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数字地图制图原理

木鸡真人
2013-08-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数字地图制图原理pdf》,可适用于高等教育领域

数字地图制图原理吴凡宋鹰汪汇兵乔庆华武汉大学资源与环境科学学院地图科学与地理信息工程系二○○二年八月前言计算机技术的出现对地图的生产和应用方式乃至地图的含义都产生了深刻的和变革性的影响。数字地图的生产过程不再是模拟以往的手工操作流程取而代之的是计算机和现代通讯技术支持下的新的作业方式和作业要求。数字技术渗入地图生产给古老的地图制图学科带来了新的发展机遇同时也提出了新的挑战迫使地图学者重新思考地图学实践并且更加从数量化的角度对待地图学理论的发展。在此趋势下以数字制图技术为支撑出现了一些新的发展方向和研究领域如地理信息系统、虚拟现实技术与虚拟地理环境、地图模式识别技术、地图数据库技术、全数字化地图生产系统、智能化数字地图制图系统、遥感图像的处理和应用、GPS技术与数字地图的结合等使与地理信息相关的学科之间的界限日益模糊这对数字制图技术今后的发展有着决定性的影响。数字地图学作为地理空间数据处理与表达的基础理论之一对新兴的地球空间信息科学的发展具有十分重要的意义。我校测绘和地理信息类各本科专业大多开设了数字地图制图原理课程为此我们编写了《数字地图制图原理》讲义以供教学参考。本讲义共分九章从数字地图制图的不同方面阐述了有关的基本概念和原理以及数字地图在决策支持中的作用。每个章节都附有必要的插图或表格帮助解释关键问题。本讲义还提供了解决当前数字地图问题的一些算法但没有列出程序代码或是讨论程序设计(有关的程序代码将陆续放到我系的网站上以供本校师生下载)。本讲义第一至第四章由吴凡、汪汇兵编写第五章由吴凡编写第六至第七章由吴凡、乔庆华编写第八、九章由宋鹰编写最后由吴凡统、定稿。由于时间仓促和水平所限不当和错误之处敬请指正。吴凡二○○二年八月于珞珈山目录第章绪论计算机辅助地图制图的发展数字地图的数据模型观地图数据处理系统第章几何分析基础地图与几何学的基本关系地图目标笛卡尔坐标系矢量与矩阵图形的几何变换点线关系线与面的测量本章小结第章地图数据结构与数据组织拓扑概念基础文件结构数字地图的空间结构拓扑数据模型及其结构剖分数据结构面向对象的数据模型及其结构本章小结第章地图数据的获取与预处理编码方法测量与比例尺数据获取预处理本章小结第章数字地图的自动综合地图自动综合的目的与任务地图自动综合的策略与概念框架地图自动综合的基本方法本章小结第章地图数据的可视化地图信息的传输过程地图数据的二维制图表示地图数据的三维表示本章小结第章数字地图分析地图叠置分析专题组合地图分析框架本章小结数字地图制图原理第章数字地图的标准化标准化的基本内容标准化的基本方法数字地图标准体系表第章数字地图工程数字地图工程的概念工程策划工程的组织与实施参考文献第章绪论计算机技术的发展及其在地图学中的应用对地图制图产生了深刻影响。在应用早期计算机被作为模仿传统手工生产地图产品的工具。很多术语都表明了这种发展如“自动制图”、“计算机辅助制图”等但它们并没有很好地揭示这种革新的重大意义。计算机引入到地图学中已彻底改变了人们对地图制图的理解以及实践的方式。同时由于任何拥有制图软件包和合适硬件的人都能生产地图或类似地图的产品因而计算机的应用也影响了专业地图工作者对制图原则和地图学理论的重新思考。计算机辅助地图制图的发展很难将计算机技术从数字地图实践中分离出来。很多解决实际问题的算法设计甚至理论发展都受到现有技术的深刻影响。计算机辅助制图的发展可划分为三个时期:)世纪年代初制图工作者的态度是“走一步看一步”)世纪年代末到年代制图工作者运用计算机辅助技术对以往通过手工或其它技术编制的地图产品进行再制作)世纪年代末以后有了一整套新的生产工艺可用于生产新的地图产品。在计算机运用于地图学领域的早期制图的专业外围设备还不存在或者不成熟。图-是一个包括中央处理器CPU的基本运算系统。外围存储设备包括硬盘、磁带机等输入设备如卡片机等输出设备如行式打印机等。卡片、硬盘和磁带构成了系统的基本存储单元。CPU用于执行所有的控制操作。早期的制图程序有如SYMAP和CMAP等SYMAP系统软件是由哈佛大学计算机图象与空间分析实验室开发的CMAP被设计用来使用行式打印机作为显示设备。但是标准的打印单元是(或英寸)乘英寸大小很难达到较高的图形显示的精度要求。另外如果原空间信息是多边形地区系统必须将其转换为矩形单元进行打印。SYMAP拥有一些算法能有效地处理这类问题。在这个阶段计算机辅助过程更多的是手工而不是自动的。而且图-基本运算系统存储介质中央处理器输入设备输出设备数字地图制图原理将地图数据输入到系统中基本上是一个手工过程只是CPU运算和显示转换是自动的。电传打字机终端减少了将数据输入到处理系统中的步骤。键盘使得用户能直接将数据输入到系统中以往的卡片穿孔的做法已经过时了。电传打字终端促进了交互式系统的发展即同一单元既可作为输入单元也可作为输出单元。但是电传打字终端只能进行硬拷贝输出。视频显示终端又带来了一个有意义的改变因为图象能显示在屏幕上(软拷贝)并且屏幕可重复使用以显示新的图象而不必产生硬拷贝。由于意识到计算机能处理空间信息从而产生了对专业设备的需求。带有专用打印头的打印机得到了发展其大小和符号均可改变。存储管和阴极射线管的发展使得人们能在屏幕上显示地图和其它图象而图象的刷新技术还使得能在屏幕上显示动画。然而这些显示技术的进步并不能使计算机辅助制图过程自动化只是改善了输出效果但几乎仍不能与低效的手工匹敌。数字化仪和扫描仪的引进大大减少了数据输入的工作量并且大大提高了工作效率。这两项技术都能使硬拷贝地图变为数字图形或图象。相对于硬件的发展速度软件的发展相对滞后。世纪年代产生了大量的制图程序也展开了多项研究。但是这些软件产品中很少有将新的知识融入到系统之中有些计算机辅助制图系统能将传统地图文档资料集成到系统之中出现了地图数据库的雏形。年代后微电脑和激光照排技术的出现再一次改变了制图技术掀起了又一轮地图软件产品开发的高潮国内外出现了许多数字地图生产软件系统(CPS)和具备数字制图功能的GIS软件。更为重要的是电脑及其相关的数字硬件包括扫描仪和传感器使得人们能对感兴趣的空间分布进行显示和分析。数字地图学与数字图象处理、计算几何等一起在土木工程、计算机科学、应用数学和资源与环境科学领域的应用正在兴起。这些领域传统上的界限变得越来越模糊制图工作者不再是空间显示与分析领域的唯一参与者甚至不一定是主要参与者。地图学与数字地图学包孕在地理信息科学(GIScience)或地球空间信息科学(Geomatics)的理论框架之内地图的形式与功用以及制图过程都需要进行重新认识。数字地图的数据模型观地图是自然环境和社会经济与文化的图形表达它是真实有形的。计算机迫使我们重新思考传统地图所具有的可视性与真实可触性特征。根据传统地图的特性(可视性和真实可触性)可将地图分为实地图(RealMap)与虚地图(VirtualMap)其中虚地图又分三类见表-。实地图是能直接可视和永久存在的任何制图产品它包括大多数传统地图产品。第一类虚地图能直接可视但只具有短暂的真实性显示在CRT终端上的地图即归为此类第二类虚地图具有永久真实性但是不能直接作为地图可视存储在介质中的空间数据可归为此类第三类虚地图是既没有可视性也没有真实可触性磁盘或磁带等存储媒介上的数字图象即归为此类。表-地图产品的分类永久存在非永久存在实地图:第一类虚地图:常规纸质地图CRT地图图象第章绪论地球仪a)刷新直接正射影象地图b)存储管可视机器绘制的地图c)液晶屏塑料浮凸地图认知地图(二维图象)块状图第二类虚地图:第三类虚地图:地名录数字内存(数据)不直接互补色立体影像磁盘或磁带(数据)可视传统野外数据视频动画存储的全息图数字地形模型存储的傅立叶变换认知地图(关系型地理数据)光盘数据资料来源:Moellering()除了地图形式外地图的另外一个重要特征是功用。地图要实用就必须能将信息有效地传递给读者。读者能从地图的信息提示中区分新的或不同的信息。在地图生产时制图者必须从大量冗余信息中提炼和组织信息。基于这一点可以认为地图是对现实环境的制图抽象。这个抽象过程包括对地图信息的选取、分类、化简和符号化。信息的选取取决于地图的用途分类是按照地图目标属性的一致性或相似性进行归类化简用来剔除不必要的细节符号化是用地图符号呈现真实的地理事物。从最一般意义上说地图是一个数据模型。数据模型可定义为“实体及实体之间关系的一般性描述”(Peuquet)其功能是通过多种介质实现的。图标模型(Iconicmodels)仅通过比例缩放来再现现实世界如海岸线侵蚀模型。它试图通过缩小尺寸来保持真实世界的所有内容以至于在实验室里就能模拟表达。模拟模型(Analogmodels)主要是根据相似性原理来再现现实世界的它也包括比例放缩。符号模型(Symbolicmodels)用符号来表达地理特征它是对现实世界的高度理想化的再现。实地图是模拟模型与符号模型的综合。举例来说传统的专题地图由两个重要的部分组成基于地理特征的地理底图(表达空间属性)和专题覆盖层(表达非空间属性)见图-前者就是模拟模型因为它将真实世界按比例缩放以绘制到地图上的后者就是符号模型因为它以一种抽象的地图语言(如分级圆、面状填充等)来表达属性信息。计算机技术给地图数据模型带来的一个重大影响就是将地理底图进一步抽象成作为符号模型的数字图象。计算机领域没有用于表达社会文化和自然环境的视觉相似特征它是通过程序控制的二进制代码来表达的。地图作为表达客观世界的一种数据模型在数据库中表现为有序的空间数据这就是数字地图(高俊)。数字地图是在一定坐标系统内具有确定坐标和属性标志的制图要素和离散数据在计算机可识别的存储介质上概括而有序的集合。具有计算机可识别性、可量算性、可分析性、可传输性及数字与模拟地图的互转性(王家耀)。除此以外数字地图还具有存储与显示的分离性特征这使得数字地图具有更快的和灵活的生产、制作、表达和更新能力是生产电子地图和纸基地图的基础。而电子地图是建立在数字地图的基础上在电子计算机屏幕上显示的地图是数字地图制图表示的一种现代形式它具有很数字地图制图原理强的动态表现能力和多媒体的表现手段同时它的信息的传输具有极强的可选择性。地图数据处理系统地图数据处理是信息处理的一种特殊形式。一个数据处理系统包括数据采集、数据处理、数据存储和数据应用(图-a)。数据处理过程又可进一步划分成数据输入、存储单元、算法与控制(图-b)。在这个框架中传统地图是一个数据存储介质因为它大多数以书的形式为人们所使用。地图在数据处理中既可以作为输入也可以作为输出。数据处理的结果在数据利用时可以为阅读和理解提供信息。(a)数据处理系统的一般框架(b)数据处理阶段图-一个形式化的数据处理系统数据处理数据采集数据应用数据存储输入输出(a)地理底图(b)专题覆盖层(c)专题地图(模拟模型)(符号模型)图-专题地图模型算法单元程序控制地图(输入)地图(输出)存储单元第章绪论地图信息处理系统是将地图信息从一种形式转换为另一种形式的一系列变换过程。先是进行数据采集变换这时的核心问题是对原始数据进行筛选然后采集的数据又要在制图变换中被转换为地图最后地图被读者阅读、理解并将之转换为心象图象。数字地图信息处理系统的简单形式是要能将传统地图转换为数字地图、软拷贝地图和硬拷贝地图见图-。原始数据通过数据获取从现实世界提取出来进而通过数据组织转换为数字地图。软件产品能产生软拷贝地图并能在终端上显示虚地图或直接在绘图机上产生硬拷贝地图。一旦有了软拷贝地图又有了相应的外围设备就能产生硬拷贝地图。计算机技术给地图学带来的另一个重大冲击是数据处理系统功能的分离。存储(数字地图)与显示(虚地图)的分离促进了地图数据的存储与更新。它也允许空间与非空间信息的单独存储。制图工作者可以更好地进行分类、化简和符号化而不必为此产生硬拷贝地图。上述的系统框架允许人机交互从而可将专家知识融入系统以指导用户构建自己的地图产品。地图不只是地理信息的数据表达模型也是空间分析的标准模型。这个标准模型是地图信息处理系统在高效、准确地显示与解译信息时的理想模式。图-地图信息处理系统第章几何分析基础我们怎样使计算机能数字化地“看见”人们以视觉方式看到的东西呢?这是数字地图学所要面临的一个基本问题。多少世纪以来人们一直以直尺和圆规等绘图工具来手工绘制几何形状现在必须要将其转换为能激活和指挥图形输出设备(如绘图机、CRT等)的机械笔或电子束进行自动化绘图的一系列指令。这是比较复杂的因为欧几里德几何学是通过逻辑参数推演以及经过证明的定理和公理来解决问题的现在要将其替换为以代数方法来解决几何问题的解析几何学通过代数运算来取代手工操作。这个转换的意义已经超出了仅仅是对地图产品的复制。在数字地图学中已经没有视觉上经验的限制。气压、气温或土地收益等的三维表面它们不具有自然可视性但可以以几何形式表达。同样像数学函数等也可以转换为几何形式。由于地图目标是模块化的因此复杂目标都是由简单的原子目标组成。制图操作也是模块化的后面章节所讲述的复杂操作也都是由许多简单操作组成的。数字地图学与解析几何、计算几何关系甚密。限于篇幅和课时本章将介绍解析几何的基础知识以为数字地图学中的许多算法提供理论基础。而Shamos计算几何原理及其在数字地图学中的应用则在我系硕士研究生的相应课程和教材中讲述。地图与几何学的基本关系数字地图学的发展需要建立一个能处理空间事物的概念框架。描述空间事物的分布特征有四个基本空间概念:①方向:相对于某点射线的定位。方向关系是非常重要的因为它们给定了目标之间相互参照的位置关系②距离:空间中点之间的物理间隔。在地理分析中目标之间空间相互作用的程度是随距离的增加而降低的③邻接性或相关位置:地图目标之间存在的邻近或邻接关系。任何目标周围都存在一个邻域在该邻域中包含有以某种方式与之相联的其他元素。空间物体的邻接关系在空间分析中很重要因为空间事物总是相关的④绝对位置:指点通过测量获得的物理位置与其他点的位置无关。地图是表达这些空间概念的媒介它与几何学一样也作为一种空间语言。尽管几何学起源于公元年前的古埃及时代但是第一次用几何学系统地解决现实世界问题还要归功于欧几里得(约公元前世纪的古希腊数学家)。他不仅建立了用于证明的几何学公理方法而且还确立了算法基础。算法就是将一个问题的解决分解为一系列有限的步骤这对于数字地图学意义重大因为其任务之一就是寻找有效的算法。欧几里得几何学差不多维持了个世纪的完整性对地图学和地理学甚至数学本身产生了重大影响。世纪匈牙利人Bolyai和俄国人Lobachevski分别否定了欧几里得的平行假说提出了一个新的几何学说称为双曲线几何学(HyperbolicGeometry)提出经过某给定点与某条直线(不经过该给定点)平行的直线不止一条。随后其它的几何学也应运而生形成了几何学体系图-。第章几何分析基础要理解这些几何学分支的关系需要基于集合理论进行形式化定义。具有n个元素的集合X可记为X={x,x,x,…,xn}元素x要么是集合中的一个元素标记为Xx∈要么不是记为Xx∉。举例来说我们将集合X定义为华东地区所有六省一市名称的集合X={上海市山东省江苏省浙江省安徽省江西省福建省}则上海市是X中的一个元素而陕西省则不是。一个特殊的集合是空集标记为ø它不具有任何元素。集合中的每个元素都是它本身的集合如上海市本身就是具有一个元素(即上海市)的集合上海市也可以是其它元素的集合如可以是构成上海市面域的点集。图-几何学体系在地图学中某个比例尺上只具有一个元素的地理特征通常在其它比例尺下由多个元素构成。如果X中的每个元素也是Y中的元素那么X就是Y的子集记为YX⊂。例如如果Y是中国所有省名(包括华东六省一市)的集合那么X就是Y的子集。交集是指两个集合的共同元素记为X∩Y={x|x∈Xandx∈Y}即既属于X又属于Y的元素。举例来说假定X是构成湖北省轮廓线的点集Y是在同一地图上构成河南省轮廓线的点集那么它们的交集可记为Z={X∩Y}表达了构成这两省共同边界轮廓线的点集。并集是指包括两个集合所有元素的集合记为(X∪Y)={x|x∈Xorx∈Y}两个集合中的共有元素在并集中只算作一个即(X∪Y)={X+Y-(X∩Y)}。差集记为(X-Y)={x|x∈Xandx∉Y}是所有属于第一个集合而不属于第二个集合的元素即第一个集合去掉两个集合交集元素的部分。假定集合E是一个全集代表平面上所有的点。平面上的任何点、线或面都是E的子集。集合X和Y是E的两个相离子集(它们的交集为空集即(X∩Y)=ø见图-a)。如果(X∪Y)=E并且(X∩Y)=ø则X与Y互补X称为Y的补集Y也是X的补集见图-b。X的补集记为X′。拓扑拓扑空间几何真实投影几何仿射几何欧几里得相似几何欧几里得等面积几何双曲线几何椭圆几何数字地图制图原理XYEXYE(a)相离子集(b)补集图-相离子集和补集笛卡尔积给定两个集合X和Y一个新的集合称为X和Y的笛卡尔积记为XxY={(x,y)|x∈Xandy∈Y},包含所有的(x,y)有序对这些有序对中x是X的一个元素y是Y的一个元素。例如假设X是华东地区Y是中南地区(即湖北省河南省湖南省广西壮族自治区广东省)则Z=XxY={(上海市湖北省)(上海市河南省)……(福建省广东省)}每个省对中第一个元素是华东地区的省名第二个元素是中南地区的省名。函数定义域上的每个元素在值域上存在唯一一个元素与之对应这种对应关系就称为函数因此函数关系可以记为)(xfy=。假设X是中国各省的集合关系}|),{(共享一条边界与省省yxyxR=x的定义域和y的值域是所有与其他省共边的省。海南省既不属于定义域也不属于值域因为尽管它有边界但它并不与我国其他某个省共边。这个关系是对称的但不可以传递或可逆。如果定义域中的某个省有多条边界与其他省共享则这个关系便不是一个函数。然而如果X是我国所有居民地的集合关系的省府}是包括居民地xyyxF|),{(=则F是一个函数因为每个省尽管可以有多个居民地但都只有一个省府。函数还可以是表达定义域与值域之间的多对一关系所以值域中的某个元素可能对应定义域中的多个元素但定义域中的每个元素只能有一个值域中的元素与之对应。每个函数都是一个关系而每个关系不一定都是函数。二元函数定义域中的每个元素只对应一个值域上的元素值域上的每个元素也只对应定义域上的一个元素。二元函数也称为变换。设X是所有居民地的集合则关系T={(x,y)|x为每个省具有最多人口数的居民地y是包含x的省府所在地}是一种变换。因为每个省只有一个人口数最多的居民地和一个省府所在地。对集合X的任意变换x和y都是一一对应的。地图的空间属性会根据对其不同的空间变换而发生改变。等面积变换:图-在等面积变换中线的长度(以至于区域的面积)保持不变等面积变换只允许平移和旋转。因此方向、距离和连接性均不变。图-等面积变换第章几何分析基础相似性变换:图-包括了缩放因此距离不再固定不变。但角度保持不变所以方向不变。该变换目标形状保持不变因此很容易识别熟悉的地图目标。图-相似性变换仿射变换:图-中距离与角度都不再保持不变但是平行关系与线性状态保持不变方向虽然改变但仍保持一致。仿射变换常用于校正卫片和地图数字化(见第四章)。图-仿射变换投影变换:图-距离、角度甚至平行关系都不再保持不变因此目标的面积与形状都可能改变。投影变换用于地图投影和测量当中。等面积投影对于维持形状的真实性效果很差等角投影能保持形状特征但使面积产生最大变形但二者都能保持目标之间的连接性。图-投影变换拓扑变换:图-几乎在所有的地图中不管距离与方向如何变化都能保持地图目标间的连接性。在拓扑几何中只有连通性与邻接关系能得到保持。早期数字地图发展的一个缺陷就是忽视了涉及多边形区域的地图拓扑关系(见第三章)。这严重制约了数字地图产品的灵活性降低了数字制图处理系统的效率。图-拓扑变换数字地图制图原理基于以上概念可以给地图作一个新的定义地图实体是存在于真实世界的一个元素以符号化或模拟形式表达出来后即成为地图目标(NCDCFD)。数字地图目标即是实体在数字存储设备中以符号化形式的表达一般用地图特征来指代地图实体或其相对应的目标。地图就是一系列地图目标的集合这些地图目标反映了地表地表附近甚至天体表面的自然或人文社会特征。地图目标数字地图目标的本质是由数字图象编制的模式即数据模型决定的。矢量数据模型和栅格数据模型是两种基本的数字制图模式。在矢量模型中平面空间是一个连续点集而在栅格模型中平面空间是用被称为二维格网点的离散点集来填充的图-。栅格空间也指格网模型或剖分模型格网模型通常分为方格网和三角网。(a)方格网点(b)三角网点图-不同的格网模型在矢量模型中观察的基本单元是地图上的线而栅格模型中的基本单元则是一个格网所示的空间单元。这两种数据模型的另一不同之处在于:矢量目标以线状特征分隔面域而栅格目标则以线状面元来标识面状特征。因此对于前者面积是由线包围起来的对于后者线是通过面域之间的分隔(断开)来识别的。但这并不意味着矢量模型不能处理点和面点恰恰是退化的线而面恰恰是封闭的线。美国数字地图数据标准国家委员会NCDCDS已经为数字地图目标建立了多种定义。首先地图目标应能够组合空间属性的绝对位置和相对位置概念。NCDCDS采用了“几何”与“拓扑”术语而不采用绝对位置和相对位置概念第二地图目标必须是模块化的使得低维目标可以用来定义高维目标第三地图目标能够明显标识所代表的地理实体可以通过几何学中的平面、双曲线及椭圆等来研究。这意味着可能要用到平面或球面坐标系统。最后如果有新的理论或技术产生地图目标则必须能在日后得到扩展和更新。以下是从NCDCDS的报告中改编的关于地图目标的定义目前只包括那些有空间定位概念并拥有绝对位置的目标。这些目标都可模块化和具有维数等级即所有的二维目标都可由维目标和一维目标组成一维目标可由维目标组成。z维目标:点:二维空间中有绝对位置的维目标端点:表示一维目标终止处的点第章几何分析基础网格点:表示二维剖分空间中有绝对位置的维目标z维目标:线段(弧段):二维空间中两个端点之间的非自相交曲线的点的轨迹图-a轮廓线:两个端点绝对位置相同的线图-b直线段:二维空间中两个端点之间不改变方向的点的轨迹图-c串:首尾连接的线段序列但串的首尾线段的起止端点不相接图-d环:首尾连接的线段序列这些线段形成一个环图-e。(a)线(b)轮廓线(c)(直)线段(d)串(e)环图-一维目标所有的一维目标既可以是有向的也可以是无向的。有向的一维目标意味着点的轨迹是从目标的一端移动到另一端。前者称为始点或起点后者称为末点或止点(对于环来说始点与末点是同一点)。移动的方向用箭头表示图-基于移动方向就产生了目标的左侧和右侧。图-一维目标的移动方向z维目标:面:由连续二维目标包围的内部(可能包含内部环)图-a区域:由一个或多个外轮廓线和个或多个不相交的内轮廓线构成的面图-b数字地图制图原理背景区域:是区域的补集图-c多边形:一个外环和个或多个不相交的内环构成的面图-d背景多边形:多边形的补集图-e像素:组成图象的最小不可分单元(a)面(b)区域(c)背景区域(d)多边形(e)背景多边形图-二维目标网格单元:剖分空间的规则单元常见的网格单元有长方形、方形、三角形和六边形图-。(a)正方形单元(b)长方形单元(c)三角形单元(d)六边形单元图-不同形状的网格单元第章几何分析基础背景区域(或背景多边形)的概念是用来充满二维空间的。地图主体通常是指制图实体部分在二维表面上地图主体在边界处终止地图主体的终止处恰恰是背景的开始处。换句话说背景是地图主体的补集二者的并集充满了整个二维平面。笛卡尔坐标系最简单的几何目标是点最简单的代数目标是实数或标量。所有的实数都可以通过几何形式来表达。即通过带有刻度值的直线来表示图-。每个实数都可在刻度线上找到一个对应点。刻度线建立了几何点和代数数值之间的对应关系。刻度线上的点p就是实数r的图形表达。反过来对于每个实数r刻度线上只存在唯一点p与之对应它们是一一对应的见图-。图-刻度线任何实数都可以十进制来表示有无穷的实数数字实数的一个重要子集是整数。刻度线上对应于数值的点称为原点。尽管其位置可以任意指定但它是所有其它点(实数)的参考点。对应于数值的点称为单位点。原点与单位点之间的距离是刻度线上用于量测距离的单位长度。如果x是刻度线上一个点所表示的实数则其与原点之间的距离称为x的绝对值记为|x|。一个数值的绝对值表示其与原点的距离而不管其位于原点的左侧或是右侧。刻度线上任两点的距离等于它们之差的绝对值如-与+之间的距离为|--(+)|即为。绝对值始终为非负值距离值也是非负数。图数与点的对应刻度线能有效地代表任何一维目标然而绝大多数地图目标都是二维的。因此刻p数字地图制图原理度线和实数的概念需要扩展到二维空间。如果R是一个实数集则R×R(通常记为R)称为R本身的笛卡尔积。如果两个刻度线相互垂直则两个刻度线都称为坐标轴。通常水平方向的坐标轴称为X轴垂直方向的坐标轴称为Y轴图-。二维欧氏空间(平面)上的任一点都可用一对实数表示这对实数由X和Y轴上值组成。每个轴上的值都是由这点发出的与坐标轴正交的直线与坐标轴的交点确定的如图-。通常先给出X值(x,y)就是点p的坐标值也记作p(x,y)。在笛卡尔坐标系中X值称为横坐标Y值称为纵坐标。两个坐标轴将坐标平面分成四个象限(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ)图-。第一象限X和Y值均为正第二象限X值为负Y值为正第三象限X和Y值均为负第四象限X值为正Y值均为负。因为原点的位置可以任意设定在很多情况下只需要利用第一象限(正象限)来对地理特征编码和显示许多显示设备(硬件空间)也只用这个象限。在节我们将看到如何将其它象限的地理特征移到第一象限。这种将二维空间划分成四部分的方法也是栅格型四叉树结构的基础(第三章)。有些显示系统中纵坐标轴上的正值在原点以下。理论上坐标轴上的数值间距可以划分成更小的间距以表示精度更高的实数(小数点后的位数更多)但任何计算机都受到机器字长的限制它所表示的数据只能有一定的有限位数。同理所有的图形输出设备也都有几何显示精度的限制不可能无限细分。超出设备精度的两个点将不能区分因此在定义用户空间时应考虑设备的精度要求。事实上任何显示设备都不能显示无限细分的连续点序列在某个固定间隔内只能显示有限个点这点不难理解。在硬件空间内由于固定间隔内不能无限细分因此只存在离散点阵从而整数就作为引用图形设备的基本显示单元。所有的图形显示设备都有一定的分辨率超过这个分辨率的两个点将被视作一个点而不能区分。定义用户空间时一定要考虑输出设备的参照单位。原始的用户空间可能抽象为连续分布的实数集然而硬件空间是一个离散点集。由于分辨率的问题数(代数)与点(几何)在实际当中不能一一对应尽管理论上如此实际当中通常数与点存在多对一或函数关系(图-)。一般而言点的分辨率是函数关系变换的精度。数学上精度就是存储的有效数字的位数。从几何上看精度就是一个计量单位内的单元数目。这有助于我们理解为什么要按某一比例尺对地理目标进行编码和显示。更高的坐标精度能提高所绘目标的美感但不一定能提高其准确度。准确度是与真图-笛卡尔坐标平面图-坐标平面的四个象限第章几何分析基础实性接近程度的测度。矢量与矩阵在研究力学、物理学以及其他应用科学时通常会遇到这样一类量它们既有大小又有方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做矢量(或向量)。这里只讨论二维矢量。在数学上往往用一条有方向的线段即有向线段来表示矢量有向线段图-矢量示例

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