时间序列平稳性检验 单位根检验法

1。7；I ■李 军 孙彦彬 一 、平稳随机过程 任何时间序列数据都可看成由一个 随机过程产生的结果 即随机过程的一 个(特殊的)实现，电就是一个样本 如果 一 个随机过程的均值和方差在时间过程 上都是常数，并且在任何两时斯之间的 协方差值仅依赖于该两时期间的距离或 滞后，而不依赖于计算这个 方差的实 际时间．就称它是平稳的：简言之．如果 一 个时同序列是平稳的，就不管在什么 时间测量．它的均值、方差和(各种滞后 的)协方差都保持不变。这一表述用数学 模型可表示为，平稳随机时间序列 具 有下列性质： 均值： E(YJ=lz (1) 方差：vm(YJ=Eif,- = (2) 协方差： ：E ．一v-)(Y 一 I=7 (3) 二、平稳性的自相关函数检验 平稳性可以通过自相关荫数 (简记 为 ACF)来加 检验，滞后 k期的ACF 记作 并定义为： 鲁 (4) 其中 为方差， 为滞后 k期的 方差。由于方差与 方差具有相同的单 位度量，故自相关函数 pk是一个无量纲 的量(纯数)，它同任何相关系数一样，取 值落在一1与+l之间。 由于宴际上对一个随机过程只有一 个实现(样本)，我们只能计算样本自相 关函数 为了计算 必须先计算滞后 基金项目：广东店教育斤自然科学基金资助项目(Z02063) k期的样本协方差 和样本方差 二者 的定义分别为： — X(Y,-Y-) — ff．~-7) (5) — Y_,0c", — - 7-y (6) 其中13是样本音量， 是样本均值。 因此，滞后 k期的样本自相关函数可表 示为 ： f7) 假如根据 198(1至 2001年间我国 GDP时间序列的季度数据。利用(5)、(6) 和(7)可以得到如表 1所示的各种滞后 ： 崆 L (1 6] ∑a；)exp{giy 1 其中 为关于行列和信息的拉格 朗日因子 事实上，GJR提供的目标函数并不 是一个单一的交叉墒．而是列交叉熵的 和，因为： CE：∑cE=∑【∑ )】 I i i 其中CEj为第J列的初始估计与最 终估计的交叉熵．也就是说上述规划同 题就是一个摄小交叉熵和的问题=因此 Robert A．McDougM1(1999)称此模型为 MSCE inimum gllm of erom-entropy) model。 三、RAS与CE的联系 如果假设列系数阵A是由交易阵T 这样形成的： a =— (1 7) ∑ 即列系数阵的构成元素是以相对于 交易价值流的总和来衡量，则MSCE模 型的目标函数就变成了一个单一交叉熵 的形式 ： CE 军 【 哩( 其中，砘|．_— ～。 ∑ 此时SAM的平衡就是解决以下优化 问题： Min CE=∑∑a ‘lo 虹) J slt-∑t ．∑ ‘ (18} i J 定义拉格朗日函数： L：∑∑a4"log( )+∑ (∑ ’一 i ‘ J )+∑“(∑ ‘一}) (I 9) 一 阶条件为： l g( 一1一 一¨ 即 ： a~'=acexp{一1一 ．一 } {2o) 这就是 RAS方法解的结构，式(20) 经过调整可以写成双边比例运算的函数 形式： 即 RAS方法的典型形式，也就是说 RAs方法是一个最小交叉墒方法 虽然有些学者认为 RAS方法的误 18 统计与决第 差较大c罗伯勋 1987．安玉理 1995等)， 而且 RAS方法有以下局限：(1)缺乏经济 基础，RAS方法使用双边等比例调整虽 然在缺乏经济结构有关信息的情况下避 免了植人不可检验的经济机制，但这种 调整缺乏经济理论基础；{2)不能容纳各 种来源的数据信息。也就是说无法增加 使用某些确定的信息来帮助我们的研 究。但CE方法并不是对 RAS方法的一 个超越和替代 因为通过 (14)、(20)-- 式，我们可以发现，在假设拥有相同的行 列和信息的情况下，RAS方法得到的 SAM价值流更“近似”于初始卿值流， 尽量保持了价值流结构的一致性，而CE 方法得到的SAM新的列系数阵则更加 近似 于初始的系数阵，即尽量保持了 成本结构的一致性。当我们将行系数与 列系数视为同等重要，而将注意力放在 SAM的名义赢时，无疑 RAS方法是首 选。而当我们拥有各方面的信息来源并 且用于诸如乘数分析及估计 CGE模型 中的各种比例系数时，无疑CE方法是 首选=I乜就是说二者的使用选择取决于 研究者的侧重角度及面临的研究条件即 信息的充分性，． (作者单位／婀台大学经管学院) (责任鳙辑／浩 天J 挥 新 一 里～ ■ {i 维普资讯 http://www.cqvip.com 表 1 样本自相关函数计算表 k ^ k ^ k ^ k ^pk pk pk l 0．97 7 0．75 l3 O．53 l9 O_35 2 O．92 8 O．72 14 n5O 2O n32 3 O．9o 9 O．68 l5 n48 2l O．28 4 n87 1O O-65 16 0．45 22 n25 5 n85 ll O．60 l7 0．40 23 O．20 6 0．79 l2 n57 l8 n38 24 O．18 期的样本自相关函数 。表 1数据的一 个醒目特征就是它从一个很高(0．97)的 值开始，然后非常缓慢地下降，即使到了 滞后 l4期，自相关系数仍然是一个可观 的数值(0．5)，这一模式象征着时间序列 的非平稳性。 由于 GDP时间序列的季度数据不 具有平稳性，因此，我们在确定性趋势错 误假设下所得到的回归 GDP,=13。+13lt+ ，其价值是值得怀疑的。 三、平稳性的单位根检验 样本自相关函数虽然可以实现时间 序列平稳性的检验，但计算量比较大。如 果时间序列时刻t的模型值 YI等于时刻 卜1的模型值 Y．．．加上一个随机冲击 (Yl=YI-。+ )，那么我们同样也可以判断 该时间序列是随机时间序列 (非平稳时 间序列)。从这一事实出发，考虑如下模 型 ： Y,--pY 1+ (8) 如果(8)存在一个根 p=l，则我们说 随机变量 YI有一个单位根。因此，在时 间序列计量经济学中，一个有单位根的 时间序列即为非平稳的时间序列。 假设{ 是均值为 ，恒定方差为cr2 且是系列不相关的一个随机序列，序列 (YIl存在一个单位根，于是(8)可改写为： Yl=Y l+ (9) 令Yo---o，于是有：Yl= l，Y2=I~l+Pa， ⋯ ，YF∑ 。因此，一个非平稳的时间序 列，对应 E J-E(∑ =t ，var(Y,)=to~。这 刚好与平稳的定义相吻合，YI的均值和 方差均随时间的变化而变化，因此过程 是非平稳的。 由于 {Y 一Y 1= 是一个纯随机过 程，故(8)常用的另一种形式可表示为： AY =Y,-Y卜l=(p一1)Y卜l+ILF8Y卜l+Ih (10) 其中B=p一1，此时用来假设检验的 虚拟假设应该是 B--0。 如果一个非平稳时间序列的一阶差 分是平稳的，我们就说原始的序列是一 阶序列，记为d(1)。一个非平稳的时间序 列可以通过若干次差分转换为平稳的时 间序列，如果一个原始序列在变成平稳 之前必须经过n次差分，则称原始序列 为 n阶序列，记为 d(n)。为了检验一个时 间序列Yl(例如上述 GDP序列) 是否平稳，可做回归(10)，看8是 否统计上等于0。这似乎很简单， 其实不然。麻烦就出在显著性是 通过 t函数加以检验的，而 t函数 的构造本身又是以平稳时间序列 为前提的。这也就是说，当时间序 列为非平稳时，惯常所计算的统计量t 根本不服从 t分布。如何解决这一问题 呢?在 B---0的虚拟假设下，我们把惯常所 计算的t统计量改造成为，r统计量，从 而利用Dickey和Fuller给出的T临界值 表，进行所谓的 DF检验。 DF检验的最简单形式，就是首先将 (1O)所估计的8除以其标准差，得到一个 ，r统计量，然后再查 DF临界值表，看是 否可以拒绝虚拟假设 8=0。如果所计算 的，r统计量的绝对值超过DF临界值的 绝对值，就可以拒绝 B--O，进而接受时间 序列是平稳的；如果所计算的统计量的 绝对值小于 DF临界值的绝对值，则不 能拒绝 B---O，进而认为时间序列是非平 稳的。实践上常采用如下两种形式： △YFBl+8Y卜l+Ih (11) A Y,=J3l+B2t+8Y 1+ (12) 其中t是时间或趋势变量，两种形 式中虚拟假设都是 B=0，其差别在于是 否含有趋势项。 回到上述 GDP时间序列的季度数 据 ，根据 MICRO TSPT．0对应(11)的回 归给出如下结果： △GDP,=32．9693-0．0025GDP,_l t= (1．3304) (-o．3932) R_2=0．0018 d=1．3520 对应(12)的回归给出如下结果： AGDP,=183．9751+1．3949t- t： (1．7877)(1．51 1 1) 0．0579GDE—l (_1．5563) R2=o．0286 d=1．3147 德宾(Durbin)一沃森(Watson)统计 量 d定义如下： ∑( 。)2 d= ∑ t= 2 (13) 统计量d的一大优点是，它仅依赖 估计的残差值。正因为这一优点，多数系 统均将 d和 R2一起报告 。Granger和 Newbold曾经提出一个 良好 的经 验规 则，即当R >d时，所估计的回归就有谬 误之嫌。 对于我们的目的，重要的GDP,_。是 1 9 统计与决策 2007年第4期(总第235囊 雾 变量的，r统计量，注意我们的虚拟假设 是 B--'0，也就是说有单位根 p=l。对应 (11)的回归结果，所计算的 ，r值是一 0．3932，而 1％、5％和 10％的 T统计量的 临界值分别为一3．5073，一2．8951，一2．5844。 由于计算的 T值在绝对值上小于 1％、 5％和 10％的临界值的绝对值，我们不拒 绝虚拟假设 B--O，即GDP时间序列是非 平稳的。 对应(12)的回归结果，所计算的 T 值是一1．5563，而 1％、5％和 10％的T统 计量的临界值分别为-4．06733，一3．4620，一 3．1570，同样我们不拒绝虚拟假设B---0， 即GDP时间序列是非平稳的。 现在我们来考虑这样一个问题， GDP的一阶差分是否平稳。重复上面的 检验，只不过这次我们要检验△GDE= (GDP,-GDP,一I)是否是平稳的，对应(1 1)的 回归给出如下结果： △GDP,=15．5313-0．6748GDE_l t：(3．4830)(-6．4956) R_2=0．3436 由于所计算的 f值是一6．4956，而 1％、5％和 10％的T统计量的临界值分 别为-3．5082，一2．8955，-2．5846，T的绝对 值超过了临界绝对值，因此可以拒绝虚 拟假设B---0，即GDP的一阶差分序列是 平稳的。 四、结束语 时间序列的平稳性检验是研究计量 经济学模型的基础，传统的t检验、F检 验等均以此假设作为依据。实际上大多 数经济时间序列是非平稳的，在一个非 正式的判别水准上，平稳性可以通过时 间序列各种滞后的自相关函数来加以检 验；在一个正式的判别水准上，平稳性可 以通过时间序列是否含有单位根来加以 检验。虽然从理论上讲，一个非平稳的时 间序列可以通过若干次差分转换为平稳 的时间序列；但大多数经济理论都是以 变量的原始取值而非差分形式给出的， 经过若干次差分也许会把变量的原始取 值所反映的有价值信息丢掉了。此外，尽 管两变量都是非平稳的，但这并不能排 除两变量的线性组合是平稳的可能性。 如果如此，两变量在原始取值上的回归 就是有意义的。总之，时间序列计量经济 学正处在不断地发展过程中，已建立的 一 些结果和检验在某些情形中仍是尝试 性的，还有许多问题需要做更深入地研 究。 (作者单位／五邑大学管理学院， 大庆石油学院) (责任编辑／浩 天) 维普资讯 http://www.cqvip.com