求数列通项公式的方法归纳与训练

1求数列通项公式的方法类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.)(1nfaann)(1nfaann例1已知数列满足，求数列的通项公式。{}na11211nnaana，{}na变式：1.已知数列满足，求数列的通项公式.{}na112313nnnaaa，{}na2.已知数列满足，，求.na211annaann211na类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。nnanfa)(1)(1nfaann例2:已知数列满足，，求.na321annanna11na例3:已知，，求.31annanna23131)1(nna变式:1已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项1321)1(32nnanaaaa1___na12nn2.已知数列满足，求数列的通项公式.{}na112(1)53nnnanaa，{}na类型3（其中p，q均为常数，）.qpaann1)0)1((ppq2解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化)(1taptannpqt1为等比数列求解。例4:已知数列中，，，求.na11a121nnaana变式:在数列中，若，则该数列的通项__________na111,23(1)nnaaanna类型4（其中p，q均为常数，）（或,其中p，q,r均为常数）.nnnqpaa1)0)1)(1((qppq1nnnaparq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：1nqqqaqpqannnn111nbnnnqab再待定系数法解决.qbqpbnn11例5:已知数列满足，，求数列的通项公式.{}na1232nnnaa12a{}na变式:已知数列中，,，求.na651a11)21(31nnnaana类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。nnnqapaa12解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为,其中s，t满足)(112nnnnsaatsaaqstpts例6：已知数列中,，求数列的通项公式.na),0(025312Nnnaaannn2,121aana例7:已知数列中，,,，求.na11a22annnaaa313212na3变式:1.已知数列满足na*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；1nnaana2.已知数列中，是其前项和，并且，nanSn1142(1,2,),1nnSana⑴设数列，求证：数列是等比数列；),2,1(21naabnnnnb⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.),2,1(,2nacnnnncnan类型6递推公式为与的关系式。(或)nSna()nnSfa解法：这种类型一般利用与消去)2()1(11nSSnSannn)()(11nnnnnafafSSanS或与消去进行求解.)2(n)(1nnnSSfS)2(nna例8：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.na2214nnnaS1nanana变式:1.已知数列中，,求通项.nannnSaa222,0na2.已知数列的前n项和为,求通项.nannSn322na43.已知数列的前n项和Sn满足,求通项公式.na1)1(log2nSnna4.已知数列的前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.nanana5.已知数列中,,求通项.na)....(212111nnaaanaa，na6.已知数列的前n项和满足,求通项.na21),2(0211anSSannnna7.已知,求通项.2132212...22naaaannna8.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列{an}的通项an类型7banpaann1)001(、a、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知)()1(1yxnapynxann递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。yx,yxnanp例9:设数列：，求.na)2(,123,411nnaaannna例10：已知数列满足，求数列的通项公式。{}na112356nnnaaa，na例11：已知数列满足，求数列的通项公式。{}na1135241nnnaaa，{}na5例12：已知数列满足，求数列的通项公式。{}na21123451nnaanna，{}na类型8rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。qpaann1例13：已知数列｛｝中，，求数列na211,3nnaaa)0(a.的通项公式na类型9解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.)()()(1nhanganfannnqpaann1例14：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式.1,13111aaaannn变式:1.若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式.11113,2()nnanaa2.已知数列{}满足时，，求通项公式.na2,11nannnnaaaa1123.若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．n11n22nnaan类型10周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期例15：若数列满足，若，则的值为.na)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa761a20a变式:已知数列满足，则=（）}{na)(133,0*11Nnaaaannn20a6A．0B．C．D．3323求数列通项公式的方法类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.)(1nfaann)(1nfaann例1已知数列满足，求数列的通项公式。{}na11211nnaana，{}na解：由得则121nnaan121nnaan所以数列的通项公式为.112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn{}na2nan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出121nnaan121nnaan，即得数列的通项公式。11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa{}na变式：1.已知数列满足，求数列的通项公式.{}na112313nnnaaa，{}na解：由得1231nnnaa1231nnnaa则所以11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，1231nnnaa1231nnnaa进而求出，即得数列的通项公式.11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa{}na72.已知数列满足，，求.na211annaann211na类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解.nnanfa)(1)(1nfaann例2:已知数列满足，，求。na321annanna11na例3:已知，，求。31annanna23131)1(nna变式:（2004，全国I,理15．）1.已知数列{an}，满足a1=1，(n≥1321)1(32nnanaaaa2)，则{an}的通项1___na12nn解：因为①123123(1)(2)nnaaaanan所以②1123123(1)nnnaaaanana用②式－①式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故所以③11(2)nnanna13222122![(1)43].2nnnnnaaanaannaaaaa由，取n=2，则=1，代入③得.123123(1)(2)nnaaaanan21aa!13452nnan所以，的通项公式为{}na!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出1(1)(2)nnanan11(2)nnanna，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式.132122nnnnaaaaaaa2nna时，{}na2.已知数列满足，求数列的通项公式。{}na112(1)53nnnanaa，{}na8解：因为，所以，则，故112(1)53nnnanaa，0na12(1)5nnnana1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列的通项公式为{}na(1)12325!.nnnnan评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出12(1)5nnnana12(1)5nnnana，即得数列的通项公式.13211221nnnnaaaaaaaaa{}na类型3（其中p，q均为常数，）.解法（待定系数法）：把原递推公式qpaann1)0)1((ppq转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。)(1taptannpqt1例4:已知数列中，，，求.na11a121nnaana变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_____na111,23(1)nnaaanna类型4（其中p,q均为常数）（或,其中p,q,r均为常数）nnnqpaa1)0)1)(1((qppq1nnnaparq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中1nqqqaqpqannnn111nb），得：再待定系数法解决。nnnqabqbqpbnn11例5：已知数列满足，，求数列的通项公式。{}na1232nnnaa12a{}na解：两边除以，得，则，1232nnnaa12n113222nnnnaa113222nnnnaa故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得{}2nna1222a11239，所以数列的通项公式为。31(1)22nnan{}na31()222nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等1232nnnaa113222nnnnaa{}2nna差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式.31(1)22nnan{}na变式:已知数列中，,，求.na651a11)21(31nnnaana类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。nnnqapaa12解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足)(112nnnnsaatsaaqstpts例6：已知数列中，，求数列的通项公式.na),0(025312Nnnaaannn2,121aana例7:已知数列中，,,，求.na11a22annnaaa313212na变式:1.已知数列满足na*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；1nnaana2.已知数列中，是其前项和，并且，nanSn1142(1,2,),1nnSana⑴设数列，求证：数列是等比数列；),2,1(21naabnnnnb⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.),2,1(,2nacnnnncnan类型6递推公式为与的关系式.(或)nSna()nnSfa解法：这种类型一般利用与消去)2()1(11nSSnSannn)()(11nnnnnafafSSanS10或与消去进行求解.)2(n)(1nnnSSfS)2(nna例8：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.na2214nnnaS1nanana（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两nnnqpaa1)0)1)(1((qppq边同乘以得：12n22211nnnnaa由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以1214121111aaSanna2nnann2)1(22212nnna变式:1.已知数列中，,求通项.nannnSaa222,0na2.已知数列的前n项和为,求通项.nannSn322na3.已知数列的前n项和Sn满足,求通项公式.na1)1(log2nSnna4.已知数列的前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.nanana5.已知数列中,,求通项.na)....(212111nnaaanaa，na6.已知数列的前n项和满足,求通项.na21),2(0211anSSannnna7.已知,求通项.2132212...22naaaannna118.（2006，陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an类型7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令banpaann1)001(、a、p，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.)()1(1yxnapynxannyx,yxnanp例9:设数列：，求.na)2(,123,411nnaaannna例10：已知数列满足，求数列的通项公式。{}na112356nnnaaa，na解：设④1152(5)nnnnaxax将代入④式，得，等式两边消去，得1235nnnaa12355225nnnnnaxax2na，两边除以，得代入④式得⑤135525nnnxx5n352,1,xxx则1152(5)nnnnaa由及⑤式得，则，则数列是以为首项，1156510a50nna11525nnnnaa{5}nna1151a以2为公比的等比数列，则，故。152nnna125nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列1235nnnaa1152(5)nnnnaa{5}nna是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.{5}nna{}na例11：已知数列满足，求数列的通项公式。{}na1135241nnnaaa，{}na解：设⑥1123(2)nnnnaxyaxy将代入⑥式，得13524nnnaa1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得。令，则，代入⑥式得(52)24323nnxyxy52343xxyy52xy12⑦由及⑦式，115223(522)nnnnaa11522112130a得，则，5220nna115223522nnnnaa故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此{522}nna1152211213a，则.1522133nnna1133522nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数13524nnnaa115223(522)nnnnaa列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式.{522}nna{522}nna{}na例12：已知数列满足，求数列的通项公式。{}na21123451nnaanna，{}na解：设⑧221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz将代入⑧式，得212345nnaann，则2222345(1)(1)2()nnannxnynzaxnynz222(3)(24)(5)2222nnaxnxynxyzaxnynz等式两边消去，得，2na22(3)(24)(5)222xnxynxyzxnynz解方程组，则，代入⑧式，得3224252xxxyyxyzz31018xyz⑨2213(1)10(1)182(31018)nnannann由及⑨式，得213110118131320a2310180nann则，故数列为以2123(1)10(1)18231018nnannann2{31018}nann21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。2131018322nnann42231018nnann13评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为212345nnaann，从而可知数列是等比数列，进而求出2213(1)10(1)182(31018)nnannann2{31018}nann数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。2{31018}nann{}na类型8rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。qpaann1例13：已知数列｛｝中，，求数列na211,3nnaaa)0(a.的通项公式na类型9解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.)()()(1nhanganfannnqpaann1例14：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式.1,13111aaaannn变式:1.若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式.11113,2()nnanaa2.已知数列{}满足时，，求通项公式.na2,11nannnnaaaa1123.若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．n11n22nnaan类型10周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.例15：若数列满足，若，则的值为.na)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa761a20a变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（）}{na)(133,0*11Nnaaaannn20aA．0B．C．D．332314