中科院随机过程讲义5

中科院随机过程讲义5 第五章连续时间 Markov 链 5.1 连续时间 Markov 链连续时间 Markov 链的要旨仍然是 Markov 性，与上一章不同之处在于指标集（这里表示时间）取值连续，通常为{ }0≥tt 。状态仍然是离散的，最多取可数个值，我们用整数值表示。 L2,1,0 定义 5.1.1：设随机过程状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ，若对所有，和以及满足 0, ≥ts su <≤0 Sji ∈, Sux ∈)( ( ) ( )isXjtsXPs...

第五章连续时间 Markov 链 5.1 连续时间 Markov 链连续时间 Markov 链的要旨仍然是 Markov 性，与上一章不同之处在于指标集（这里表示时间）取值连续，通常为{ }0≥tt 。状态仍然是离散的，最多取可数个值，我们用整数值表示。 L2,1,0 定义 5.1.1：设随机过程状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ，若对所有，和以及满足 0, ≥ts su <≤0 Sji ∈, Sux ∈)( ( ) ( )isXjtsXPsuuxuXisXjtsXP ==+=<≤===+ )()(0),()(,)()( 则称为连续时间 Markov 链。 0),( ≥ttX 一般 ( isXjtsXP ==+ )()( )称为转移概率，与时间有关，若进一步此概率与无关则随机过程称为有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。此时记 ts, s )(tX ( ) ( )iXjtXPisXjtsXPtPij =====+= )0()()()()( 。以下不特别指明，所涉及到的连续时间 Markov 链是指有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。若过程初始分布为，于是有 ))0(( iXPpi == 定理 5.1.1：连续时间 Markov 链的转移概率 SjitPij ∈,),( 和初始分布完全确定了过程的任意有限维分布。 Sipi ∈, 转移概率的性质。首先SjitPij ∈,),( 1)(,0)( =≥ ∑ ∈Sj ijij tPtP ；其次， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑ ∑ ∈∈ ∈ ∈ ===+=== ===+=== ===+===+=+ Sk kjik Sk Sk Sk ij tPsPksXjtsXPiXksXP iXksXjtsXPiXksXP iXksXjtsXPiXjtsXPtsP )()()()()0()( )0(,)()()0()( )0()(,)()0()()( 即满足 Chapman-Kolmogorov 方程。若过程不能刚到某个状态就瞬间离去即)(tPij 1 ijijt tP δ=↓ )(lim0 ，此条件称为标准性条件，约定 ijijP δ=)0( 。标准性条件意味着。Chapman-Kolmogorov 方程写成矩阵形式有。 )0()(lim 0 PtP t =↓ )()()( tPsPtsP =+ 5.2 矩阵与 Kolmogorov 向前、向后微分方程 Q 设为标准连续时间 Markov 链，状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ，转移概率。 SjitPij ∈,),( 引理 5.2.1：对给定，为的一致连续函数。 Sji ∈, )(tPij t 证明：设， 0>h [ ] ∑ ∑ ∞ ≠= ∞ = +−−= −=−+ ikk kjikijii ij k kjikijij tPhPtPhP tPtPhPtPhtP ,0 0 )()()()(1 )()()()()( 由此可知 [ ] [ ])(1)()(1)()()()()( 0 hPtPhPtPtPhPtPhtP iiijiiij k kjikijij −−≥−−≥−=−+ ∑∞ = )(1)()()()()()()( ,00 hPtPhPtPtPhPtPhtP ii ikk kjikij k kjikijij −=≤−=−+ ∑∑ ∞ ≠= ∞ = 因此 )(1)()( hPtPhtP iiijij −≤−+ ；当 0= )(,0infτ ，表示首次离开状态的时刻。 i 定理 5.2.1：设为标准连续时间 Markov 链(具有右连续轨道)，则 0),( ≥ttX tq i ieiXtP −==> ))0((τ 证明： [ ] tqii ii ii s ii s n nii n nii n nniin n nn i i n e s sP sP sPt s sPtt t tP tPtP iXkiktXP iXtsisXPiXtP − ↓ ↓∞→ ∞→∞→ ∞→ =−⋅− −+⋅= ⋅=⋅ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ==== =≤≤===> 1)( 1)( 1)(1ln limexp )(ln limexp 2 2 ln explim 2 ln2explim 2 lim )0(2,1,0,) 2 (lim ))0(0,)(())0(( 0 0 2 L τ 从而 ( ) i i q iXE 1)0( ==τ 。决定过程在状态 i上停留时间的长短，可以看成过程离开状态 i的速率。当，则 iq 0=iq 1))0(( ==∞= iXP iτ ，链几乎永远不离开状态 i，此时称状态为吸收态(absorbed state)；当i ∞=iq ，则 1))0(0( === iXP iτ ，链几 3 乎立即离开状态 i，此时称状态为瞬过态(transient state)；当i ∞<< iq0 时，链停留在状态的时间服从指数分布，此时称状态为稳定态(steadible state)。此外若，则称状态 i为保守的(conservative)，若所有状态为保守的，则称链为保守链，此时称Q -矩阵为保守的。 i i ∞<=∑ ≠ i ij ij qq 定理 5.2.2：在定理 5.2.1 的条件下，设是一个稳定状态，则对i ij ≠ i ijsq q q eiXjXsP(τ i )1())0()(, −−===< τ 特别令，有∞→s i ij q q iXjXP === ))0()(( τ 。证明：由定理 5.2.1 ，在 iX =)0( 条件 τ 是连续型随机变量，故 0))0()(,( ==== iXjXsP ττ 。令 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= L2,1,0, 2 : 2 inf kikXk nnnτ ，则。 ττ ↓n [ ] [ ] i ijsq n nij n nii s nii n nij nii s nii n sk nij k niin sk nnn sk nnnn nnn q q e P P P P P P PP iXkmimXjkXP iXjXkP iXjXsPiXjXsP i n n n n n )1( 2 1 2 1 2 1 2 11 2 11 lim 2 1 2 11 2 11 lim 2 1 2 1lim )0(1,2,1, 2 , 2 lim ))0()(, 2 (lim ))0()(,(lim))0()(,( 2 2 2 1 2 2 − ∞→ ∞→≤ − ∞→ ≤∞→ ≤∞→ ∞→ −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ =−==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ==== ==≤===≤ ∑ ∑ ∑ L ττ ττττ ))0()(( iXjXP ==τ 表示过程离开 i立刻转到 j的概率，由于表示过程离开状iq 4 态 i的速率，因此 ))0()(( iXjXPqq iij ==⋅= τ 表示过程从状态 i转到状态 j的速率。定理 5.2.3：保守则Q SitPqtPqtP ik kjikijiij ∈+−=′ ∑ ≠ ,)()()( ，即；若且 )()( tQPtP′ = ∀ jqS ,∈j ∞< jkqh hP kj kj h ≠=↓ , )( lim 0 关于一致成立，则k SjqtPqtPtP jk kjikjijij ∈+−=′ ∑ ≠ ,)()()( ，即 QtPtP )()( =′ 。证明：由，0>h ∑ ≠ +−−=−+ ik kj ik ij iiijij tP h hPtP h hP h tPhtP )( )( )( )(1)()( ∑∑ ∑∑ ≠= ∞ ≠+= ∞ ≠+=≠= −−=≤ =−−+−+ N ikk ikii ikNk ik ikNk kj ik N ikk kj ik ij iiijij h hP h hP h hP tP h hPtP h hPtP h hP h tPhtP ,0,1 ,1,0 )()(1)( )( )( )( )( )( )(1)()( 令有0→h ∑∑ ≠=≠= −≤−+′ N ikk iki N ikk kjikijiij qqtPqtPqtP ,0,0 )()()( ，由保守，再令即得。 Q ∞→N SitPqtPqtP ik kjikijiij ∈+−=′ ∑ ≠ ,)()()( 由，0>h ∑ ≠ +−−=−+ jk kj ikij jjijij h hP tPtP h hP h tPhtP )( )()( )(1)()( ，令和条件立得。 0→h SjqtPqtPtP jk kjikjijij ∈+−=′ ∑ ≠ ,)()()( 微分方程称为Kolmogorov向后微分方程，而微分方程称为 Kolmogorov 向前微分方程。 )()( tQPtP =′ QtPtP )()( =′ 在实际问题中，要得到转移概率 ( ))()( tPtP ij= 往往是困难的，但它的密度矩阵 ( )ijqQ = 是由在的导数组成，换言之，Q刻画的是的无穷小特征，仅由过程在 )(tPij 0=t )(tP 0=t 附近的运动就可以得到，所以实际问题中是先得到 ( )ijqQ = ，再利用向前或者向后方程求出。 )(tP 例 5.2.1：设随机信号以 0，1 传输，表示 t时刻接收到的信号。是)(tX 0),( ≥ttX 5 以为状态空间的齐次连续时间 Markov 链。由于信号是随机的，设信号的改变与时间长短成正比，即 { }1,0=S ).()(),()( 1001 hohhPhohhP +=+= µλ 由此得到矩阵为，向前微分方程为: Q ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= µµ λλ Q )()()( )()()( )()()( )()()( 101111 111010 000101 010000 tPtPtP tPtPtP tPtPtP tPtPtP λµ µλ λµ µλ +−=′ +−=′ +−=′ +−=′ 。再由初始条件(标准性条件)，解出 )(1)( )(1)( 10 )( 11 01 )( 00 tPetP tPetP t t −=+++= −=+++= +− +− µλ µλ µλ µ µλ λ µλ µ µλ λ 。 5.3 Poisson 过程定义 5.3.1：设连续时间随机过程具有状态空间0),( ≥ttN { }L2,1,0=S ，若对任意，表示在内“事件”发生的次数，则称为计数过程(counting process)。 0>t )(tN ],0[ t )(tN 定义 5.3.2：随机过程称为独立增量过程(independent increment process)，若对任意正整数及任意时刻点 0),( ≥ttN n nttt <<<< L210 ，增量 )()(),()(),0()( 1121 −−−− nn tNtNtNtNNtN L 是相互独立的随机变量。此外若增量 )0)(()( tssNtN <≤− 的分布仅依赖与时间差 st − ，则称具有平稳增量的独立增量过程。定义 5.3.3：一个计数过程称为 Poisson 过程，若 0),( ≥ttN 1) ； 0)0( =N 2) 是独立增量过程； )(tN 6 3) 对任意增量0, ≥ts )()( sNtsN −+ 的分布服从强度为 tλ 的 Poisson 分布，即 ( ) L2,1,0, ! )()()( ===−+ − n n tensNtsNP nt λλ 。定义 5.3.4：一个计数过程称为 Poisson 过程，若 0),( ≥ttN 1) ； 0)0( =N 2) 是具有平稳增量的独立增量过程； )(tN 3) ( ) ( ) )(2)()(),(1)()( hotNhtNPhohtNhtNP =≥−++==−+ λ 。定理 5.3.1：定义 3 定义 4。 ⇔ Poisson 过程的数字特征： ttENt λµ == )()( ， ),min(),( tsts λ=Γ 。Poisson 过程矩阵为。 Q ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − OO λλ λλ 下面考虑与 Poisson 过程相联系的一些随机变量的分布。考虑直线上的 Poisson 过程，其样本路径如图 )(tN N(t) 1τ 2τ 3τ W1 W2 W3 t 3 2 1 0 nτ 表示第次事件与第次事件发生（到达）的时间间隔，表示第次事件发生的时刻（到达时刻），。 1−n n nw n ∑ = = n i inw 1 τ 定理 5.3.2： L2,1, =nnτ 独立同分布都服从参数为λ（均值为 λ 1 ）的指数分布， 7 即密度函数为；服从参数为 ⎩⎨ ⎧ < ≥= − 0,0 0, )( t te tf t n λ τ λ nw λ,n 的Γ分布，即密度函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < ≥−= − − 0,0 0, )!1( )( )( 1 t t n tetf n t wn λλ λ 。证明：由于事件{ } { 0)(1 }=⇔> tNtτ ，故 ( ) ( ) tet =)NPtP λτ −==> 0(1 ， 1τ 服从参数为λ为指数分布。而 ( ) ( ) ( ) ( tetNPsNtsNP stssPstP λ τττ −====−+= =+==> 0)(0)()( ],( 112 中事件不发生 ) 故 2τ 与 1τ 独立且 2τ 服从参数为 λ 指数分布。类似对 nτ 证明。由于事件，故{ } { ntNtwn ≥⇔≤ )( } ( ) ( ) ∑∞ = −=≥=≤ nj j t n j tentNPtwP ! )()( λλ ，两边求导，立得的密度函数为nw ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < ≥−= − − 0,0 0, )!1( )( )( 1 t t n tetf n t wn λλ λ 。定理 5.3.3：给定，到达时间的联合分布密度为 ntN =)( nwww L,, 21 ⎩⎨ ⎧ ≤<<<= − = otherwise twwtn wwf n n nntNww n ,0 0,! ),( 11)(,1 LLL 证明：设 thtthtthtt nnn ≤+<<<+<<+<≤< L2221110 ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n t htt n hhtthhttht nnnnnnnn nnnn nnnn hhhtn n te eheeeehee ntNP htNtNtNhtNhtNtN tNhtNhtNtNtNhtNtN P ntNP ntNhtwthtwthtwtP ntNhtwthtwthtwtP nnnnnn L L L L L 21 )()()( 1 11 222121111 22221111 22221111 ! ! )( )( 0)()(,1)()(,0)()( 1)()(,0)()(,1)()(,0)( )( )(,,, )(,, 11211211 − − −−−−−−−−−−−−− −− = = = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =+−=−+=+− =−+=+−=−+= = = =+≤≤+≤≤+≤≤= =+≤≤+≤≤+≤≤ −− λ λλ λ λλλλλλλ 因此，的联合密度为 nwww L,, 21 8 ⎩⎨ ⎧ ≤<<≤= − = otherwise twwtn wwf n n nntNww n ,0 0,! ),( 11)(,1 LLL 。 (注意此分布与个独立的上均匀分布的顺序统计量的分布一致。故n ],0[ t .)()()( 01 ∫∑ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = = tn i i dxxgt nntNwgE ) 5.5 生灭过程定义 5.5.1：设连续时间 Markov 链，状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ，具有标准平稳的转移概率，若 SjitPij ∈,),( 1) ;2,1,0),()(1, L=+=+ ihohhP iii λ 2) L,2,1),()(1, =+=− ihohhP iii µ ； 3) L2,1,0),()(1)( =++−= ihohhP iiii µλ 4) 0,,00 >= ii µλµ 其余。则称为生灭过程（Birth and Death Process），)(tX ii µλ , 分别称为新生率和死亡率。若 1,0 ≥= iiµ 称为纯生过程， 0,0 ≥= iiλ 称为纯灭过程。生灭过程的Q矩阵为 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− +− − = O O iiii Q λµλµ λµλµ λλ )( )( 1111 00 生灭过程的Q矩阵是保守的。其向后微分方程为 )()()( 1),()()()()( 10000 ,1,1 tPtPtP itPtPtPtP jjj jiiijiijiiij λλ µµλλ +−=′ ≥++−=′ −+ ；向前微分方程为 9 )()()( 1),()()()()( 11000 1,11,1 tPtPtP jtPtPtPtP iii jijijjjjijij µλ µµλλ +−=′ ≥++−=′ ++−− 考虑向前方程，以 ))(()( jtXPtPj == ，在向前方程两端同乘在对 i求和得到 ))0(( iXP = )()()( 1),()()()()( 11000 1111 tPtPtP jtPtPtPtP jjjjjjjj µλ µµλλ +−=′ ≥++−=′ ++−− 。考虑系统在稳态时的情形，即 ∞→t 时系统趋于稳定（在一定条件下），此时，故有 0)(lim,)(lim =′= ∞→∞→ t ppt P jtjjt 0 1,0)( 1100 1111 =+− ≥=++− ++−− pp jppp jjjjjjj µλ µµλλ ， (注意 )。满足上面条件的1,,0 =∈≥ ∑ ∈Sj jj pSjp { }ip 称为过程的平稳分布，即，( )L,,,,0 210 ppppQp ==⋅ 1,,0 =∈≥ ∑ ∈Sj jj pSjp 。上面的方程也可由下面的一个链式图简单的得到：当 1,0 ≥> jjµ 时可以求得 0 1 0 1 pp µ λ= ， L,0 21 10 2 pp µµ λλ= ， LL L ,0 21 110 pp j j j µµµ λλλ −= 由于，故1 0 =∑∞ =j jp 1 1 21 110 0 1 −∞ = − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ∑ j j jp µµµ λλλ L L 。生灭过程在随机服务系统中有着重要的应用。一个随机服务系统包括三个组成部分：输入过程、服务规则和服务机构。输入过程用来刻画到服务机构请求为之服务的顾客到来的规律。记 00 =τ ，对，1≥n nτ 表示第n个顾客到来的时刻， 1−−= nnnT ττ 表示第个顾客到达至第个顾客到达之间的时间间隔，一般假1−n n 10 定是的，常见输入有下列几种：1.定常输入，即为非随机的正常数； 2.Poisson 输入，即假定服从参数为 L21,TT dii .. nT nT λ的负指数分布，密度为；3. 阶 Erlang 输入，即假定服从参数为 )0( ≥ − t t Ie λλ k nT λ， k的Γ分布，密度为 )0( 1 )!1( )( ≥ − − − t t k Ie k t λλλ ；4. 一般分布其它的分布。服务规则可以按顾客分，例如所有顾客一律平等，或者有优先型顾客。或者有照顾型的顾客；也可以按服务窗口分，例如各窗口平等，或者各窗口提供不同类型的服务，顾客选择窗口排队；也可根据规则分类，例如消失制，即顾客到达时如不能服务就自行离去不排队(例如打电话)，或者是等待制，未能马上服务时先到等待的服务队列中排队，再细分先到先服务、优先权先服务、随机服务等，或者混合制，顾客即可选择离去也可选择等待。服务机构一般包括服务设施的数量，每一服务设施的服务速度等。服务速度看成随机变量又分为 1.定常服务(其实非随机的)；2. 负指数分布；3. 阶 Erlang 分布；4.一般分布等。 k 一般服务系统通常研究的是以下几个指标：1.平均等待时间 (从顾客到达至接受服务的时间)；2.平均逗留时间 (从顾客到达至顾客离开服务系统的时间)；3.平均队长 (正在等待的顾客服务数)；4.服务系统内顾客平均数 (包括正在等待的顾客服务数和正在被服务的顾客数)；5.闲置概率(全部设施都处在闲置的概率)；6.忙期(服务机构连续繁忙的时间)等。不同的问题有其特定的一些指标。通常采用 Kendall 记号来表示一个随机服务系统。用“ ”来表示一个服务系统，左起第一个*表示输入类型，用， qW sW qL sL (**)/*/*/** D M ，和G表示定常输入、 Poisson 输入、k阶 Erlang 输入和一般输入；左起第二个*表示服务速度的分布类型；左起第三个*表示服务设施的个数；左起第四个*表示系统容量，即允许最大顾客等待数，一般缺省时表示 kE ∞，括号里的*用来解释服务规则。例 5.5.1：考虑表示随机服务系统是 Poisson 输入，服务速度服从负指数分布，系统有n个服务设施，系统容量为无穷，顾客到达时若不能马上服务将排队等待按照先到先服务的规则。设输入强度为 )(// FIFOnMM λ，服务强度为µ ，这是一 11 个生灭过程，其Q矩阵有形状 ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛− µ 0 −− −− −− OOO OOOO O OOO λµλµ λµλµ λµλ λλ nn0 022 0 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 即 0,)( ≥∧−−= iniqii µλ ， 0,1, ≥=+ iq ii λ ， 1,)(1, ≥∧=− iniq ii µ ， 2,0 ≥−= jiqij 。由，得到 0=⋅Qp ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −≤≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ = − njp nn njp jp njn j j , ! 1 11, ! 1 0 0 µ λ µ λ µ λ 当 µλ n< 时，平稳分布存在，其中 1 1 0 0 ! 1 ! 1 − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ∑ λµ µµλµλ n nnjp nn j j 。条件 µλ n< 的意义很明了，λ为单位时间内到达顾客的平均数，µ 是单位时间内一台服务设施服务顾客的平均数，如果 µλ n≥ ，则服务设施服务速度赶不上顾客到达速度，势必使得服务系统顾客数越来越多，系统不能达到平衡。即为系统空闲的概率，而顾客来到服务系统不能马上接受服务需要等待的概率 0p 0! 1 p n n n pp n nj jw λµ µ µ λ −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛== ∑∞ = 。系统达到平衡时，就有 qq WL ⋅= λ 称为 Little 公式，其意义是在系统稳定的条件下，某一顾客结束服务退出服务状态时回头看到的队列的平均长度应该等于该顾客在等待过程中平均进入服务系统的顾客数(无论到达时间间隔以及服务时间服从什么分布)。同理有关系 qL ss WL ⋅= λ 。为计算平均等待时间，先计算顾客等待时间这个随机变量W 的qW 12 分布。对于此例来说，首先；∑− = == 1 0 )0( n j jpWP 0>∀t ， ( ) ∑∞ = >=> nj j jtWPptWP )( 名顾客系统中有。若令表示在时间间隔 t之内服务机构完成的顾客数(注意是强度为 )(tM )(tM µn 的 Poisson 过程)，则 njitMPjtWP nj i ≥==> ∑− = ,))(()( 0 名顾客系统中有。因此 ( ) ( ) tn n i i tn n i ii tn n ik k i i tn n k i i k k tn n nj nj i i tn nj n nj nj i i tn j nj nj i j ep n n i t n nep n n ni tnep ni tnep i tn n ep i tne n p i tnepitMPptWP ⋅−−∞ = ⋅− ∞ = ⋅−∞ = ∞ = ⋅− = ∞ = ⋅−∞ = − = ⋅− − ∞ = − = ⋅−∞ = − = −=−= −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ===> ∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ λµµ µµ µµ µ λµ µλ λµ µ λµ µ µ λµ µ λµ µ µ λµ µ λ µ 0 00 000 00 ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ! )())(( 从而 022 ! 1 )()( p nn np n nEWW n nq ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −=−== µ λ λµ µ λµ µ , µ 1+= qs WW 。一个闲期是指从系统中最后一个顾客离去到此后第一个顾客到达，由指数分布的无记忆性，故平均一个闲期的长度是 λ 1 。在系统达到稳定时，在相当长的一个长度为 L的时间区间内，有大约 Lλ 个顾客到达，闲期的总长度是，忙期的总长度为，由于一个闲期的平均长度为 Lp0 Lp )1( 0− λ 1 ，故闲期的平均个数为 Lp0λ ，闲期和忙期是交错的，故忙期的平均个数也为 Lp0λ ，因此一个忙期的平均长度为 0 01 p p λ − 。由于 Lλ 位顾客平均的在 Lp0λ 个忙期中得到服务，因此一个忙期中应该平均服务了 0 1 p 个顾客。 13

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