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数学建模大赛优秀论文.doc

数学建模大赛优秀论文

合金天下
2009-11-19 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学建模大赛优秀论文doc》,可适用于工程科技领域

论文评阅要点、主要标准:、假设的合理性、建模的创造性、文字表达的清晰性、结果的正确性。、论文组成概要:、题目、摘要、问题重述、模型假设与符号、分析建立模型、模型求解、模型检验与推广、参考文献与附录、参考给分步骤(分制)、摘要部分(论文的方法、结果、表达饿清晰度)。。。。。。。。。。。。。。分、假设部分(合理性与创造性)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分、数学模型(创造性与完整性)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分、解题方法与结果(创造性与正确性)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分、模型的优缺点与推广(合理性)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分、评阅方法、每位教师把卷号、分数及主要理由记录在白纸上以便专人统计、每份论文至少要三位教师评阅过选出获奖论文的倍数量对分歧大的试卷讨论给分、对入选论文至少要六位教师评阅过。按分数高低排序、对一、二等奖的论文要求写出字左右的评语与论文一起在网上发表。、评阅时间:月日(星期六)A题:动物群落的稳定发展摘要:本文通过对某公园近两年内被运出的某种动物的年龄和性别的数据进行统计分析并针对题目的四个问题分别建立了符合实际的数学模型在模型的求解过程中应用C语言进行编程调试通过统计学软件SAS数学软件MATLAB等计算工具编写相应的程序对建立的模型进行求解得出了符合实际的结果。问题一:我们假设新生幼仔的数量为然后通过对各年龄阶段的存活率、被运走的动物数量以及该动物的总体数量的分析来建立该群落的动态变化模型利用该群落近两年内被运走的各年龄阶段的个体数量分布用C语言编程计算推测出当前该动物的年龄结构(具体结果见页表一)。并利用MATLAB软件对得出的数据用图形表示利用对比分析法得到该动物群落的基本分布轨迹最后用统计软件SAS对模型进行相关性的分析检验求得相关系数R与P的值验正了模型的稳定性。问题二:由于现在采用注射避孕药的方法来维持该种群的稳定而且已经没有个体被运走或被偷猎的情况为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数(该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量的差值)另外从(即年头的数量与该年年底的数量的差值)当趋于时即认为该群落的个体数量是稳定的从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题建立模型利用MATLAB对模型进行求得得出当不考虑不确定性因素影响时要注射药物的雌性动物数量为头而当考虑了双胞胎和被重复注射这两个不确定性因素影响后得到要注射药物的雌性动物数量为头其中有头是被重复注射的。问题三:其大致模型与问题二相近不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量(b)即目标函数应考虑上被运走的数量即只是对问题二的模型进行扩充建立新的目标模型-b和-b利用MATLAB对不同b值进行求解从而得出相应的避孕措施。(具体结果见页表二)问题四:我们引进了增量加速度的概念利用c语言进行编程求解然后用MATLAB软件对得到的数据进行线性回归分析得到该群落在减少至M时重新壮大该动物群落能力的模型:M=D。最后应用统计软件SAS对模型进行稳定性分析。关键字:存活率年龄结构新生幼仔数稳定性最优目标增量加速度.问题重述与提出位于非洲某国的国家公园中栖息着近头某种野生动物。管理员要求有一个健康稳定的环境以便维持这个头该动物的稳定群落。过去的年中整个该动物群是通过一些偷猎枪杀以及转移到外地而稳定下来的。但是近年来偷猎被禁止而且每年要转移这些动物也比较困难因此要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕。要探讨这种避孕注射法的实用性我们需要完成以下问题:.探讨该动物年龄在岁到岁之间的合理的存活率的模型推测这个动物群落的当前的年龄结构。.估计每年在该群落中有多少雌性动物要注射避孕药可以式群落固定在头左右。这里不免有些不确定性也要估计这种不确定性的影响。.假如每年转移至头此动物到别处那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变?.如果由于某种原因突然使得注射避孕的方法不得不停止(例如由于一场灾难导致大量该动物的死亡)那时重新壮大该动物群的能力如何?.基本假设与符号说明(一)模型假设.该公园是非开放式的它与外界不发生关系从而构成独立的生物群落该动物群落不存在与其它动物种群的竞争或虽有竞争但其影响只局限于该动物群落的死亡率内。.种群是通过雌性个体的繁殖而增长的所以用雌性个体数量的变化为主要研究对象。.为了讨论的必要我们把新生的幼儿的存活率定为%而其后的存活率为%直到岁为止。各年龄组的该动物经过一年后即进入高一级的年龄组而龄超过即认为全部死亡退出该系统。.由于该公园加强了对该动物群落的保护我们认为该动物没有再被偷猎射杀。而该动物群落个体数量的减少只是因为自然死亡以及被运走。.假设同一年龄组的动物个体之间是同质的我们只考虑其平均水平不讨论个别差异。.题设该动物在~岁开始怀孕我们这里设定为岁开始经过个月(约两年)的怀孕期后生幼仔即可认为该雌性动物在~岁的时间内可以生幼仔。.该群落的自然死亡是在生完幼仔后才发生的产幼仔只发生在每年的年初时段而被运走只发生在年底时段。(二)符号说明:新生幼儿的存活率其值为:~岁个体的存活率其值为:双胞胎出生的几率其值为:该动物第k年时刻的数量:该动物第k年初i龄动物的数量:该动物第k年初底i龄动物的数量:第j年被运走的动物的数量:表示该动物第k年初时的总数量:表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率其值为:表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率其值为:表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率其值为:表示从~岁该动物的雌性个体的总数:表示从~岁该动物的个数总和:表示岁该动物的个体总和:表示~岁雌性动物没有被注射避孕药部分的数量:表示~岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内不再被注射部分的数量:表示~岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内被重复注射部分的数量:表示每年出生幼仔的数量与该年个体死亡的数量的差值:表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量的和的差值:表示该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的个体数量b的差值。.问题分析与模型建立问题一:.我们要研究该动物群落的稳定性问题首先要根据存活率确定其当前的年龄结构。该动物的新生幼仔存活率较低题设是%到%之间为了讨论的需要我们这里设定为%。在岁后的存活率比较高在这里设为%直到岁而超过岁则认为退出该系统。因此我们先建立出该动物群落中年龄在岁到岁之间的合理的存活率的模型。模型一:式()表示该动物第k年增长的数量式()表示该动物第k年初时的总数量可由已有的数据计算出来式()表示该动物被运走的数量式()和()表示该动物第i龄到了年底全部转化为(i+)龄式()和()表示该动物各年龄段的变化式()表示该动物新生的幼仔数量。.通过对该公园近两年内从这个地区运出的该动物的年龄和性别的数据进行统计分析并利用编程工具TurboC对该模型进行编程计算(源程序及计算过程见附录)可得到当前该动物群落的年龄结构如下表所示:表一该动物的年龄结构统计表年龄(岁)前一年数量(头)前一年运走数量(头)前一年剩下数量(头)前兩年数量(头)前兩年运走数量(头)前两年剩下数量(头)假设无运走数量(头)今年数量(头)生幼仔的雌性数量岁雌性数量总数量注:岁表示新生幼仔。注:由于每个年龄段的数据均为推测值而实际上运走的各年龄段的数量不一定全部与预测值相符故表中“剩下数量”两组数据中出现负数可认为是独异点不影响模型整体的准确性。每年新生幼仔的数量()减去生幼仔的雌性的数量(由于雄性与雌性的数量比接近:我们可近似地认为岁个体的雌雄数量相等)其差值即为双胞胎的数量这个差值与生幼仔的雌性数量之比即为双胞胎的几率()%。由表中数据可得这些比例都基本上接近题设的双胞胎的几率说明以上推测得出的数据是准确的。利用Matlab软件对以上四组数据用图形表示并进行比较得到该动物群落的基本分布情况图(源程序见附录)如下图所示图分析该图可以看出这四组曲线的轨迹、分布情况基本相同。由于“预测当前的年龄结构情况(无运走)”一组数据没有减去被运走的个体数量故其每个年龄层的数量都略多于前三组的数量因此其曲线比前三组的曲线略高一点利用SAS软件对模型进行相关性的分析检验(源程序见附录)得到如下结果:图程序的分析及统计结论:程序中的x是前一年的该动物群落的年龄结构x是前两年该动物群落的年龄结构x是该动物群落没有被运出是的年龄结构x是预测的当前的该动物群落的年龄结构。过程中的PROCCORR是分析变量中两两变量之间的PEAROS简单相关的。输出结果中的结果是一些基本的描述统计量结果是两两变量之间的相关矩阵其中包括相关系数和显著性检验的概率。由结果可知前一年的该动物群落的年龄结构(x)与前两年的该动物群落的年龄结构(x)的相关系数R=,P=<所以前一年的该动物群落的年龄结构(x)与前两年的该动物群落的年龄结构(x)之间存在着极显著的正相关前一年的该动物群落的年龄结构(x)与没有运走是的该动物群落的年龄结构(x)的相关系数R=,P=<所以前一年的该动物群落的年龄结构(x)与没有运走时的该动物群落的年龄结构(x)之间存在着极显著的正相关同理可知x与x的相关系数R=,P=<x与x的相关系数R=,P=<x与x的相关系数R=,P=<x与x的相关系数R=,P=<。由以上的分析可知x,x,x,x之间的相关系数接近可见模型一的稳定行很强而且由公式推出的前一两年的数据与该公园已有的数据基本相符合可见模型是很优的。问题二:由于目前该动物已经很少被移出或移入而且偷猎枪杀的情况微乎其微所以暂时不列入考虑范围内。因此对该动物群落若不采用人工手段控制则其在一定时间范围内会大幅度增加从而破坏该种群的动态平衡。为了保持该种群的平衡而又不必每年运走一定数量动物现在使用一种避孕注射法可使该动物群落的数量固定在一定范围内用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕但不会引起其它附加的反应。我们所要做的就是估计出每年在该群落中要注射避孕药的雌性动物的数量并且要考虑到各种不确定性因素的影响。为了分析的方便我们先建立初步模型该模型暂时不考虑注射避孕药所产生的不确定性因素的影响即不考虑两年内被重复注射的雌性数量及双胞胎的几率。在这里我们只认为新生幼仔的数量由两部分组成一部分为没注射过避孕药的雌性个体所生另一部分为被注射过避孕药的雌性个体所生。另外由于已经没有个体被运走或被偷猎的情况为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数(该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量的差值)当趋于时即认为该群落的个体数量是稳定的从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题。从而建立模型如下:模型二:其中:=表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率。表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率这里设=表示从~岁该动物的雌性个体的总数为设=表示从~岁该动物的个数总和为设=表示岁该动物的个体总和为:表示该种群每年的新生幼仔的数量与该年死亡个体的数量总和的差值。把已知的数据代入上述模型从而得到以下模型:利用Matlab软件进行编程(源程序见附录)求得其中说明该模型是稳定的即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。由可知每年大约有头雌性动物要注射避孕药才能使该群落的数量保持在头左右。模型三(模型二的改进):由于每年被注射的雌性动物数量一定所以被注射过后两年有可能又被注射则将其归入到“被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物”内。因此注射避孕药所产生的不确定性因素之一即为“被注射过避孕药但在两年避孕期内被重复注射的雌性动物”。另外不确定因素之二即双胞胎的几率问题所以这里我们加入一个参数。当第一年采用注射避孕药的方法时是不会发生有雌性个体被重复注射的情况的故有以下模型:其中:=表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率表示新生幼仔的存活率=,表示~岁动物的存活率,表示新出生的幼仔中双胞胎的概率。利用Matlab软件求解(源程序见附录)求得其中说明该模型是稳定的即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。由可知每年大约有头雌性动物要注射避孕药才能使该群落的数量保持在头左右。由于考虑双胞胎的机率故必须增加注射的数量。当注射避孕药一年后再次注射时就会有某些数量的雌性个体被重复注射的情况出现但这部分一定比前一年注射的雌性个体的数量少故建立以下模型模型四:代入已知数据得到以下目标函数模型:其中是前一年被注射避孕药的雌性个体的数量。利用Matlab软件编写程序求解通过对的不同取值进行调试(源程序见附录)求得当=时模型稳定此时其中与模型三的解相同说明新生幼仔的数量比较稳定而每年注射避孕药的雌性动物则减少到头其中有头是在注射后一年又被重复注射的数量而则说明了该动物群落的个体数量是稳定的被控制在一定范围内。由此可知当每年注射头时就能把该动物群落的数量控制在头范围内。问题三:假如每年转移至头此动物到别处其大致模型与问题二相近不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量(b)即应表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量的和的差值。相应的避孕措施将改变如下:模型五:其中b表示该年被运走的动物的数量(~)代入已有数据并把方程标准化得到以下模型:其中b的值在~之间变化我们以头为间距(即b的值分为六种情况)利用软件MATLAB计算得到每年转移从至头到别处时所应采取的避孕措施(源程序见附录)当取b=时得到以下输出结果::由输出结果的提示可知在次迭代后仍然无法找到最优值由exitflag=可知以上模型得到的数据是发散的从而说明上述模型本身并不存在问题只是计算机无法在有限的迭代次数内找到最优值。为此解决该问题我们对以上模型进行修改把目标函数定义为该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的数量b的差值从而得到以下模型:模型六:其中式()表示目标函数其值趋于式()表示该动物在第k年初的数量其值取式()和()表示该动物第i龄到了年底全部转化为(i+)龄式()和()表示该动物各年龄段的变化式()表示该动物新生的幼仔数量式()表示该动物在~岁的雌性个体数量之和对b以为间距分别从取到头利用MATLAB软件进行求解(源程序见附录)得到以下表二:被运走的数量(头)被注射的数量(头)被运走的数量(头)被注射的数量(头)被运走的数量(头)被注射的数量(头)问题四:用人工手段可以使得该动物群落的数量减少使其数量控制在一定范围内但是我们并不知道用了这种人工手段后对于一次突发事件后要增加其数量时该种群的复壮能力如何。因此我们建立数学模型分析研究其复壮能力。我们假设由于某种原因(例如由于一场大灾难导致该动物的死亡)使得该动物减少至M头此时不得不停止注射避孕的方法。在初步模型中我们先假设灾难发生后该种群虽然数量减少但其年龄结构没有改变。建立该动物群落重新壮大的能力的模型如下:模型七:对M取不同的值利用c语言进行编程求解(源程序见附录)可以得到以下表:M值第t年t=增量d当前数量Mt=增量d当前数量Mt=增量d恢复当前数量Mt=增量d恢复当前数量Mt=增量d当前数量Mt=增量d恢复当前数量Mt=增量d当前数量Mt=增量d恢复当前数量Mt=增量d当前数量Mt=增量d当前数量M增长加速度:该表对M进行不同的取值分别表示某一年(t=)灾难发生后该动物群落剩下的数量。我们用第一题的C程序即可算出该群落在下一年(t=)的增量把这个增量加上上一年群落的总数即为第一年(t=)群落的总数M,接着我们又用程序算出这一年的增量加上M即为第二年(t=)的个体总数M。以这样的算法推算下去一直到群落数量恢复到左右或者前十年(t=)为止。将计算出来的各年增量按时间t(……)列在座标上用MATLAB进行曲线拟合(具体程序见附录)得到的图形如下所示:从图中可以看出每年的增量都是遵从一定的线性关系的也就是说该群落的增长加速度是一定的通过MATLAB的曲线拟合可以求出不同M值所对应的增长加速度(程序见附录)数据如下:M值D(只年^)通过这些数据我们可以知道在灾难后群落数量减少至M时的重新壮大能力。再用MATLAB求出M与D的关系进行曲线拟合求出斜率k后画出图形(程序见附录)如下所示可知M与D是服从一定的线性关系的由MATLAB算出的的数据可知M=D。该模型的稳定性分析见本论文第四部分。.模型的稳定性分析.对于问题一:我们利用C语言进行编程求得了第k年时各年龄结构的分布情况并利用MATLAB软件对得到的数据进行画图分析从输出的图可看出各年该动物各个年龄的分布是围绕一定的轨迹进行分布的从而说明了该模型是稳定的其次用统计软件SAS对该模型得出的数据进行相关系数的分析得到相关系数R都接近于而P=<则表示其相关性显著。故建立的模型一是很稳定的其各年的该动物的总数基本上都在左右。.对于问题二、问题三:我们从两个不同方面对问题进行分析分别从=新生的幼仔数量-自然死亡的数量~以及=该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的数量b的差值~两个不同方面进行模型的建立从而把该动物群落的稳定性问题转化为求目标函数最小化问题。(这是本论文的一个亮点)。利用MATLAB对模型进行求解得出的数据最后都能使得该动物群落维持稳定可见对于问题二、问题三所建立的模型是很稳定的结果也是很优的。.对于问题四我们用C语言的编程求得了不同M值在年内各年的增量求出该群落在不同M值所对应的增长加速度D。为了求出不同的M与对应的D的关系我们在MATLAB中输入M与D的数组进行稳定性分析(程序见附录)。在回归分析及检验中我们得到==的置信区间为,,的置信区间为,=,F=,p=,p<,可知回归模型M=D成立对模型进行残差分析,作残差图,得图如下:从残差图可以看出,除最后一个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包括零点,这说明回归模型M=D能较好的符合原始数据,而最后一个数据视为异常点(造成异常点的原因是M=时群落只要两年就可恢复到原来的数量,数据太少无法作出较接近实际的曲线拟合。在预测及作图后得各数据点及回归方程得图形如图:可以看出,只有最后一个数据点离回归直线距离较远是异常点。由以上分析可知M与D的关系是比较稳定的。.模型优缺点及改进方向我们的模型有以下优点:.模型的稳定性好模型给出的方案使得该动物群落的各年龄段的数量保持平衡从而满足了维持该动物群落的稳定。.模型的适用范围广易于推广模型对于其它生态经济现象(如最优捕鱼策略问题)同样适用。.基本模型对问题的描述准确、合理、推导严谨理论性强.模型结合实际具有很高的实用价值。我们的模型有以下缺点:由于题目给的数据不够多所以使得该模型无法更加接近实际的情况。由于题目没有以前各年偷猎枪杀该动物的数据故模型没有考虑偷猎枪杀该动物所产生的影响。对于一个动物群落其影响的不确定性因素很多而模型只是局限在题目中提到的故与实际情况有一定的偏差。模型的改进方向:.由生活常识可知对于该动物群落超过岁后的死亡情况应基本上服从正态分布。故可在模型一中的死亡数中加上这个因素。.由于动物的产幼仔是随机分布的故可利用模拟仿真的方法建立更具有真实性的模型。参考文献【】樊欣,邵谦谦SASX经济统计北京希望电子出版社【】苏金明张莲花MATLAB工具箱应用北京电子工业出版社【】姜启源谢金星数学模型(第三版)高等教育出版社【】余世孝数学生态学导论科学科技文献出版社附录一:(模型一用C语言实现的过程与运行结果)main(){intx,n*定义一个长度为的数组,每个单位的值表示各年龄的数量,定义变量n*intsum,sum,sum*三个变量分别代表该年群落个体数量,岁雌性数量,岁个体数量*clrscr()sum=sum=sum=printf("Borneveryyear=")scanf("d",x)*输入当年出生的幼仔数量,设幼仔年龄为岁*printf("nAge:quantityinthisagenn")x=*x*幼仔从岁向岁过渡时存活率为*for(n=n<=n){xn=*xn*向下一年龄段过渡时的存活率为*}for(n=n<=n){sum=sumxn*对各年龄段数量累加得到种群总体数量*printf("d:d",n,xn)}for(n=n<=n){sum=sumxn*对岁个体数量累加*}for(n=n<=n){sum=sumxn*对岁个体数量累加*}printf("nnsum=dn",sum)printf("nsum(female)=dn",sum)*岁个体总数的一printf("nsum()=dn",sum)半即为该年龄段雌性数量再除以即为当年生幼仔的雌性的数量*通过不断输入新生幼仔的初值,直到算出当年群落的个体总数与题设数据吻合,则该组数据即为当年群落年龄结构的分布(未算入当年运走的数量)运行结果:前兩年运走的个体数量为头,因此前一年的个体总数为=(头),通过调试程序使总数sum达到左右第一次调试结果:.前两年年末即前一年年头所剩下的岁的雌性个体数量决定了前一年年末个体的数量即=头前两年剩下的数量加上前一年新生幼仔的数量=其值为前一年年末的个体数量用程序算得误差为头其误差由于变量是整型变量数字取整数所致。第二次调试结果:在前一年的年末运走头即该群落的个体数量剩下=根据表得到=所以=为该群落今年年尾的个体总数。程序计算得误差为其误差由于变量是整型变量数字取整数所致。对于以上数据是否符合假设,我们还要用一组初步数据來进行对比因此我们设每年运出的个体数量为,个体总数为头,通过调试程序使总数sum达到左右第三次调试结果:该结果为当每年没有个体被运走时数量停留在左右的数据用于与初步数据进行对比。附录(用MATLAB画出模型一轨迹):clearallclcy='y='y='y='x='x='m=yxm=yxm=ym=yt=:plot(t,m,'b'),holdon,plot(t,m,'y*'),holdon,plot(t,m,'g'),holdon,plot(t,m,'m')legend('前一年剩余数量的年龄结构情况','前两年剩余数量的年龄结构情况','没有被运走时的年龄结构情况','预测当前的年龄结构情况(无运走)')title('今年时该动物群落的年龄结构情况')附录(用SAS对模型一进行检验的程序及调试结果):dataAinputxxxxcardsproccorrvarxxxxrun输出结果如下:附录(用MATLAB求解目标最优化问题)clearallclcf=Aeq=beq=lb=zeros(,)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,,,Aeq,beq,lb)输出结果如下:>>Optimizationterminatedsuccessfullyx=e*fval=%返回目标函数值%eexitflag=%表示求得的解是收敛的%output=iterations:cgiterations:algorithm:'lipsol'%求目标最优化的方法%lambda=%所占的空间%ineqlin:xdoubleeqlin:xdoubleupper:xdoublelower:xdouble附录(用MATLAB求解模型三目标最优化问题)clearallclcf=Aeq=beq=lb=zeros(,)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,,,Aeq,beq,lb)输出结果如下:>Optimizationterminatedsuccessfullyx=e*fval=eexitflag=output=iterations:cgiterations:algorithm:'lipsol'附录:(用MATLAB求解模型四目标最优化问题)clearallclcf=A=b=Aeq=beq=lb=zeros(,)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)输出结果如下:>>Optimizationterminatedsuccessfullyx=e*%由此可知当=时模型稳定%fval=eexitflag=output=iterations:cgiterations:algorithm:'lipsol'lambda=ineqlin:eeqlin:xdoubleupper:xdoublelower:xdouble附录(用MATLAB求解模型五目标最优化问题)clearallclcf=Aeq=beq=lb=zeros(,)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,,,A

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