数列求和方法

数列的求和数列求和主要思路:1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2•求和过程中注意分类讨论思想的运用；3.转化思想的运用；数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和k=123|l|n•三】n(n1)23、利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn22(q=1)2、等比数列求和公式：Sn二5(1-qn)a1-anq/八-d(q式1)l.1—q1—qnSn=、"222221Sn二'k=123|l|•nn(n1)(2n1)TOC\o"1-5"\h\zk二6_=25、sn八k3=132333川n3二n(n1)2IL2公式法求和注意事项(1)弄准求和项数n的值；(2)等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。例1•求和1x•x2•xn°(n_2,x=0)二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛an•bn｝的前n项和，其中｛an｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列•例2•求和：sn=13x5x27x3(2n-1)xn‘例3.求数列-4--6-前n项的和.23n'2222三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n项和就是此法推导的2°2~2乜2。2。例4•求sin1sin2sin3飞in88sin89的值例4变式训练1:求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.例4变式训练2:数列{an}:印=1,a2=3,a3=2,an=an1-an，求S2002.例4变式训练3:在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3a1log3a^亠log3a10的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例5•已知数列：an/的通项公式a.=3n2^1，求数列CaJ的前n项和S.。例5变式训练1:求111111亠T111之和.n个1例5变式训练2:求数列的前n项和：13,24,35川|,n（n，2）,川;例6.求数列的前111n项和：11,4,-27,,3n-2，…aa五、裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后.通项分解（裂项）如:1⑴n(n1)(2)n(n2)2n111(一-n2)(3)11(2n-1)(2n1)2(2n1工为等差数列，公差为d,(2n)2(4)(5)1an一(2n-1)(2n1)一12(2n-12n1an%(n-1)(n-2)4[n(n1)(n1)(n2)]an£2(n1)-nn2n(n1)2nn(n1)1__n-1n52(n1)2，则S(n1)2na.二f(n1)-f(n)例7.求数列1112'231…的前n项和.12n2例&在数列｛an｝中，an，又bn，求数列｛bn｝的前n项的和.n+1n+1n+1an，an出1111例8变式训练1:求数列的前n项和：丄，二，」，，丄川1x32汉43汉5n（n+2）参考答案：例2解：x=1时Sn-13x5x27x3（2n-1）xnJ①（设制错位）（错位相减）设xSn=1x3x25x37x4亠亠(2n-1)xn①—②得(1-x)Sn=12x2x22x32x42xnJ-(2n-1)xn1_x(1_x)Sn=12xnA1_「-(2n")xn(1-x)22n1例3解：由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 可知，｛却｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛歹｝的通项之积222232n222324122设Sn2Sn①—②得（1—-）Sn=—222222=2「六S”=4-齐2n1n+—+—+.,”十—23242n2n_2n12“1（设制错位）（错位相减）例4.解：设S=sin21sin22sin237n288sin289将①式右边反序得S=sin89sin88（倒序）“22又因为sinx=cos(90-x),sinxcosx=1①+②得（反序相加）2幻2幻2幻2£272£2S二(sin1cos1)(sin2cos2)…(sin89cos89)=89S=44.5例4变式训练1:解：设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+•…+COS178°+cos179°cosn--cos(180-n)（找特殊性质项）g(2n_1)xn+-(2n+1)xn+(1+x)Sn•••Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+•…+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0例4变式训练2:解：设S2002=+a?+a3+■■■+a2oo2由a!=1,去=3,a3=2,an2-and~'an可得a4=—1,a5=—3,a6=—2,a7=1,a8=3,a?=2,aio=—1,aii=—3,ai2=-2,a6k1-1,a6k2-3,a6k3=2,a6k4-一1,a6k5-一3,a6k6-_2（找特殊性质项）（合并求和）a6k1'a6k2'a6k3'a6k4'a6k5'a6k・6=0S2oo2—a1'a?'83a2002=(a1'a2*a3■…a6)(a7a8■…a12)(a6k1，a6k2a6k:：；6)(a1993'a1994■■■'a1998)a1999'a2000'a2001'a2002a1999'a2000'a2001'a2002=a6k1'a6k2'a6k3'a6k：；4=5例4变式训练3:解：设Sn二log3a1log3a^小log3a10由等比数列的性质mn二pq=ama^apaq（找特殊性质项）和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得S^(log3a1Iog3a10)•(Iog3a2Iog3a9)亠-^(log3a5log3a6)(合并求和)=(log3a1印。)(logsa?a?)亠亠(log385^6)=log39log3log39=10例5•略11例5变式训练1:解：由于111—1999…9(10k-1)(找通项及k个19k个19特征）111111"11—*n个11111=-(101-1)-(102—1)—(103-1)(10n-1)99991123n1=—(101010亠T0)(111亠1)99n个1（分组求和）-10(10n-1)n910-19=—(10n1一10一9n)81例5变式训练2:•••n(n•2)=n2•2n,•••&=(122232…n2)2(123-n)二n(n1)(2n7)1116•解：设Sn=(11)(4)(27)山…3n-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得11Sn=(1-a1~~2a7•解：设&解:当a=1时,当a=1时,anSnSnSn1nj)(147囂…囂3n_2)a丄(3n_1)n=(3n+1)n=21na_「1」a.(3n-1)na-a1』(3nT)na—121i122.3.n、、n1=(2-.1)(.3-.2)(n1-n)ann+1n+12o1k8(J22•••数列｛bn｝的前n项和HYPERLINK\l"bookmark46"\o"CurrentDocument"11111Sn=8[(^-)(---)(^-)2233411.…•(一—)]n（分组）（分组求和）（裂项）（裂项求和）（裂项）（裂项求和）例8变式训练1:=8U)8nn11111n(n2厂尢一n2)'111111111111•••&月飞一严叫一苻）2尹厂丙一苻）-数列求和练习、选择题.设^an/是公差不为0的等差数列，q=2且a1,a3,a6成等比数列，则:a^f的前n项和Sn=n27nA.TOC\o"1-5"\h\z44n25nB.33n23nC.24.等比数列Sn'的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等差数列?右a1=1,则S4=C.15161111.数列1—,2,3,4-,24816.1丄n2+nA.—B.2n2的前n项和为丄工nc.2n2丄J1D.2n21n2n.已知等差数列&［中,a5a9-a7-10,记Sn-a1a^'an，则S13的值为A.130260156D.168.等差数列"a的前n项和为Sn,已知amj■am1-am=0,S2m」=38，则m=A.38B.20C.1024.等差数列是5,4,3中,第n项到7-n+6项的和为Tn,则当Tn最小时,n的值为.等差数列■中,Sn是其前n项和，D.3■ISP2，则％的值为A-2006B2006C-2008D2008.将二进制数（111』丄）2转换成十进制是16A.217-2B.216_2C.216-1D.215_19.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn^0（n^N）,则下列等式成立的是10.11.12.13.14.15.、16.1718.19.20.21.a.&&七B.gS2nSnS2n~'SnSnS2n~"SnS3nS2n~'SnS3^_'SnS2^_'SnS3^_'S2nSn2已知二次函数y=n(n1)x-(2n1)x1，当n依次取1,234，…・,10时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为C.工111112B.巴11数列1,12,12•22,…,12•222n，…的前n项和SnA.2nnB.2「nC.2n1-n2n1-n-2等差数列｛玄"｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,对一切自然数n,都有5=_?亠，则电等于］b5nTn3n191420C.—311117数列乩1的通项公式是an，若前n项的和为10,则项数n为A.11B.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为99C.121120q，则q的取值范围是A.(0,1宁)B.(—22C.1,5数列｛飞n2+3n+22n1A.2n4填空题｝的前n项和为2n-1B.2n2C.n2n4n—1D.2n2等差数列｛an｝前n项和为Sn?已知2am4+am1-am=0，S2m-J=38,则m=.已知f(1,1)=1,且对任意正整数m、n若f(m,n)=k,贝Uf(m,n1^k1f(1,100)0数列｛an｝中，a1=1,a^2且an2-a^1(-1)n,则S°0=列｛an｝的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列｛-Sn｝的11项和为n数列「an?的前n项和Sn二n2-4n，2,则a1a2a10已知等差数列On■的前n次和为Sn，且S2=10,S5=55，则过点P(n,an)和Q(n'2,an^)(n•-N*)的直线方向向量的坐标可以是TOC\o"1-5"\h\z12n223.在数列｛an｝中,an,又bn，则数列｛bn｝的前n项和为n+1n+1n+1anan+Ss1在等差数列CaJ中，Sn是其前n项的和，且6二鸟，」00920072,则数列的前n项的和是20092007§“?•■在小时候，我们就用手指练习过数数.一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头是。(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).三、解答题设等差数列V的前n项和为Sn若印--5，且它的前11项的平均值是5.(1)求等差数列的公差d;⑵求使Sn-0成立的最小正整数n.27.已知数列｛an｝是等差数列，且a3=5,a5=9,Sn是数列｛an｝的前n项和.(I)求数列｛an｝的通项公式an及前n项和Sn；28.(n)若数列｛bn｝满足bn=，且Tn是数列｛bn｝的前n项和，求bn与Tn.已知正项数列｛an｝中，前n项和Sn口(an2)28(1)求证：数列｛an｝是等差数列;1(2)若bnan-30，求数列｛bn｝的前n项和Tn的最小值。229•在等比数列｛an｝中，an0(n，N*)，公比q，(0,1)，且a1a52a3a5a2a^25,a3与的等比中项为2。求数列｛an｝的通项公式；设bn=log2an，数列｛bn｝的前n项和为Sn,当—1'旦•…，—最大时，求n的值。12n30.已知等差数列｛an｝的首项a^1,公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列｛an｝的通项公式;t,使得对任意的(2)设bn-(n・N*),Sn•b2川…川'bn,是否存在最大的整数n(an+3)n均有Snt总成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.36专题24数列求和参考答案一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.A.C.C.A.C.C.C.C.D.B.D.B.CHYPERLINK\l"bookmark86"\o"CurrentDocument".D.C二、填空题.1017.100018.2600.-66HYPERLINK\l"bookmark88"\o"CurrentDocument".6621.2f2+12n「n1乞n乞6,nN22-Tn=2n-12n72n_7,nN三、解答题8nn...23.24.25.食指n1n1解:⑴；印「5,印％川a111111ae11d(aan)n2(n)；b■Sn(n1)n=（】_1）（丄一丄）（丄一丄），…n（1_122334nn1)二128.解：22°）当―2时，弘〜-乩-8-8，整理得：an'an4an—and—4-0,•.•数列｛an｝是正项数列，anan-l=0,-4=0,•-an-an4=4(n一2),n(n—1)2⑵■/Sn=najd=n-6n0•••n6且nN*••使Sn0成立的最小正整数n为727•解：（I）设数列｛an｝的公差为d，由题意可知:比=印2d二5,解得:耳=1,d=2a5=a•4d=9•-an=ai(n-1)d=12(n-1)=2n-1(12n-1)n2n.2二数列｛an｝是等差数列。(2)va=$=2,d=4,.an=4n-2,bn=2n-31•—宁…2仙"152225，•当心5时，TnmJ225。29.解：(1)a〔a52a〔a5a?a8二25,a32a3a5a^-25,又an0,a3a5-5,又a3与a5的等比中项为2,.a3a5=4,而q(0,1),.a3a5,.a^4,a5=1,i-q,al=16,an=16(―)"'=25』,2(2)bn=log2an=5—■n,-bn1—'bn=-1,.{bn}是以bi=4为首项，—1为公差的等差数列。S_n(9-n)S._9-nh2n2.当n^8时，鱼0;当n=9时，宝=0;当n9时，鱼＜0，nn当-8或9时冷号汀S最大。解：(I)由题意得(a1d)(a113d(a14d)2，整理得2a1d二d2.；a1=1,解得(d=0舍),d=2..an=2n_1(nN).11111(I1)b^^^=^^=2(；_^)，1…1、，1111111Sn巾b2bny(厂？(1七)]假设存在整数t满足Sn-总成立。36n+1又Sn1_Sn_2(n2)一2(n1)一2(n2)(n1)1t1■数列｛Sn｝是单调递增的。•S1为Sn的最小值，故，即t：：：9.4364又；rn,•适合条件的t的最大值为8。