第五章 连续时间 Markov 链
5.1 连续时间 Markov 链
连续时间 Markov 链的要旨仍然是 Markov 性,与上一章不同之处在于指标集
(这里表示时间)取值连续,通常为{ }0≥tt 。状态仍然是离散的,最多取可数
个值,我们用整数值 表示。 L2,1,0
定义 5.1.1:设随机过程 状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ,若对所有 ,
和 以及 满足
0, ≥ts
su <≤0 Sji ∈, Sux ∈)(
( ) ( )isXjtsXPsuuxuXisXjtsXP ==+=<≤===+ )()(0),()(,)()(
则称 为连续时间 Markov 链。 0),( ≥ttX
一般 ( isXjtsXP ==+ )()( )称为转移概率,与时间 有关,若进一步此概
率与 无关则随机过程 称为有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。此时记
ts,
s )(tX
( ) ( )iXjtXPisXjtsXPtPij =====+= )0()()()()( 。以下不特别指明,所涉及
到的连续时间 Markov 链是指有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。若过程初
始分布为 ,于是有 ))0(( iXPpi ==
定理 5.1.1:连续时间 Markov 链的转移概率 SjitPij ∈,),( 和初始分布 完全
确定了过程的任意有限维分布。
Sipi ∈,
转移概率 的性质。首先SjitPij ∈,),( 1)(,0)( =≥ ∑
∈Sj
ijij tPtP ;其次,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ∑∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
===+===
===+===
===+===+=+
Sk
kjik
Sk
Sk
Sk
ij
tPsPksXjtsXPiXksXP
iXksXjtsXPiXksXP
iXksXjtsXPiXjtsXPtsP
)()()()()0()(
)0(,)()()0()(
)0()(,)()0()()(
即 满足 Chapman-Kolmogorov 方程。若过程不能刚到某个状态就瞬间离去即)(tPij
1
ijijt
tP δ=↓ )(lim0 ,此条件称为标准性条件,约定 ijijP δ=)0( 。标准性条件意味着
。Chapman-Kolmogorov 方程写成矩阵形式有 。 )0()(lim
0
PtP
t
=↓ )()()( tPsPtsP =+
5.2 矩阵与 Kolmogorov 向前、向后微分方程 Q
设 为标准连续时间 Markov 链,状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ,转移概率
。 SjitPij ∈,),(
引理 5.2.1:对给定 , 为 的一致连续函数。 Sji ∈, )(tPij t
证明:设 , 0>h
[ ] ∑
∑
∞
≠=
∞
=
+−−=
−=−+
ikk
kjikijii
ij
k
kjikijij
tPhPtPhP
tPtPhPtPhtP
,0
0
)()()()(1
)()()()()(
由此可知
[ ] [ ])(1)()(1)()()()()(
0
hPtPhPtPtPhPtPhtP iiijiiij
k
kjikijij −−≥−−≥−=−+ ∑∞
=
)(1)()()()()()()(
,00
hPtPhPtPtPhPtPhtP ii
ikk
kjikij
k
kjikijij −=≤−=−+ ∑∑ ∞
≠=
∞
=
因此 )(1)()( hPtPhtP iiijij −≤−+ ;当 0
= )(,0infτ ,表示首次离开
状态 的时刻。 i
定理 5.2.1:设 为标准连续时间 Markov 链(具有右连续轨道),则 0),( ≥ttX
tq
i
ieiXtP −==> ))0((τ
证明:
[ ] tqii
ii
ii
s
ii
s
n
nii
n
nii
n
nniin
n
nn
i
i
n
e
s
sP
sP
sPt
s
sPtt
t
tP
tPtP
iXkiktXP
iXtsisXPiXtP
−
↓
↓∞→
∞→∞→
∞→
=−⋅−
−+⋅=
⋅=⋅
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ====
=≤≤===>
1)(
1)(
1)(1ln
limexp
)(ln
limexp
2
2
ln
explim
2
ln2explim
2
lim
)0(2,1,0,)
2
(lim
))0(0,)(())0((
0
0
2
L
τ
从而 ( )
i
i q
iXE 1)0( ==τ 。 决定过程在状态 i上停留时间的长短,可以看成过程
离开状态 i的速率。当 ,则
iq
0=iq 1))0(( ==∞= iXP iτ ,链几乎永远不离开状态 i,
此时称状态 为吸收态(absorbed state);当i ∞=iq ,则 1))0(0( === iXP iτ ,链几
3
乎立即离开状态 i,此时称状态 为瞬过态(transient state);当i ∞<< iq0 时,链停
留在状态 的时间服从指数分布,此时称状态 为稳定态(steadible state)。此外若
,则称状态 i为保守的(conservative),若所有状态为保守的,则称
链为保守链,此时称Q -矩阵为保守的。
i i
∞<=∑
≠
i
ij
ij qq
定理 5.2.2:在定理 5.2.1 的条件下,设 是一个稳定状态,则对i ij ≠
i
ijsq
q
q
eiXjXsP(τ i )1())0()(, −−===< τ
特别令 ,有∞→s
i
ij
q
q
iXjXP === ))0()(( τ 。
证 明 : 由 定 理 5.2.1 , 在 iX =)0( 条 件 τ 是 连 续 型 随 机 变 量 , 故
0))0()(,( ==== iXjXsP ττ 。令 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ =≠⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= L2,1,0,
2
:
2
inf kikXk nnnτ ,则 。 ττ ↓n
[ ]
[ ]
i
ijsq
n
nij
n
nii
s
nii
n
nij
nii
s
nii
n
sk
nij
k
niin
sk
nnn
sk
nnnn
nnn
q
q
e
P
P
P
P
P
P
PP
iXkmimXjkXP
iXjXkP
iXjXsPiXjXsP
i
n
n
n
n
n
)1(
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11
lim
2
1
2
11
2
11
lim
2
1
2
1lim
)0(1,2,1,
2
,
2
lim
))0()(,
2
(lim
))0()(,(lim))0()(,(
2
2
2
1
2
2
−
∞→
∞→≤
−
∞→
≤∞→
≤∞→
∞→
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =−==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
====
==≤===≤
∑
∑
∑
L
ττ
ττττ
))0()(( iXjXP ==τ 表示过程离开 i立刻转到 j的概率,由于 表示过程离开状iq
4
态 i的速率,因此 ))0()(( iXjXPqq iij ==⋅= τ 表示过程从状态 i转到状态 j的速
率。
定理 5.2.3: 保守则Q SitPqtPqtP
ik
kjikijiij ∈+−=′ ∑
≠
,)()()( ,即 ;若
且
)()( tQPtP′ =
∀ jqS ,∈j ∞< jkqh
hP
kj
kj
h
≠=↓ ,
)(
lim
0
关 于 一 致 成 立 , 则k
SjqtPqtPtP
jk
kjikjijij ∈+−=′ ∑
≠
,)()()( ,即 QtPtP )()( =′ 。
证明:由 ,0>h ∑
≠
+−−=−+
ik
kj
ik
ij
iiijij tP
h
hPtP
h
hP
h
tPhtP
)(
)(
)(
)(1)()(
∑∑
∑∑
≠=
∞
≠+=
∞
≠+=≠=
−−=≤
=−−+−+
N
ikk
ikii
ikNk
ik
ikNk
kj
ik
N
ikk
kj
ik
ij
iiijij
h
hP
h
hP
h
hP
tP
h
hPtP
h
hPtP
h
hP
h
tPhtP
,0,1
,1,0
)()(1)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(1)()(
令 有0→h ∑∑
≠=≠=
−≤−+′
N
ikk
iki
N
ikk
kjikijiij qqtPqtPqtP
,0,0
)()()( ,由 保守,再令 即
得 。
Q ∞→N
SitPqtPqtP
ik
kjikijiij ∈+−=′ ∑
≠
,)()()(
由 ,0>h ∑
≠
+−−=−+
jk
kj
ikij
jjijij
h
hP
tPtP
h
hP
h
tPhtP )(
)()(
)(1)()( ,令 和条件立
得 。
0→h
SjqtPqtPtP
jk
kjikjijij ∈+−=′ ∑
≠
,)()()(
微分方程 称为Kolmogorov向后微分方程,而微分方程
称为 Kolmogorov 向前微分方程。
)()( tQPtP =′ QtPtP )()( =′
在实际问题中,要得到转移概率 ( ))()( tPtP ij= 往往是困难的,但它的密度矩
阵 ( )ijqQ = 是由 在 的导数组成,换言之,Q刻画的是 的无穷小特
征,仅由过程在
)(tPij 0=t )(tP
0=t 附近的运动就可以得到,所以实际问题中是先得到 ( )ijqQ = ,
再利用向前或者向后方程求出 。 )(tP
例 5.2.1:设随机信号以 0,1 传输, 表示 t时刻接收到的信号。 是)(tX 0),( ≥ttX
5
以 为状态空间的齐次连续时间 Markov 链。由于信号是随机的,设信号
的改变与时间长短成正比,即
{ }1,0=S
).()(),()( 1001 hohhPhohhP +=+= µλ
由此得到 矩阵为 ,向前微分方程为: Q ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−= µµ
λλ
Q
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
101111
111010
000101
010000
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
λµ
µλ
λµ
µλ
+−=′
+−=′
+−=′
+−=′
。
再由初始条件(标准性条件),解出
)(1)(
)(1)(
10
)(
11
01
)(
00
tPetP
tPetP
t
t
−=+++=
−=+++=
+−
+−
µλ
µλ
µλ
µ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
λ
。
5.3 Poisson 过程
定义 5.3.1:设连续时间随机过程 具有状态空间0),( ≥ttN { }L2,1,0=S ,若对任意
, 表示在 内“事件”发生的次数,则称 为计数过程(counting
process)。
0>t )(tN ],0[ t )(tN
定义 5.3.2:随机过程 称为独立增量过程(independent increment process),
若 对 任 意 正 整 数 及 任 意 时 刻 点
0),( ≥ttN
n nttt <<<< L210 , 增 量
)()(),()(),0()( 1121 −−−− nn tNtNtNtNNtN L 是相互独立的随机变量。此外若增量
)0)(()( tssNtN <≤− 的分布仅依赖与时间差 st − ,则称具有平稳增量的独立增量
过程。
定义 5.3.3:一个计数过程 称为 Poisson 过程,若 0),( ≥ttN
1) ; 0)0( =N
2) 是独立增量过程; )(tN
6
3) 对任意 增量0, ≥ts )()( sNtsN −+ 的分布服从强度为 tλ 的 Poisson 分
布,即 ( ) L2,1,0,
!
)()()( ===−+
−
n
n
tensNtsNP
nt λλ 。
定义 5.3.4:一个计数过程 称为 Poisson 过程,若 0),( ≥ttN
1) ; 0)0( =N
2) 是具有平稳增量的独立增量过程; )(tN
3) ( ) ( ) )(2)()(),(1)()( hotNhtNPhohtNhtNP =≥−++==−+ λ 。
定理 5.3.1:定义 3 定义 4。 ⇔
Poisson 过程的数字特征: ttENt λµ == )()( , ),min(),( tsts λ=Γ 。Poisson 过程
矩阵为 。 Q
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
OO
λλ
λλ
下面考虑与 Poisson 过程相联系的一些随机变量的分布。
考虑直线上的 Poisson 过程 ,其样本路径如图 )(tN
N(t)
1τ 2τ 3τ
W1 W2 W3 t
3
2
1
0
nτ 表示第 次事件与第 次事件发生(到达)的时间间隔, 表示第 次事
件发生的时刻(到达时刻), 。
1−n n nw n
∑
=
=
n
i
inw
1
τ
定理 5.3.2: L2,1, =nnτ 独立同分布都服从参数为λ(均值为 λ
1 )的指数分布,
7
即密度函数为 ; 服从参数为
⎩⎨
⎧
<
≥=
−
0,0
0,
)(
t
te
tf
t
n
λ
τ
λ
nw λ,n 的Γ分布,即密度函数为
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−=
−
−
0,0
0,
)!1(
)(
)(
1
t
t
n
tetf
n
t
wn
λλ λ 。
证明:由于事件{ } { 0)(1 }=⇔> tNtτ ,故 ( ) ( ) tet =)NPtP λτ −==> 0(1 , 1τ 服从参
数为λ为指数分布。而
( ) ( )
( ) ( tetNPsNtsNP
stssPstP
λ
τττ
−====−+=
=+==>
0)(0)()(
],( 112 中事件不发生
)
故 2τ 与 1τ 独立且 2τ 服从参数为 λ 指数分布。类似对 nτ 证明。由于事件
,故{ } { ntNtwn ≥⇔≤ )( } ( ) ( ) ∑∞
=
−=≥=≤
nj
j
t
n j
tentNPtwP
!
)()( λλ ,两边求导,立得
的密度函数为nw ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−=
−
−
0,0
0,
)!1(
)(
)(
1
t
t
n
tetf
n
t
wn
λλ λ 。
定理 5.3.3:给定 ,到达时间 的联合分布密度为 ntN =)( nwww L,, 21
⎩⎨
⎧ ≤<<<=
−
= otherwise
twwtn
wwf n
n
nntNww n ,0
0,!
),( 11)(,1
LLL
证明:设 thtthtthtt nnn ≤+<<<+<<+<≤< L2221110 ,则
( )
( )
( )
( )
n
n
n
t
htt
n
hhtthhttht
nnnnnnnn
nnnn
nnnn
hhhtn
n
te
eheeeehee
ntNP
htNtNtNhtNhtNtN
tNhtNhtNtNtNhtNtN
P
ntNP
ntNhtwthtwthtwtP
ntNhtwthtwthtwtP
nnnnnn
L
L
L
L
L
21
)()()(
1
11
222121111
22221111
22221111
!
!
)(
)(
0)()(,1)()(,0)()(
1)()(,0)()(,1)()(,0)(
)(
)(,,,
)(,,
11211211
−
−
−−−−−−−−−−−−−
−−
=
=
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=+−=−+=+−
=−+=+−=−+=
=
=
=+≤≤+≤≤+≤≤=
=+≤≤+≤≤+≤≤
−−
λ
λλ
λ
λλλλλλλ
因此, 的联合密度为 nwww L,, 21
8
⎩⎨
⎧ ≤<<≤=
−
= otherwise
twwtn
wwf n
n
nntNww n ,0
0,!
),( 11)(,1
LLL 。
(注意此分布与 个独立的 上均匀分布的顺序统计量的分布一致。故n ],0[ t
.)()()(
01
∫∑ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
=
tn
i
i dxxgt
nntNwgE )
5.5 生灭过程
定义 5.5.1:设连续时间 Markov 链 ,状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ,具有标
准平稳的转移概率 ,若 SjitPij ∈,),(
1) ;2,1,0),()(1, L=+=+ ihohhP iii λ
2) L,2,1),()(1, =+=− ihohhP iii µ ;
3) L2,1,0),()(1)( =++−= ihohhP iiii µλ
4) 0,,00 >= ii µλµ 其余 。
则称 为生灭过程(Birth and Death Process),)(tX ii µλ , 分别称为新生率和死亡
率。若 1,0 ≥= iiµ 称为纯生过程, 0,0 ≥= iiλ 称为纯灭过程。
生灭过程的Q矩阵为
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+−
+−
−
=
O
O
iiii
Q λµλµ
λµλµ
λλ
)(
)( 1111
00
生灭过程的Q矩阵是保守的。其向后微分方程为
)()()(
1),()()()()(
10000
,1,1
tPtPtP
itPtPtPtP
jjj
jiiijiijiiij
λλ
µµλλ
+−=′
≥++−=′ −+ ;
向前微分方程为
9
)()()(
1),()()()()(
11000
1,11,1
tPtPtP
jtPtPtPtP
iii
jijijjjjijij
µλ
µµλλ
+−=′
≥++−=′ ++−−
考虑向前方程,以 ))(()( jtXPtPj == ,在向前方程两端同乘 在对 i求
和得到
))0(( iXP =
)()()(
1),()()()()(
11000
1111
tPtPtP
jtPtPtPtP jjjjjjjj
µλ
µµλλ
+−=′
≥++−=′ ++−− 。
考虑系统在稳态时的情形,即 ∞→t 时系统趋于稳定(在一定条件下),此时
,故有 0)(lim,)(lim =′=
∞→∞→
t
ppt
关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt
P jtjjt
0
1,0)(
1100
1111
=+−
≥=++− ++−−
pp
jppp jjjjjjj
µλ
µµλλ ,
(注意 )。满足上面条件的1,,0 =∈≥ ∑
∈Sj
jj pSjp { }ip 称为过程的平稳分布,即
,( )L,,,,0 210 ppppQp ==⋅ 1,,0 =∈≥ ∑
∈Sj
jj pSjp 。上面的方程也可由下面的一
个链式图简单的得到:
当 1,0 ≥> jjµ 时可以求得
0
1
0
1 pp µ
λ= , L,0
21
10
2 pp µµ
λλ= , LL
L
,0
21
110 pp
j
j
j µµµ
λλλ −=
由于 ,故1
0
=∑∞
=j
jp
1
1 21
110
0 1
−∞
=
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += ∑
j j
jp µµµ
λλλ
L
L 。
生灭过程在随机服务系统中有着重要的应用。一个随机服务系统包括三个组
成部分:输入过程、服务规则和服务机构。输入过程用来刻画到服务机构请求为
之服务的顾客到来的规律。记 00 =τ ,对 ,1≥n nτ 表示第n个顾客到来的时刻,
1−−= nnnT ττ 表示第 个顾客到达至第 个顾客到达之间的时间间隔,一般假1−n n
10
定 是 的,常见输入有下列几种:1.定常输入,即 为非随机的正常数;
2.Poisson 输入,即假定 服从参数为
L21,TT dii .. nT
nT λ的负指数分布,密度为 ;3. 阶
Erlang 输入,即假定 服从参数为
)0( ≥
−
t
t Ie λλ k
nT λ, k的Γ分布,密度为 )0(
1
)!1(
)(
≥
−
−
− t
t
k
Ie
k
t λλλ ;4.
一般分布其它的分布。服务规则可以按顾客分,例如所有顾客一律平等,或者有
优先型顾客。或者有照顾型的顾客;也可以按服务窗口分,例如各窗口平等,或
者各窗口提供不同类型的服务,顾客选择窗口排队;也可根据规则分类,例如消
失制,即顾客到达时如不能服务就自行离去不排队(例如打电话),或者是等待制,
未能马上服务时先到等待的服务队列中排队,再细分先到先服务、优先权先服务、
随机服务等,或者混合制,顾客即可选择离去也可选择等待。服务机构一般包括
服务设施的数量,每一服务设施的服务速度等。服务速度看成随机变量又分为
1.定常服务(其实非随机的);2. 负指数分布;3. 阶 Erlang 分布;4.一般分布等。 k
一般服务系统通常研究的是以下几个指标:1.平均等待时间 (从顾客到达
至接受服务的时间);2.平均逗留时间 (从顾客到达至顾客离开服务系统的时
间);3.平均队长 (正在等待的顾客服务数);4.服务系统内顾客平均数 (包括
正在等待的顾客服务数和正在被服务的顾客数);5.闲置概率(全部设施都处在闲
置的概率);6.忙期(服务机构连续繁忙的时间)等。不同的问题有其特定的一些指
标。通常采用 Kendall 记号来表示一个随机服务系统。用“ ”来表示
一个服务系统,左起第一个*表示输入类型,用 ,
qW
sW
qL sL
(**)/*/*/**
D M , 和G表示定常输入、
Poisson 输入、k阶 Erlang 输入和一般输入;左起第二个*表示服务速度的分布类
型;左起第三个*表示服务设施的个数;左起第四个*表示系统容量,即允许最大
顾客等待数,一般缺省时表示
kE
∞,括号里的*用来解释服务规则。
例 5.5.1:考虑 表示随机服务系统是 Poisson 输入,服务速度服从
负指数分布,系统有n个服务设施,系统容量为无穷,顾客到达时若不能马上服
务将排队等待按照先到先服务的规则。设输入强度为
)(// FIFOnMM
λ,服务强度为µ ,这是一
11
个生灭过程,其Q矩阵有形状
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
µ
0
−−
−−
−−
OOO
OOOO
O
OOO
λµλµ
λµλµ
λµλ
λλ
nn0
022
0
0
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
即 0,)( ≥∧−−= iniqii µλ , 0,1, ≥=+ iq ii λ , 1,)(1, ≥∧=− iniq ii µ , 2,0 ≥−= jiqij 。
由 ,得到 0=⋅Qp
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−≤≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= −
njp
nn
njp
jp njn
j
j
,
!
1
11,
!
1
0
0
µ
λ
µ
λ
µ
λ
当 µλ n< 时,平稳分布存在,其中
1
1
0
0 !
1
!
1
−
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑ λµ µµλµλ n nnjp
nn
j
j
。条件
µλ n< 的意义很明了,λ为单位时间内到达顾客的平均数,µ 是单位时间内一台
服务设施服务顾客的平均数,如果 µλ n≥ ,则服务设施服务速度赶不上顾客到达
速度,势必使得服务系统顾客数越来越多,系统不能达到平衡。 即为系统空
闲的概率,而顾客来到服务系统不能马上接受服务需要等待的概率
0p
0!
1 p
n
n
n
pp
n
nj
jw λµ
µ
µ
λ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∑∞
=
。系统达到平衡时,就有
qq WL ⋅= λ
称为 Little
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
,其意义是在系统稳定的条件下,某一顾客结束服务退出服务状
态时回头看到的队列的平均长度 应该等于该顾客在等待过程中平均进入服务
系统的顾客数(无论到达时间间隔以及服务时间服从什么分布)。同理有关系
qL
ss WL ⋅= λ 。为计算平均等待时间 ,先计算顾客等待时间这个随机变量W 的qW
12
分布。对于此例来说,首先 ;∑−
=
==
1
0
)0(
n
j
jpWP 0>∀t ,
( ) ∑∞
=
>=>
nj
j jtWPptWP )( 名顾客系统中有 。若令 表示在时间间隔 t之内服
务机构完成的顾客数(注意 是强度为
)(tM
)(tM µn 的 Poisson 过程),则
njitMPjtWP
nj
i
≥==> ∑−
=
,))(()(
0
名顾客系统中有 。
因此
( )
( ) tn
n
i
i
tn
n
i
ii
tn
n
ik
k
i
i
tn
n
k
i
i
k
k
tn
n
nj
nj
i
i
tn
nj
n
nj
nj
i
i
tn
j
nj
nj
i
j
ep
n
n
i
t
n
nep
n
n
ni
tnep
ni
tnep
i
tn
n
ep
i
tne
n
p
i
tnepitMPptWP
⋅−−∞
=
⋅−
∞
=
⋅−∞
=
∞
=
⋅−
=
∞
=
⋅−∞
=
−
=
⋅−
−
∞
=
−
=
⋅−∞
=
−
=
−=−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
===>
∑
∑∑∑
∑∑∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
λµµ
µµ
µµ
µ
λµ
µλ
λµ
µ
λµ
µ
µ
λµ
µ
λµ
µ
µ
λµ
µ
λ
µ
0
00
000
00
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
!
)())((
从而 022 !
1
)()(
p
nn
np
n
nEWW
n
nq ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=−== µ
λ
λµ
µ
λµ
µ , µ
1+= qs WW 。一个闲期是指
从系统中最后一个顾客离去到此后第一个顾客到达,由指数分布的无记忆性,故
平均一个闲期的长度是 λ
1 。在系统达到稳定时,在相当长的一个长度为 L的时间
区间内,有大约 Lλ 个顾客到达,闲期的总长度是 ,忙期的总长度为 ,
由于一个闲期的平均长度为
Lp0 Lp )1( 0−
λ
1 ,故闲期的平均个数为 Lp0λ ,闲期和忙期是交错
的,故忙期的平均个数也为 Lp0λ ,因此一个忙期的平均长度为
0
01
p
p
λ
− 。由于 Lλ 位
顾客平均的在 Lp0λ 个忙期中得到服务,因此一个忙期中应该平均服务了
0
1
p
个顾
客。
13