第一章 集合与函数概念1.1.1 集合的含义与
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示1.1 集 合集合的概念和集合的三要素元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c表示。集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写拉丁字母A,B,C等表示[例1] 判断下列各组对象能否组成一个集合：(1)数学必修1课本上的所有难题；(2)北京大学2015级的新生；(3)平面直角坐标系中，第一象限内的一些点；(4)篮球比姚明打得好的人；(5)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；(6)本班所有高个子的同学．[解析] (2)(5)中的对象是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；(1)中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；(3)中“平面直角坐标系中，第一象限内的一些点”，元素不明确，故不能组成一个集合；(4)中篮球打得好与否没有一个明确的标准；(6)中“高个子的同学”对象不确定，因而不能组成集合．判断一组对象能否组成集合的方法及其关注点：(1)方法判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否具有确定性、互异性、无序性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．(2)关注点利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性、无序性．1．下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数 B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数解析：选项C中接近于0的数不具有确定性，不可以组成集合．
答案
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：C[答案] B元素与集合的关系判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( )A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M答案：B常用数集及表示符号[例3] 用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；用列举法表示集合(1)花括号“{}”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．3．用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有质数组成的集合．解析：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．[例4] 选择适当的方法表示下列集合：(1)二次函数y＝－3x2＋2x＋4的函数值组成的集合．(2)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．[分析] 寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．[解析] (1)二次函数y＝－3x2＋2x＋4的函数值有无数个，用描述法表示为{y|y＝－3x2＋2x＋4}．(2)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．用描述法表示集合利用描述法表示集合应该注意以下五点：(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．4．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．[典例] 集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．[反思]当二次项系数中出现未知数时，一定要注意对二次项系数是否等于零分类讨论．[提升训练]若－3∈{a－3,2a－1，a2－4}，求实数a的值．[解析] 因为－3∈{a－3,2a－1，a2－4}；所以－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4.当－3＝a－3时，a＝0，此时集合为：{－3，－1，－4}；当－3＝2a－1时，a＝－1，此集合中有重复元素－3，所以a＝－1舍去；当－3＝a2－4时，a＝1或－1(舍去)，此时集合为：{－2,1，－3}．综上：a＝0或1.
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