第PAGE\*MERGEFORMAT#页*共29页第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.连通空间本节重点：掌握连通与不连通的定义；掌握如何
证明
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一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间（0,1）和［1,2）,尽管它们互不相交，但它们的并（0,1）U［1,2）=（0,2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0,1）和（1,2）,它们的并（0,1）U（1,2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0,1）有一个凝聚点1在［1,2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形.定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果门4=0则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于幺门3=0和3门1=0同时成立，也就是说，a与b无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0,1）和（1,2）是隔离的，而子集（0,1）和［1,2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空问中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1.2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=AJB,则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.定理4.1.1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：X是一个不连通空间；X中存在着两个非空的闭子集A和B使得AHB=0和AUB=X成立；X中存在着两个非空的开子集A和B使得AHB=0和AUB=X成立；X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明条件（1）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得AUB=X,显然AHB=0,并且这时我们有B=Be\X=Br\（AuB）=（BnZ）u（5=B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求.条件（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以AB为闭集，则由于这时有A=B'和B=l'因此AB也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求.条件（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由人=9和8=/易见人和8都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真（:ABw0,AUB=X；A、BwX）子集，所以条件（4）成立.条件（4）蕴涵（1）.设X中有一个既开又闭的非空真子集A.令B=4.则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得AUB=X易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（1）成立.例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数rCR-Q,集合（-00,「）nQ=（—巴r]AQ是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.证明我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1,在R中有两个非空闭集A和B使得AHB=0和AUB=R成立.任意选取aCA和bCB,不失一般性可设a
表
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示A在Y,X中的闭包.因为(Cy⑷nB)unJ)=⑷gK)cQu《q(B)nY)nA)=(C式㈤c(YnB))u("(B)门(Fc翔=(%⑷-8)5%(5)n而因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使彳#YUAUB则或者YCA,或者YCB.证明如果A和B是X中的隔离子集使得YUAUB则((j4ny)n5n7)o((5ny)ru4ny)二豆)耳)=0这说明AAY和BAY也是隔离子集.然而(AHY)U(BAY)=(AUB)AY=Y因此根据定理4.1.3,集合AAY和BAY中必有一个是空集.如果AHY=0,据上式立即可见YCB,如果BnY=0,同理可见YUA.定理4.1.5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZCX满足条件ZcZcF,则Z也是X的一个连通子集.证明假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理4.1.3,在X中有非空隔离子集A和B使得Z=AUB,因此YCAUB由于Y是连通的，根据定理4.1.4,或者Y_A.「二二£'二：二一'1二：,'或者YUB,同理，幺=0.这两种情形都与假设矛盾.定理4.1.6设甘3『门是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果y产。,则%%是x的一个连通子集.证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得0,仃乙，=人。B.任意选取xC%4,不失一般性，设xCA.对于每一个T€r,由于4连通，根据定理4.1.4,或者4或者4匚8;由于xC4AA,所以4仁乂二%同匚2八3=0.根据定理4.1.3，这就证明了%%是连通的.定理4.1.7设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x,yCY存在X中的一个连通子集处使得x,yC期UY,则Y是X中的一个连通子集.证明如果丫=0,显然Y是连通的.下设、半口,任意选取a€Y,容易验证y=0火¥%并且ae小包%.应用定理4.1.6,可见Y是连通的.我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2.2）.所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质.事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.以下定理4.1.8指出，连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一个在连续映射下保持不变的性质.因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.定理4.1.8设f:X-Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.证明如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得f(X)=AUB.于是11(A)和r1(B)是X的非空子集，并且(广］⑷cuCZ九3)C7^)CC/-1(i4)n广炳)"⑶廿©所以..(A)和尸(B)是X的非空隔离子集.止匕外，/1(A)UZ-1(B)=/"(AUB)=/-1(f(X))=X这说明X不连通.与定理假设矛盾.拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间莅&，”&都具有性质p,蕴涵着积空间元也具有性质p.例如，容易直接证明，如果拓扑空间苞，耳「4都是离散空间（平庸空问），则积空间X”…XX・•:也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3.2.9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.定理4.1.9见是n个连通空间.则积空间“1义*2,…'Xu也是连通空间.证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明.首先我们指出：如果工二（工1用），丁二修1仍）£“1>中使得任何xC"有r（x）=-x,称为对径映射.对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面K?到自身的反射l:在单位圆周上的限制.其中，映射l定义为对于任何彳=（再㈤J,有l（x）=-x,容易验证（请读者自行验证）是一个连续映射.定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理]设f:S，-R是一个连续映射.则在中存在一对对径点x和-x,使得f（x）=f（-x）.证明（略）我们已经知道n维欧氏空间炉是连通空间，下面进一步指出：定理4.2.6n>1维欧氏空间炉的子集髭-{0}是一个连通子集，其中0=（0,0,…，0）d证明我们只证明n=2的情形.根据定理4.1.9,火2中的子集（-oo,0）XR和（0,oo）xr都是连通的.由于（Qb）x[u[Qb）xR-{Q}匚[Q严）xR叫xR所以根据定理4.1.5,Rn中的子集A=[0,以）XR-{0}是连通的；同理，子集B=（-oo,0]xr-{0}是连通的.由于AHBw0以及AUB=用-{0},因此根据定理4.1.6可见，炉-{0}是连通的.一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4题）定理4.2.7欧氏平面炉和实数空间R不同胚.证明假设曾与R同胚，并且设f:必一R是一个同胚.因此对于连续映射g-—{Of我们有一⑼户k伙0)).但根据定理4.2.6,^-{0}是连通的，而根据定理4.2.1,R-{f(0)}是不连通的.这与定理4.1.8矛盾.定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.定理4.2.4,定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：止理4.2.8[Brouwer不动点止理]设f「是一一个连续映射，其中。”是n维球体.则存在zCD”使得f(z)=z.定理4.2.9[Borsuk―Ulam定理]设f:S'T腔是-个连续映射，其中n》m则存在xe£*使得f(x)=f(-x).定理4.2.10如果nwm则欧氏空间*和R属不同胚.这些定理的证明(除去我们已经证明过的情形)一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍.作业：P1214.连通分支本节重点：掌握连通分支的定义（即连通“类”的分法）;掌握连通分支的性质（定理4.3.1）.从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）.定义4.3.1设X是一个拓扑空间，x,yCX.如果X中有一个连通子集同时包含x和y,我们则称点x和y是连通的.（注意：是点连通）根据定义可见，如果x,y,z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x,yCA和y,zCB.从而由于yCAAB可见AUB连通，并且x,zCAUB.因止匕x和z连通.）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.定义4.3.2设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支.拓扑空间X*0的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身.止匕外，x,yCX属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y.定理4.3.1设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支.则(1)如果Y是X的一个连通子集，并且YAcw0,=>YuC；C是一一个连通子集；C是一一个闭集.本定理中的条件(1)和(2)说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集.证明(1)任意选取x€YAC.对于任何yCY由于x和y连通，故yCC.这证明Y_C(2)对于任何x,yCC,根据定义可见，存在X的一个连通子集期使得x,yC%.显然%AC*0,故根据(1),4匚C应用定理4.1.7可知，C是连通的.(3)因为C连通，根据定理4.1,5,0连通.显然，=.所以根据(1),C匚==>0己.从而c是一个闭集.但是，一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集Q(作为实数空间R的子空间).设x,yCQxwy.不失一般性，设x
方法
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.特别注意反证法.(7)掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的.期中习题主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法.一、研究的思路与成果.预备知识(1)集合的三种运算的定义与证明方法：并、交、差：AURAHRA-B(2)在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？f(AUB)=f(A)Uf(B)f(AnB)cf(A)nf(B)当f为单射时，取等号f(A-B)3f(A)-f(B)当f为单射时，取等号(3)集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？一句话：保持运算.即小U的⑻广】所为二尸⑷⑶尸/2)=尸")-尸⑶.(4)㈤)~f满时取等号，厂1厂或二々单时取等号.(5)等价关系、等价类的定义，作用等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集.(6)有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同..拓扑空间(1)度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义；(2)拓扑空间的定义.拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间(是所有数学空间的交集)它只具有开集.(3)模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质.定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集.定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题.(4)模仿高等代数，给出了基的概念.(5)定义了序列及极限点.思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质.同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻.因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R中是否具有这种性质?与R中的相应性质有何区别？3.从拓扑空间构造新的拓扑空间(1)子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构；(2)积空间及其基的概念；(3)商空间的定义.4.关于连通性(1)不连通与连通的概念.这概念只是关于子集本身的性质，与母空间、子空间无关；(2)如何判断连通与不连通；R中连通子集的性质；(4)局部连通、道路连通的定义及三种连通之间的蕴涵关系；(5)将一般空间中的点按连通、道路连通分类，即连通分支、道路连通分支.出中子集的的连通性.二、常见证明方法(1)证明集合包含寸工eA=>xeBo乂匚BoYxgSnxg上相等4二go幺uBaBu乂；(2)证明连续映射：反射开集、闭集、邻域；(3)证明开集：定理2.3.1.在连续映射下，是否是开集的原象；(4)证明基：定义及定理2.6.2;(5)证明凝聚点;XEd⑷O叩⑻W0证明不是凝聚点：1-1-1」-二.•••,」一“二二」一■」证明闭包：工。AOVU£4月cA.0；(6)证明序列收敛于x,用定义；证明序列收敛，用反证法；(7)证明连通，常用反证法，导出某个隔离子集是空集；(8)常在一个集合关系式的两边同取f、1I闭包等；(9)常用反证法.期中模拟试卷、判断题.集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑.()口对错.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（）.实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（）口对错.4是X的两个拓扑，则工口方是一个拓扑.（）口对错.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点.6.从（X,的包同映射必是连续的..拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集.（）口对错.（X,T）为平庸空间，YCX,则子空间Y的拓扑为{Y,0}.（）□对错二、填空题1乂=2"={4，4,…,其中4={n，n+L口+2,…），则包含3的所有开集为包含3的所有闭集为包含3的所有邻域为设A={1,2,3,4,5}则A的导集为A的闭包为2.设X为度量空间，xCX,则d({x})=三、证明题(参考答案).设X有拓扑工三门储17也是拓扑.证：vX0ef2,…月；£0e⑵也SecL吊，=1…准=AriBeT^j=L,2=AnBe⑶Vfu大力,=>于=看/=1..==>〜R/i=L界,n心止d所以门；』工也是拓扑..度量空间中收敛序列的极限是唯一的.证:设依｝必一xJ'J江工+一y,则B(x,p(x,y)/3)AB(y,p(x,y)/3)=0.对于B(x,p(x,y)/3),存在M>0,当i>M时有七BB(x,p(x,y)/3)对于B(y,p(x,y)/3),存在距>0,当i>必时有看BB(y,p(x,y)/3)取N=max也,电｝,则当i>N时有％匕B(x,p(x,y)/3)nB(y,p(x,y)/3)与B(x,p(x,y)/3)nB(y,p(x,y)/3)=0.矛盾.设X是一个拓扑空间，B是一个基,x€X,则Bx=｛BC3|xeB｝是点x处的一个邻域基.见P.82定理2.6.7.在欧氏平面史中令Y={(0,y)|y€R}U{(x,0)|x€R},证明：Y与实数空问R不同胚.(提示：用反证法)证：设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支，而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的，得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚..设f:XTY的连续映射，X为道路连通空间，则f(X)也为道路连通空间.见P.129定理4.5.2
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