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电磁场理论基础试题集.pdf

电磁场理论基础试题集

瞬间时间流逝
2009-11-02 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《电磁场理论基础试题集pdf》,可适用于其他资料领域

电磁场理论基础习题集(说明:加重的符号和上标有箭头的符号都表示矢量)一、填空题矢量场的散度定理为()斯托克斯定理为()。【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:()()∫∫⋅=⋅∇SSdAdAvvvττ()()SdAldASCvvvv⋅×∇=⋅∫∫矢量场Av满足()时可用一个标量场的梯度表示。【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:()=×∇Av真空中静电场的基本方程的积分形式为()()微分形式为(),()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()=⋅∫cldEvv()∑∫=⋅qSdDSvv()=×∇Ev()()rDvvρ=⋅∇电位移矢量Dv、极化强度Pv和电场强度Ev满足关系()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()PEPDDvvvvv==ε有面电流sJ的不同介质分界面上恒定磁场的边界条件为(),()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()()=−⋅BBnvvv()()sJHHnvvvv=−×焦耳定律的微分形式为()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()EEJpγ=⋅=vv磁场能量密度=mw()区域V中的总磁场能量为=mW()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()Hμ()∫VdHτμ理想导体中时变电磁场的=E()=H()。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:()()理想介质中电磁波的传播速度由()决定速度=v()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()εμ,()με=v均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时电场强度和磁场强度在时间上()空间上()且都与()垂直。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()同相()垂直()电磁波传播方向矢量场Av满足()时可用另一个矢量场的旋度表示。【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:()=•∇Av.真空中静电场的电位函数ϕ在无源空间满足方程()在电荷密度为ρ的空间满足方程()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()=∇ϕ()ερϕ−=∇.不同介质分界面上有密度为σ的面电荷时静电场的边界条件为()()用电位函数表示为()()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()()=−×EEnvvv()()σ=−•DDnvvv()ϕϕ=()σϕεϕε=∂∂−∂∂nn.磁场强度H、磁化强度M和磁感应强度B满足关系()【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()()MHBvvv=μ.电场能量密度=ew()区域V中的总电场能量为=eW()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()Eε()∫VdEτε.介电常数为ε电导率为γ的媒质的等效介电常数=cε()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()ωγεj−.均匀平面电磁波的电场强度、磁场强度、坡印廷矢量之间有关系()。【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:()HESvvv×=.麦克斯韦方程的微分形式为(),(),(),()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()t∂∂=×∇DJH()t∂∂−=×∇BE()=⋅∇B()ρ=⋅∇D.电磁波有(),(),()等三种极化形式。【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:()线极化()圆极化()椭圆极化体积τ中体分布有电荷电荷体密度为ρ那么该体积内的电荷在空间一点rv处产生的电场强度=)(rEvv()产生的电位函数=)(rvϕ()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()()'')(rrrrdrEvvvvvv−−=∫ττρπε()Crrdr−=∫ττρπεϕ')(vvv.坡印廷矢量S=()。平均玻印廷矢量=avSv()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()HESvvv×=()∗×=HESavvvvRe介质中静电场基本方程的积分形式为(),()微分形式为()()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()()∑∫∫=⋅=⋅qSdPDSdDSSvvvvv()=⋅∫CldEvv()ρ=•∇Dv()=×∇Ev恒定电场的边界条件为(),()【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】::()()=−•JJnvvv()()=−×EEnvvv恒定电场条件下均匀导体内部电位函数满足的方程为()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()=∇ϕ电磁波在强导电介质中传播时衰减常数=α()相位常数β=()相速v=()波长λ=()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()μγπαf=()μγπβf=()μγπμγππβωυfff===()μγπβπλf==电磁波从本质阻抗为η的媒质垂直入射进入本质阻抗为η的媒质时在界面处的反射系数=ρ()透射系数=τ()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()ηηηηρ−=()ηηητ=拉普拉斯算符∇是一个矢性算符在直角坐标系中=∇()【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:()zeyexezyx∂∂∂∂∂∂=∇vvv欧姆定律的微分形式为()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()EJvvγ=恒定磁场中已知矢量磁位xysincosyxeeA=它们给出的磁场=B()产生这个磁场的电流=J()。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:()()yxsincos=×∇=zeAB()()()xysincosyxeeBJ=×∇=μμ电场的两个基本变量之间的关系为:()【知识点】:【难易度】:D【参考分】:【答案】:()EDε=二、问答题什么是矢量场的通量【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:矢量()rA穿过面元()rSd的通量定义为()rA与()rSd的标量积即()()()()θcosrrrSrAdSAd=⋅其中()ne,=θe为矢量()rA方向的单位矢量n是面元法向单位矢量θcosne=⋅。取闭合曲面S,并将各面元的()()rSrAd⋅相加就表示矢量()rA穿过闭合曲面S的通量。n是闭合面的外法向单位矢量。矢量场通量的值为正、负或分别表示什么意义?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:通量∫•=SdSAΦ。通量的值为正则表示每秒有净流量流出说明体积内必定存在流体的“源”,通量的值为负则表示每秒有净流量流入说明体积内必定存在流体的“沟”通量的值为则表示每秒流入流出的流量相等即体积内“源”和“沟”的总和为零或体积内既无源也无沟。什么是散度定理?它的意义是什么?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:散度定理为()∫∫⋅=⋅∇SddSAAττ,其中S为所包围区域的表面积。它的意义是在一矢量场中矢量()rA通过某一封闭曲面的积分就等于矢量()rA的散度在这一曲面所包围的区域中的积分。什么是矢量的环流?环流的值为正、负或零分别表示什么意义?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:矢量的环流就是在一矢量场()rA中()rA沿某一闭合回路的线积分即∫⋅CdlA,就称为矢量的环流。矢量的环流为正值表明矢量与积分方向同向(沿逆时针方向积分)而负值则表明沿矢量与积分方向反向(回路顺时针方向积分)是有漩涡的。为零时则表明没有蜗旋的流动。什么是斯托克斯定理?它的意义是什么?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:斯托克斯定理()∫∫⋅×∇=⋅SCddSAlA它的意义是矢量场A的旋度A×∇在曲面S上的面积分等于矢量场A在限定曲面的闭合曲线C上的线积分。点电荷的严格定义是什么?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:点电荷是电荷分布的一种极限情况可将其视为一个体积很小而电荷密度极大的带电小球极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时带电体的形状及其中的电荷分布已无关紧要就可以将带电体所带电荷看成是集中在带电体的中心上即将带电体抽象为一个几何模型称为点电荷。点电荷电场强度随距离变化的规律是什么?电偶极子的电场强度又如何呢?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:答:点电荷电场强度满足库仑定律()RRqreEπε=,与距离的平方成反比。电偶极子电场强度θπεθπεθeeEsincosrqlrqlR==与距离的三次方成反比简述和所表征的静电场特性。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:一式表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关静电荷是静电场的通量源。二式表明静电场是无旋场。简述和所表征的静磁场特性。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:一式表明磁感应强度B的散度恒为即磁场是一个无通量源的矢量场。二式表明恒定磁场是有旋场恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。极化强度是如何定义的?极化电荷密度与极化强度有什么关系?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:单位体积内电偶极距的矢量和称为极化强度表示为极化电荷体密度。极化电荷面密度。什么是时变电磁场?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:当电流、电荷随时间变化时产生的电场和磁场也会随时间变化时变的电场要在空间产生磁场时变的磁场也要在空间产生电场电场和磁场构成了统一电磁场的两个不可分割的部分称之为时变电磁场。写出微分形式的麦克斯韦方程组并简要阐述其物理意义。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:微分形式及物理意义:t∂∂=×∇DJH:时变磁场不仅由传导电流产生也由位移电流产生。位移电流代表电位移的变化率因此该式揭示的是时变电场产生时变磁场。t∂∂−=×∇BE:时变磁场产生时变电场。=⋅∇B:磁通永远是连续的磁场是无散度场。ρ=⋅∇D:空间任意一点若存在正电荷体密度则该点发出电位移线若存在负电荷体密度则电位移线汇聚于该点。写出积分形式的麦克斯韦方程组并简要阐述其物理意义。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:积分形式及物理意义:∫∫⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=⋅scdtdSDJlH:磁场强度沿任意闭合曲线的环量等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。∫∫⋅∂∂−=⋅scdtdSBlE:电场强度沿任意闭合曲线的环量等于穿过以该闭合曲线为周界的任一曲面的磁通量变化率的负值。=⋅∫SSdB:穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于。qS=⋅∫SdD:穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。什么是电磁场的边界条件?请说出时变电磁场在理想导体表面的边界条件。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:把电磁场矢量EDBH在不同媒质分界面上各自满足的关系称为电磁场的边界条件。当分界面是理想介质和理想导体分界面时边界条件为:σ=⋅=⋅=×=×DeBeEeJHenntSnrrrrrrrrr电位是如何定义的?ϕ∇=E中的负号的意义是什么?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:∫⋅=),,(),,(),,(PPPzyxzyxdzyxlEϕ因为电位的梯度是电场中电位增大最快的方向上的变化率而电场是由高电位指向低电位二者方向相反所以要加负号。电容是如何定义的请写出计算电容的基本步骤。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:电容:任一导体上的总电荷量与两导体之间的电位差之比即UqC=。基本步骤:①根据导体的几何形状选取合适的坐标系②假定两导体上分别带电量q和q−③根据假定的电荷求E④由∫⋅lEd求的电位差⑤求出比值UqC=什么是矢量磁位A简述在恒定磁场下引入A的优点。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:利用磁场的无散度特性用一矢量的旋度A×∇来计算磁感应强度BA就是矢量磁位并令A=•∇(库伦规范)。引入A使B的计算更加简便。什么是标量磁位mϕ简述在恒定磁场下引入mϕ的优点。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:在无自由电流的空间H是无旋的H=×∇,因而H可用一个标量函数的负梯度表示即mϕ∇=H实际中标量磁位主要用来分析磁介质的磁化问题磁介质中可得到磁位的泊松方程和拉普拉斯方程可以看出无电流区域的磁场边界问题和无自由电荷区域的静电场边值问题完全相似引入mϕ可使分析磁介质的磁化问题更加方便。写出BH表示的计算磁场能量的公式【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:∫∫∫•===τττττμτμddHdBWHHB在保持磁链不变的条件下如何计算磁场力在保持电流不变的条件下如何计算磁场力?二者计算的结果有无异同?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:保持磁链不变mW−∇=F保持电流不变mW∇=F二者虽然公式不同但计算结果是相同的。什么是静态场的边值问题?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。用文字叙述第一类、第二类及第三类静态场的边值问题。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:第一类边值问题是整个边界上的电位函数均已知第二类边值问题是已知整个边界上的电位法向导数第三类是一部分边界上电位已知而另一部分上的电位法向导数已知称为混合边界条件。什么是静像法?其理论依据是什么?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布(或束缚电荷分布)用等效的点电荷或线电荷(在场区域外的某一位置处)替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷(统称为像电荷)的场即所求解。理论依据就是唯一性定理。什么是分离变量法?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:根据边界面的形状选择适当的坐标系如平面边界则选直角坐标系圆柱面选圆柱坐标系球面选球坐标系。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积通过分离变量将拉普拉斯方程变为三个常微分方程得到电位函数的通解然后寻求满足边界条件的特解。什么是坡印廷定理它的物理意义是什么【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:()SdHEsvvv⋅×∫==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫τγτμεττdEdHEdtd()τPWWdtdme,此为坡印廷定理数学的表示式。物理意义是:穿过闭合面S进入体积内的功率等于体积V内每秒电场能量和磁场能量的增量及体积V内变为焦耳热的功率。时谐电磁场的复矢量是如何定义的它与瞬时场矢量之间是什么关系【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:时谐电磁场的复矢量定义为()()()()()()()rjzmzrjymyrjxmxmzyxerFeerFeerFerFrrrrrrrrvrφφφ=•与瞬时场矢量之间的关系为()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•tjmerFtrFωrrrRe,时谐场的平均坡印廷矢量是如何定义的如何由复矢量计算平均坡印廷矢量【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:玻印廷矢量在一个周期内的平均值定义为平均坡印廷矢量∫=TavdtSTSrr由复矢量平均坡印廷矢量的计算式为*ReHESavrrr×=试写出复数形式的麦克斯韦方程组它与瞬时形式的麦克斯韦方程组有何区别【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:DjJHrrrω=×∇BjErrω−=×∇=•∇Brρ=•∇Dr复数形式的麦克斯韦方程组没有时间因子,所以方程变量就减少了什么是均匀平面波平面波与均匀平面波有何区别【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:所谓均匀平面波,是指场矢量(电场E和磁场H)只沿着传播方向变化,在EH的方向上振幅和相位保持不变的波。与波传播方向垂直的无限大平面内均匀平面波的EH方向上振幅与相位保持不变而平面波只是相位保持不变。波数是怎样定义的它与波长有什么关系【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:包含在π空间距离内的波长数称为波数λπ=k,其中λ为波长什么是媒介的本征阻抗?自由空间中本征阻抗的值是多少?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:电场的振幅与磁场的振幅之比具有阻抗的量纲故称为波阻抗通常用η表示由于η的值与媒质有关因此有称为媒质的本征阻抗。自由空间中本征阻抗值Ωπ。电磁波的相速是如何定义的自由空间中相速的值是多少?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:电磁波的等相位面在空间中的移动速度称为相位速度简称相速。自由空间中相速是sm×在理想介质中均匀平面波的相速是否与频率有关?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:在理想介质中均匀平面波的相速与频率无关但与媒质参数有关με=v。在理想介质中均匀平面波有哪些特点?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:答:在理想介质中均匀平面波的传播的特点可归纳为:()电场E和磁场H与传播方向ne之间相互垂直是TEM波。()电场与磁场的振幅不变。()波阻抗是实数电场与磁场同相位。()电磁波的相速与频率无关。()电场能量密度等于磁场能量。在导电媒介中均匀平面波的相速是否与频率有关【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:在导电媒质中均匀平面波的相速与频率有关在同一种导电媒质中不同频率的电磁波的相速是不同的。良导体中μγπfv=趋肤深度是如何定义的?他与衰减常数有何关系?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:趋肤深度定义为电磁波场量的幅值衰减为表面值的e所经过的距离记为αμγπδ==f。在工程上常用趋肤深度来表征电磁波的趋肤程度趋肤深度与衰减常数成反比。亥姆霍兹定理的内容是什么?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:一个矢量场所具有的性质可完全由它的散度和旋度来表明一个标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。两个相互垂直的线极化波叠加在什么条件下是直线极化波?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:设两个相互垂直的线极化波分别为:()()⎩⎨⎧−−=−−=coscosψωψωkztEEkztEEymyxmx取特定点=z简化分析()()⎩⎨⎧−=−=coscosψωψωtEEtEEymyxmx当ψψ=或=−ψψ时电场的水平分量与垂直分量相位相同或相差这种情况下二者叠加形成线极化波。两个相互垂直的线极化波叠加在什么条件下是圆极化波?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:答:设两个相互垂直的线极化波分别为:()()⎩⎨⎧−=−=coscosψωψωtEEtEEymyxmx当⎪⎩⎪⎨⎧=−=ψψymxmEE两分量的振幅相等但相位差±这种情况下形成圆极化波。两个相互垂直的线极化波叠加在什么条件下形成椭圆极化波?【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:设两个相互垂直的线极化波分别为:()()⎩⎨⎧−=−=coscosψωψωtEEtEEymyxmx当⎩⎨⎧≠≠ψψymxmEE即两分量的振幅和相位均任意时为椭圆极化。什么是波的极化?什么是线极化?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:电磁波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性。一般沿z方向传播的电磁波其电场可分解为x和y方向的两个分量。而两量合成后的合成电场的大小虽然随时间变化但其矢端轨迹始终与x轴保持夹角为常数这样的波成为直线极化波。什么是线极化波?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:一般沿z方向传播的电磁波其电场可分解为x和y方向的两个分量。而两量合成后的合成电场的大小虽然随时间变化但其矢端轨迹始终与x轴保持夹角为常数这样的波成为直线极化波。什么是圆极化波?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:一般沿z方向传播的电磁波其电场可分解为x和y方向的两个分量。而两量合成后的合成电场的大小不随时间变化但方向却随时间改变。合成电场的矢端在一个圆上并以角速度ω旋转称为圆极化波。什么是椭圆极化波?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:一般沿z方向传播的电磁波其电场可分解为x和y方向的两个分量而当两分量的振幅和相位均任意时合成电场矢端在一椭圆上旋转视为为椭圆极化波。什么是群速?它与相速有何区别?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:、群速是包络上任一恒定相位点的推进速度。相速是波的等相位面移动的速度而群速才是电磁波传播的速度。什么是波的色散?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:电磁波的传播速度(相位)随频率改变的现象称为波的色散何为正常色散?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:相速随频率的升高而减小的现象即群速小于相速。这种情况称为正常色散何为反常色散?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:相速随频率的升高而增加的现象即群速大于相速。这种情况称为反常色散请叙述法拉第电磁感应定律。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:当穿过导体回路的磁通发生变化时回路中就会出现感应电流这表明回路中感应了电动势且感应电动势的大小等于磁通的时间变化率dtdinφε−=。什么是互感?什么是自感?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:当磁场由自身回路的电流产生则穿过回路磁链与自身电流之比称为自感系数简称自感。ILψ=如果有两个回路而第二回路电流I产生的磁场与第一回路交链的磁链为ψ其比值称为互感系数IMψ=。什么是时谐场?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:随时间按照正弦规律变化的电磁场就是时谐场。如果CABA⋅=⋅是否意味着CB=?为什么?【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:并不意味着CB=。因为在空间中θcosAB=⋅BA,保持θ不变以B为母线旋转所得锥面上的所有向量与A点乘结果都相等故原命题不成立。如果CABA×=×是否意味着CB=?为什么?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:原命题不正确.假设在空间中A和B的夹角为θ则θsinAB=×BA方向满足右手螺旋定则BAreee×=.而如果A和C的夹角为θπ−则同样θsinAC=×CA再如果CB=则BACA×=×而CB≠所以原命题不正确.均匀平面电磁波的电场强度的瞬时值()()()kztEkztEtzymxm−−=ωωsincos,yxeeE该波向什么方向传播?在任一等相面上电场是按照什么时针方向旋转?该波是左旋波还是右旋波?【知识点】:【难易度】:C【参考分】:【答案】:根据电场的表达式在向z方向传播的过程中相位是滞后的所以该波向z方向传播。在任一等相面上电场是按照逆时针方向旋转。结合电磁波传播的方向该波是右旋波。三、计算题半径为a的带电导体球其电位为U(无穷远处电位为零)试计算球外空间的电位和电场强度。(球坐标下的拉氏运算为:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂=∇sinsinsinϕψθθψθθθψψrdrdrrrr)【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:解:球外空间的电位满足拉氏方程=∇ϕ由题意可知电位及电场具有球对称性()rϕϕ=所以球坐标下的拉氏运算为:⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇drdrdrdrϕϕ直接积分()CrCr−=ϕ由电位满足的边界条件⎪⎩⎪⎨⎧==∞==rarUϕϕ可得:⎩⎨⎧=−=CaUC因此()raUr=ϕ()raUererErrvvv=∂∂−=−∇=ϕϕ如图所示同轴线内外导体半径分别为a和b填充的介质≠γ具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U求漏电介质内的ϕEvJv和单位长度的漏电电导。(圆柱坐标系的拉普拉斯运算为:zrrrrr∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∇ψϕψψψ)【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:解:设同轴线内外导体是理想导体则导体内=Ev导体表面是等位面于是漏电介质中的电位只是径向r的函数拉普拉斯方程为柱坐标系中对r求拉氏运算。=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇drdrdrdrϕϕ其通解BrA=lnϕ边界条件为⎪⎩⎪⎨⎧====brarUϕϕ得⎟⎠⎞⎜⎝⎛=rbabUlnlnϕ导电媒质中的电场强度()abrUererErrlnvvv=∂∂−=−∇=ϕϕ电流密度abrUeEJrlnγγvvv==单位长度上的漏电流abUIlnπγ=单位长度上的漏电导abUIGlnπγ==一个有两层介质的平行板电容器其参数分别为,γε和,γε外加电压U求介质分界面上的自由电荷密度。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:解:设电容器极板为理想导体故极板是等位面电流沿z方向。由边界条件nnJJ=得JJJ==相应的电场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====γγγγJJEJJE外加电压U等于JdddEdEUUU⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===γγ得−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=γγddUJ于是γεεJED==γεεJED==由边界条件σ=−nnDD上极板的自由电荷面密度γεσJD==下极板的自由电荷面密度γεσJD==介质分界面上的自由电荷UddJDD⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=γγεγεγγεγεσ如图示部分填充介质的同轴线半径分别为a和b的同轴线外加电压U。圆柱电极间在图示θ角部分填充介电常数为ε的介质其余部分为空气求介质与空气中单位长度内的电场能量。(圆柱坐标系的拉普拉斯运算为:zrrrrr∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∇ψϕψψψ)【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:解:问题具有轴对称性选用柱坐标系待求函数()rϕϕ=()rϕϕ=在柱坐标系下⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇drdrdrdrϕϕ于是电位ϕ满足的拉普拉斯方程为:=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∇drdrdrdrϕϕ其通解为BrA=lnϕ同理DrC=lnϕ其中系数A、B、C、D可由边界条件确定边界条件⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧========brarbrarUUϕϕϕϕ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====DbCDaCUBbABaAUlnlnlnlnbabUDBbaUCAlnlnln−====于是得⎟⎠⎞⎜⎝⎛==rbabUlnlnϕϕ由此可知rabUeEErlnvvv=−∇==ϕ于是介质中的能量密度为:lnrabUEwe⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛==εε单位长度的能量abUrdrdEWbaelnεθϕεθ==∫∫空气中的能量密度为:lnrabUEwe⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛==εε单位长度的能量()abUrdrdEWbaelnθπεϕεθπ−==∫∫−在<z的下半空间是介电常数为ε的介质上半空间为空气(ε)距离介质平面h处有一个点电荷q如果用镜像电荷法求空间的场请求出满足条件的镜像电荷的位置和电量值。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:解:考虑上半空间的场时在点电荷下方对称的地方放置一个点电荷'q于是上半空间的场就由q和'q来决定。而'q存在的条件就是满足原来的边界条件。如图>z''RqRqπεπεϕ=图图考虑下半空间的场时镜像电荷要在所考虑空间之外介质中极化电荷的作用用"q来表示把"q放置在点电荷所处的位置如图<z"Rqqπεϕ=镜像电荷的存在要满足空气与介质分界面的边界条件原来的边界条件是在=z时有nn∂∂=∂∂=ϕεϕεϕϕ当=z时有'RRR==则有εε"'qqqq=()()()"''==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−zzhzRqqRhzqRhzqπεεπεε求解可得:qq'εεεε−−=qqq'"εεεε−=−=位置如图所示。一个半径为a的接地导体球在与球心O相距d的P点有一点电荷q求球外的电位分布。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:解:球外区域任意一点的电位由点电荷q和导体球表面的感应电荷决定。在求解区域外(球内)用一点电荷q(像电荷)代替球面上感应电荷的影响。像电荷的位置及大小由以下原则决定:移去导体球后点电荷与像电荷的共同作用应使球面的电位为零。因为球的对称性可知q一定处于OP的连线上。球外任意一点P的电位:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=RqRqπεϕ为确定像电荷的位置及大小可在球面上取两个特殊点S、S。它们的电位均为零。⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛daqadqdaqdaqπεπε联立求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=dadqdaq球外任意一点P的电位:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=RdaRqRqRqπεπεϕ采用球坐标系取原点为球心O点z轴与OP重合则球外任意点()ϕθ,,rP处有()()⎪⎩⎪⎨⎧−=−=coscosθθrddrRrddrR带回上面的表达式可得:()()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=coscosθθπεπεπεϕrddrdarddrqRdaRqRqRq半径为a的无限长直导体通有电流I计算导体内外的基本场变量()rH【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:解:很显然场变量与坐标z,ϕ无关磁力线是圆心在导线轴上的一簇同心圆。由基本方程∑∫=⋅ICldH回路c所包围电流的代数和。设电流均匀分布于导体横截面在ar≤时HHarIraIrrCC====⋅∫∫πππϕϕϕddlH得raIHπϕ=。所以()raIHrπϕϕϕeeH==在ar≤时IrrCC===⋅∫∫ϕϕπϕHHddlH得rIπϕH=所以()rIHrπϕϕϕeeH==两个半径为a的圆柱相交圆心距离为c下图是相交的截面不重叠的地方通有大小相等方向相反的电流求证:重叠区域内的磁场是均匀的。【知识点】:【难易度】:B【参考分】:【答案】:证明:将圆柱放入柱坐标系轴向与z轴重合,应用叠加原理每个圆柱单独存在时柱内的磁场强度为:由基本方程∑∫=⋅ICldH得:圆柱内HHaIraIrraIrCππππϕϕ=⇒===⋅∫ldHreeeeeeH×=×====zrzJrJrJraIHϕϕϕϕπreeH×−==zJHϕϕ重叠区域的场叠加后可得:()JcJJyzzecerreHHH=×=−×==证明完毕。铁质的无限长圆管中通过电流I管的内外半径分别为a和b。已知铁的磁导率为μ求管壁中和管内外空气中的B并计算铁中的M和mJ等。【知识点】:【难易度】:A【参考分】:【答案】:解:如图建立坐标系设电流沿z方向则场分布是轴对称的只有ϕ分量。利用基本方程的积分形式有(a)()()abarIrHdc−−=⋅=⋅∫πππϕlHbra≤≤时rIabarπϕ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=eHbra<<rIabarπμμϕ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==eHB(b)IrHdc=⋅=⋅∫πϕlH∞≤≤rbrIπϕeH=∞<<rbrIabarπμμϕ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==eHB(c)=⋅=⋅∫rHdcπϕlHar≤≤=H在Ⅱ区的管壁空间内磁化强度为rIabarπμμμϕϕ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=eHBeM管壁内的磁化体电流为()()abIrMrrzz−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂=×∇=πμμϕmeeMJ在r=a和r=b处的磁化面电流为()=−×=raremsMJ()⎥⎥⎦⎤

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