )](1)[()()()(                   根据终值定理有: 0)(lim 0   ssEe sss ，因此，在斜坡信号输入下， 01 1 1 01)( asasas asasT n n n      是系统稳态误差为零的一个充分条件。 4-15 系统结构如图 4-44 所示，其中 )1( )(  Tss KsG ，定义误差 )()()( tytrte  。 （1）若希望图 4-44（a）中，系统所有的特征根位于 s 平面上 1s 的左侧，且阻尼比 为 5.0 ，求满足条件的 K ，T 的取值范围。 （2）求图 4-44（a）系统的单位斜坡输入下的稳态误差。 （3）为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图 4-44（b）所示， 试求出合适的 0K 值。 )(sR )(sY )(sG )(sR )(sY )(sG10 sK （a） （b） 图 4-44 习题 4-15 图 解：（1）闭环传递函数为 T Ks T s TK KsTs KsT   1)( 22 。即 T K n  和 Tn 12  由于 5.0 。可得 Tn 1 和 T K 1 。特征方程为 0)( 2  KsTss ， 令 1 ws ，代入上式得， 11)12(1)1()(~ 22  TTwTTwKwwTs 列出劳斯表： 2w T 11  TT w T21 0w 11 TT 有 0T ， 021  T ， 011  TT 所以满足条件的取值范围 2 10  T 。 （2） K Tss KsssGK ssv   )1(lim)(lim 00 所以 K K e v ssr 1 1  11 （3）由于 KsTs KsKK KTss KsKsG   2 0 0 )1( )1()(~ ∴ )( )1()1(1)](~1)[()()()( 2 0 2 0 2 2 KsTss KKTs KsTs sKKTs s sGsRsYsRsE    ∴ 01)1(lim)(lim 0 2 0 00    K KK KsTs KKTs ssEe ssssr ，即 K K 10  当 K K 10  时， KsTs KssG   2)( ~ 与原来系统闭环的传递函数一样，所以 K K 10  不改变系统 的稳定性。 4-16 某单位反馈系统结构如图 4-45 所示，已知参考输入 )(1)( tttr  和干扰 )(12)( ttd  ,试计算该系统总的稳态误差。 )(sR )(sD )(sY 15.0 5 s )12( 2.0 ss )(sE 图 4-45 习题 4-16 图 解： （1）判断系统的稳定性 系统的开环传递函数为 )12)(15.0( 1)(  ssssGL 系统的闭环特征方程为 015.2)( 23  ssss 三阶系统各系数为正，且 1115.2  ，则系统稳定。 （2） )(sR 作用下的稳态误差 2 1)( s sR  ，开环传递函数 )12)(15.0( 1)(  ssssGL ，系统为 I 型， 查表得 ,1)(lim 0   ssGK ksv 1 1  v ssr K e )(sD 作用时的误差信号为 )( 1)12)(15.0( 2.01.0)( )12( 2.0 15.0 51 )12( 2.0 )()( sD sss ssD sss sssYsE dd     其中 s sD 2)(  ，所以可得稳态误差 4.02 1)12)(15.0( 2.01.0lim)(lim 00    ssss ssssEe sdsssd 。根据线性时不变系统的叠加原理，总 的稳态误差为 4.1sse 。 12 4-17 系统的信号流图如图4-46所示，其中 1 1)( 1 1  sTsG ， ssG 1)(2  和 1)( 23   sT KsG ， 如 )(12)()()( 21 ttdtdtr  ，试分别计算 )(tr ， )(1 td ， )(2 td 作用时的稳态误差，并说明积 分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的稳态误差的影响。 )(1 sG )(1 sD )(2 sD )(2 sG )(3 sG 1 1 )(sR )(sY 1 图 4-46 习题 4-17 图 解： （1）当输入为 )(12)( ttr  时，此时系统的开环传递函数为： )1)(1( )( 21   sTsTs KsGL 根据查表，I 型系统在阶跃输入下的稳态误差 0 )(lim1 2 0   sG e s ssr 。 （2）当输入为 )(12)(1 ttd  时，此时的误差传递函数为： KsTsTs sTK sTsTs K sTs K sD sEsTed     )1)(1( )1( )1)(1( 1 )1( )( )()( 21 1 21 2 1 1 阶跃输入下的稳态误差 22)(lim)()(lim 111 010   sssTsDssTe edsedsssd 。 （3） 当输入为 )(12)(2 ttd  时，此时的误差传递函数为： KsTsTs sTKs sTsTs K sT K sD sEsTed     )1)(1( )1( )1)(1( 1 )1( )( )()( 21 1 21 2 2 2 则稳态误差 02)(lim)()(lim 222 020   sssTsDssTe edsedsssd 。 通过比较可知：在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时 减小由输入和干扰因引起的稳态误差。 4-18 系统如图 4-47（a）所示，其单位阶跃响应 )(ty 如图 4-47（b）所示，系统的位置 误差 0sse ，试确定 K 、 v 与T 值。 13 )(sE)(sR )(sY K 1 )1( )(   Tss asK v )(ty t0 10 5初始斜率 （a） （b） 图 4-47 习题 4-18 图 解：系统的闭环传递函数为 assTs asK Tss as Tss asK sT vv v v        1 )( )1( 1 )1( )( )( 因为 0sse ，所以系统是稳定的，即 2v 。 101)(lim)()(lim)( 100    KsassTs asKssRssTy vvss assTs Tss Tss assR sEsT vv v v e      1 )1( )1( )(1 1 )( )()( 01 )( )1(lim 10    sassTs Tssse vv v sss 则 1v 。最后有： 21  v 。 由于初始速率为 5 可知： 5 11 )1( lim)(lim 1)(lim)]([lim)]([lim 1 1 1 1 2 0            vv vv svvs vvsst s a ss T s a s K assTs asKs sassTs asKsssYsty dt d 则 1v ， 5 T K ，即 2T ，可得 10K ， 1v ， 2T 。 4-19 复合控制系统结构图如图 4-48 所示，图中 pcpc TTKK ,,, 是大于零的常数。当输 入 tVtr 0)(  时，试选择校正装置 )(sG ff ，使得系统无稳态误差。 )(sR )(sY)(sE )1( sTs K p p )(sG ff 1sT K c c 图 4-48 习题 4-19 图 14 解：（1）系统的偏差传递函数为： pcpc cppc pc pc p )1)(1( )1)((G)1)(1( )1()1( 1 )( )1( 1 )( )( KKsTsTs sTsKsTsTs sTsTs KK sG sTs K sR sE ff ff p     0)()( 23  pcpcpc KKssTTsTTs 因为此系统为三阶系统，又因 pcpc TTKK ,,, 均大于零，所以只要 pcpcpc KKTTTT  ，就能 满足稳定的条件。 （2） 方法一（仅考虑稳态）： I 型系统位置误差为零，速度误差为有限值，需要补偿。 2 0 00 )1)(1( )1)(()1)(1( lim)( )( )(lim s V KKsTsTs sTsGKsTsTs ssR sR sEse pcpc cffppc ssssr    0 )( 1lim 0 0      s sG K KK V ff p pcs 故 p ff K ssG )( 考虑物理可实现情况，可得 )1( )(  sTK ssG ffp ff ， 其中 ffT 取比较小的正数。 方法二（双通道原理）： p p p ff K sTs sHsG sG )1( )()( 1)(  考虑物理可实现情况，可得 )1)(1( )1( )( 21   sTsTK sTs sG p p ff 其中 21 ,TT 取比较小的正数。 0 )1)(1( )1)(1( 11 lim )1)(1( 1 )1)(1( 11 lim)( )( )(lim 0 21 02 021 00       V sTsT KK s sTsT s V sTsTs KK sTsT ssR sR sEse pc pcs pc pcss ssr 4-20 复合控制系统结构图如图 4-49 所示，已知 11.0 1)(  ssGc ， )110( 1)(  sssGp 试选择合适的扰动补偿环节的传递函数 )(sG ff ，以补偿扰动 )(sD 对系统的影响。 15 )(sR )(sY)(sE )(sD )(sG ff )(sGp)(sGc 图 4-49 习题 4-20 图 解：扰动到输出的传递函数为 )()(1 ))()()( )( )( ( sGsG sGsGsGsG sD sY cp pcffp   若使扰动对系统无影响，则 0 )( )(  sD sY 则有全补偿条件 1)()( sGsG cff 稳态补偿条件 1)0()0( cff GG 已知 11.0 1)(  ssGc ，考虑物理可实现情况，可得 101.0 11.0)(   s ssG ff 则当扰动为阶跃输入时，可得 0 )( ) 1 01.0lim)( )()(1 ))()()( lim)( ( 0 ( 0      s D sG sG sssD sGsG sGsGsGsG sy c p scp pcffp s 4-21 已知单位反馈系统的闭环系统传递函数为 )10)(4)(12( )1.4(756.9)( 2   ssss ssT 试估算系统的动态性能指标 % 及 st ，并用 MATLAB 仿真比较近似系统与原系统的单位阶跃响 应。 解：系统闭环的极点为： 2 3 2 1 2,1 js  ， 43 s ， 104 s ，零点 1.41 z 。由于稳 定 43 s 与 1.41 z 远离极点 2,1s 且距离很近可相互抵消， 104 s 与 2,1s 的点模比大于 5， 因此该系统可近似为主导极点 2,1s 构成的二阶系统 )1 10 )(1 4 )(1(104 )1 1.4 (1.4756.9 )( 2    ssss s sT 22 2 2  ss 22 2 2 nn n ss    1n ， 707.0 2 1  16 则 %3.4%100% 2707.01707.014.3  e )05.0()(72.4 )105.0ln( 2  st n s   4-22 已知如下过阻尼二阶系统 14 1)( 2  sssT 试求其一阶近似系统，并用 MATLAB 仿真比较该系统及其一阶近似系统的单位阶跃响应。 解：闭环极点 73.31 s 将比 27.02 s 到虚轴的距离远很多，从而由 1s 所决定的指数项衰 减地更快，并且与 1s 有关指数项的系数也远小于与 2s 有关指数项的系数，此时可以忽略与 1s 有关指数项对单位阶跃响应的影响，可将二阶系统近似为一阶系统来处理 27.0 27.0)( 2 2  sss ssTJ 设 ssR /1)(  ， 则 27.0 111 27.0 27.0)(  sssssY 则二阶系统的近似单位阶跃响应为 tety 27.01)(  根据原过阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为 tt eety 27.073.3 077.1077.01)(   由 Matlab 仿真可得下图 tety 27.01)(  tt eety 27.073.3 077.1077.01)(   st / )(ty 图 4-45 习题 4-10 图 17 第 5 章习题及解答 5-1 什么叫根轨迹图，并阐述绘制根轨迹规则。 解：参考本章 5.2 节和 5.3 节。 5-2 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为 )2)(1( )(  sss K sGL ，判断下列点是否 在根轨迹上： )2,0( j ， )0,42.0( j ， )2,3( j 。 解：把点 )2,0( j ， )0,42.0( j ， )2,3( j 带入相角条件中，若满足则是根轨迹上的点， 反之则不是。    )26.3574.5490( )22()12(2()]2()1([ 20  jjjsss js   ))242.0()142.0(42.0()]2()1([ 42.0ssss )12()21()22()23(()]2()1([ 23   kjjjsss js 根据相角条件，可得点 )2,0( j 和 )0,42.0( j 在根轨迹上，点 )2,3( j 不在根轨迹上。 5-3 系统的开环零、极分布图如图 5-30 所示，试用绘出相应的根轨迹草图。 j 平面s 0  j 平面s 0  j 平面s 0  （a） （b） （c） j 平面s 0  j 平面s 0  j 平面s 0  （d） （e） （f） 图 5-30 习题 5-3 图 解：如图所示 18 j   j j   jj  j 习题 5-3 图 5-4 设单位负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1） )3)(2)(1( )(  sss KsGL （2） )12( )2()(   ss sKsGL （3） )52( )2()( 2   ss sKsGL （4） )136)(5)(1( )( 2  ssss KsGL 试根据绘制根轨迹的规则，绘制 K 由 0 变化到无穷大时的系统根轨迹图。 解：1： )3)(2)(1( )(  sss KsGL （1） 0,3  mn 根轨迹有三条分支； （2）起点： 3;2;1 321  ppp ; 终点：3 条根轨迹趋向于无穷远； （3）实轴上根轨迹： ]1,2[  ， ]3,[  ； （4）渐近线： 渐近线与实轴的夹角：   180,60 3 360180  k ； 渐近线与实轴的交点: 2 3 06   ； （5）分离点： )0,4226.1 3 32(  (6)与虚轴交点              60 166.3311 6 0 066 011 061160)3)(2)(1()( 2 3 23 K jj KK KsssKssss    和 19 做出根轨迹如图 j  习题 5-4 根轨迹图 2： )5.0( )2( )12( )2()(    ss sK ss sKsG gL ， KK g 5.0 (1) ,1,2  mn 根轨迹有 2 条分支； (2) 起点： ,5.0;0 21  pp 终点： ,21 z 1 条趋向于无穷远处； (3) 实轴上根轨迹：  0,5.0 ，  2,  ； (4) 分离点和会合点： )0,27.0( ， )0,73.3( ； 2679.0,7321.3 0153)5.02)(2(5.0)5.02)(2(5.0 0 )( )()( )( 5.0)(;2)( 2,1 222 2    s ssssssssss ds sdD sNsD ds sdN sssDssN LLL L LL 做出根轨迹图如下  j 习题 5-4 根轨迹图 3： )52( )2()( 2   ss sKsGL （1） ,1,2  mn 根轨迹有 2 条分支； （2）起点： ,21;21 21 jpjp  终点： 21 z ； 1 mn 条趋向于无穷远处； （3）实轴上根轨迹： ]2,[  ； （4）分离点： )0,24.4( ； 20 2361.0,2361.4 014)462(52)22)(2()52( 0 )( )()( )( 52)(;2)( 2,1 2222 2    s ssssssssss ds sdD sNsD ds sdN sssDssN LLL L LL （5）出射角： 43.1531  ， 43.15312   ；   43.1539043.63180)4()21(180  jjq 做出根轨迹如图  j 习题 5-4 根轨迹图 4： )136)(5)(1( )( 2  ssss KsGL （1） ,0,4  mn 根轨迹有 4 条分支； （2）起点： ,23;23 21 jpjp  ,5;1 43  pp 终点：4 条趋向于无穷远 处； （3）实轴上根轨迹： ];1,5[  （4）渐近线： 渐近线与实轴的夹角：   135,45 4 360180  k ； 渐近线与实轴的交点: 3 4 012   ； （5）分离点： )0,3( 3,3,3 0108108364 0 )( )()( )( 651085412)(;1)( 2,1 23 234     s sss ds sdD sNsD ds sdN sssssDsN L LL L LL （6）出射角： 901  ， 9012   ； 21  909045135180)4()22()22(180  jjjq 做出根轨迹如图  j 习题 5-4 根轨迹图 5-5 已知反馈控制系统特征式为 )6(8126)( 234  ssssss  ，若要求系统特征 根均具有负实部，试用根轨迹法确定 的范围。 解: 0)6(8126)( 234  ssssss  , 以不含 项除全式，得 0 8126 61 234   ssss s ， 323 )2( 6 )8126( 6)(    ss s ssss ssGL  ， (1)开环零点 61 z ，开环极点 2,0 4,3,21  pp ； (2)实轴上的区间为 ]0,2[],6,(  ； (3)渐近线：   180,60 14 360180   k ； 0 14 62220    (4)分离点 016484012 048144120363481521324248126 )824184)(6(8126 )( )()( )( 8126)(;6)( 234 234234234 23234 234      ssss ssssssssssss ssssssss ds sdD sNsD ds sdN sssssDssN L LL L LL 解得 4641.7,2,5359.0 43,21  sss ，均在实轴根轨迹上，但 23,2 s 是根轨迹出发点， 所以-0.5359 和-7.4641 是根轨迹的分离点和会合点，相应的根轨迹增益为