向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设a,a,,aRn，k,k,,kR，称kakaka为a,a,,a的一个线12t12t1122tt12t性组合。k1k【备注1】按分块矩阵的运算规则，kakaka(a,a,,a)2。这样的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1122tt12tkt示是有好处的。2.线性表示设a,a,,aRn，bRn，如果存在k,k,,kR，使得12t12t则称b可由a,a,,a线性表示。12tk1kbkakaka，写成矩阵形式，即b(a,a,,a)2。因此，b可由1122tt12tktk1ka,a,,a线性表示即线性方程组(a,a,,a)2b有解，而该方程组有解当且仅当12t12tktr(a,a,,a)r(a,a,,a,b)。12t12t3.向量组等价设a,a,,a,b,b,,bRn，如果a,a,,a中每一个向量都可以由12t12s12tb,b,,b线性表示，则称向量组a,a,,a可以由向量组b,b,,b线性表示。12s12t12s如果向量组a,a,,a和向量组b,b,,b可以相互线性表示，则称这两个向量组12t12s是等价的。向量组等价的性质：(1)自反性任何一个向量组都与自身等价。(2)对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。(3)传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为a,a,,a，向量组II为b,b,,b，向量组III为c,c,,c。向12r12s12tt量组II可由III线性表示，假设byc，j1,2,,s。向量组I可由向量组IIjkjkk1s线性表示，假设axb，i1,2,,r。因此，ijijj1ssttsaxbxyc(yx)c，i1,2,,rijijjikjkkjjikj1j1k1k1j1因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！4.线性相关与线性无关设a,a,,aRn，如果存在不全为零的数k,k,,kR，使得12t12t则称a,a,,a线性相关，否则，称a,a,,a线性无关。12t12t按照线性表示的矩阵记法，a,a,,a线性相关即齐次线性方程组12t有非零解，当且仅当r(a,a,,a)t。a,a,,a线性无关，即12t12t只有零解，当且仅当r(a,a,,a)t。12t特别的，若tn，则a,a,,aRn线性无关当且仅当r(a,a,,a)n，当且仅12n12n当(a,a,,a)可逆，当且仅当(a,a,,a)0。12n12n例1.单独一个向量aRn线性相关即a0，线性无关即a0。因为，若a线性相关，则存在数k0，使得ka0，于是a0。而若a0，由于1aa0，10因此，a线性相关。例2.两个向量a,bRn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k,k，使得kakb0。k,k不全为零，不妨假设k0，1212121k则a2b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨假设存在，使得k1ab，则ab0，于是a,b线性相关。100x1例3.0,1,0线性无关，且任意xxR3都可以由其线性表示，且表示方法唯2001x3一。事实上，5.线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设a,a,,aRn，其中有一个为零，不妨假设a0，则12tt因此，a,a,,a线性相关。12t(2)若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设a,a,,a,,,,Rn，a,a,,a线性相关。存在不全为零的数12t12s12tk,k,,k，使得12t这样，k,k,,k不全为零，因此，a,a,,a,,,,线性相关。12t12t12s后一个结论是前一个结论的逆否命 题 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，因此也正确。(3)若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明：设a,a,,aRn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一12taaa个分量之后，成为1,2,,t，b,b,,b是同维的列向量。令bbb12t12t则kakaka0。由向量组a,a,,a线性相关，可以得到1122tt12tkkk0。结论得证！12t(4)向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设a,a,,aRn为一组向量。12t必要性若a,a,,a线性相关，则存在一组不全为零的数k,k,,k，使得12t12tk,k,,k不全为零，设k0，则12tj充分性若a,a,,a中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设a可以表12tj示成a,,a,a,,a的线性组合，则存在一组数k,,k,k,,k，使得1j1j1t1j1j1t也就是但k,,k,1,k,,k不全为零，因此，a,a,,a线性无关。1j1j1t12t【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。(5)若a,a,,aRn线性无关，bRn，使得a,a,,a,b线性相关，则b可由12t12ta,a,,a线性表示，且表示方法唯一。12t证明：a,a,,a,b线性相关，因此，存在不全为零的数k,k,,k,k，使得12t12tt1k0，否则k0，则kakaka0。由a,a,,a线性无关，我们就得t1t11122tt12t到kkk0，这样，k,k,,k,k均为零，与其不全为零矛盾！这样，12t12tt1因此，b可由a,a,,a线性表示。12t假设bxaxaxayayaya，则1122tt1122tt由a,a,,a线性无关，有xyxyxy0，即12t1122tt因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组a,,a线性表1t示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a,,a线性表示，即线性方1t程组(a,,a)xb有解。而a,,a线性无关，即r(a,,a)t。因此，若有解，当然1t1t1t解唯一，即表示法唯一。(6)若线性无关向量组a,a,,a可由向量组b,b,,b线性表示，则ts。12t12s证明：假设结论不成立，于是ts。a,a,,a可由b,b,,b线性表示。假设12t12sx11xaxbxbxb(b,b,,b)21，1111212s1s12sxs1x12xaxbxbxb(b,b,,b)22，2121222s2s12sxs2……………………………………………………….x1txaxbxbxb(b,b,,b)2t，t1t12t2sts12sxst任取k,k,,k，则12txxx11121txxx由于21222t为一个st阶矩阵，而ts，因此，方程组xxxs1s2stk1k必有非零解，设为2，于是kakaka0。因此，存在一组不全为零的数1122ttktk,k,,k，使得kakaka0。因此，向量组a,a,,a线性相关，这与向12t1122tt12t量组a,a,,a线性无关矛盾！因此，ts。12t(7)若两线性无关向量组a,a,,a和b,b,,b可以相互线性表示，则ts。12t12s证明：由性质(6)，ts，st，因此，st。【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设a,a,,aRn，P为n阶可逆矩阵，则a,a,,a线性无关当且仅当12t12tPa,Pa,,Pa线性无关。b可由a,a,,a线性表示，当且仅当Pb可由12t12tPa,Pa,,Pa线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。12t证明：由于P可逆，因此如此，结论得证！6.极大线性无关组定义1设a,a,,aRn，如果存在部分向量组a,a,,a，使得12tiii12r(1)a,a,,a线性无关；iii12r(2)a,a,,a中每一个向量都可以由a,a,,a线性表示；12tiii12r则称a,a,,a为a,a,,a的极大线性无关组。iii12t12r【备注5】设a,a,,aRn，a,a,,a为其极大线性无关组。按照定义，12tiii12ra,a,,a可由a,a,,a线性表示。但另一方面，a,a,,a也显然可以由12tiiiiii12r12ra,a,,a线性表示。因此，a,a,,a与a,a,,a等价。也就是说，任何一个向量12t12tiii12r组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组a,a,,a线性无关，充分必要条件即其秩为t。12t定义2设a,a,,aRn，如果其中有r个线性无关的向量a,a,,a，但没有更多的12tiii12r线性无关向量，则称a,a,,a为a,a,,a的极大线性无关组，而r为iii12t12ra,a,,a的秩。12t【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果a,a,,a线性无关，且iii12ra,a,,a中每一个向量都可以由a,a,,a线性表示，那么，a,a,,a就没有更多12tiii12t12r的线性无关向量，否则，假设有，设为b,b,,b，sr。b,b,,b当然可以由12s12sa,a,,a线性表示，且还线性无关，按照性质(6)，sr，这与假设矛盾！另一方面，iii12r假设a,a,,a为a,a,,a中r个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取iii12t12ra,a,,a中一个向量，记为b，则a,a,,a,b线性相关。按照性质(5)，b可有12tiii12ra,a,,a线性表示(且表示方法唯一)。iii12r【备注9】设向量组a,a,,a的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。反12t过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a,a,,a的一个极大线性无关12t组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩。定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。证明：设A(a)Rmn，r(A)r。将其按列分块为A(a,a,,a)。存在m阶可逆矩ij12n阵P，使得PA为行最简形，不妨设为1000100,0,,1线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此，0000001000100,0,,1为PA的极大线性无关组，其个数为r，因此，a,a,,a线性无关，12r000000且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩等于A的秩。bT1将A按行分块，A，则AT(b,b,,b)，因此，按照前面的结论，A的行12mbTm秩为AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7.扩充定理定理2设a,a,,aRn，秩为r，a,a,,a为其中的k个线性无关的向量，kr，12tiii12k则能在其中加入a,a,,a中的(rk)个向量，使新向量组为a,a,,a的极大线性无12t12t关组。证明：如果kr，则a,a,,a已经是a,a,,a的一个极大线性无关组，无须再添加iii12t12k向量。如果kr，则a,a,,a不是a,a,,a的一个极大线性无关组，于是，iii12t12ka,a,,a必有元素不能由其线性表示，设为a，由性质(5)，向量组12tik1a,a,,a,a线性无关。iiii12kk1如果k1r，则a,a,,a,a已经是a,a,,a的一个极大线性无关组，无须iiii12t12kk1再添加向量。如果k1r，则a,a,,a,a不是a,a,,a的一个极大线性无关组，于是，iiii12t12kk1a,a,,a必有元素不能由其线性表示，设为a，由性质(5)，向量组12tik2a,a,,a,a,a线性无关。iiiii12kk1k2同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a,a,aRn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。12t(1)将a,a,a合在一起写成一个矩阵A(a,a,a)；12t12t(2)将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为bbbbb11121r1,r11,n0bbbb222r2,r12,nA00bbbB，b0,i1,2,,r，rr(A)rrr,r1r,nii0000000000(3)在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为j,j,,j列，则j,j,,j为B列12r12r向量组的极大线性线性无关组，也是A列向量组的极大线性线性无关组，也就是a,a,a的极大线性无关组。12t为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r阶的非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。显而易见，上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。(4)将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在A中，第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B中的一致。我们的理论依据是性质(8)。2111211214例4.设矩阵A，求A的列向量组的一个极大线性无关组，并把4622436979不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。【解答】记A(a,a,a,a,a)，12345因此，A的列向量的一个极大线性无关组为a,a,a，aaa，124312a4a3a3a。4123