吴望一《流体力学》第1-4章习题参考答案

吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案（p48-p50） 1(2) 1 1 , i d rr grad gradr gradr r dr x          直角坐标系下 1 2 ( )j jr x x 故 1 1 2 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 i j j j j j j i i i x r gradr x x x x x x x x x r r r r grad r r              若使用球坐标系 r r r r gradr e e r r         （3） ( ) ( ) jj j j j ij j i i x grad c r c x c c c c x x              (5)  2 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ijk j k imn m n jm kn jn km j m k n k jk k j j k k j k k j j j j k l l l l j j l k k j l j grad c r c x c x c c x x x xx x c c x x c c x x c c c c x x x x c c c c x c c c r c c c c r                                     2.设 x和 y代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 两个函数 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m n n m m n n m m n m n grad x y y mx gradx nx y grady mgradx y x x y mx y gradx x y             ( ) 0 . m m y gradx grad y x n n m y x const n       grad = 3． 0 0 x x y y                     等线的法向 n  与等线的法向 n  满足 0n n     。即两者正交。考虑到等线与等线分别与各点的 n  和 n  正交，可 知等线和等线正交。 4. cos cosMK MN grad grad s s               （设MN与MK夹角  ，s  为 MK  方向的单位向量） 5. 设椭圆焦距c，则 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 ( ) , ( ) 1 1 ( ) 1 cos 1 cos r x c i yj r x c i yj r r n r r r r r n r r r r r r r r r n r r r r r r r r                                                                     显然 cos cos  ，二者皆为锐角必然相等。 7. 1MM  1s  , 2 2 MM s    ，在 1M 和 2M 点分别 作与垂直于 1s  和 2s  的直线，二者交于 0M 点。 0MM  向量即为  。 8 (1) 1 2 1 21 2 1 2 ( ) ( ) i i i i i i i a a a a div a a a a x x x                    (2) ( ) ( ) ii i i i i a div a a a a a x x x                      (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c div a b a b a b a b b a b a b rota a b b rota a rotb                                          附：证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c i c ijk j k i i j jki ijk j k k a b a b a b b a b a x b b a b a a x x                                   n  2F 1F 2 r    o 1s  M 0M 2M 1M 2s  本题亦可用张量表示法证明如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j k ijk j k ijk k ijk j i i i j k kij k j jik i i a b a b a b b a x x x a b b a b a a b x x                                 (4) 3i i x divr x      (5) ( ) ( )i i i i r r rc rc c c r c x x r                (7)                   3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 22 ( ) 1 3 2 32 2 2 2 j ji j j i i i i i j j j j j j i j j i j j i i j j j j j j j jj j x xx x x x x x xr r x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x rx xx x                          或 2 3 1 3 1 3 1 2c c c rr r r grad r r r r r r r r r r r r r                                         （附： 2 )( v vuvu v u   ） (8)              2 j i i j i ij j j i i i i j j j k i ijk i ijk jk j b x a b r a b a x r r a x x a x a x a r a x x div a r a r a a x                                                 （附： ij j i x x    ） （9）  4 4 4 4 3 4( ) 3 4 7c r div r r r r r r r r r r r               (10)   ( ) ( ) ( ) ( )ijk j k i r r w r r w r w r r r w x w r x r                           0 0ijk j ikr w    (11)      ( )a r b r a b b a r a b r a b                                     3 2a b a b a b           (12) 参见（10） 9. (2)        c c ijk k j a a a a a x                   grad a rota      (3)    0 0f r r gradf r f r f gradr r f             附： 0, r r r r       (4)     ijk k m m ijk k m mj j b r a b x a b a x             ijk j ka b a b    (5) ( ) r ra r a a r a r             (6)见讲义 10以下各式中下角标 c代表对该矢量或标量不求导 基本公式： ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )a b c b a c c a b a b c c a b b c a                               ， ijk imn jm kn jn mk       方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1——矢量运算方法 （1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c c cv a v a v a a v v a a v v a                                 （2） ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )c c c cc a b c a b c a b a c b b c a                            ( ) ( )b c a a c b            （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c c c a b rotc a b c a b c a b b a c b a c a b c                                             （4） ( ) ( ) ( ), ca b a b a b                ( ) ca b a b a b            两式相减得到  ( ) ( ) ( )a b a b a b a b                 （5）  ( ) ( ) ( ) 3, 0,( ) ( ) 2 a r a r a r a r r r a r a a r a                                      （6） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c a b a b a b a b b a a b a b                              利用    ( ) ca b a b a b            将 ( )ca b   和 ( )ca b   换掉得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ca b b a b a b a a b a b a b a b a rotb rota b adivb                                              方法 2——张量代数方法 （1） ( ) ( ) ( ) ( )ji j i j i i i i a v a v a v a v a v v a x x x                          （2） ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n i lmn m n lmn i n lmn i m i i i lmn n i m lmn m i n i i a b c a b c a b c b c a x x x b c a a c b b c a a c b x x                                     （3） ( ) ( ) ( ) ( ) n n ijk j k lmn il ijk lmn j k m m jn k jm kn jn km j k j k j k c c c c m j k c c a b rotc a b a b x x cc c a b a b a b b a c a b c x x x                                        （4）  m m mlim ijk j ilm ijk j lk mj lj mk j k k k j jk l l k j l j j j l l k j j l k jl j j l n n lji j imn ilj imn j m b b b ( a ) b a a a x x x b bb b b b a a a a a a x x x x x x bb ( a )b a ( ) a( b ) x x b b a rotb a a x x                                                                  注意到   jn llm jn ln jm j j j m m l j bb b a a a x x x              可得证。 （5） ( ) ( ) ( ) , ( ) 3 2 2 ilk lmn m k ilk lmn m nk m im kn in mk nk m im kn nk in mk nk n m im i m in mk nk k in nk n in i i i i a r a x a a a x a a a a a a a r a a a a                                                     ， 其中 ， 于是得到 （6） ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k n k ijk jmn ijk jmn k ijk jmn n m m m n k im kn in km k im kn in km n m m k i k k k k k i i k i k k i i i k k k k k k i k k k i a b a b a b b a x x x a b b a x x a a b b b b a a x x x x a a b b b b b a a a a x x x x x                                                                  （ ( ) k i k b x rota b a b a rotb a b                  上式利用了 j l j j l j b b a rotb a a x x         以及 j l j j l j a a rota b b rota b b x x               。 11. (1)        c c cn n n n n n n n                       21 1 2 2 cn n n n n           因为 2 1n  ，所以  cn n    =0，于是有    cn n n n         ，即  rotn n n n       。 (2) 考虑到      a n n a n a            ，于是                 n a n a n n a n n a n a n a n n n a n n a                                                 因为    n a n n n a           ， 1n n    ，所以上式 a   (3)        c cv a v a v a adivv v a                    吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案 一、基本概念 1．连续介质假设适用条件： 在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研 究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远 远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。 若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。如在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 空间飞行器和高层稀薄大气的相 互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。此时单个分子运动的微观行为对宏 观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。 2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相 互作用的是大量空气分子。 3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。流体力学 中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。如果流动过程中，压力和温度变化较 小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。随高度的增加而减少只能说明密 度的空间分布非均匀。判断流体是否不可压缩要看速度场的散度 V  。空气上升运动属可 压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。 4．没有， 没有， 不是。 5 三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。 6 欧拉观点：  , 0 d r t dt    ，拉格朗日观点：  , , , 0 a b c t t    7 1） 0 ，2） const ，3) 0   t  8 不能。要想由  tra , 唯一确定  trv , 还需要速度场的边界条件和初始条件。 9 物理意义分别为：初始坐标为 ( , )a b 的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点( , )x y 处的速度。 10 1） V s    ，3） V V V     11 见讲义。 12 分别是迹线和脉线。 13 两者皆不是。该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。 14 同一时刻刚体上各点的角速度相同，但流体内各涡度一般不同。 该流动流体为团的角速度： 1 1 2 2 k ijk j v V ayk x           二 流线与迹线，加速度 1（1）    1 2 1 2 1 2cos sin cos sin cos sinx x y yV c t c t c t c t i c t c t j               u xc1 1 2cos sinx xc t c t  ， 1 2cos siny yv c t c t   轨迹微分方程组： 1 2 1 2 cos sin cos sin x x y y dx u c t c t dt dy v c t c t dt               积分即可得轨迹。 流线微分方程： dx dy u v  。积分可得流线方程。 （2）流线微分方程： 2222 yx cy dy yx cx dx    ， 积分可得流线方程 y ax ，其中a为常数。 （3）流线微分方程： 2222 yx cx dy yx cy dx     ，即 x dy y dx   ，积分得 2 2x y c  。 （4）流线微分方程： 22 sincos r rd r dr     ，积分得 sincr  。 （5）由 2 1 rr r v    可得 0, 1 2  v r vr ， 0v  故流线方程为射线 0 0        。 （6）流线微分方程： 3 3 2 cos sin dr rd k k r r     ，积分得 2sinr c  ，c是任意常数。 （7）流线微分方程： 2 dx dy y a x   ，积分得 2 2 2a x y c  ，c是任意常数。 （8）流线微分方程： 2 2 2 dx dy x y xy    ，积分得 3 23y x y c  ，c是任意常数。 将 1, 1x y   代入确定常数c，可得过该点的流线方程。 （9）流线微分方程： 2 2 2 2 1 cos 1 sin dr rd a a V V r r                    ，积分得 2 2 sin r a c r    。 r a 满足上述方程（ 0c  ），因而是一条流线。 （10）  , , 0rv r a    ，即球面 r a 上流体质点没有法向速度，可知该球面是流面。 （11）流线微分方程： dx dy x t y t     ，积分可得    x t y t c   ，c是任意常数。 将 1, 1x y    代入确定常数c即可得所求流线方程。 迹线微分方程： dx x t dt dy y t dt z c             ，积分得到 1 2 1 1 t t x t c e y t c e z c               。将初始条件代入确定积分常 数 1 2,c c ，即得所求迹线。 （12）迹线微分方程组： 2 2 0 dx ax t dt dy ay t dt dz dt             ， 积分得到迹线族： 2 2 13 2 2 23 3 1 ( 2 2) 1 ( 2 2) at at x a t at c e a y a t at c e a z c                  ，其中 1c 、 2c 、 3c 为积分常数。 附积分公式：方程 ( ) ( ) dx P t x q t dt   的解为 ( ) ( ) ( ) P t dt P t dt x e c q t e dt         流线微分方程： 2 2 dx dy ax t ay t     ， 积分得流线族：   2 2 1 2 ax t ay t c z c       ，其中 1c 、 2c 为积分常数。 （13）设初始时刻在 ( , , )a b c 处的流体质点 t时刻到达 ( , , )x y z 处，于是有 , , 0 dx dy dw x t y t dt dt dt      。 积分得到该流体质点运动方程： 021 ,1,1 zzectyectx tt  ，初始条件代入 确定常数 21 ,cc 值，最后得到拉氏表述的运动方程：     01 1 , 1 1 , t tx t a e y t b e z z           。 速度拉格朗日表述：    1 1 , 1 1 , 0t t x y u a e v b e w t t                。 2（1）此流动由于速度只有 rv 分量，即速度方向沿射线方向，所以迹线和流线都是射线 （ constant., constant.   ）。 （2）流线与迹线重合的充要条件为速度场方向定常。 3速度方向与两曲面公切线方向平行。因为 21 , ff  分别沿曲面 21 , ff 的法向，故 22 ff  沿两曲面公切线方向，即流线方向。 速度大小是流线上各点位置的函数，而流线上各点的位置由两曲面方程组成的方程组 1 1 2 2 f c f c    确定，因而速度大小是 1f 和 2f 的函数。 4（1）由 2 2 d r a dt    知， 0.15 0.15 , , 0 4 4 x y za t a t a   。将 8x 代入迹线方程确定到 达该位置的时刻 t，然后将该时刻代入加速度表达式即得解。 （2） 2 2 0 x y z u a V u yz xz t t v a V v xz yz t t w a V w t                         ， 将该点位置坐标和给定时刻代入即得所求加速度。 三运动类型判别 1（1）纯剪切流动， kc cy zyx kji vrot            00 ，有旋。 流线为一组平行于 x轴的直线。 （2）单一方向均匀流动， 0rotv   ，无旋。 流线为一组平行于 x轴的直线。 （3）刚性圆周运动， 2 0 i j k rotv ck x y z cy cx             ，有旋。 流线： cx dy cy dx   ，即 2 2 2x y R  ，R为常数。 （4）     kyx yxc yx cx yx cy zyx kji vrot    22 22 2222 2 0            ，有旋 流线： 2222 yx cx dy yx cy dx    ，即 cxy  22 3（1）（a） 2 / / / 2 2 1 1 t k t k t k x x u ae t k k y y v be t k k z z w ce t k k                 可见速度场定常。 （b） 2 1 1 0 u v w divV x y z k k k                ，故不可压缩。 （c) 0 2          k z k y k x zyx kji vrot   ，无旋。 4（1）流体做非定常运动；（2）流体做定常运动 同一流动在不同参照系中有不同特征。 五 其他 （1）证：若流管中存在与流线垂直的横截面，在该横截面上取面元 S ，则在 S 的边界周 线 L上各点速度方向平行该截面的法向，因此垂直于周线 L上各点的切向，于是有 0 L V dr     。 根据 Stokes定理   0 S L V dS V dr            ，即   0V S    。 考虑到 S 的法向平行于V  方向，因此可知在该截面的任一点上有 0V rotV    。 2. 速度场给定如下（本题中黑体字代表矢量） （1） 3r  r v ，其中 2 2 2r x y z   （2） 0 c r v θ ，其中 0θ 为球坐标中θ方向的单位矢量。 求通过以原点为中心，半径为 R的球面 S的流体体积流量。 解：考虑半径为 r的球面S，其上的面积微元为 2sin sind rd r d r d d      s n n ，其 中 r  r n 为面积微元的外法线单位矢量，通过该球面的体积流量为 2 2 2 0 0 ( ) sin sin S Q r d r d d d r d                        v s v n v r （1） 2 30 ( ) sin 4Q r d r d r             r r ，故求得 ( ) 4Q R  （2）因 0θ 与r垂直， 2 00 ( ) sin 0 c Q r d r d r            θ r ， 故 ( ) 0Q R  吴望一《流体力学》第三章习题参考答案 1．解： CV CS d V s dt t               由于 t时刻该物质系统为流管，因而侧面上 的通量＝0，于是 （1）定常流动 0 t    ， 2 2 2 1 1 1 d V d V d dt        ，设流速正方向从 1 端指向 2 端。 （2）非定常流动 2 2 2 1 1 1CV d V d V d dt t              2．解：取一流体微团，设其运动方程为 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x x a b c t y y a b c t z z a b c t      ， 由质量守恒得，在 0t  和 t时刻    , , ,0 , , ,a b c dadbdc a b c t dxdydz  利用积分变换可知     , , , , x y zdxdydz J dadbdc a b c     （雅可比行列式），于是     , , ( , , ,0) ( , , , ) , , x y z a b c dadbdc a b c t dadbdc a b c              , , , , ,0 , , , , , x y z a b c a b c t a b c      3．（控制体内流体质量的增加率）＝－（其表面上的质量通量） （2）球坐标系下选取空间体元（控制体） 2 sinr r   。单位时间内该空间内流体 质量的增量为 2 sinr r t t           该控制体表面上的质量通量： 以  re 和－  re 为法向的两个面元上的质量通量为  2 sin | sin | sin r r r r r r v r v r r v r r r r                 以  e 和－  e 为法向的两个面元上的质量通量为  sin sin | sin | v v rr v rr r r                     以 e  和－e  为法向的两个面元上的质量通量为   | | v v r r v r r r r                    所以      22 sinsin sin 0r v r vv r r r t r                   即      2 2 sin1 1 0 sin sin rv r vv t r rr r                  （3）柱坐标系下选取空间体元（控制体） r r z   单位时间内该空间内流体质量的增量为  r r z r r z t t            该控制体表面上的质量通量为      r zrv v vr z r z r r z r z                  所以       0r z rv v v r r t r z                即       0r z v r v v t r r r z                （4）极坐标系下选取面元（控制体） s r r  ，可认为该面元对应以该面元为底面的 单位高度的柱体。 该柱体内质量变化率为 r r t     ， 其表面上的质量通量为    rv r vr r r            所以     0r v r v t r r r            4．（1）平面辐射性流动速度分量 ( )rv v r ， 0v  。 利用极坐标系下的连续性方程可得   0r v r t r r       。 （2）空间辐射性流动速度分量 ( )rv v r ， 0v  ， 0v  。由球坐标系中的连续性方程可 得  2 2 0 rv r t r r       。 或如下推导： 选取一层薄球壳为研究对象，则单位时间内流入的流体质量等于其内部因密度变化引起的质 量变化，即  22 2 2 2( ) ( )4 ( ) ( ) ( )4 4 vr r dr v r dr r dr r v r r r dr r t r t                      。 进一步变形可得 2 0 vr v t x r           ，即  2 0 vrd dt r      。 若流体不可压缩， 0 d dt   ，则  2 0 vr r    ，此式表示各同心球面上的流体体积通量相等。 （3）在柱坐标系下该流动 0v  ，由柱坐标系下的连续性方程可得     0r z rv v t r r z           。 （4）在柱坐标系下该流动 0zv  且 0rv  ，由柱坐标系下的连续性方程可得   0 v t r        。 （5）在柱坐标系下该流动 0rv  ，由柱坐标系下的连续性方程可得     0z v v t r z            。 （6）在球坐标系下该流动 0v  ，由球坐标系下的连续性方程可得    2 2 1 0 sin rr v v t r r r              。 5．（1） 1 2 1 1 1 2 2 2 0s s v ds v ds t                  （2）定常流动 0 t    ，于是 1 2 1 1 1 2 2 2 0s s v ds v ds          ，表明此时流管各截面上质 量通量相等。若横截面上速度均匀，则， 1 1 1 2 2 2v S v S  。 （3）不可压缩流体流动 0 d dt   ， 0v    ，即 1 2 1 1 2 2 0s s v ds v ds         ，表明此时流 管各截面上体积通量相等。若横截面上速度均匀，则 1 1 2 2v S v S 。 6．不可压缩流体 0v    ，即 0 u v x y       。 2 u ax x    则 2 v ax y     ，积分得 2v axy c   。 由边界条件得 0c  ，则 2v axy  。 7．不可压缩流体 0v    ，得 coshx v e y y    ，积分得 sinhxv e y c  。 由边界条件得 0c  ，则 sinhxv e y 8．证明： 3 0 u v w x y z           所以该不可压缩运动不可能存在。 9．（1） 4 4 4( ) 0 u v w v x y x y x y z                  所以该不可压缩流体得运动是可能存在的。 （2）           22 2 2 2 2 2 2 2 4 32 2 2 2 2 8 2 8yz x y x yz x y yz x y x yzu x x y x y                          22 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 32 2 2 4 2 4 yz x y yz x y x yv y x y yz x y yz x y x y               0 w z    0 u v w v x y z              所以该不可压缩流体得运动是可能存在的。 （3） 0 0 0 0 u v w x y z             ，所以该不可压缩流体得运动是可能存在的。 10 ．由 0v    得 0 u v w x y z          ，即 5 3 0 w z      ，于是 2 w z     。积分得 2w z c   。由原点处速度为 0 条件得 0c  ，所以 2w z  。 11．（1）不可压缩流体流动满足 1 1 2 2 3 3v S v S v S Q   三个截面上的速度分别为 1 1 Q v S  ， 2 2 Q v S  ， 3 3 Q v S  。 带入数值得 1 3.18 /v m s ， 2 12.74 /v m s ， 3 1.42 /v m s 。 （2）流体可压缩。由于流动定常，各截面上质量通量相等， 1 1 1 2 2 2 3 3 3v S v S v S    。 将 2 10.6  和 3 11.2  代入得 1 1 2 2 3 30.6 1.2v S v S v S Q   ， 代入数值得 1 3.18 /v m s ， 2 21.23 /v m s ， 3 1.18 /v m s 。 12．本题假设管道截面上平均速度沿轴向并且为u。由题意可知 0 t    ，因而各截面上质 量通量相等，即 u const  。已知 x  处 1  且 1u u ，故 1 1u u  1 1u u    。 15． 证明 1：t时刻沿流管选取长为 s 的一段流体微元（物质体）作为研究对象，并定义其轴线 上的物质线元向量沿速度方向，记为 s  。由物质体的质量守恒知 ( ) 0 d A s dt    。 分部微分得 ( ) ( ) 0 d A ds s A dt dt      。 利用物质线元的随体导数公式 d r dr V dt dt        ，可得 d s V dt     。由于流管形状不随时 间变化，有 d s d s u dt dt u      ，且对于沿速度方向选取的物质线元而言，其两端的相对速度 u u u u     ，于是有 d s u u s dt s        。代入质量守恒方程得到 ( ) ( ) 0 A A u u A s t s s                ，即 ( ) ( ) 0 A Av t s        。 证明 2：取长为 s 的一段流管，由质量守恒可知 流管内质量增加率通过流管表面的质量通量 0 ，其中 流管内质量增加率： A s t t          ，考虑到流管形状不变有  A s t t 