南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案

PAGE高三数学 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第PAGE7页共NUMPAGES15页南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx＋eq\R(,1－x)的定义域为▲．2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，aeq\o(\s\up1(),∈)R)．若z1z2为实数，则a的值为▲．1502002503003504004500.005a0.0010.0040.003O成绩/分eq\F(频率,组距)(第3题图)3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有▲．k←1开始输出k结束S＞6S←1YNS←S＋(k－1)2k←k＋1(第6题图)4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲．5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则eq\F(a1,d)的值为▲．6．执行如图所示的 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图，则输出的k的值为▲．xxyOeq\F(11π,12)eq\F(π,6)·2－2(第7题图)7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)QUOTE的图象如下图所示，则f(eq\F(π,3))的值为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．9． 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．10．已知|eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))|＝1，|eq\o(OB,\d\fo1()\s\up7(→))|＝2，∠AOB＝eq\F(2π,3)，eq\o(OC,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\F(1,2)eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))＋eq\F(1,4)eq\o(OB,\d\fo1()\s\up7(→))，则eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))与eq\o(OC,\d\fo1()\s\up7(→))的夹角大小为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，PBCDEA(第15题图)BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转eq\f(π,4)，交单位圆于点B(x2，y2)．ABDOCxy(第16题图)（1）若x1＝eq\f(3,5)，求x2；（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝eq\F(4,3)S2，求tanα的值．17．(本小题满分14分)APMNBC(第17题图)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程；（3）若eq\o(F1P,\d\fo1()\s\up7(→))＝λeq\o(QF1,\d\fo1()\s\up7(→))，且λ∈[eq\f(1,2)，2]，求eq\o(OP,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(OQ,\d\fo1()\s\up7(→))的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝eq\F(ax＋b,x)ex，a，beq\o(\s\up1(),∈)R，且a＞0．（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．①当a＝1时，对任意xeq\o(\s\up1(),∈)(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；②设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求eq\F(b,a)的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有eq\F(an＋1,an)＜eq\F(a2,a1)．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题2014.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲AEBCFD第21题A图如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(1,a,－1,b))的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(2,1))．（1）求矩阵A；（2）若AEQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(x,y))＝EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(a,b))，求x，y的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线＝2cosθ关于直线θ＝eq\F(π,4)(eq\o(\s\up1(),∈)R)对称的曲线的极坐标方程．D．选修4—5：不等式选讲已知x，yeq\o(\s\up1(),∈)R，且|x＋y|≤eq\F(1,6)，|x－y|≤eq\F(1,4)，求证：|x＋5y|≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：=1\*GB3①任意n∈N*，f(n)eq\o(\s\up1(),∈)Z；=2\*GB3②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 比照评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1]2．43．3004．eq\F(5,9)5．26．47．18．eq\r(5)9．eq\F(1,2)10．60°11．1或eq\F(7,23)12．2eq\R(,2)－213．(eq\F(5,3)，eq\F(7,3))14．[－1，1]二、解答题：15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分因为APeq\o(\s\up0(/),eq\o(\s\up1(),))平面BDE，OEeq\o(\s\up1(),)平面BDE，所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．…………………………………………8分因为APeq\o(\s\up1(),)平面PAB，所以BC⊥PA．因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PBeq\o(\s\up1(),)平面PBC，所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分因为BEeq\o(\s\up1(),)平面PBC，所以PA⊥BE．因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．因为PA∩PC＝P，PA，PCeq\o(\s\up1(),)平面PAC，所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分16．解：（1）因为x1＝eq\F(3,5)，y1＞0，所以y1＝eq\R(,1－xeq\o(\s\up5(2),1))＝eq\F(4,5)．所以sinα＝eq\F(4,5)，cosα＝eq\F(3,5)．…………………………………………2分所以x2＝cos(α＋eq\F(π,4))＝cosαcoseq\F(π,4)－sinαsineq\F(π,4)＝－eq\F(eq\R(,2),10)．…………………………………………6分（2）S1＝eq\F(1,2)sinαcosα＝－eq\F(1,4)sin2α．因为αeq\o(\s\up1(),∈)(eq\F(π,4)，eq\F(π,2))，所以α＋eq\F(π,4)eq\o(\s\up1(),∈)(eq\F(π,2)，eq\F(3π,4))．所以S2＝－eq\F(1,2)sin(α＋eq\F(π,4))cos(α＋eq\F(π,4))＝－eq\F(1,4)sin(2α＋eq\F(π,2))＝－eq\F(1,4)cos2α．…………………………………………8分因为S1＝eq\F(4,3)S2，所以sin2α＝－eq\F(4,3)cos2α，即tan2α＝－eq\F(4,3)．…………………………………………10分所以eq\F(2tanα,1－tan2α)＝－eq\F(4,3)，解得tanα＝2或tanα＝－eq\F(1,2)．因为αeq\o(\s\up1(),∈)(eq\F(π,4)，eq\F(π,2))，所以tanα＝2．…………………………………………14分17．解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，EQ\F(MN,sin60°)＝EQ\F(AM,sin(120°－θ))．因为MN＝2，所以AM＝EQ\F(4\r(3),3)sin(120°－θ)．………………………………………2分在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．…………………………………………6分AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×EQ\F(4\r(3),3)sin(120°－θ)cos(60°＋θ)………………………………8分＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)－EQ\F(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝eq\f(8,3)[1－cos(2θ＋120°)]－EQ\F(8\r(3),3)sin(2θ＋120°)＋4＝－eq\f(8,3)[eq\r(3)sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋eq\f(20,3)＝eq\f(20,3)－eq\f(16,3)sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．…………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2EQ\r(,3)．答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分因为EQ\F(MN,sin60°)＝EQ\F(AN,sinα)，即EQ\F(2,sin60°)＝EQ\F(y,sinα)，所以sinα＝EQ\F(\r(3),4)y，cosα＝EQ\F(x2＋4－y2,2×2×x)＝EQ\F(x2＋(x2－xy),4x)＝EQ\F(2x－y,4)．…………………………………………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝EQ\F(1,2)cosα－EQ\F(\r(3),2)sinα＝EQ\F(1,2)·EQ\F(2x－y,4)－EQ\F(\r(3),2)·EQ\F(\r(3),4)y＝EQ\F(x－2y,4)．……………………………8分在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，即AP2＝x2＋4－2×2×x×EQ\F(x－2y,4)＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．所以AP2≤12，即AP≤2EQ\r(,3)．当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2EQ\r(,3)．答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18．（1）解：由题意得EQ\b\lc\{(\a\al(2c＝2，,EQ\F(a2,c)＝2，))解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．所以椭圆的方程为EQ\F(x2,2)＋y2＝1．…………………………………………2分（2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0．由EQ\b\lc\{(\a\al(x＋y＋1＝0，,EQ\F(x2,2)＋y2＝1，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(x＝0，,y＝1，))或EQ\b\lc\{(\a\al(x＝－EQ\F(4,3)，,y＝－EQ\F(1,3)，))所以点Q的坐标为(－EQ\F(4,3)，－EQ\F(1,3))．……………………4分解法一：因为kPFeq\o(\s\do4(1))·kPFeq\o(\s\do4(2))＝－1，所以△PQF2为直角三角形．……………………6分因为QF2的中点为(－eq\f(1,6)，－eq\f(1,6))，QF2＝eq\f(5eq\r(2),3)，所以圆的方程为(x＋eq\f(1,6))2＋(y＋eq\f(1,6))2＝eq\f(25,18)．……………………8分解法二：设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则EQ\b\lc\{(\a\al(1＋E＋F＝0，,1＋D＋F＝0，,EQ\F(17,9)－EQ\F(4,3)D－EQ\F(1,3)E＋F＝0，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(D＝EQ\F(1,3)，,E＝EQ\F(1,3)，,F＝－EQ\F(4,3)．))所以圆的方程为x2＋y2＋EQ\F(1,3)x＋EQ\F(1,3)y－EQ\F(4,3)＝0．…………………………………………8分（3）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则eq\o(F1P,\s\up7(→))＝(x1＋1，y1)，eq\o(QF1,\s\up7(→))＝(－1－x2，－y2)．因为eq\o(F1P,\s\up7(→))＝λeq\o(QF1,\s\up7(→))，所以EQ\b\lc\{(\a\al(x1＋1＝λ(－1－x2)，,y1＝－λy2，))即EQ\b\lc\{(\a\al(x1＝－1－λ－λx2，,y1＝－λy2，))所以EQ\b\lc\{(\a\al(EQ\F((－1－λ－λx2)2,2)＋λ2yEQ\o\al(\s\up4(2),\s\do3(2))＝1，,EQ\F(xEQ\o\al(\s\up4(2),\s\do3(2)),2)＋yEQ\o\al(\s\up4(2),\s\do3(2))＝1，))解得x2＝EQ\F(1－3λ,2λ)．…………………………………………12分所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λyEQ\o\al(\s\up4(2),\s\do3(2))＝－EQ\F(λ,2)x22－(1＋λ)x2－λ＝－EQ\F(λ,2)(EQ\F(1－3λ,2λ))2－(1＋λ)·EQ\F(1－3λ,2λ)－λ＝EQ\F(7,4)－EQ\F(5,8)(λ＋EQ\F(1,λ))．…………………………………………14分因为λ∈[eq\f(1,2)，2]，所以λ＋EQ\F(1,λ)≥2EQ\r(,λ·EQ\F(1,λ))＝2，当且仅当λ＝EQ\F(1,λ)，即λ＝1时，取等号．所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))≤EQ\F(1,2)，即eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))最大值为EQ\F(1,2)．…………………………………………16分19．解：（1）当a＝2，b＝1时，f(x)＝(2＋eq\F(1,x))ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f′(x)＝eq\F((x＋1)(2x－1),x2)ex．…………………………………………2分令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝eq\F(1,2)，列表x(－∞，－1)－1(－1，0)(0，eq\F(1,2))eq\F(1,2)(eq\F(1,2)，＋∞)f′(x)－－f(x)↗极大值↘↘极小值↗由表知f(x)的极大值是f(－1)＝e－1，f(x)的极小值是f(eq\F(1,2))＝4eq\R(,e)．……………………………………4分（2）①因为g(x)＝(ax－a)ex－f(x)＝(ax－eq\F(b,x)－2a)ex，当a＝1时，g(x)＝(x－eq\F(b,x)－2)ex．因为g(x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x－eq\F(x,ex)在x∈（0，＋∞）上恒成立．…………………………………………8分记h(x)＝x2－2x－eq\F(x,ex)（x＞0），则h′(x)＝eq\F((x－1)(2ex＋1),ex)．当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．所以b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分②因为g(x)＝(ax－eq\F(b,x)－2a)ex，所以g′(x)＝(eq\F(b,x2)＋ax－eq\F(b,x)－a)ex．由g(x)＋g′(x)＝0，得(ax－eq\F(b,x)－2a)ex＋(eq\F(b,x2)＋ax－eq\F(b,x)－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分因为a＞0，所以eq\F(b,a)＝eq\F(2x3－3x2,2x－1)．设u(x)＝eq\F(2x3－3x2,2x－1)（x＞1），则u′(x)＝eq\F(8x[(x－eq\F(3,4))2＋eq\F(3,16)],(2x－1)2)．因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以eq\F(b,a)＞－1，即eq\F(b,a)的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分20．解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝eq\F(aeq\o(\s\up5(2),3),a4)＝eq\F((3－2d)2,3－d)．…………………………………………3分因为a2＝1，所以eq\F((3－2d)2,3－d)＝1，解得d＝2，或d＝eq\F(3,4)．因为an＞0，所以d＝eq\F(3,4)．因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝eq\F(1,2)．…………………………………5分（2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①aeq\o(\s\up5(2),2n＋1)＝a2na2n＋2．②所以aeq\o(\s\up5(2),2n－1)＝a2n－2a2n，n≥2．③所以eq\R(,a2n－2a2n)＋eq\R(,a2na2n＋2)＝2a2n．因为an＞0，所以eq\R(,a2n－2)＋eq\R(,a2n＋2)＝2eq\R(,a2n)．…………………………………………7分即数列{eq\R(,a2n)}是等差数列．所以eq\R(,a2n)＝eq\R(,a2)＋(n－1)(eq\R(,a4)－eq\R(,a2))．由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，可得a4＝eq\F((2a2－a1)2,a2)．所以eq\R(,a2n)＝eq\R(,a2)＋(n－1)(eq\R(,a4)－eq\R(,a2))＝eq\F((a2－a1)n＋a1,eq\R(,a2))．所以a2n＝eq\F([(a2－a1)n＋a1]2,a2)．所以a2n＋2＝eq\F([(a2－a1)(n＋1)＋a1]2,a2)．…………………………………10分从而a2n＋1＝eq\R(,a2na2n＋2)＝eq\F([(a2－a1)n＋a1][(a2－a1)(n＋1)＋a1],a2)．所以a2n－1＝eq\F([(a2－a1)(n－1)＋a1][(a2－a1)n＋a1],a2)．①当n＝2m，meq\o(\s\up1(),∈)N*时，eq\F(an＋1,an)－eq\F(a2,a1)＝eq\F(eq\F([(a2－a1)m＋a1][(a2－a1)(m＋1)＋a1],a2),eq\F([(a2－a1)m＋a1]2,a2))－eq\F(a2,a1)＝eq\F((a2－a1)(m＋1)＋a1,(a2－a1)m＋a1)－eq\F(a2,a1)＝－eq\F(m(a1－a2)2,a1[(a2－a1)m＋a1])＜0．…………………………………………14分②当n＝2m－1，meq\o(\s\up1(),∈)N*，m≥2时，eq\F(an＋1,an)－eq\F(a2,a1)＝eq\F(eq\F([(a2－a1)m＋a1]2,a2),eq\F([(a2－a1)(m－1)＋a1][(a2－a1)m＋a1],a2))－eq\F(a2,a1)＝eq\F((a2－a1)m＋a1,(a2－a1)(m－1)＋a1)－eq\F(a2,a1)＝－eq\F((m－1)(a1－a2)2,a1[(a2－a1)(m－1)＋a1])＜0．综上，对一切n∈N*，n≥2，有eq\F(an＋1,an)＜eq\F(a2,a1)．…………………………………………16分证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．因为EQ\F(an＋2,an＋1)－EQ\F(an＋1,an)＝EQ\F(an＋2an－a2n＋1,an＋1an)＝EQ\F((2an＋1－an)an－a2n＋1,an＋1an)＝－EQ\F((an＋1－an)2,an＋1an)≤0，所以EQ\F(an＋2,an＋1)≤EQ\F(an＋1,an)．②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以EQ\F(an＋2,an＋1)＝EQ\F(an＋1,an)．由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，EQ\F(an＋2,an＋1)≤EQ\F(an＋1,an)≤…≤EQ\F(a3,a2)．又因为EQ\F(a3,a2)－EQ\F(a2,a1)＝EQ\F(2a2－a1,a2)－EQ\F(a2,a1)＝EQ\F(2a2a1－a12－a22,a2a1)＝－EQ\F((a1－a2)2,a2a1)，因为a1＜a2，所以－EQ\F((a1－a2)2,a2a1)＜0，即EQ\F(a3,a2)＜EQ\F(a2,a1)．综上，EQ\F(an＋1,an)＜EQ\F(a2,a1)．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2014.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB．因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．所以∠ABC＝∠BAE．所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4．根据（1）有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6．设CF＝x，由BD∥AC，得eq\F(AC,BD)＝eq\F(CF,BF)，即eq\F(4,5)＝eq\F(x,6－x)，解得x＝eq\F(8,3)，即CF＝eq\F(8,3)．………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(1,a,－1,b))EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(2,1))＝2EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(2,1))，即EQ\b\lc\{(\a\al(2＋a＝4，,－2＋b＝2，))解得a＝2，b＝4．所以A＝EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(1,2,－1,4))．………………………………………5分（2）解法一：AEQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(x,y))＝EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(a,b))，即EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(1,2,－1,4))EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(x,y))＝EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(2,4))，所以EQ\b\lc\{(\a\al(x＋2y＝2，,－x＋4y＝4，))解得EQ\b\lc\{(\a\al(x＝0，,y＝1．))………………………………………10分解法二：因为A＝EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(1,2,－1,4))，所以A－1＝EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(EQ\F(2,3),－EQ\F(1,3),EQ\F(1,6),EQ\F(1,6)))．………………………………………7分因为AEQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(x,y))＝EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(a,b))，所以EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(x,y))＝A－1EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(a,b))＝EQ\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs3(EQ\F(2,3),－EQ\F(1,3),EQ\F(1,6),EQ\F(1,6)))EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(2,4))＝EQ\b\bc\[(\a\ac\vs2\hs3(0,1))．所以EQ\b\lc\{(\a\al(x＝0，,y＝1．))………………………………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1，0)．………………………4分直线θ＝eq\F(π,4)的直角坐标方程为y＝x，因为圆心C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，所以圆心C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1．………………………………………8分所以曲线＝2cosθ关于直线θ＝eq\F(π,4)(R)对称的曲线的极坐标方程为＝2sinθ．…………………10分解法二：设曲线＝2cosθ上任意一点为(′，θ′)，其关于直线θ＝eq\F(π,4)对称点为(，θ)，则EQ\b\lc\{(\a\al(′＝，,θ′＝2kπ＋eq\f(π,2)－θ．))………………………………………6分将(′，θ′)代入＝2cosθ，得＝2cos(eq\f(π,2)－θ)，即＝2sinθ．所以曲线＝2cosθ关于直线θ＝eq\F(π,4)(∈R)对称的曲线的极坐标方程为＝2sinθ．…………………10分D．选修4—5：不等式选讲证：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×eq\F(1,6)＋2×eq\F(1,4)＝1．即|x＋5y|≤1．………………………………………10分22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A，P(A)＝eq\F(C42×22,34)＝eq\F(24,81)＝eq\F(8,27)．答：恰有2人申请A大学的概率为eq\F(8,27)．………………………………………4分（2）X的所有可能值为1，2，3．P(X＝1)＝eq\F(3,34)＝eq\F(1,27)，P(X＝2)＝eq\F(C43×A32＋3×A32,34)＝eq\F(42,81)＝eq\F(14,27)，P(X＝3)＝eq\F(C42×A33,34)＝eq\F(36,81)＝eq\F(4,9)．X的概率分布列为：X123Peq\F(1,27)eq\F(14,27)eq\F(4,9)所以X的数学期望E(X)＝1×eq\F(1,27)＋2×eq\F(14,27)＋3×eq\F(4,9)＝eq\F(65,27)．………………………………………10分23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4．………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f(n)＝n+1．证明：因为f(n)单调递增，所以f(n+1)＞f(n)，又f(n)∈Z，所以f(n+1)≥f(n)+1．首先证明：f(n)≥n+1．因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f(k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f(n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n+1)，而f(2)＝3，f(2n)≥2n＋1，所以3f(n)≥f(n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3f(n)－2n－1．下面证明：f(n)＝n+1．因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f(k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f(n)＝n+1………………………………………10分