第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2012)
一、（本
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
共 5 小题，每小题各 6 分，共 30 分）解答下列各题
（1）求极限 2
1
lim( !) ;n
n
n→∞
（2）求通过直线 2 3 2 0:
5 5 4 3 0
x y z
L
x y z
+ − + =⎧⎨ + − + =⎩ 的两个相互垂直的平面 1π 和 2π ，使其中一个平面
过点（4，-3,1）；
（3）已知函数 ( , ) ax byz u x y e += ，且
2
0u
x y
∂ =∂ ∂ ，确定常数 a和b，使函数 ( , )z z x y= 满足方
程
2
0z z z z
x y x y
∂ ∂ ∂− − + =∂ ∂ ∂ ∂ ；
（4）设函数 ( )u u x= 连续可微， (2) 1u = ，且 3( 2 ) ( )
L
x y udx x u udy+ + +∫ 在右半平面上与
路径无关，求 ( );u x
（5）求极限
13 sinlim ;
cos
x
xx
tx dt
t t
+
→+∞ +∫
二、(本题 10 分)
计算 2
0
sinxe x dx
+∞ −∫
三、(本题 10 分)
求方程 2 1sin 2 501x x
x
= − 的近似解，精确到 0.001.
四、(本题 12)
设函数 ( )y f x= 二阶可导，且 ( ) 0, (0) 0, (0) 0,f x f f′′ ′> = =
求
3
30
( )lim
( )sinx
x f u
f x u→
，其中u是曲线 ( )y f x= 上点 ( , ( ))P x f x 处的切线在 x轴上的截距。
五、(本题 12)
求最小实数C，使得对满足
1
0
( ) 1f x dx =∫ 的连续的函数 ( )f x ，都有 10 ( )f x dx C≤∫ 。
六、(本题 12)
设 ( )f x 为连续函数， 0t > ，区域Ω是由抛物面 2 2z x y= + 和球面 2 2 2 2x y z t+ + = 所围起
来的上半部分，定义三重积分 2 2 2( ) ( )F t f x y z dv
Ω
= + +∫∫∫ 。
求 ( )F t 的导数 ( )F t′ 。
七、(本题 14)
设
1
n
n
a
∞
=
∑ 与
1
n
n
b
∞
=
∑ 为正项级数，那么
（1） 若
1 1
1lim( ) 0,n
n
n n n
a
a b b→∞ + +
− > 则
1
n
n
a
∞
=
∑ 收敛；
（2） 若
1 1
1lim( ) 0,n
n
n n n
a
a b b→∞ + +
− < 且
1
n
n
b
∞
=
∑ 发散，则
1
n
n
a
∞
=
∑ 发散。
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