null有限元数值求解微分方程原理
及其约束条件的处理方法有限元数值求解微分方程原理
及其约束条件的处理方法 课程： 计算机在材料
科学中的应用
单位：湖北工业大学
2013年2月null1、预备知识1.1 一般二阶线性微分方程形式1、预备知识null例1: 具体的二阶线性微分方程及约束条件改写1、预备知识1.2 最简积分型泛函1、预备知识例2：1、预备知识1、预备知识1.2 最简积分型泛函null有限元法数值求解微分方程过程原理null伽辽金变分方法2、泛函方程近似求解2、泛函方程近似求解近似解思路：就是将无限维函数解空间降维处理。
具体说，就是构造有限N维函数空间，在每一维函数坐标确定一个基函数 ，同时每个基函数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，由这N个基函数进行唯一的线性结合，作为连续泛函方程的近似解。
随着N维数增加，解的子空间扩大，近似解的精度提高。2.1 近似求解思想null 如左图所示，用4维函数空间的4个基函数的线性组合去近似更高维（或无限维）的函数图1 4维函数空间选取的4 个基函数null 因为每个基函数满足约束条件，所以连续的Galerkin变分形式可不必考虑约束条件。nullnull例4：两点边值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
： 暂不必考虑边界两点约束条件，上述定解问题对应的等价泛函形式： 2.2泛函方程近似求解实例nullnullnull微分方程有限元法数值求解过程原理3 有限元法求解微分方程及约束条件处理3 有限元法求解微分方程及约束条件处理xxxxx 3.1 限元法思想
将解空间的区间分段，解函数在每段上用拉格朗格插值基函数进行拟合，最后进行约束处理。1.021.251.751.51.751.251.02.01.5y(1)y(1.25)y(1.5)y(1.75)y(2)YX·····nullnullnullnull叠加形成 “总体刚度矩阵” 和 “总体截荷向量”：叠加形成 “总体刚度矩阵” 和 “总体截荷向量”：null微分方程有限元法数值求解过程原理3.2、微分方程约束条件的处理
3.2、微分方程约束条件的处理
例4（续）两点边值问题： 现考虑边界两点约束条件，即对总体刚度矩阵与截荷矩阵附加约束。但先要对所给的初始边界条件改写，使之与第三类约束条件在形式上对应相符：null***初始及边界条件处理技巧***初始及边界条件处理技巧nullnullnullnullnullnull
1）
总结
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a）本微课中的对约束条件的处理适用
于如下4个式子的两两任意组合。
1）总结：
a）本微课中的对约束条件的处理适用
于如下4个式子的两两任意组合。 4 总结与思考 b）本微课中的对约束条件的处理方 法的理论依据是微分方程对应的 变分形式。null伽辽金变分方法null 2)思考：a）微分方程的第三类约束条件是如 何产生？它有何理论意义或含义？ b）讨论与作业：下两点边值问题的约 束条件如何处理，并求其数值解。*附有相关的Matlab计算程序可用 谢谢大家谢谢大家欢迎交流
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