微分方程与差分方程稳定性课件

null微分方程与差分方程稳定性理论微分方程与差分方程稳定性理论 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.null7.7 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它也是(1)的解(奇解).null 如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 (3) 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下面介绍直接法. null 将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项，方程(1)近似为 (4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论： 若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是稳定的; 若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的. null 注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时(3)式成立. null 二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表示 (6) 右端不显含t，是自治方程. 代数方程组 (7) 的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点，记作P0(x10, x20). null 如果存在某个邻域，使方程(6)的解x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0))出发，满足 (8) 则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则，称P0是不稳定的(不渐进稳定). null例：求解微分方程组 的平衡点， 并讨论其稳定性。 解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点； 由已知微分方程组可以得到 进而 对该微分方程组的任一解 故也有 null先看线性常系数方程 (9) (非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作 (10) 为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定性，假定A的行列式 detA  0 . (11) 直接法nullP0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A  I) = 0 (12) 的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰的形式 (13) 将特征根记作1, 2，则 (14)null 方程(9)的一般解具有形式 或 c1, c2为任意常数. null 按照稳定性的定义(8)式可知，当1, 2均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平衡点; 而当1, 2有一个为正数或有正实部时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下1, 2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则： 若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; （12） 若 p < 0, 或q < 0，则平衡点不稳定. （13）   null　微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、 鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定， 下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义 （8）式得下面关于稳定性的结论。null表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性null对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性方程来讨论. 非线性方程非线性方程系数矩阵特征方程系数（17）（18）（19）结论：若方程（17）的特征根不为零或实部不为零， 则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17） 的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则 （12）、（13）决定。 差分方程模型 差分方程模型 对于k阶差分方程F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (20)若有xn = x (n), 满足F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,则称xn = x (n)是差分方程(20的解, 包含k个任意常数的解称为（20）的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为（20）的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(20)的特解. 若x0, x1, … , 已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.null 若有常数a是差分方程(20)的解, 即F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(20)的平衡点. 又对差分方程(20)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点. null对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn )其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解给出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程null 二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数. 当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方程 2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2. null ① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2=  (cos + i sin ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+  n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |＜1时, 平衡点x*是稳定的. 则