生活中的概率统计

生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 摸球模型 古典概型的定义 如果随机试验满足两个条件：（1）有限性：样本空间所包含的基本事件仅有 个； （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.称这样的数学模型称为古典概型. n 在古典概型中，设随机事件 含有 个样本点，那么事件 发生的概率定义为 A m A n mAP =)( . 古典概型的基本模型——摸球模型 一．无放回地摸球模型 设袋中有 4只白球和 2只黑球，现从中无放回地依次摸出 2只球，求这 2只球 都是白球的概率。 解：设 }2{ 只都是白球摸得=A 解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。则 5 2 56 34)( 2 6 2 4 =× ×== A AAP 。 解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。则 5 2)( 2 6 2 4 == C CAP 。 解法三：分析：用事件的“分解”及概率的运算法。 )2,1}({= =iiBi 次摸到白球第 ，则 设 5 2 5 3 6 4)()()()( 12121 =×=== BBPBPBBPAP 。(乘法公式) 二．有放回地摸球模型 袋中有 4 个红球，6 个黑球。从中有放回地摸球 3 次，求前两次摸到黑球、第 三次摸到红球的概率。 解法一：用古典概率方法求解。 144.0 10 466)( 3 =××=AP 。 解法二：令 ={第 i次摸到黑球}（iA 3,2,1=i ）。 144.0 10 4 10 6 10 6)()()()()( 321321 =××=== APAPAPAAAPAP 独立性 。 摸球模型的应用： 抽奖问题 1 某班级只有一张晚会入场券，而有 10 位同学都要参加，教师采用抽签 的方式来确定这张入场券给谁。这跟抽签的顺序有关吗？ 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 分析：设给 10 个同样大小的球编号，抽到 1 号球得晚会入场券。 设 ：第 i个人抽到 1 号球（ =1，2，…，10）。 iA i 则 10 1)( 1 =AP ， 10 1 9 1 10 90)()()()()( 1211212 =⋅+=+= AAPAPAAPAPAP （全概率公式） )()()()()()( 11213121121 −− ⋅=⋅= iiiii AAAPAAAPAAPAPAAAAPAP LLL 10 1 110 1 210 110 9 8 10 9 =+−⋅+− +−⋅= ii iL （乘法公式） 由上式可知：当一个人抽签时，若他前面的人抽的结果都不公开时，那么每个人抽 到的概率都相等。 抽奖问题 2 若某班级有 个人，其中有 个人可以抽到晚会入场券，那么他们 抽到入场券的概率与抽的次序有关吗？对抽奖人有何约定？ ba + a 分析： 设 ：第 i个人抽到入场券（ i =1，2，…，iA ba + ）。 ba aAP +=)( 1 ， )()()()()()()( 12112121212 AAPAPAAPAPAAPAAPAP +=+= ba a ba a ba b ba a ba a +=−+++−+ −⋅+= 11 1 )( 3AP =？ 电话号码问题 在七位数的电话号码中，求数字 0 恰好出现了三次的概率。 分析：把 0 看作红球，1~9 都看作黑球，本例相当于袋中有 1 只红球，9 只黑球采用有 放回摸取方式，从中摸球 7 次，求其中恰有 3 次摸到红球，但第一次不能摸到红球的概 率。 7 333 6 10 919 )( ⋅⋅×= CAP 。 骰子问题 掷 3 颗均匀骰子，求点数之和为 4 的概率。 分析：同时掷 3 颗骰子和先后掷 1 颗骰子 3 次效果是一样的。掷一次骰子出现 3 点，可 看成从装有编号为 1~6 的 6 个球的袋子中，有放回地取一次球，取出的是 3 号球。所以 本问题的概率等于从装有编号 1~6 的 6 个球的袋子中，有放回地取球 3 次，求 3 个球的 编号之和为 4 的概率。 3 22 3 6 11 )( ×⋅= CAP 投球问题 把 4 个球放到 3 个杯子中去，求第 1、2 个杯子中各有 2 个球的概率，其 中假设每个杯子可放任意多个球。 解：先求 4 个球放入 3 个杯子的基本事件总数。因为每个球都可以放入 3 个杯子中的任 意一个，有 3 种不同的放法。又因为一个杯子中放入的球数无限制，所以 4 个球放入 3 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 个杯子的基本事件总数为 。第 1、2 个杯子中各有 2 个球所包含的基本事件数为从 4 个球中任取 2 个球放入第 1 个杯子，再将剩余的 2 个球放入第 2 个杯子，即共有 。 43 2 2 2 4CC 27 2 3 )( 4 2 2 2 4 == CCAP 。 分房问题 设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到 N 个房间中的任意一间去住 （ ），求下列事件的概率： Nn ≤ （1）指定的 n 个房间各有一个人住； （2）恰好有 n 个房间，其中各住一个人。 分析：因为每一个人有 N 个房间可供选择所以 n 个人住的方式共有 ，它们是等可能 的。 nN （1）指定的 n 个房间各有一个人住，其可能总数为 n 个人的全排列 ，于是 !n nN np !1 = 。 （2）恰好有 n 个房间，其中各住一个人：这 n 个房间可以在 N 个房间中任意选取，其 总数有 ，对选定的 n 个房间，按题（1）的讨论，所以 nNC n n N N nCp !2 = 。 生日问题 某班有 50 个学生，求至少有两人在同一天生日的概率。 分析：把学生看成“球”，一年 365 天看成是杯子。此问题可转化为把 50 个球放入 365 个杯子中去，求至少有一个杯子中至少有两个球的概率。用对立事件求之。 )(1)( APAP −= 97.0 365 1)( 50 50 365 ≈−= CAP 问：其中 如何解释？ 97.0 思考题：某班有 20 个学生都是同一年出生的，求有 10 个学生生日是 1 月 1 日、另外 10 个学生生日是 12 月 31 日的概率。 分析：把学生看作“球”，一年 365 天看成 365 个“杯子”，此问题即归属于将 20 个 球放入 365 个杯子中去的概率模型，原问题转化为求第 1 和第 365 只杯子中各有 10 个 球的概率。 20 10 10 10 20 365 )( CCAP = 。 生日问题 求 500 人中至少有 1 人的生日是 10 月 1 日的概率。 解：设 A={500 人中至少有 1 人的生日是 10 月 1 日}。 iB ={500 人中恰有 i个人生日在 10 月 1 日}， 互不相容iB )500,,2,1( L=i 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 解法一： ∑∑ = −− − == ⋅⋅=== 500 1 500 500500 500500 500 1 500 1 365 )364)(1( )()()( i ii i i i i i i CCBPBPAP U 。 其中把 年成 500 个球放到 365 个杯子中去，10 月 1 日这个杯子恰有 i个球 的概率。 )( iBP 解法二：用逆事件处理。 500 500 0 365 3641)(1)( −=−= BPAP 。 解法三：用事件的独立性。设 ={第 个人生日在 10 月 1 日}iC i )500,,2,1( L=i 。显著 相 互独立，故 iC ∏ == −=−==−= 500 1 500 1 0 )(1)(1)(1)( i i i i CPCPBPAP I 500 500 365 3641 365 364 365 364 365 3641 −=×××−= L 。 解法四：用贝努利概型。把对每个人的生日是否在 10 月 1 日进行观察看成是一次试验， 此进相当于进行了 500 次独立试验，每次试验结果只有 2 个：“是”或“不是”，且每 个试验结果为“是” 的概率都是 365 1 。令ξ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 500 重贝努利试验中“是”发生的次数， 则 50000500 )365 11() 365 1(1)0(1)1()( −−==−=≥= CPPAP ξξ 500) 365 364(1−= 。 知识点： 贝努利概型 如果试验E只有两个可能的结果： 与A A，并且 )10( )( <<= ppAP ，把E独立地 重复进行 次的试验构成了一个试验，这个试验称作 重贝努利试验或贝努利概型. n n 在 n 重贝努利试验中事件 A 出现 k 次的概率为 nppCAP knkknk ,0,1,2,k )1()( L=−= − 她笨拙吗？ 有 5 个女孩，她们去洗餐具，在打破的 4 个餐具中有 3 个是最小的女孩打破的，因 此人家说她笨拙。你能否运用概率统计原理为她申辩，说这完全可能是碰巧？ 分析：假设每个女孩打破餐具的概率相等，那么打破 4 个餐具中同一人打破 3 个的概率 为 0256.0 5 4) 5 1()( 334 =×= CAP 。 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 根据小概率原理，这概率很小，可以认为在一次试验中是不可能发生的。这意味着 每个女孩打破餐具的概率不相等，也就是说，最小的女孩打破餐具的概率要大些。 小概率原理 概率很小的事件在一次试验中认为是不会发生的。 碰运气能否通过英语四级考试 大学英语四级考试是为全面检验大学生英语水平而设置的一种考试，具有一定的难 度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、综合填空、写作等。除英文写作占 15 分外，其余 85 道多种答案选择每题 1 分，即每一道题附有 A，B，C，D 四个选择答案， 要求考生从中选择最佳答案。这种考试方式使有的学生产生想碰运气的侥幸心理，那么 靠碰运气能通过英语四级考试吗？ 分析：假定不考虑英文写作所占的 15 分，那么按及格成绩 60 分计算，85 道选择题必须 答对 51 道题以上。如果单靠碰运气、瞎猜测的话，则每道题答对的概率为 4 1 ，答错的 概率是 4 3 。显然，各道题的解答互不影响，因此，可以将解答 85 道选择题看成 85 重贝 努利试验。 设随机变量ξ表示答对的题数，则ξ服从参数 85=n ， 25.0=p 的二项分布，其分布 律为 n,0,1,2,k )1()( L=−== −knkkn ppCkP ξ 若要及格，必须 51≥ξ ，其概率为 12 85 51 1074.8)25.01(25.0)51( − = − ×≈−=≥ ∑ k knkk nCP ξ 。 这个概率非常小，因此可以认为，想靠碰运气通过四级考试几乎是一个不可能发生 的事件，它相当于在一千亿个想碰运气的考生中，仅有 0.874 人能通过四级考试。 几何概型 在奖品的诱惑面前要冷静 在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。小学生每转动指针 一次交 5 角钱，若指针与阴影重合，奖 5 角钱；若连续重合 2 次奖文具盒一个；若连续 重合 3 次，奖 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 包一个；若连续重合 4 次，奖电子游戏机一台。不少学生被高额奖品所 诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？ 利用几何概率可以解释这个问题。由于指针位于圆 周上 阴影部分才能得奖，设圆周周长为 100cm，阴影部分位于圆 周上 的每一弧长为 2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落 于阴 影上的概率为 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 08.0 50 22 2 2)( =×==圆周长 DCAP )) 即参加一次游戏不用花钱的概率为 0.08。由于每次转动可看成相互独立的随机事件，设 ={指针与阴影连续重合 i次}，则 iA ， ， 08.0)( 1 =AP 0064.008.0)( 22 ==AP ， 。 000512.008.0)( 33 ==AP 00004096.008.0)( 44 ==AP 可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有 0.0064，那么要想得 到游戏机，则几乎是天方夜谭。由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。 所以，这是一个骗人的把戏。 知识点： 几何概型的定义 设随机试验的样本空间是某一个区域 ，G的测度（或长度，或面积，或体积）为 ，并设随机点等可能地落入 中的任意点。 即点落入 中的任意一个小区域 的可 能性仅与 G D G S A A的测度成正比，与 A在 中的位置及形状无关.记“点落入小区域G A”这个 随机事件记为 ，则 )(AP 的测度区域 的测度区域 G AAP =)( 。 这一类概率通常称为几何概率. 概率为零的事件不一定是不可能事件 不可能事件的概率一定为零，即若 ∅=A ，则 0)( =AP 。但反之不然，概率为 零的事件却不一定是不可能事件，即若 0)( =AP ，则不一定有 ∅=A 。 例如，在几何概率中，设 ， 。}4:),{( 22 ≤+=Ω yxyx }1:),{( 22 =+= yxyxA Ω为 圆域，而 A为其中一圆周。则 0 4 0)( ==Ω= π的面积 的面积AAP 。 显然， 是可能发生的，即若向 内随机投点，点落在圆周 上的情况是可能 发生的。 A Ω 122 =+ yx 又如，对于连续型随机变量ξ，有 0)( == aP ξ ，但 }{ a=ξ 是可能发生的，即ξ 可以取到值 。 a 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下，若 ，则 。 0)( =AP ∅=A “犯人”的机智 有一个古老的传说，一个绅士因看不惯王爷的所作所为而得罪了他，并被关进 了监狱，众人替他求情，王爷就给他出了个难题：给他两个碗，一个碗里装 50 个小黑 球，另一个碗里装 50 个小白球。规则是把他的眼睛蒙住，要他先选择一个碗，并从这 个碗里拿出一个球。如果他拿的是黑球，就要继续关在监狱；如果他拿的是白球，就将 获得自由。但在蒙住眼睛之前，允许他用他希望的任何方式把球进行混合。这个绅士两 眼直盯着两个碗，因为关系到他今后的人生和众人的情意，他不得不慎重考虑。王爷说： “这就要看你的造化了，你挑一个碗并从里面拿出一个白球的几率是 50%。” 绅士紧皱眉头，“天无绝人之路”，灵机一动，只见他把所有的球都混合在一个碗 里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，对王爷说：“现在我获得自由的几率为 75%。” 的确如此，这时他选中装一个白球的碗的概率为 2 1 ，如果他选了另一个碗，他还能 以 99 49 （接近 2 1 ）的概率从碗里拿出一个白球，这样他获得自由的机会提高到 4 3 99 49 2 1 2 1 ≈×+ 。 但他并不因此而满足，因为他仍有 4 1 的几率选到黑球。怎样才能把获释的机会再扩 大一点呢？耍小聪明的时候到了，思维犹如奔驰的野马，“允许我用‘任何’方式把球 混合”，急中生智，突然，他大叫一声：“这一下，我有救了。”只见他把白球覆盖在 黑球上，并拿一个白球放在另一个碗里，这样他获释的机会为 100%了。王爷大叫一声： “好，君无戏言，立刻放人。” 这个故事的前半段用了概率知识，至于后半部分把白球覆盖在黑球上，那是运用智 谋。 全概率公式：设 是一列互不相容的事件，且有 ， ， 则对任一事件 A，有 = L,, 21 BB 0Ω= ∞ = U 1i iB )( >iBP )(AP ∑∞ =1 )()( i ii BAPBP 。 可见，概率正是生命的指引。概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的 某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为”。 赌注押在哪？ 17 世纪末，法国的 Chevalies De Mere 注意到在赌博中一对骰子抛 25 次，把赌 注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”有利。但他本人找不出 原因，后来请当时著名的法国数学家 Pascal 才解决了这一问题。这问题应如何解决呢？ 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 解：题中一对骰子抛 25 次，是指 2 颗同样的骰子同时抛掷，共抛 25 次。“至少出现一 次双六”是指抛 25 次中至少出现一次数对(6,6)（记为事件 B），“完全不出现双六” 是 指抛 25 次出现的数对完全没有(6,6)，它是 B 的对立事件B。因此，题中把赌注押到“至 少出现一次双六”比押到“完全不出现双六”有利的意思，即为 )()( BPBP > 。因为 1)()( =+ BPBP ，故只要证明 2 1)( >BP 。 一对骰子抛 1 次有 36 种情况，其中只有 1 种是 。因此一对骰子抛 1 次出 现双 6 的概率为 )6,6( 36 1 。 设 ={第 i次抛掷时出现对iA )6,6( } )6,2,1( L=i ，则有 36 1)( =iAP ， 36 35)( =iAP 一对骰子抛 1 次，可视为 1 次随机试验，一对骰子抛 25 次可视为 25 重独立贝努利 试验。 U 25 1= = i iAB )()()(1)(1)()( 25212521 25 1 APAPAPAAAPAPBP i i LLU −=−== = 2 15045.0) 36 35(1 25 >=−= 。 注：进一步讨论投掷次数对结论的影响也是很有趣的，值得考虑一下的是为什么正好掷 25 次呢？掷的次数少了或多了会怎样呢？这只要在上面的不等式中把 25 换成 n，看会 出现什么结果，要决定 n，使 2 1)()( 1 >= = U n i iAPBP 即 )()()(1)(1)()( 2121 25 1 nn i i APAPAPAAAPAPBP LLU −=−== = 2 1) 36 35(1 >−= n 解之得 67.24>n 故要使 )()( BPBP > ，抛掷 25 次是起码的要求，少于 25 次不行。当然抛掷的次数超过 25 次越多，对事件“至少出现一次双六”的发生越有利，且 1) 36 35(1lim =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∞→ n n 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 奖金如何分配才算公平 问题 在一次乒乓球比赛中设立奖金 1000 元。比赛规定：谁先胜 3 盘，谁获得全部 奖金。设甲、乙二人的球技相当，现已打了 3 盘，甲 2 胜 1 负，由于某特殊原因必须中 止比赛。问这 1000 元应如何分配才算公平？ 分析： 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 一：平均分，这对甲欠公平。方案二：全部归甲，这对乙不公平。方案三： 按已胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似合理，双方可以接受的方法，即甲拿 3 2 ，乙拿 3 1 。仔细分析，发现这也并不合理。理由如下：设想继续比赛，要使甲、乙有 一个胜 3 盘，只要再比 2 盘即可，结果无非是以下四种情况之一：甲甲，甲乙，乙甲， 乙乙 其中“甲乙”表示第 4 盘甲胜、第 5 盘乙胜，其余类推。把乙比赛过的 3 盘与上述四种 结果结合，即甲乙打完 5 盘，可以看出前 3 个结果都是甲先胜 3 盘，因而甲可得 1000 元，只有最后一个结果才由乙得 1000 元。在球技相当的条件下，上述四个结果应有等 可能性。因此，方案四是因为甲乙最终获胜可能性的大小这比为 3：1，所以全部奖金应 按制胜率的比例分，即甲分 750 元，乙分 250 元，才算公平合理。 用全概率公式计算：若再比一盘，甲乙胜的概率各为 2 1 。若甲胜，由甲得全部奖金；若 乙胜，则甲乙各胜 2 盘，奖金平分。所以有 甲得奖金= 750500 2 11000 2 1 =×+× （元）。 这个问题实际上是利用了加权平均数的方法，即求均值的思想方法，在决策分 析中经常用到。 数学期望（均值）： 若离散型随机变量ξ可能取值为 )1,2,(i L=ia ，其分布列为 ，则当 ),2,1( L=ipi 1 i i i a p ∞ = < +∞∑ 时，称ξ存在数学期望，并且数学期望为 1 i iE a p ∞ =i ξ = ∑ 。 如果 1 i i i a p ∞ = = +∞∑ ，则称ξ的数学期望不存在。 数学期望应用举例 承包工程问题 某工程队承包一项工程。若三天完成可获利 10000 元，四天完成可获 利 2500 元，五天完成要罚款 7000 元。由以往经验知：获利金额ξ的分布列为 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 3a 问承包这种工程平均可获利多少元？ ξ 10000 2500 -7000 p 1 8 5 8 2 8 分析：假设承包这种工程 N 项，其中有 项获利 10000 元，有 项获利 2500 元，有 项获利-7000 元。则 + + =N。 1a 2a 1a 2a 3a 则 承包这 N 项工程平均每项获利= N a N a N a 321 70002500 −++10000 ( ) = N a N a N a 321 70002500 −+×+×10000 ( ) = 5.1062 8 27000 8 52500 8 1 =×−+×+×10000 （元） 其中我们注意到: N ai 是对应随机变量取相应值的概率。 商店进货问题： 已知顾客对商店中某种食品每天的需求量ξ（单位：袋）的分布如下： ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 0.05 0.05 0.05 0.15 0.20 0.25 0.10 0.10 0.05 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ~ξ 每出售一袋食品商店可获利 4 元，但若当天卖不完，每袋食品将损失 3 元，商店希望利 润达到极大，那么每天对这种食品应进货多少袋？ 由于对该食品的需求量是随机的，因此事先无法确定利润，也无法使某天的利润达 到极大，但由于商店天天营业，可以通过控制进货使该食品的平均利润达到极大。 解:这种食品平均每天的需求量 =0×0.05+1×0.1+2×0.1+3×0.25+4×0.2+5×0.15+6×0.05+7×0.05+8×0.05 =3.65 (袋) 开门次数问题： 某人的一串钥匙有 n 把,其中只有一把能打开自己家的门.当他随意地试用这串钥匙 时,求打开门时乙试用过的钥匙数的数学期望.假定 （1）他把每次用过的钥匙分开；（2）他每次用过的再混杂在这串钥匙中。 解：先求分布列,再求数学期望. (1) ( ) nknknnn kP 121 =+−⋅+− knnn 11121 +−−− ⋅⋅−⋅== Lξ k=1,2,……,n 21 n kE k =⋅= ∑ = ξ 11 nn + 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 (2) 前 k-1 次都没有打开,第 k 次才打开.所以 ( ) ∞⋅⋅⋅=⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== − L21k 11 1 nn nkP k ξ ∑=∑∑ ∞ = − =− = −∞ = − ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅=⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅= 1 1 1 n 1 1 1 1 11 1 11 k k t n n k k k k tk nn nk nnn nkE 令 ξ (0=> σηξ PP 于是 981.0 1657 311)1663600()3600( =−≈−≤≤=≤≤ σηξ PP 查正态分布表知， 08.2166360 ≈−σ ，即 93≈σ 。 所以 。 )93,166(~ 2Nξ 因为最低录取分数线 有确定应使高于此线的考生的频率等于0x 1657 300 ，即 1657 300) 93 166 ()( 00 ≈−>=> xPxP ηξ 所以 819.0 1657 3001) 93 166 0()0( 00 =−≈−≤≤=≤≤ xPxP ηξ 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 查正态分布表，得 91.0 93 1660 ≈−x ，求得 2510 =x 。 即最低录取分数线是 251。 下面预测考生 A 的考试名次。他的考分 x=256，查正态分布表知， 166.0834.01)968.0(1) 93 166256()256( =−≈Φ−=−>=> ηξ PP 这说明，考试成绩高于 256 分的频率是 0.166，也就是说成绩高于考生 A 的人数大约占 总人数的 16.6%。所以，考试名次排在 A 之前的人大约有 282%6.161657 =× 即考生 A 大约排在第 283 名。 从以上分析得出：最低录取分数线 251 分低于考生 A 的分数，所以，考生 A 能被 录取。但因其考试名次大约是 283 名，排在 280 名之后，所以，被录取为正式工的可能 性不大。 正态分布（又称 Gauss 分布）： 设 r.vξ的概率密度函数为 2 1)( 22 2)(- σ μ σπ − = x xp l －∞＜x＜＋∞ 其中μ、σ 为参数，σ ＞0。 则称 r.vξ服从参数为μ , 的正态分布，记为 r.v2σ ξ～ 。 ),( 2σμN 正态分布密度函数 的性质： )(xp （1）在直角坐标系内， 的图形呈钟形； )(xp （2）在 μ=x 处取得最大值 σπμ 2 1)( =p ； （3）关于直线 μ=x 对称, μ为ξ的平均值； （4）在 μ += σx 处有拐点； （5）当 ±∞→x 时，曲线以 x轴为渐近线； （6）当σ 固定，改变μ的值，则图形沿着 X 轴平行移动，而不改变其形态，故μ称为 形状参数；而当μ固定，当σ 的值变大时，最大值 )(μp 变小，曲线变得平缓；当σ 的值 变小时，最大值 )(μp 变大，曲线变得陡峭，故称σ 为形状参数。 当μ =0，σ =1 时，ξ～ ，称为标准正态分布。标准正态分布的密度函数记为)1,0(N )(xϕ ，分布函数记为 )(xΦ 。 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 )(xΦ + = 1； =1/2。 )( x−Φ )0(Φ 若 r.vξ～ ，则标准化 r.v ),( 2σμN σ μξ − ～ 。由此，要计算正态随机变量的 概率，可以利用标准正态分布表进行计算： )1,0(N )()()( 1221 σ μ σ μξ −Φ−−Φ=<≤ xxxxP 。 慎之又慎的可靠性理论 可靠性，顾名思义，就是一个产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定任 务的可能性。许多设备，特别是军工设备，必须保证其有效性。以防空导弹为例，雷达 发现敌机入侵到敌机临空时间是“规定的”，只有若干分钟。防空导弹的发射由设备本 身的性能所决定，也需要人力和物力的各种配合，这也是“规定的”。至于规定的任务 当然是导弹设备不发生故障，能将敌机拦截成功。因此，把防空导弹在执行任务中不发 生故障的可能性，用一个数字（概率）来加以表示，就是这一“防空设备”的可靠性。 导弹是一个复杂系统，它由许多零部件组成。复杂系统的可靠性需要零部件的可靠 性来保障。一个小小零件的不起眼的故障导致整个系统失败的例子数不胜数。1962 年美 国发射火星探测卫星失败，就因为软件的一个字母出错。 一个有 1000 个零件组成的系统是常见的。假如每个零件的可靠性是 0．999，即只 有千分之一次品率，而且各零件之间的故障出现相互独立，那么任何一个零件的失效， 将导致整个系统的失效。此时，全系统的可靠性为 。 368.0999.0 1000 ≈ 这就是说，如果零件厂的产品的正品率达到 0.999，1000 个零件组成的系统的可靠 性还不到三成七，这是何等的可怕。 第二次世界大战中，美军对日本作战时使用的电子设备暴露了很多问题。海军用的 电子设备 70％发生故障。轰炸机电子设备的使用平均不到 20 小时就出故障。1943 年， 美军设立了真空管设备的可靠性研究机构。对可靠性研究起真正推动作用的是美国在朝 鲜战争中的失败经验。那时，美国国防部每年为维持电子设备所花费用竟超过了采购这 些设备费用的 10 倍。这种反常现象使美国军方真正认识到可靠性的重要。1952 年，美 国国防部成立了“电子设备可靠性顾问委员会”（Advisory Group Of Reliability of Electronic Equipment，简称 AGREE），以军用电子设备为中心开展了 9 个方面的研究， 包括如何建立电子设备的可靠性指标，如何通过试验证明达到预定的可靠性指标，一直 到研究包装运输的可靠性，并制定了相应的检定标准。这些标准都先后成为现在通用的 国际标准。直到今天，AGREE 标准仍有相当大的参考价值。可靠性导致生产的“军用 标准”。符合美国军用标准成为可靠性的代名词。很多美国和欧洲、日本的生产厂家都 以能按美国军用标准提供产品为荣。 1962 年，美国和苏联在加勒比海进行导弹对峙。美国进一步认识到导弹的可靠性建 立在集成电路的可靠性之上。在 1960 年，美国的集成电路可靠性提高了一到两个数量 级。民兵Ⅱ型导弹的可靠性较民兵Ⅰ型导弹的可靠性提高了许多倍。据报道，民兵Ⅱ型 导弹的可靠性改进的费用高达 60.5 亿美元，比民兵Ⅰ型导弹的研制费用 5l 亿美元还要 多。可见，提高可靠性需要大投资，要舍得下本钱。 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 我国的可靠性研究也是和国防需要密切相关的。“两弹一星”的成功凝聚着许多工 程技术人员的心血，也包括无数工人的精心制作。我国的火箭发射有很高的成功率，这 要归功于党和国家各级领导对可靠性的高度重视和精心组织，同时也是可靠性研究的结 果。 可靠性研究不仅适用于军用产品，也适合民用产品。是否重视可靠性研究，是一个 国家、产业、工厂所有领导都必须重视的问题。作为领导来说，极为重要的是要有决心 和勇气发现自己产品的薄弱环节。有一个实际的例子。两家工厂生产同一种设备，国家 要求寿命为 2000 小时。甲厂的样机达到 2000 小时之后，再继续进行长寿命实验，发现 在 3000 小时左右出故障的情况，并加以改进。以后又发现在 5000 小时寿命会出现的故 障，再加以改进。这样，在批量生产时，保证产品的 2000 小时寿命就绰绰有余。另外 的乙厂，生产的样机也达到了 2000 小时寿命，因急欲完成任务，就立即投入批量生产。 由于质量不可能和样机完全一样，结果一部分产品寿命达不到 2000 小时，与别的设备 配套时，把别的设备也损坏了。结果用户退货索赔，乙厂损失严重。 进入 21 世纪的中国，科技含量、质量水平更加严峻地摆在人们的面前。可靠性研 究的普及将是一项迫切的任务。 一般电子产品的可靠性函数为： ,0 t)( ≥= − tetR λ λ是正数，表示故障率。 当 t=0 时， ，当 t 变化时，可靠性随时间指数式地快速下降。故障 率 1)( 0 == −etR λ越大，可靠性下降就越快。 例 设飞机的寿命 T 具有指数分布，即可靠性函数如上。如果每次飞行任务为 10 小时，要求“万无一失”。问：飞机的故障率λ要求为多少？ “万无一失”指在 1 万次任务执行中，出故障不到 1 次，亦即可靠性在 0.9999 以上， 所以要求一次飞行 10 小时的可靠性超过 0.9999。因此 。 0.9999)10()10( 10 >==≥ ⋅−λeRTP )()()()( 21 tTPtTPtTPtTP n ≥≥≥=≥ L 解得 。 -510<λ 即飞机的故障率要小于 。也就是说，飞机的寿命（正常工作时间）应为 10 万小 时。 -510 作为一台整机，需要将整机的可靠性指标分配给各个零部件。要整机寿命 t，必须 每个部件的寿命都超过 t。即 ttttt nn eeeeetTPtR )( 2121)()( λλλλλλλ +++−−−−− ===≥= LL 于是我们有 nλλλλ +++= L21 。 这样，我们就能把整机的故障率要求分解为每个零部件的故障率要求。 例 某规格型号的电视机使用的电子元件的数量和故障率要求见下表。求此种电视 机的故障率和平均使用寿命。 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 因为 是第 i 个部件的个数，所以im iim λ 是第 i 个部件引起的故障率。总故障率是各 部件故障率的总和。所以有 4 1 1013.8 − = ×== ∑n i iim λλ 平均寿命为 12301 ≈= λθ 321 ,, AAA （小时）。 1980 年的黑白电视机大体上就是这样的可靠性水平，每 1 万小时约有 8 次故障。当 然，经过努力，我国目前的电视机故障率已经大大下降了。达到万分之一或更低。 可靠性研究是一门丰富多彩的学科。除了描述系统可靠性的数量指标需要仔细确定 之外，如何提高可靠性的努力则更为重要。故障树分析法（FTA）将系统画成逻辑框图， 显示各种故障之间的关联，找出发生故障的最基本原因，然后逐一加以解决。例如研究 锅炉爆炸事件 T。造成爆炸的第一层原因 A，B，C…他们彼此间的关系是只要一种原因 便可引起爆炸，这样的逻辑关系是“或”，可用加号“＋”表示，如果 A 的发生是由 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 三种原因同时发生才能发生，那么这三者和 A 原因的关系是“与”，用乘号“·”来表 示。这样一步一步分拆下去，就会形成一个倒立的树形图。最下面一层（用圆圈表示） 的是基本原因，整个可靠性工作即从此开始。 这种起源于 20 世纪 60 年代的技术，已广泛用于宇宙航行、核电站运行等领域。它 直观，便于操作。但是编制这样的图形相当复杂。一个系统可能发生的故障可能性成千 上万，彼此关系错综复杂。许多情形下，人力往往无法完成，得由计算机程序帮助执行。 找到原因之后，最直接的工作是“替换修理”。零部件到时一律更换，以保证可靠 性。至于如何换法，就是技术层面的东西了。 指数分布： 设 r.vξ的概率密度函数为 ⎩⎨ ⎧ ≥= 其它 0 0 x )( x-λλl xp 其中λ为大于 0 的常数。 则称 r.vξ服从参数为λ的指数分布，记为 r.vξ～ )(λE 。 几点注记： （Ⅰ）指数分布的实际背景： )(λ前面我们用泊松分布 P 来描述在单位时间内来到电话局的电话呼唤次数、公共汽 车站乘客人数、母鸡下蛋的个数、排队等待服务的人数等等。其中参数λ为单位时间内 来到的次数（呼唤次数、乘客人数、下蛋个数、等待服务的人数）的平均值。如果要考 虑[0，t]时间内的情况，那么这个平均值与时间长度成正比，应该是 tλ 。即在[0，t]时间 内来到的（呼唤次数、乘客人数、下蛋个数、顾客人数）次数应服从 ),2,1,0( ! )()( Ll === − k k tkP t k λλξ 。在排队论中称它们是泊松流。对 Poisson 流主要研究“等 待时间”的统计规律。为此以下推导这一规律。 设在一服务系统中，在任意的 ],[ 00 ttt + ，的时间间隔内来到的顾客个数服从参数为 tλ 的泊松分布： ),2,1,0( ! )()( Ll === − k k tkP t k λλξ 那么相邻两个顾客来到的间隔时间η服从指数分布。 证：不妨设前一个顾客来到的时刻为 0，则η＞0 ∴t≤0 时， 0)()( =<= tPtF η 当 t＞0 时，∵等待时间内顾客没有来到，∴ }0{}{ ==> tt ξη ∴ ，即 。 tt ePtP λξη −===> )0()( tetP λη −−=≤ 1)( 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 现要求 )( tP <η ∵ }{ t<η = }1{ 1 U ∞ = −≤ n n tη 由集函数的下连续性，得： })1{()( 1 U ∞ = −≤=< n n tPtP ηη })1{(lim 1 U ∞ =∞→ −≤= nn n tP η = tn t n ee λ λ −−− ∞→ −=− 1]1[lim ]1[ ∴η的分布函数 ⎩⎨ ⎧ ≤ >−=<= − 0 0 0 1)()( t tetPxF tλη （Ⅱ）指数分布的性质： （ ）无记忆性或永远年轻性： a r.vξ～ )(λE ，则 s＞0，t＞0，有 ∀ )()( tPstsP >=>+= ξξξ 证：∵P（ξ ＞s+t｜ξ ＞s）= )( ),( sP stsP > >+> ξ ξξ = )( )( sP tsP > > ξ ξ + = )(1 )(1 sP tsP ≤− +≤− ξ ξ = )(1 )( sP tsP <− 1 <− ξ +ξ = )(1 )(1 sF tsF − +− = ts ts e e e −+− =−− −− )1(1 )1(1 )( )( tP >= ξ 假如把 r.vξ解释为寿命，则上式表明，如果已知寿命长于 s 年，则再活 t 年的概率 与年龄 s 无关——永远年轻。 （ ）指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型分布。 b 引理：若 是连续函数（或单调函数），且)(xf ∀ x，y∈R，都有： ， )()()( yfxfyxf =+ 则 a≥0， ∋ = ∃ ) xa(xf 证：∵ x＞0，∀ 0)] 2 ([) 2 () 2 () 22 ()( 2 ≥==+= xfxfxfxxfxf ∴ 非负。 )(xf ∵ n∈N x∈R，有 ∀ ∀ nxfnxf )]([)( = 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 上式中当取 x=1/n，有 =)1(f n n f )]1([ 记 ，则0)1( ≥= fa )1( n f = na 即 x∈Q，有 = ∀ )(xf xa 再利用连续性或单调性，可证得：对 ∀ x∈ QR − ，结论也成立。因此引理成立。 下面证明：具有无记忆性的连续分布为指数分布。 证：设ξ 是非负的随机变量，其分布函数为 ，令)(xF )()( xPxG >= ξ ，则 对 s，t ＞0，有 ∀ )()( tPstsP >=>+> ξξξ 。 故 )()()( tPsPtsP >>=+> ξξξ ，即 )()()( tGsGtsG =+ 。 又 关于)(xG x单调，由引理得： 。 )0()( >= xaxG x 因为 是概率，且 0＜ ＜1，令 = （其中λ＞0）。 )(xG a a λ−e 因为 是连续型分布，并且 。 )(xF )0(1)(1)( ≥−=−= − xexGxF xλ 所以 r.vξ～ )(λE 。 “去掉最高分和最低分”的启示 近几年来，电视屏幕上不断出现各种竞赛的实况。当一个演员表演完毕后，先 由 10 个（或若干个）评委亮分，裁判长用这 10 个数据判分时，总要去掉最高分和最低 分，再用其余的 8 个数据的平均值作为该演员的最后得分。现在这已是人们的常识了。 这一常识背后的数学，就是数据处理中的代表数问题。 算术平均数是最常用的数字特征，在我国也是最普及的数学知识之一。任何一个干 部和工人，至少都懂得平均数和百分数这两个概念。“我厂工人平均工资是多少，这次 有百分之几的人可以加工资”这类话人人都能懂。学生的成绩用总分来衡量，也会用总 平均来衡量。比较两班学生的某科成绩，也用各班该科得分数的平均数作为衡量标准。 至此，人们将平均值奉为至宝，似乎是金科玉律、无可更改的科学定则。 实际上不尽然，用算术平均数来作为代表数，有两个缺点：一是容易受异常值的影 响；二是计算比较复杂，不能一眼看出。前面所说的去掉最高分和最低分就是为了避免 异常值的影响。让我们看一个极端的例子。如果一个班级有 30 个学生，其中两学生逃 学旷课，数学考试只得 2 分和 10 分。此外，有 5 个学生得 90 分，22 个得 80 分，1 个 得 78 分。此时该班数学成绩的平均分是： 67.76)782280590102( 30 1 ≈+×+×++=x （分）。 生活中的概率统计 忻州师范学院数学系 兰旺森制作 确实，如以 76.67 分作为该班的平均分，太受那个得 2 分和 10 分的同学牵连了。结 果不能反映大多数人的真实情况。从直观上看，应在 80 分或 80 分以上才对。于是我们 就去掉一个最低分，总平均约是 79.2 分，如果去掉两个最低