高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）

高考数学140分必读之把关题解析30讲（3） 1．泉州模拟 21．（本小题满分12分） 过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点， （1）求点P的轨迹方程； （2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。 解法（一）：（1）设 由 得： ………………………………3分 直线PA的方程是： 即 ① 同理，直线PB的方程是： ② 由①②得： ∴点P的轨迹方程是 ……………………………………6分 （2）由（1）得： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …………………………10分 所以 故存在 =1使得 …………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且 ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且 设PA的直线方程是 由 得： 即 …………………………3分 即直线PA的方程是： 同理可得直线PB的方程是： 由 得： 故点P的轨迹方程是 ……………………………………6分 （2）由（1）得： ………………………………10分 故存在 =1使得 …………………………………………12分 22．（本小题满分14分） 设函数 在 上是增函数。 （1） 求正实数 的取值范围； （2） 设 ，求证： 解：（1） 对 恒成立， 对 恒成立 又 为所求。…………………………4分 （2）取 ， ， 一方面，由（1）知 在 上是增函数， 即 ……………………………………8分 另一方面，设函数 ∴ 在 上是增函数且在 处连续，又 ∴当 时， ∴ 即 综上所述， ………………………………………………14分 2．扬州二模 20．(本小题满分12分) 如图，直角坐标系 中，一直角三角形 ， ， 、 在 轴上且关于原点 对称， 在边 上， ， 的周长为12．若一双曲线 以 、 为焦点，且经过 、 两点． (1) 求双曲线 的方程； (2) 若一过点 （ 为非零常数）的直线 与双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 、 ，且 ，问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有这样定点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1) 设双曲线 的方程为 ， 则 ． 由 ，得 ，即 ． ∴ （3分） 解之得 ，∴ ． ∴双曲线 的方程为 ． （5分） (2) 设在 轴上存在定点 ，使 ． 设直线 的方程为 ， ． 由 ，得 ． 即 ① （6分） ∵ ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ． 即 ． ② （8分） 把①代入②，得 ③ （9分） 把 代入 并整理得 其中 且 ，即 且 ． ． （10分） 代入③，得 ， 化简得 ． 当 时，上式恒成立． 因此，在 轴上存在定点 ，使 ． （12分） 21．(本小题满分14分) 已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ． (1) 求 ； (2) 试比较 与 的大小（ ）； (3) 求证： ，（ ）． 解：(1) ∵ ， ① ∴ ． ② ②－①，得 ， 即 ． （3分） 在①中令 ，可得 ． ∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ． （4分） (2) 由(1)可得 ． EMBED Equation.DSMT4 ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， （5分） EMBED Equation.DSMT4 ． 而 EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， ∴ ， ． ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，（ ）． （8分） (3) 由(2)知 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，（ ）． ∴当 时， ． ∴ ， （10分） （当且仅当 时取等号）． 另一方面，当 ， 时， ． ∵ ，∴ ． ∴ ， （13分） （当且仅当 时取等号）． ∴ ． （当且仅当 时取等号）． 综上所述， ，（ ）．（14分） 3．北京朝阳二模 （19）（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C： 的右准线 与一条渐近线 交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。 （I）求证： ； （II）若 且双曲线C的离心率 ，求双曲线C的方程； （III）在（II）的条件下，直线 过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足 ，试判断 的范围，并用代数方法给出证明。 解：（I） 右准线 ，渐近线 ……3分 （II） 双曲线C的方程为： ……7分 （III）由题意可得 ……8分 证明：设 ，点 由 得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ……11分 ，得 的取值范围是（0，1） ……13分 （20）（本小题满分13分） 已知函数 ，数列 满足 （I）求数列 的通项公式； （II）设x轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ，求 ； （III）在集合 ，且 中，是否存在正整数N，使得不等式 对一切 恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。 （IV）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在，并求出这个极限值。 解：（I） ……1分 …… 将这n个式子相加，得 ……3分 （II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 ，高为1 ……6分 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则 ，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分 （IV）设 ，即 则 显然，其极限存在，并且 ……10分 注： （c为非零常数）， 等都能使 存在。 � EMBED PBrush ��� _1178275310.unknown _1178540315.unknown _1178544650.unknown _1178563481.unknown _1178566348.unknown _1178567088.unknown _1178568452.unknown _1178569095.unknown _1178569701.unknown _1178570266.unknown _1178570560.unknown _1178570112.unknown _1178569330.unknown _1178569479.unknown _1178569237.unknown _1178568739.unknown _1178568964.unknown _1178568563.unknown _1178567388.unknown _1178567505.unknown _1178567364.unknown _1178566441.unknown _1178566557.unknown _1178566856.unknown _1178566809.unknown _1178566509.unknown _1178566395.unknown _1178563760.unknown _1178566028.unknown _1178566324.unknown _1178563909.unknown _1178563655.unknown _1178563750.unknown _1178563552.unknown _1178562665.unknown _1178563332.unknown _1178563431.unknown _1178563462.unknown _1178563366.unknown _1178563101.unknown _1178563238.unknown _1178562831.unknown _1178545367.unknown _1178545658.unknown _1178545864.unknown _1178545461.unknown _1178544970.unknown _1178545226.unknown _1178545255.unknown _1178545135.unknown _1178544686.unknown _1178542079.unknown _1178543412.unknown _1178543766.unknown _1178544255.unknown _1178544458.unknown _1178543743.unknown _1178543229.unknown _1178542967.unknown _1178543129.unknown _1178541126.unknown _1178541505.unknown _1178541549.unknown _1178541440.unknown _1178540887.unknown _1178540942.unknown _1178540366.unknown _1178275724.unknown _1178275984.unknown _1178276284.unknown _1178276488.unknown _1178276533.unknown _1178540266.unknown _1178276594.unknown _1178276514.unknown _1178276313.unknown _1178276118.unknown _1178276166.unknown _1178276243.unknown _1178276141.unknown _1178276072.unknown _1178275866.unknown _1178275887.unknown _1178275760.unknown _1178275834.unknown _1178275736.unknown _1178275436.unknown _1178275599.unknown _1178275650.unknown _1178275674.unknown _1178275625.unknown _1178275524.unknown _1178275533.unknown _1178275476.unknown _1178275366.unknown _1178275398.unknown _1178275421.unknown _1178275382.unknown _1178275335.unknown _1178275343.unknown _1178275328.unknown _1177769883.unknown _1177783306.unknown _1177784473.unknown _1177784835.unknown _1177784963.unknown _1178275270.unknown _1178275299.unknown _1177784999.unknown _1177784899.unknown _1177784933.unknown _1177784866.unknown _1177784698.unknown _1177784794.unknown _1177784811.unknown _1177784756.unknown _1177784594.unknown _1177784646.unknown _1177784521.unknown _1177784157.unknown _1177784291.unknown _1177784387.unknown _1177784451.unknown _1177784336.unknown _1177784220.unknown _1177784272.unknown _1177784182.unknown _1177783830.unknown _1177783979.unknown _1177784073.unknown _1177783870.unknown _1177783598.unknown _1177783739.unknown _1177783366.unknown _1177782215.unknown _1177782836.unknown _1177783098.unknown _1177783166.unknown _1177783229.unknown _1177783135.unknown _1177782970.unknown _1177783044.unknown _1177782900.unknown _1177782481.unknown _1177782700.unknown _1177782751.unknown _1177782666.unknown _1177782286.unknown _1177782477.unknown _1177782242.unknown _1177781433.unknown _1177781767.unknown _1177782072.unknown _1177782142.unknown _1177781899.unknown _1177781607.unknown _1177781703.unknown _1177781500.unknown _1177769928.unknown _1177769995.unknown _1177781370.unknown _1177781404.unknown _1177769950.unknown _1177769912.unknown _1177593666.unknown _1177593908.unknown _1177594003.unknown _1177769622.unknown _1177769684.unknown _1177594083.unknown _1177769420.unknown _1177769613.unknown _1177769378.unknown _1177594109.unknown _1177594048.unknown _1177594074.unknown _1177594014.unknown _1177593973.unknown _1177593986.unknown _1177593996.unknown _1177593977.unknown _1177593941.unknown _1177593966.unknown _1177593925.unknown _1177593773.unknown _1177593831.unknown _1177593856.unknown _1177593882.unknown _1177593850.unknown _1177593802.unknown _1177593819.unknown _1177593789.unknown _1177593716.unknown _1177593741.unknown _1177593763.unknown _1177593730.unknown _1177593699.unknown _1177593710.unknown _1177593685.unknown _1177591671.unknown _1177591801.unknown _1177591880.unknown _1177593624.unknown _1177593630.unknown _1177593602.unknown _1177591821.unknown _1177591840.unknown _1177591810.unknown _1177591752.unknown _1177591771.unknown _1177591792.unknown _1177591763.unknown _1177591716.unknown _1177591747.unknown _1177591697.unknown _1177589279.unknown _1177589460.unknown _1177591580.unknown _1177591637.unknown _1177591653.unknown _1177591588.unknown _1177589527.unknown _1177591560.unknown _1177591565.unknown _1177589560.unknown _1177589565.unknown _1177589571.unknown _1177589536.unknown _1177589477.unknown 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