塔木德财产分配法：保护弱者的博弈游戏
“从前，有个人娶了三房姨太太。后来，他死了。” ——《麦太太睡前故事集》
麦太太的故事结束了，但是死理性派的征程才刚刚开始。话说那位老兄留下了遗嘱，三个姨太太分别可获得100、200、300元的遗产。但清算之后才发现，那个倒霉蛋留下的钱根本不够分……
实际上，这个故事早在犹太人典籍《塔木德》中就有记载。《塔木德》，作为犹太教仅次于《圣经》的经典，记载了犹太人传统口耳相传的生活习惯。是一本有关律法条例、传统习俗、祭祀礼仪的论著和注疏的汇集。
这部典籍的主要部分成书于2世纪到6世纪初，而令人称奇的是，那时的犹太 拉比 们就已经具备了出色的博弈论知识。不妨看看聪明的犹太人是如何人性化地解决这个难
题
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的。
诡异的分配
方案
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根据《塔木德•妇女部•婚书卷》第十章第四节，“塔木德解决方案”如下：
一房
二房
三房
遗产为100元
100／3
100／3
100／3
遗产为200元
50
75
75
遗产为300元
50
100
150
按通常逻辑，这三人得到的遗产比例应为1：2：3，而在犹太先哲们的裁决中，只有在遗产数为300元的情况下这一比例才成立。没有人可以解释为什么，这个奇怪的方案也就成了千古之谜。
解铃还须系铃人，《塔木德》的解释
直到1985年，两位数学家才解决了这个问题。他们惊奇地发现塔木德解决方案竟完全符合现代博弈论的原理！
解决这个问题的数学家注意到，这个难题就在《塔木德》中留有一条提示。在《损害部•中门卷》第一章第一节中记载了这么一个故事。甲、乙分一件大衣。甲说：“大衣是我的！”，乙也说“大衣是我的！”这时，大衣两人各分一半。如果甲说“大衣是我的！”，乙说“大衣有一半是我的”，那么，甲分到 3／4，乙分到 1／4。
这个解决方案看上去也不同寻常，但对此，数学家们已有一个比较好的解释，被称作“争执大衣原则”：将总财产分为“有争议”和“无争议”部分，无争议部分财产直接分给声明者，争执双方再平分争议部分财产。 对于声称拥有一半大衣的乙来说，显然另一半并不属于他，因此只能和声称拥有全部大衣的甲平分剩余的一半。
如果《塔木德》全书秉承相同的财产观，那么“三妾分产”问题有没有可能是争执大衣原则在超过两人的情况下的推广呢？
分配方案随财产数量变化
事实也的确如此。不妨先来看看2个人按照争执大衣原则分配财产时，每人所分到的随总财产变化的情况。设甲与乙分别
要求
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获得的财产为 c [ 1 ] 、c [ 2 ] （设甲索求较少，即 c [ 1 ]
当E
按照争执大衣原则两人分配
将甲、乙二人所得画成折线图如上。可以看到，当 E 不大时先两人平分，然后增长的部分只分给乙，当乙拿到一定份额时总财产继续增长的部分由两人平分。
多人争执时的财产分配
接下来我们就将这种分法推广到多人时的情形。记所有参与者要求的财产按从少到多分别为 c [ 1 ] 、 c [ 2 ] … c [ n ]，总财产 E 从 0 开始慢慢增加。当 E 很小时，将 E 平均分给所有参与者，直到各方都拿到 c [ 1 ]／2 ，此时停止继续给1号参与者分配财产（记他为1，其余参与者分别记为 2 、 3 … n ）。当总财产继续增加时，将增加的部分分给剩下的 n - 1 人，直到所有人都恰好拿到自己声明值的一半。此时各位参与者的声明值之差（即他的损失）恰为他要求值的一半。当 E 继续增加时，则将增加的部分分给n，直到他的损失与第 n – 1 位参与者相同，再接着将增加的部分平分给要求 n 和 n – 1 ，直到 n 的损失与 n-2 相同，再将继续增加的部分分给 n 、n - 1 、 n - 2 …… 直到所有人都分得自己所要求的份额为止。
回到最初的“三妾争产”这个案例上来。根据上述分析，我们可以画出按照这一方案分配财产情况的折线图。
按照争执大衣原则“三妾分产”财产分配情况
可以看到，这一分配方案与《塔木德》中关于“三妾争产”的记载是吻合的。至此，我们就解决了这一千古难题。
塔木德方案的经济学意义
但是，且慢。这种复杂的分配方案有什么意义呢？其实，相比按比例分配而言，在总财产较少的情况下，塔木德方案的天平是向弱者倾斜的。在资源不足时，优待弱者十分重要。
举个例子，来看看将塔木德解决方案应用到现实社会的破产决算纠纷，会出现什么情况。假设有家大型商场破产了，它的供货商，甲、乙均是大公司而丙是一家小工厂，现分别要求获得 300 万、200 万和 100 万元的债务补偿。由于破产的公司往往都是严重的资不抵债，因此可以认为这种情况下总财产较少，此时塔木德解决方案就能比现行的按比例分配
方法
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更好地保护小户的基本利益。对于大公司来说，少收回一些债务只是减少一些盈利；但对于小厂来说，按比例进行破产决算则可能意味着因亏损过大倒闭。现实生活中也往往如此，当一家企业倒闭时，受灾最重的不是大供货商，而是中小企业。而一旦这些中小企业连锁倒闭，那么整个区域的经济都会遭到重创。因此，在破产决算中保护这些中小企业的利益才是最关键性的环节。
回到三妾争产的故事，假如这三位妻妾都要靠遗产来生活的话，那么塔木德解决方案对于一房这样的穷人来说就是决定性的。假如采用按比例计算来分配遗产，那一房因为分到的遗产过少，也许很快就会流落街头。这也正是塔木德解决方案的社会价值所在。
奇妙的是，这个方案在保护了弱者的利益的同时仍然保持了博弈规则的公正性。从整个破产决算游戏来看，如果应用塔木德解决方案作规则的话，那么大户小户都有胜出的机会，而且至少从理论上说，双方胜出的机会是相等的。因为如果财产数目超过负债额一半的话，则大户可以分得较多财产，否则小户分得更多。这种公正性可以在很大程度上也保证各方玩家对规则的尊重。
参考资料
[1]张平， 三妾争产续谈：塔木德解决方案的经济社会意义
[2]姜启源，谢金星，数学建模案例选集，高等教育出版社，2006
[3]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003
[4] R. Aumann, M. Maschler. Game-theoretic , analysis of a bankruptcy problem from athe Talmud, J. of Economic Theory, 36 t (1985), 195-213.
[5] W.Thomson. A xiomatic and game-theoretic analysis of bankruptcy and taxation problems: a survey, Mathematical Social Sciences, 45 (2003), 249–297.
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