§5．1 定积分概念
§5( 3 微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设物体从某定点开始作直线运动( 在t时刻所经过的路程为S(t)( 速度为v(v(t)(S((t)(v(t)(0)( 则在时间间隔[T1( T2]内物体所经过的路程S可表示为
及
(
即
(
上式表明( 速度函数v(t)在区间[T1( T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1( T2]上的增量(
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
二、积分上限函数及其导数
设函数f(x)在区间[a( b]上连续( 并且设x为[a( b]上的一点(我们把函数f(x)在部分区间[a( x]上的定积分
称为积分上限的函数( 它是区间[a( b]上的函数( 记为
((x)
( 或((x)(
(
定理1 如果函数f(x)在区间[a( b]上连续( 则函数
((x)
在[a( b]上具有导数( 并且它的导数为
(((x)
(a(x0( 则同理可证((((x)( f(a)( 若x(b ( 取x<0( 则同理可证((((x)( f(b)(
定理2 如果函数f(x)在区间[a( b]上连续( 则函数
((x)
就是f (x)在[a( b]上的一个原函数(
定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的( 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系(
三、牛顿((莱布尼茨公式
定理3 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a( b]上的一个原函数( 则
(
此公式称为牛顿((莱布尼茨公式( 也称为微积分基本公式(
这是因为F(x)和((x)(
都是f(x)的原函数(
所以存在常数C( 使
F(x)(((x)(C (C为某一常数)(
由F(a)(((a)(C及((a)(0( 得C(F(a)( F(x)(((x)(F(a)(
由F(b)(((b)(F(a)( 得((b)(F(b)(F(a)( 即
(
证明( 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数( 又根据定理2( 积分上限函数
((x)(
也是f(x)的一个原函数( 于是有一常数C( 使
F(x)(((x)(C (a(x(b)(
当x(a时( 有F(a)(((a)(C( 而((a)(0( 所以C(F(a)( 当x(b 时( F(b)(((b)(F(a)(
所以((b)(F(b)(F(a)( 即
(
为了方便起见( 可把F(b)(F(a)记成
( 于是
(
进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系(
例1. 计算
(
解( 由于
是
的一个原函数( 所以
(
例2 计算
(
解 由于arctan x是
的一个原函数( 所以
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (
例3. 计算
(
解(
(ln 1(ln 2((ln 2(
例4. 计算正弦曲线y(sin x在[0( ]上与x轴所围成的平面图形的面积(
解( 这图形是曲边梯形的一个特例( 它的面积
((((1)(((1)(2(
例5. 汽车以每小时36km速度行驶( 到某处需要减速停车(设汽车以等加速度a((5m/s2刹车( 问从开始刹车到停车( 汽车走了多少距离？
解 从开始刹车到停车所需的时间
当t(0时( 汽车速度
v0(36km/h
m/s(10m/s(
刹车后t时刻汽车的速度为
v(t)(v0(at (10(5t (
当汽车停止时( 速度v(t)(0( 从
v(t)(10(5t (0
得( t(2(s)(
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
EMBED Equation.3 (m)(
即在刹车后( 汽车需走过10m才能停住(
例6. 设f(x)在[0, (()内连续且f(x)>0( 证明函数
在(0( (()内为单调增加函数(
证明(
(
( 故
EMBED Equation.3(
按假设( 当0(t(x时f (t)>0( (x(t)f (t)( 0 ( 所以
(
(
从而F ((x)>0 (x>0)( 这就证明了F (x) 在(0( (()内为单调增加函数(
例7. 求
(
解( 这是一个零比零型未定式( 由罗必达法则(
(
提示( 设
( 则
(
(
4
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_1101488285.unknown
_1101488320.unknown
_1101488358.unknown
_1101816335.unknown
_1101816532.unknown
_1101816537.unknown
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_1101488362.unknown
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