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2000年至今的圆锥曲线方程练习题.doc

2000年至今的圆锥曲线方程练习题

cjc3528
2013-08-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2000年至今的圆锥曲线方程练习题doc》,可适用于高中教育领域

年至今的圆锥曲线方程练习题一、选择题(京春文理)在同一坐标系中方程axby=与axby=(a>b>)的曲线大致是()(京春理)椭圆(为参数)的焦点坐标为()A()(-)B()(-)C()()D()()(京皖春)已知椭圆的焦点是F、FP是椭圆上的一个动点.如果延长FP到Q使得|PQ|=|PF|那么动点Q的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线(全国文)椭圆x+ky=的一个焦点是()那么k等于()A-BCD-(全国文)设θ∈()则二次曲线xcotθ-ytanθ=的离心率的取值范围为()A()B()C()D(+∞)(北京文)已知椭圆和双曲线=有公共的焦点那么双曲线的渐近线方程是()Ax=±By=±Cx=±Dy=±(天津理)曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()ABCD(全国理)点P()到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为()ABCD(全国)若椭圆经过原点且焦点为F()F(3)则其离心率为()ABCD(广东、河南)对于抛物线y=x上任意一点Q点P(a)都满足|PQ|≥|a|则a的取值范围是()A(-∞)B(-∞C[]D()(京皖春)椭圆短轴长是长轴是短轴的倍则椭圆中心到其准线距离是()ABCD(全国)过抛物线y=ax(a>)的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与FQ的长分别是p、q则等于()AaBCaD(京皖春)双曲线=的两条渐近线互相垂直那么该双曲线的离心率是()ABCD(上海春)抛物线y=-x的焦点坐标为()A()B(-)C()D(-)(上海春)x=表示的曲线是()A双曲线B椭圆C双曲线的一部分D椭圆的一部分(上海理)下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中与xy=所表示的曲线完全一致的是()ABCD(全国理)椭圆=的焦点为F和F点P在椭圆上如果线段PF的中点在y轴上那么|PF|是|PF|的()A倍B倍C倍D倍(全国文)椭圆=的一个焦点为F点P在椭圆上如果线段PF的中点M在y轴上那么点M的纵坐标是()A±B±C±D±(全国)椭圆C与椭圆关于直线xy=对称椭圆C的方程是()ABCD(全国理)曲线的参数方程是(t是参数t≠)它的普通方程是()A(x-)(y-)=By=Cy=Dy=+(上海)设θ∈(ππ)则关于x、y的方程xcscθ-ysecθ=所表示的曲线是()A实轴在y轴上的双曲线B实轴在x轴上的双曲线C长轴在y轴上的椭圆D长轴在x轴上的椭圆(上海)设k>则关于x、y的方程(-k)xy=k-所表示的曲线是()A长轴在y轴上的椭圆B长轴在x轴上的椭圆C实轴在y轴上的双曲线D实轴在x轴上的双曲线(全国文)中心在原点准线方程为x=±离心率为的椭圆方程是()A=B=C+y=Dx+=(上海)将椭圆=绕其左焦点按逆时针方向旋转°所得椭圆方程是()ABCD(上海理)若函数f(x)、g(x)的定义域和值域都为R则f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要条件是()A有一个x∈R使f(x)>g(x)B有无穷多个x∈R使得f(x)>g(x)C对R中任意的x都有f(x)>g(x)DR中不存在x使得f(x)≤g(x)(全国理)椭圆的两个焦点坐标是()A(-)(--)B()(-)C()(-)D(-)(--)(全国文)椭圆x-xyy=的两个焦点坐标是()A(-)(-)B()(-)C()(-)D(-)(--)(全国)设双曲线=(<a<b)的半焦距为c直线l过(a)(b)两点已知原点到直线l的距离为c则双曲线的离心率为()ABCD(上海理)若θ∈[]则椭圆xy-xcosθysinθ=的中心的轨迹是()(全国文理)双曲线x-y=的渐近线方程是()Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±(全国)如果方程x+ky=表示焦点在y轴上的椭圆那么实数k的取值范围是()A(+∞)B()C(+∞)D()(全国)设F和F为双曲线y=的两个焦点点P在双曲线上且满足∠FPF=°则△FPF的面积是()ABCD(上海)设a、b是平面α外任意两条线段则“a、b的长相等”是a、b在平面α内的射影长相等的()A非充分也非必要条件B充要条件C必要非充分条件D充分非必要条件(上海)在直角坐标系xOy中曲线C的方程是y=cosx现在平移坐标系把原点移到O′(-)则在坐标系x′O′y′中曲线C的方程是()Ay′=sinx′By′=-sinx′Cy′=sinx′-Dy′=-sinx′-二、填空题(京春)如图F、F分别为椭圆=的左、右焦点点P在椭圆上△POF是面积为的正三角形则b的值是(上海春)直线y=x-被抛物线y=x截得线段的中点坐标是(上海春)若椭圆的两个焦点坐标为F(-)F()长轴的长为则椭圆的方程为.(京皖春)若双曲线=的渐近线方程为y=±x则双曲线的焦点坐标是.(全国文)对于顶点在原点的抛物线给出下列条件:①焦点在y轴上②焦点在x轴上③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于④抛物线的通径的长为⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线垂足坐标为().能使这抛物线方程为y=x的条件是.(要求填写合适条件的序号)(上海文)抛物线(y-)=(x-)的焦点坐标是.(天津理)椭圆x-ky=的一个焦点是()那么k=.(上海理)曲线(t为参数)的焦点坐标是(京皖春)椭圆x+y=长轴上一个顶点为A以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形该三角形的面积是.(上海)设P为双曲线y=上一动点O为坐标原点M为线段OP的中点则点M的轨迹方程是.(上海)抛物线x-y-=的焦点坐标为.(全国)双曲线=的两个焦点为F、F点P在双曲线上若PF⊥PF则点P到x轴的距离为(上海春)若双曲线的一个顶点坐标为()焦距为则它的标准方程为(上海理)直线y=x-与曲线(为参数)的交点坐标是(全国)椭圆=的焦点为F、F点P为其上的动点当∠FPF为钝角时点P横坐标的取值范围是(上海文)圆锥曲线=的焦点坐标是(上海理)圆锥曲线的焦点坐标是(全国)设椭圆=(a>b>)的右焦点为F右准线为l若过F且垂直于x轴的弦的长等于点F到l的距离则椭圆的离心率是(上海)若平移坐标系将曲线方程yx-y-=化为标准方程则坐标原点应移到点O′()(全国)设圆过双曲线=的一个顶点和一个焦点圆心在此双曲线上则圆心到双曲线中心的距离是(全国文)已知直线x-y=与抛物线y=x交于A、B两点那么线段AB的中点坐标是(上海)二次曲线(θ为参数)的左焦点坐标是(上海)平移坐标轴将抛物线x-x+y+=化为标准方程x′=ay′(a≠)则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是.(全国文)已知点(-)与抛物线y=px(p>)的焦点的距离是则p=(全国理)已知圆xy-x-=与抛物线y=px(p>)的准线相切则p=(全国理)直线L过抛物线y=a(x)(a>)的焦点并且与x轴垂直若L被抛物线截得的线段长为则a=(全国文)若直线L过抛物线y=(x)的焦点并且与x轴垂直则L被抛物线截得的线段长为(上海)把参数方程(α是参数)化为普通方程结果是.(上海)双曲线=的渐近线方程是(上海)到点A(-)和直线x=距离相等的点的轨迹方程是(全国)抛物线y=-x的准线方程是圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是.(上海)双曲线-x=的两个焦点的坐标是三、解答题(上海春)设F、F分别为椭圆C:=(a>b>)的左、右两个焦点()若椭圆C上的点A()到F、F两点的距离之和等于写出椭圆C的方程和焦点坐标()设点K是()中所得椭圆上的动点求线段FK的中点的轨迹方程()已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点点P是椭圆上任意一点当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线写出具有类似特性的性质并加以证明(上海春)如图已知F、F为双曲线(a>b>)的焦点过F作垂直于x轴的直线交双曲线于点P且∠PFF=°.求双曲线的渐近线方程.(京皖文理)已知某椭圆的焦点是F(-)、F()过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B且|FB|+|FB|=.椭圆上不同的两点A(xy)、C(xy)满足条件:|FA|、|FB|、|FC|成等差数列.(Ⅰ)求该椭圆的方程(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标(Ⅲ)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m求m的取值范围.(全国理)设点P到点M(-)、N()距离之差为m到x轴、y轴距离之比为.求m的取值范围.(北京)已知O()B()C(bc)是△OBC的三个顶点.如图(Ⅰ)写出△OBC的重心G外心F垂心H的坐标并证明G、F、H三点共线(Ⅱ)当直线FH与OB平行时求顶点C的轨迹.(江苏)设A、B是双曲线x=上的两点点N()是线段AB的中点.(Ⅰ)求直线AB的方程(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点那么A、B、C、D四点是否共圆为什么(上海)已知点A()和B()动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为点C的轨迹与直线y=x-交于D、E两点求线段DE的长.(京皖春)已知抛物线y=px(p>)过动点M(a)且斜率为的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B|AB|≤p(Ⅰ)求a的取值范围(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N求△NAB面积的最大值(上海文理)设F、F为椭圆=的两个焦点P为椭圆上的一点.已知P、F、F是一个直角三角形的三个顶点且|PF|>|PF|求的值.(全国文理)设抛物线y=px(p>)的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点点C在抛物线的准线上且BC∥x轴证明直线AC经过原点O(上海春)已知椭圆C的方程为x=点P(ab)的坐标满足a≤过点P的直线l与椭圆交于A、B两点点Q为线段AB的中点求:()点Q的轨迹方程()点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数(广东河南)已知椭圆y=的右准线l与x轴相交于点E过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点点C在右准线l上且BC∥x轴求证:直线AC经过线段EF的中点(上海春)如图所示A、F分别是椭圆=的一个顶点与一个焦点位于x轴的正半轴上的动点T(t)与F的连线交射影OA于Q.求:()点A、F的坐标及直线TQ的方程()△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f(t)及其函数的最小值()写出S=f(t)的单调递增区间并证明之.(京皖春)如图设点A和B为抛物线y=px(p>)上原点以外的两个动点已知OA⊥OBOM⊥AB求点M的轨迹方程并说明它表示什么曲线.(全国理)如图已知梯形ABCD中|AB|=|CD|点E分有向线段所成的比为λ双曲线过C、D、E三点且以A、B为焦点.当≤λ≤时求双曲线离心率e的取值范围.图图图(全国文)如图已知梯形ABCD中|AB|=|CD|点E分有向线段所成的比为双曲线过C、D、E三点且以A、B为焦点.求双曲线离心率.(上海)已知椭圆C的焦点分别为F()和F()长轴长为设直线y=x交椭圆C于A、B两点求线段AB的中点坐标.(全国)如图给出定点A(a)(a>)和直线l:x=-B是直线l上的动点∠BOA的角平分线交AB于点C求点C的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系注:文科题设还有条件a≠(上海)设椭圆C的方程为=(a>b>)曲线C的方程为y=且C与C在第一象限内只有一个公共点P(Ⅰ)试用a表示点P的坐标(Ⅱ)设A、B是椭圆C的两个焦点当a变化时求△ABP的面积函数S(a)的值域(Ⅲ)设min{yy…yn}为yy…yn中最小的一个设g(a)是以椭圆C的半焦距为边长的正方形的面积求函数f(a)=min{g(a)S(a)}的表达式(全国理)设曲线C的方程是y=x-x将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C(Ⅰ)写出曲线C的方程(Ⅱ)证明曲线C与C关于点A()对称(Ⅲ)如果曲线C与C有且仅有一个公共点证明s=-t且t≠(全国文理)如图直线l和l相交于点Ml⊥l点N∈l以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l的距离与到点N的距离相等若△AMN为锐角三角形|AM|=|AN|=且|BN|=建立适当的坐标系求曲线段C的方程(上海理)()动直线y=a与抛物线y=(x-)相交于A点动点B的坐标是(a)求线段AB中点M的轨迹C的方程()过点D()的直线l交上述轨迹C于P、Q两点E点坐标是()若△EPQ的面积为求直线l的倾斜角α的值(上海)抛物线方程为y=p(x)(p>)直线xy=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边()求证:直线与抛物线总有两个交点()设直线与抛物线的交点为Q、ROQ⊥OR求p关于m的函数f(m)的表达式()(文)在()的条件下若抛物线焦点F到直线xy=m的距离为求此直线的方程(理)在()的条件下若m变化使得原点O到直线QR的距离不大于求p的值的范围(全国理)已知l、l是过点P(-)的两条互相垂直的直线且l、l与双曲线y-x=各有两个交点分别为A、B和A、B(Ⅰ)求l的斜率k的取值范围(Ⅱ)(理)若|AB|=|AB|求l、l的方程(文)若A恰是双曲线的一个顶点求|AB|的值(上海)已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点且与以点A()为圆心为半径的圆相切双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称设直线l过点A斜率为k()求双曲线S的方程()当k=时在双曲线S的上支上求点B使其与直线l的距离为()当≤k<时若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为求斜率k的值及相应的点B的坐标如图(全国理)已知椭圆如图=直线L:=P是L上一点射线OP交椭圆于点R又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|当点P在L上移动时求点Q的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线(上海)设椭圆的方程为=(mn>)过原点且倾角为θ和π-θ(<θ<=的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点(Ⅰ)用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S(Ⅱ)若m、n为定值当θ在(]上变化时求S的最小值u(Ⅲ)如果μ>mn求的取值范围(全国文)已知椭圆=直线l:x=P是直线l上一点射线OP交椭圆于点R又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|当点P在直线l上移动时求点Q的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线(全国理)已知直线L过坐标原点抛物线C的顶点在原点焦点在x轴正半轴上若点A(-)和点B()关于L的对称点都在C上求直线L和抛物线C的方程(上海)设椭圆的中心为原点O一个焦点为F()长轴和短轴的长度之比为t.()求椭圆的方程()设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上且当t变化时求点P的轨迹方程并说明轨迹是什么图形●答案解析答案:D解析一:将方程axby=与axby=转化为标准方程:因为a>b>因此>所以有:椭圆的焦点在y轴抛物线的开口向左得D选项解析二:将方程axby=中的y换成-y其结果不变即说明:axby=的图形关于x轴对称排除B、C又椭圆的焦点在y轴故选D评述:本题考查椭圆与抛物线的基础知识即标准方程与图形的基本关系同时考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力答案:D解析:利用三角函数中的平方和关系消参得=∴c=x-=±而焦点在x轴上所以焦点坐标为:()()选D如果画出=的图形则可以直接“找”出正确选项评述:本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法以及利用平移变换公式进行逻辑推理同时也考查了数形结合的思想方法答案:A解析:由第一定义得|PF||PF|为定值∵|PQ|=|PF|∴|PF||PQ|为定值即|FQ|为定值答案:B解析:椭圆方程可化为:x=∵焦点()在y轴上∴a=b=又∵c=a-b=∴k=答案:D解析:∵θ∈()∴sinθ∈()∴a=tanθb=cotθ∴c=ab=tanθcotθ∴e=∴e=∴e∈(∞)答案:D解析:由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上∴椭圆焦点()双曲线焦点()∴m-n=mn∴m=n又∵双曲线渐近线为y=±·x∴代入m=n|m|=|n|得y=±x答案:D解析:设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d∴d=|x||y|=|cosθ||sinθ|设θ∈[]∴d=sinθcosθ=sin(θ)∴dmax=答案:B解法一:将曲线方程化为一般式:y=x∴点P()为该抛物线的焦点由定义得:曲线上到P点距离最小的点为抛物线的顶点解法二:设点P到曲线上的点的距离为d∴由两点间距离公式得d=(x-)y=(t-)t=(t)∵t∈R∴dmin=∴dmin=答案:C解析:由F、F的坐标得c=-c=又∵椭圆过原点a-c=a=+c=又∵e=∴选C答案:B解析:设点Q的坐标为(y)由|PQ|≥|a|得y(-a)≥a整理得:y(y-a)≥∵y≥∴y-a≥即a≤恒成立而的最小值为∴a≤选B答案:D解析:由题意知a=b=c=准线方程为x=±∴椭圆中心到准线距离为.答案:C解析:抛物线y=ax的标准式为x=y∴焦点F()取特殊情况即直线PQ平行x轴则p=q如图∵PF=PM∴p=故.答案:C解析:渐近线方程为y=±x由·(-)=-得a=b∴c=ae=.答案:B解析:y=-x的标准式为x=-y∴p=焦点坐标F(-).答案:D解析:x=化为x+y=(x>).答案:D解析:由已知xy=可知x、y同号且不为零而A、B、C选项中尽管都满足xy=但x、y的取值范围与已知不同答案:A解析:不妨设F(-)F()由条件得P(±)即|PF|=|PF|=因此|PF|=|PF|故选A评述:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想具有较强的思辨性是高考命题的方向答案:A解析:由条件可得F(-)PF的中点在y轴上∴P坐标(y)又P在=的椭圆上得y=±∴M的坐标(±)故选A评述:本题考查了椭圆的标准方程及几何性质中点坐标公式以及运算能力答案:A解析:将已知椭圆中的x换成-yy换成-x便得椭圆C的方程为=所以选A评述:本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题答案:B解法一:由已知得t=代入y=-t中消去t得y=故选B解法二:令t=得曲线过()分别代入验证只有B适合故选B评述:本题重点考查参数方程与普通方程的互化考查等价转化的能力.答案:C解析:由已知得方程为=由于θ∈(π)因此sinθ>cosθ<且|sinθ|<|cosθ|∴原方程表示长轴在y轴上的椭圆答案:C解析:原方程化为=由于k>因此它表示实轴在y轴上的双曲线答案:A解析:由已知有a=c=b=,于是椭圆方程为=,故选A评述:本题考查了椭圆的方程及其几何性质以及待定系数法和运算能力答案:C解析:如图原点O逆时针方向旋转°到O′则O′(-)为旋转后椭圆的中心故旋转后所得椭圆方程为=.所以选C答案:D解析:R中不存在x使得f(x)≤g(x)即是R中的任意x都有f(x)>g(x)故选D答案:B解析:可得a=b=c=椭圆在新坐标系中的焦点坐标为(±)在原坐标系中的焦点坐标为()(-)故选B评述:本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点考查数形结合的能力.答案:B解析:把已知方程化为=∴a=b=c=∵椭圆的中心是(-)∴焦点坐标是()和(-)答案:A解析:由已知直线l的方程为aybx-ab=原点到直线l的距离为c则有又c=ab∴ab=c两边平方得a(c-a)=c两边同除以a并整理得e-e=∴e=或e=而<a<b得e=>∴e=故e=评述:本题考查点到直线的距离双曲线的性质以及计算、推理能力难度较大特别是求出e后还须根据b>a进行检验答案:D解析:把已知方程化为标准方程得(ysinθ)=∴椭圆中心的坐标是(cosθ-sinθ)其轨迹方程是θ∈[]即y=(≤x≤-≤y≤)答案:C解法一:将双曲线方程化为标准形式为x-=其焦点在x轴上且a=b=故其渐近线方程为y=±x=±x所以应选C解法二:由x-y=分解因式得y=±x此方程即为x-y=的渐近线方程故应选C评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质答案:D解析:原方程可变为=因为是焦点在y轴的椭圆所以解此不等式组得<k<因而选D评述:本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法从而考查了逻辑思维能力和运算能力答案:A解法一:由双曲线方程知|FF|=且双曲线是对称图形假设P(x)由已知FP⊥FP有即因此选A解法二:S△=bcot=×cot°=评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力答案:A解析:a、b长相等a、b在平面α内的射影长相等因此选A答案:B解析:由已知得平移公式代入曲线C的方程得y′-=cos(x′)即y′=-sinx′答案:解析:因为F、F为椭圆的焦点点P在椭圆上且正△POF的面积为所以S=|OF|·|PO|sin°=c所以c=∴点P的横、纵坐标分别为c即P()在椭圆上所以有=又bc=a解得b=评述:本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能体现出方程的思想方法答案:()解法一:设直线y=x-与抛物线y=x交于A(xy),B(xy),其中点为P(xy)由题意得(x-)=xx-x=∴x==y=x-=∴P()解法二:y=xy=xy-y=x-x=∴yy=即y=x=y=故中点为P()评述:本题考查曲线的交点与方程的根的关系同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法答案:=解析:由两焦点坐标得出椭圆中心为点()焦半径c=∵长轴长为∴a=∴a=∴b==∴椭圆方程为=答案:(±)解析:由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x∴m=求得双曲线方程为=从而得到焦点坐标答案:②⑤解析:从抛物线方程易得②分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程从而确定⑤答案:()解析:抛物线(y-)=(x-)的图象为抛物线y=x的图象沿坐标轴分别向右、向上平移个单位得来的∵抛物线y=x的焦点为()∴抛物线(y-)=(x-)的焦点为()答案:-解析:椭圆方程化为x=∵焦点()在y轴上∴a=b=又∵c=a-b=∴k=-答案:()解析:将参数方程化为普通方程:(y-)=(x)该曲线为抛物线y=x分别向左向上平移一个单位得来答案:解析:原方程可化为+y=a=b=∴a=b=c=当等腰直角三角形设交点(xy)(y>)可得-x=y代入曲线方程得:y=∴S=×y=答案:x-y=解析:设P(xy)∴M(xy)∴∴x=xy=y∴-y=x-y=答案:()解析:x=y+x=(y+)∴y+=y=∴坐标()答案:解析:设|PF|=M|PF|=n(m>n)a=b=c=∴m-n=6m+n=cm+n-(m-n)=m+n-(m+n-mn)=mn=×-=mn=又利用等面积法可得:c·y=mn∴y=答案:=解析:由已知a=c=∴b=c-a=又顶点在x轴所以标准方程为=答案:()解析:①代入②得y=-xx+y=解方程得:∴交点坐标为()答案:解析:已知a=b=∴c=∵由余弦定理∵∠FPF是钝角∴-<cosFPF<即解得.评述:本题也可以通过PF⊥PF时找到P点的横坐标的值类似问题在高考命题中反复出现本题只是改变了叙述方式答案:()(-)解析:令原方程化为标准形式.∵a=b=∴c=c=在新坐标系下焦点坐标为(±).又由解得和所以焦点坐标为()(-).答案:(-)()解析:由得由③-④得=.令把上式化为标准方程为=.在新坐标系下易知焦点坐标为(±)又由解得和所以焦点坐标为()(-)答案:解析:由题意知过F且垂直于x轴的弦长为∴∴∴即e=评述:本题重点考查了椭圆的基本性质答案:()解析:将曲线方程化为(y-)=-(x-)令x′=x-y′=y-则y′=-x′∴h=k=∴坐标原点应移到()答案:解析:如图所示设圆心P(xy)则|x|==代入=得y=∴|OP|=.评述:本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想答案:()解析:将x-y=代入y=x得y-y-=由韦达定理y+y=AB中点纵坐标y==横坐标x=y+=.故AB中点坐标为().评述:本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法答案:(-)解析:原方程消去参数θ得=∴左焦点为(-)答案:(-)解析:将x-x+y+=配方得(x-)=(y+)令则即新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(-)答案:解析:∵抛物线y=px(p>)的焦点坐标是()由两点间距离公式得=解得p=答案:解析:已知圆的方程为(x-)y=∴圆心为()半径r=∴与圆相切且垂直于x轴的两条切线是x=-x=(舍)而y=px(p>)的准线方程是x=-∴由-=-得p=∴p=答案:解析:如图抛物线的焦点坐标为F(-)若l被抛物线截得的线段长为则抛物线过点A(-)将其代入方程y=a(x+)中得=a(-+)a=±因a>故a=评述:本题考查了抛物线方程及几何性质由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待定系数法、代入法等基本方法答案:解析:如图抛物线y=(x+)中p==故可求抛物线的焦点坐标为()于是直线L与y轴重合将x=代入y=(x+)中得y=±故直线L被抛物线截得的弦长为答案:x(y-)=答案:y=±x解析:把原方程化为标准方程得=由此可得a=b=焦点在x轴上所以渐近线方程为y=±x即y=±x答案:y=-x解析:由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线焦点为A(-)准线为x=所以顶点在()焦点到准线的距离p=开口向左∴y=-(x-)即y=-x答案:x=(x-)y=解析:原方程可化为y=-(x-)p=顶点()准线x=即x=顶点到准线的距离为即为半径则所求圆的方程是(x-)y=答案:(-)()解:()椭圆C的焦点在x轴上由椭圆上的点A到F、F两点的距离之和是得a=即a=又点A()在椭圆上因此=得b=于是c=所以椭圆C的方程为=焦点F(-)F()()设椭圆C上的动点为K(xy)线段FK的中点Q(xy)满足:即x=xy=y因此=即为所求的轨迹方程()类似的性质为:若M、N是双曲线:=上关于原点对称的两个点点P是双曲线上任意一点当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值设点M的坐标为(mn)则点N的坐标为(-m-n)其中=又设点P的坐标为(xy)由得kPM·kPN=将m-b代入得kPM·kPN=评述:本题考查椭圆的基本知识求动点轨迹的常用方法第()问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求根据提供的信息让考生通过类比自己找到所证问题这是高考数学命题的方向应引起注意解:()设F(c)(c>)P(cy)则=解得y=±∴|PF|=在直角三角形PFF中∠PFF=°解法一:|FF|=|PF|即c=将c=ab代入解得b=a解法二:|PF|=|PF|由双曲线定义可知|PF|-|PF|=a得|PF|=a∵|PF|=∴a=即b=a∴故所求双曲线的渐近线方程为y=±x(Ⅰ)解:由椭圆定义及条件知a=|FB||FB|=得a=又c=所以b==故椭圆方程为=(Ⅱ)由点B(yB)在椭圆上得|FB|=|yB|=(如图)因为椭圆右准线方程为x=离心率为根据椭圆定义有|FA|=(-x)|FC|=(-x)由|FA||FB||FC|成等差数列得(-x)(-x)=×由此得出xx=设弦AC的中点为P(xy)则x==(Ⅲ)由A(xy)C(xy)在椭圆上得EMBEDEquation由④-⑤得(x-x)(y-y)=即=(x≠x)将(k≠)代入上式得×y(-)=(k≠)由上式得k=y(当k=时也成立)由点P(y)在弦AC的垂直平分线上得y=km所以m=y-k=y-y=-y由P(y)在线段BB′(B′与B关于x轴对称如图)的内部得-<y<所以-<m<注:在推导过程中未写明“x≠x”“k≠”“k=时也成立”及把结论写为“-≤m≤”的均不扣分解:设点P的坐标为(xy)依题设得=即y=±xx≠①因此点P(xy)、M(-)、N()三点不共线得||PM|-|PN||<|MN|=∵||PM|-|PN||=|m|>∴<|m|<因此点P在以M、N为焦点实轴长为|m|的双曲线上故②将①式代入②并解得x=∵-m>∴-m>解得<|m|<即m的取值范围为(-)∪()(Ⅰ)解:由△OBC三顶点坐标O()B()C(bc)(c≠)可求得重心G()外心F()垂心H(b)当b=时G、F、H三点的横坐标均为故三点共线当b≠时设G、H所在直线的斜率为kGHF、G所在直线的斜率为kFG因为所以kGH=kFGG、F、H三点共线综上可得G、F、H三点共线(Ⅱ)解:若FH∥OB由kFH==得(b-b)c=(c≠b≠)配方得(b-)c=即即=(x≠y≠)因此顶点C的轨迹是中心在()长半轴长为短半轴长为且短轴在x轴上的椭圆除去()()()(-)四点评述:第(Ⅰ)问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题:三角形的重心、外心、垂心三心共线(欧拉线)且背景深刻是有研究意义的题目解:(Ⅰ)依题意可设直线AB的方程为y=k(x-)代入x-=整理得(-k)x-k(-k)x-(-k)-=①记A(xy)B(xy)则x、x是方程①的两个不同的根所以-k≠且xx=由N()是AB的中点得(xx)=∴k(-k)=-k解得k=所以直线AB的方程为y=x(Ⅱ)将k=代入方程①得x-x-=解出x=-x=由y=x得y=y=即A、B的坐标分别为(-)和()由CD垂直平分AB得直线CD的方程为y=-(x-)即y=-x代入双曲线方程整理得xx-=②记C(xy)D(xy)CD的中点为M(xy)则x、x是方程②的两个根所以xx=-xx=-从而x=(xx)=-y=-x=|CD|=∴|MC|=|MD|=又|MA|=|MB|=即A、B、C、D四点到点M的距离相等所以A、B、C、D四点共圆解:设点C(xy)则|CA|-|CB|=±根据双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线=由a=c=|AB|=得a=b=故点C的轨迹方程是x-=由得xx-=∵Δ>∴直线与双曲线有两个交点设D(xy)、E(xy)则xx=-xx=-故|DE|=解:(Ⅰ)设y=x-a∴(x-a)=px图x-ax+a-px=x-(a+p)x+a=|AB|=≤p∴ap+p≤pap≤-p又∵p>∴a≤-(如图)(Ⅱ)∵AB中点x=a+py+y=x+x-ay+y=p∴y=p∴过N的直线l:y-p=-(x-a-p)+p=x-a-px=a+pN到AB的距离为:∴S=当a有最大值时S有最大值解法一:由已知|PF|+|PF|=|FF|=根据直角的不同位置分两种情况:若∠PFF为直角则|PF|=|PF|+|FF|即|PF|=(-|PF|)+得|PF|=|PF|=故若∠FPF为直角则|FF|=|PF|+|PF|即=|PF|+(-|PF|)得|PF|=|PF|=故=解法二:由椭圆的对称性不妨设P(xy)(x>y>)则由已知可得F(-)F()根据直角的不同位置分两种情况:若∠PFF为直角则P()于是|PF|=|PF|=故若∠FPF为直角则解得即P()于是|PF|=|PF|=故=解法一:设直线方程为y=k(x)(如图)A(xy)B(xy)C(y)∴∴又∵y=px∴kOC==kOA即k也是直线OA的斜率所以AC经过原点O当k不存在时AB⊥x轴同理可得kOA=kOC解法二:如图过A作AD⊥lD为垂足则:AD∥EF∥BC连结AC与EF相交于点N则由抛物线的定义可知:|AF|=|AD||BF|=|BC|∴|EN|==|NF|评述:该题的解答既可采用常规的坐标法借助代数推理进行又可采用圆锥曲线的几何性质借助平面几何的方法进行推理解题思路宽而且几何方法较之解析法比较快捷便当从审题与思维深度上看几何法的采用源于思维的深刻解:()设点A、B的坐标分别为(xy)、(xy)点Q的坐标为Q(xy)当x≠x时设直线斜率为k则l的方程为y=k(x-a)b由已知x=①x=②y=k(x-a)b③y=k(x-a)b④①-②得(xx)(x-x)(yy)(y-y)=⑤③④得yy=k(xx)-kab⑥由⑤、⑥及得点Q的坐标满足方程xy-ax-by=⑦当x=x时k不存在此时l平行于y轴因此AB的中点Q一定落在x轴即Q的坐标为(a)显然点Q的坐标满足方程⑦综上所述点Q的坐标满足方程xy-ax-by=设方程⑦所表示的曲线为l则由得(ab)x-ax-b=因为Δ=b(a-)由已知a≤

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