2
4
集合学习提纲
一、学习内容
1.集合概念及
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示法。2.子集。3.交集。4.并集。
二、
知识点
高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载
解析
1.集合
(1)集合概念:和几何中的点、线、面一样,集合是数学中最原始的概念之一,不能用其他基本概念来定义,它们也叫做不定义的概念或原始概念。
对于一个集合,有以下三个特性:
① 确定性:“对于一个给定的集合,集合中的元素都是确定的”,也就是说,对于任何一个作为具体研究对象的元素,都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素,两种情况有且只有一种成立。因此,诸如“高一(1)班个子高的同学”,“比较大的角”等,就不能构成集合,因为“个子高”和“比较大”没有一个确定的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
。
②互异性:对于给定集合中的任意两个元素,它们必定不相同,即同一集合中元素不能重复出现。这个特性在解某些问题时非常重要。
③无序性:由于集合是指一组对象的全体,而不论这些对象的先后顺序,因此在表示集合时,元素排列的先后顺序不影响集合的表示。
(2)集合的表示法。表示集合常用下列两种方法:
①列举法: 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法叫做列举法,当元素个数较多,或集合为无限集,在用列举法表示集合时,可以采用省略号,但应能很容易看出该集合中元素的规律。如:“小于100的正奇数”集合可表示为{1,3,5,7,……,99};“负整数”集合可表示为{-1,-2,-3,-4,…}。
②描述法: 把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法叫做描述法。竖线前面是这个集合的元素的一般形式,竖线后面是这个集合的元素的公共属性。如{x|x+3=3x-1},表示元素x是方程x+3=3x-1的解,即x=2。亦即{x|x+3=3x-1}={x|x=2}={2}。所有整数组成的集合可以写成{整数},而{所有整数}的写法就不正确了。
(3)符号“
”与“
”。表示“属于”的符号“
”和表示“不属于”的符号
。“
”(或“
”)仅表示元素和集合之间的关系,不能表示两个集合之间的关系。由集合中元素的确定性,对于任意的元素a和集合M,在“a∈M”和“a
M”这两种关系中必有且只有一种关系成立。
(4)常用的数集记号。以数为元素的集合叫数集。按约定,在通常情况下常用的数集符号有N——自然数集;Z——整数集;Q——有理数集;R——实数集,还有Z-——负整数集;Q+——正有理数集等。
2.子集
(1)子集的定义:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集。即若x∈A,就必有x∈B,则称A为B的子集。但不能说“集合B中的部分元素组成的集合A叫集合B的子集”,因为这和“空集是任何集合的子集”的规定矛盾,也和“任何一个集合是它本身的子集”的结论矛盾。
如集合A是集合B的子集,我们记作A
B(或B
A),读为“A包含于B”(或“B包含A”)。如果集合A不是集合B的子集,相应地记作A
B。
由子集的定义,A
A,即任何一个集合是它本身的子集。
若集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA),读为“A真包含于B”(或“B真包含A”),如A不是B的真子集,相应地记作AB。
由此规定,空集是任何非空集合的真子集,但不能说“空集是任何集合的真子集”,因为空集不是空集的真子集,只能说“空集是任何集合的子集”,即f
A。
由子集和真子集的定义,很容易证明集合的包含关系有传递性,即:若A
B,B
C,则A
C,若AB,BC,则AC。
(2)空集:不含任何元素的集合叫做空集。用符号“φ”表示,如{x|x2+1=0,x∈R}是空集。但“{φ}”不是空集,它是以集合为元素的集合(这个元素是空集),{0}也不是空集,它有一个元素0。
(3)符号“
”、“
”、“
”、“
”。这几个符号仅适用于两个集合之间的关系,而“
”、“
”是用于元素与集合之间的关系。
(4)集合的相等,若集合A和B,既满足A
B, 又满足B
A, 则称这两个集合相等,记作A=B,读作“A等于B”,因此,要证明A=B只要证明AB,同时BA就可以了。
(5)韦恩图。如两个集合A和B有关系AB,可以用图形象地表示如右图,这个图常称为韦恩图,其中两条封闭曲线内部分别表示集合A和B,韦恩图可以形象地帮助我们思考集合的一些问题。
(6)集合的子集个数。一个有n个元素(nN)的有限集A,它有2n个子集,其中包含空集φ和它本身A。因此,集合A有2n-1个非空子集(不含φ,含A),有2n-1个真子集(不含A,含φ),有2n-2个非空真子集(不含φ,A)。
3.交集
(1)交集的定义,由所有属于集合A且属于B的元素组成的集合,叫做集合A与B的交集,用符号“A∩B”表示,读作“A交B”。实际上A∩B是由所有集合A和集合B的公共元素所组成的集合。用集合的写法,可以表示为A∩B={x|x∈A,且x∈B}。A∩B也可以用韦恩图表示如下。
(2)交集的性质。由交集的定义和集合相等的定义,很容易得到:A∩A=A,A∩
=
,A∩B=B∩A。
对A∩
=
证明如下:假设存在元素x∈(A∩
) ,则由交集定义得x∈
,与空集
的定义矛盾,所以A∩
中不存在任何元素,即A∩
=
。
此外,还容易证明,A∩B=B与B
A等价。
(3)交集与方程组,不等式组,求方程组的解集,即求方程组中每一个方程的解集的交集。求不等式组的解集,即求不等式组中每一个不等式的解集的交集。
4.并集
(1)并集的定义。由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,用符号“A∪B”表示,读作“A并B”。实际上A∪B是由集合A和集合B中所有元素组成的集合,但集合A与B的公共元素在A∪B中只能出现一次,用集合的写法,可以表示为A∪B={x|x∈A, 或x∈B}。
注意“x
A, 或x
B”中“或”的意义包含三种情况:x
A,但x
B; xA,但x
B, x
A, 且x
B。
A∪B可以用韦恩图中的阴影部分表示。
(2)并集的性质,由并集的定义和集合相等的定义,很容易得到:A∪A=A,A∪f=A,A∪B=B∪A。
由交集和并集的定义,也容易得到(A∩B)A(A∪B),(A∩B)B(A∪B)。
三、典型例题
【例1】用另一种表示法写出下列各集合:
(1){3的整数倍};(2){1,6,11,16,…}。
解:(1){x|x=3n,n∈Z};(2){被5除余1的自然数}。
【例2】已知集合A={x|
,x
Z},B={x|6x
Q,x
Q};
(1)判断集合A、B是有限集还是无限集;(2)判断-2,
,10与集合A、B的关系。
解:(1)A={-6,-3,-2,-1,1,2,3,6},B={有理数},所以A是有限集,B是无限集。
(2)-2
A,
,10
A;-2
B,
,10
B。
【例3】已知集合{2,x-1,2x2-5x+5},求实数x应满足的条件。
解:由集合中元素的互异性,
①2≠x-1解得x≠3。
②2≠2x2-5x+5解得x≠1,且x≠
。
③x-1≠2x2-5x+5,2x2-6x+6≠ 0,Δ =36-48<0。
所以x≠3,且x≠1,且
。
【例4】例4.指出下列集合之间的关系:
(1)A={三角形},B={等腰三角形},C={等边三角形};
(2)A={x|x2-x-2=0},B={x|-1≤x≤2},C={x|x2+4=4x} ;
解:(1) C
B
A
(2)A={-1,2},B={x|-1≤x≤2},C={2},所以C
A
B。
【例5】已知集合A={1,2},B={4,k2},且A∩B≠
,求实数k的值。
解:∵A∩B≠
,4
A,∴k2=1或k2=2。
∴k=±1或k=±。
【例6】已知平面上的点集A={(x,y) |y=2x+1}, B={(x,y)|y=2x-1}, 求A∩B和A∪B,并说明它们的几何意义。
解:A∩B={(x,y)|
} 因直线l1:y=2x+1和直线l2:y=2x-1互相平行,l1和l2没有公共点,所以A∩B=
。
A∪B={(x,y)|y=2x+1,或y=2x-1},它的几何意义是两条平行直线。
【例7】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-4x+r =0},且A∩B={1},A∪B={-2,1,3}。实数p、q、r的值。
解:∵A∩B={1},∴1∈B,12-4×1+r=0,r=3, x2-4x+3=0,
∴B={1,3}, 又A∪B={-2,1,3},∴ -2∈A,又1∈A,
∴ p=-(-2+1)=1,q=(-2)×1=-2。
∴ p=1,q=-2,r=3。
_1120048027.unknown
_1120048292.unknown
_1120048328.unknown
_1120048425.unknown
_1120048456.unknown
_1120048466.unknown
_1120048537.unknown
_1251892078.unknown
_1120048481.unknown
_1120048460.unknown
_1120048432.unknown
_1120048390.unknown
_1120048420.unknown
_1120048343.unknown
_1120048351.unknown
_1120048357.unknown
_1120048333.unknown
_1120048311.unknown
_1120048320.unknown
_1120048324.unknown
_1120048315.unknown
_1120048304.unknown
_1120048307.unknown
_1120048299.unknown
_1120048099.unknown
_1120048172.unknown
_1120048219.unknown
_1120048227.unknown
_1120048267.unknown
_1120048224.unknown
_1120048216.unknown
_1120048168.unknown
_1120048049.unknown
_1120048094.unknown
_1120048038.unknown
_1120047862.unknown
_1120047916.unknown
_1120047923.unknown
_1120048022.unknown
_1120047920.unknown
_1120047892.unknown
_1120047911.unknown
_1120047887.unknown
_1120047625.unknown
_1120047670.unknown
_1120047732.unknown
_1120047761.unknown
_1120047800.unknown
_1120047844.unknown
_1120047774.unknown
_1120047742.unknown
_1120047706.unknown
_1120047727.unknown
_1120047694.unknown
_1120047656.unknown
_1120047661.unknown
_1120047650.unknown
_1120047565.unknown
_1120047577.unknown
_1120047582.unknown
_1120047570.unknown
_1120047515.unknown
_1120047543.unknown
_1120047497.unknown