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高中数学公式大全 数学公式.pdf

高中数学公式大全 数学公式

kevin
2009-09-10 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高中数学公式大全 数学公式pdf》,可适用于高中教育领域

高中数学常用公式及常用结论元素与集合的关系,UxAxCA∈⇔∉UxCAxA∈⇔∉德摩根公式()()UUUUUUCABCACBCABCACB==∩∪∪∩包含关系ABAABB=⇔=∩∪UUABCBCA⇔⊆⇔⊆UACB⇔=Φ∩UCABR⇔=∪容斥原理()()cardABcardAcardBcardAB=−∪∩()()cardABCcardAcardBcardCcardAB=−∪∪∩()()()()cardABcardBCcardCAcardABC−−−∩∩∩∩∩.集合的子集个数共有个真子集有–个非空子集有–{,,,}naaa⋯nnn个非空的真子集有–个n二次函数的解析式的三种形式()一般式()()fxaxbxca=≠()顶点式()()()fxaxhka=−≠()零点式()()()()fxaxxxxa=−−≠解连不等式常有以下转化形式()NfxM<<()NfxM<<⇔()()fxMfxN−−<⇔|()|MNMNfx−−<⇔()()fxNMfx−>−⇔()fxNMN>−−方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后)(=xf),(kk)()(<kfkf者的一个必要而不是充分条件特别地,方程有且只有一个实根在)(≠=acbxax内,等价于,或且,或且),(kk)()(<kfkf)(=kfkkabk<−<)(=kfkabkk<−<闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区)()(≠=acbxaxxfqp,abx−=间的两端点处取得具体如下:()当a>时若则qpabx,∈−={}minmaxmax()(),()(),()bfxffxfpfqa=−=qpabx,∉−={}maxmax()(),()fxfpfq={}minmin()(),()fxfpfq=()当a<时若则若qpabx,∈−={}min()min(),()fxfpfq=则qpabx,∉−={}max()max(),()fxfpfq={}min()min(),()fxfpfq=一元二次方程的实根分布依据:若则方程在区间内至少有一个实根()()fmfn<)(=xf(,)mn设则qpxxxf=)(()方程在区间内有根的充要条件为或)(=xf),(∞m)(=mfpqpm⎧−≥⎪⎨−>⎪⎩()方程在区间内有根的充要条件为或)(=xf(,)mn()()fmfn<()()fmfnpqpmn>⎧⎪>⎪⎪⎨−≥⎪⎪<−<⎪⎩或或()()fmafn=⎧⎨>⎩()()fnafm=⎧⎨>⎩()方程在区间内有根的充要条件为或)(=xf(,)n−∞()fm<pqpm⎧−≥⎪⎨−<⎪⎩定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据()在给定区间的子区间(形如不同)上含参数),(∞−∞Lβα,(β,∞−)∞,α的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是(,)fxt≥tmin(,)()fxtxL≥∉()在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立),(∞−∞(,)fxt≥t的充要条件是(,)()manfxtxL≤∉()恒成立的充要条件是或)(>=cbxaxxfabc≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩abac<⎧⎨−<⎩真值表常见结论的否定形式pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个n至多有()个n−小于不小于至多有个n至少有()个n对所有x成立存在某x不成立或pq且p¬q¬对任何x存在某x四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若p则q若q则p互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非p则非q互逆若非q则非p充要条件()充分条件:若则是充分条件pq⇒pq()必要条件:若则是必要条件qp⇒pq()充要条件:若且则是充要条件pq⇒qp⇒pq注:如果甲是乙的充分条件则乙是甲的必要条件反之亦然函数的单调性()设那么,,xxbaxx≠∈⋅上是增函数()()()xxfxfx−−>⇔baxfxxxfxf,)()()(在⇔>−−上是减函数()()()xxfxfx−−<⇔baxfxxxfxf,)()()(在⇔<−−()设函数在某个区间内可导如果则为增函数如果)(xfy=)(>′xf)(xf则为减函数)(<′xf)(xf如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减)(xf)(xg)()(xgxf函数如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(ufy=)(xgu=是增函数)(xgfy=.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称反过来如果一个函数的图象关于原点对称那么这个函数是奇函数如果一个函数的图象关于y轴对称那么这个函数是偶函数.若函数是偶函数则若函数是偶函)(xfy=)()(axfaxf−−=)(axfy=数则)()(axfaxf−=对于函数(),恒成立,则函数的对称轴)(xfy=Rx∈)()(xbfaxf−=)(xf是函数两个函数与的图象关于直线对称bax=)(axfy=)(xbfy−=bax=若,则函数的图象关于点对称若)()(axfxf−−=)(xfy=),(a,则函数为周期为的周期函数)()(axfxf−=)(xfy=a.多项式函数的奇偶性()nnnnPxaxaxa−−=⋯多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零()Px⇔()Px多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零()Px⇔()Px函数的图象的对称性()yfx=不成立成立且pq或p¬q¬()函数的图象关于直线对称()yfx=xa=()()faxfax⇔=−()()faxfx⇔−=()函数的图象关于直线对称()yfx=abx=()()famxfbmx⇔=−()()fabmxfmx⇔−=两个函数图象的对称性()函数与函数的图象关于直线(即轴)对称()yfx=()yfx=−x=y()函数与函数的图象关于直线对称()yfmxa=−()yfbmx=−abxm=()函数和的图象关于直线y=x对称)(xfy=)(xfy−=若将函数的图象右移、上移个单位得到函数的图)(xfy=abbaxfy−=)(象若将曲线的图象右移、上移个单位得到曲线的图),(=yxfab),(=−−byaxf象.互为反函数的两个函数的关系abfbaf=⇔=−)()(若函数存在反函数,则其反函数为,并不是)(bkxfy=)(bxfky−=−,而函数是的反函数)(bkxfy=−)(bkxfy=−)(bxfky−=几个常见的函数方程()正比例函数,()fxcx=()()(),()fxyfxfyfc==()指数函数,()xfxa=()()(),()fxyfxfyfa==≠()对数函数,()logafxx=()()(),()(,)fxyfxfyfaaa==>≠()幂函数,()fxxα='()()(),()fxyfxfyfα==()余弦函数,正弦函数()cosfxx=()singxx=()()()()()fxyfxfygxgy−=()(),limxgxfx→==几个函数方程的周期(约定a>)()则的周期T=a)()(axfxf=)(xf())()(==axfxf或))(()()(≠=xfxfaxf或,()()fxafx=−(())fx≠或,则的周期T=a()()(),((),)fxfxfxafx−=∈)(xf()则的周期T=a))(()()(≠−=xfaxfxf)(xf()且则)()()()()(xfxfxfxfxxf−=()(()(),||)fafxfxxxa=⋅≠<−<的周期T=a)(xf()()()()()()fxfxafxafxafxa,则的周期T=a()()()()()fxfxafxafxafxa=)(xf()则的周期T=a)()()(axfxfaxf−=)(xf分数指数幂()(且)mnnmaa=,,amnN∗>∈n>()(且)mnmnaa−=,,amnN∗>∈n>.根式的性质()()nnaa=()当为奇数时nnnaa=当为偶数时n,||,nnaaaaaa≥⎧==⎨−<⎩.有理指数幂的运算性质()(,,)rsrsaaaarsQ⋅=>∈()()(,,)rsrsaaarsQ=>∈()()(,,)rrrabababrQ=>>∈注:若a>p是一个无理数则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质对于无理数指数幂都适用指数式与对数式的互化式logbaNbaN=⇔=(,,)aaN>≠>对数的换底公式(,且,,且,)logloglogmamNNa=a>a≠m>m≠N>推论(,且,,且,,)loglogmnaanbbm=a>a>,mn>m≠n≠N>.对数的四则运算法则若a>a≠M>N>则()log()loglogaaaMNMN=()logloglogaaaMMNN=−()loglog()naaMnMnR=∈设函数,记若的定义域为))((log)(≠=acbxaxxfmacb−=∆)(xf,则且若的值域为,则且对于的情形,需要R>a<∆)(xfR>a≥∆=a单独检验对数换底不等式及其推广若,,,,则函数a>b>x>xa≠log()axybx=()当时,在和上为增函数ab>(,)a(,)a∞log()axybx=()当时,在和上为减函数ab<(,)a(,)a∞log()axybx=推论:设且则nm>>p>a>a≠()log()logmpmnpn<()logloglogaaamnmn<平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N平均增长率为则对于时间的总产值有pxy()xyNp=数列的同项公式与前n项的和的关系(数列的前n项的和为),,nnnsnassn−=⎧=⎨−≥⎩{}nannsaaa=⋯等差数列的通项公式*()()naanddnadnN=−=−∈其前n项和公式为()nnnaas=()nnnad−=()dnadn=−等比数列的通项公式*()nnnaaaqqnNq−==⋅∈其前n项的和公式为(),,nnaqqsqnaq⎧−≠⎪=−⎨⎪=⎩或,,nnaaqqqsnaq−⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩等比差数列:的通项公式为{}na,()nnaqadabq==≠(),(),nnnbndqabqdbqdqq−−=⎧⎪=−−⎨≠⎪−⎩其前n项和公式为(),()(),()nnnbnndqsdqdbnqqqq−=⎧⎪=−⎨−≠⎪−−−⎩分期付款(按揭贷款)每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为)()()nnabbxb=−anb.常见三角不等式()若则(,)xπ∈sintanxxx<<()若则(,)xπ∈sincosxx<≤()|sin||cos|xx≥同角三角函数的基本关系式=sincosθθ=tanθθθcossintancotθθ⋅=正弦、余弦的诱导公式()sin,sin()()s,nnncoαπαα−⎧−⎪=⎨⎪−⎩()s,s()()sin,nnconcoαπαα⎧−⎪=⎨⎪−⎩和角与差角公式sin()sincoscossinαβαβαβ±=±cos()coscossinsinαβαβαβ±=∓tantantan()tantanαβαβαβ±±=∓(平方正弦公式)sin()sin()sinsinαβαβαβ−=−cos()cos()cossinαβαβαβ−=−=(辅助角所在象限由点的象限决sincosabααsin()abαϕϕ(,)ab定,)tanbaϕ=二倍角公式sinsincosααα=coscossincossinααααα=−=−=−tantantanααα=−三倍角公式sinsinsinsinsin()sin()ππθθθθθθ=−=−coscoscoscoscos()cos()ππθθθθθθ=−=−tantantantantan()tan()tanθθππθθθθθ−==−−三角函数的周期公式函数x∈R及函数x∈R(A,ω,为常数且A≠sin()yxωϕ=cos()yxωϕ=ϕω>)的周期函数(A,ω,为常数且ATπω=tan()yxωϕ=,xkkZππ≠∈ϕ(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)≠ω>)的周期Tπω=正弦定理sinsinsinabcRABC===余弦定理cosabcbcA=−cosbcacaB=−coscababC=−面积定理()(分别表示a、b、c边上的高)abcSahbhch===abchhh、、()sinsinsinSabCbcAcaB===()(||||)()OABSOAOBOAOB∆=⋅−⋅����������������三角形内角和定理在△ABC中有()ABCCABππ=⇔=−CABπ⇔=−()CABπ⇔=−简单的三角方程的通解sin()arcsin(,||)kxaxkakZaπ=⇔=−∈≤sarccos(,||)coxaxkakZaπ=⇔=±∈≤tanarctan(,)xaxkakZaRπ=⇒=∈∈特别地,有sinsin()()kkkZαβαπβ=⇔=−∈scos()cokkZαβαπβ=⇔=±∈tantan()kkZαβαπβ=⇒=∈最简单的三角不等式及其解集sin(||)(arcsin,arcsin),xaaxkakakZπππ>≤⇔∈−∈sin(||)(arcsin,arcsin),xaaxkakakZπππ<≤⇔∈−−∈cos(||)(arccos,arccos),xaaxkakakZππ>≤⇔∈−∈cos(||)(arccos,arccos),xaaxkakakZπππ<≤⇔∈−∈tan()(arctan,),xaaRxkakkZπππ>∈⇒∈∈tan()(,arctan),xaaRxkkakZπππ<∈⇒∈−∈实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数那么()结合律:λ(μa)=(λμ)a()第一分配律:(λμ)a=λaμa()第二分配律:λ(ab)=λaλb向量的数量积的运算律:()a·b=b·a(交换律)()(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b)λλλλ()(ab)·c=a·cb·c平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数λ、λ使得a=λeλe.不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底..向量平行的坐标表示设a=,b=且b则ab(b)(,)xy(,)xy≠�≠xyxy⇔−=a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ.aaaa·bbbb的几何意义数量积aaaa·bbbb等于aaaa的长度|aaaa|与bbbb在aaaa的方向上的投影|bbbb|cosθ的乘积.平面向量的坐标运算()设a=,b=则ab=(,)xy(,)xy(,)xxyy()设a=,b=则ab=(,)xy(,)xy(,)xxyy−−()设AB,则(,)xy(,)xy(,)ABOBOAxxyy=−=−−������������()设a=则a=(,),xyRλ∈λ(,)xyλλ()设a=,b=则a·b=(,)xy(,)xy()xxyy两向量的夹角公式(a=,b=)cosxxyyxyxyθ=⋅(,)xy(,)xy平面两点间的距离公式=,ABd||ABABAB=⋅������������(AB)()()xxyy=−−(,)xy(,)xy向量的平行与垂直设a=,b=且b则(,)xy(,)xy≠A||bb=λa⇔xyxy⇔−=ab(a)a·b=⊥≠⇔xxyy⇔=线段的定比分公式设是线段的分点,是实数且则(,)Pxy(,)Pxy(,)PxyPPλPPPPλ=��������xxxyyyλλλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇔OPOPOPλλ=������������()⇔()OPtOPtOP=−������������tλ=三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐A(x,y)B(x,y)C(x,y)标是(,)xxxyyyG点的平移公式''''xxhxxhyykyyk⎧⎧==−⎪⎪⇔⎨⎨==−⎪⎪⎩⎩''OPOPPP⇔=������������注:图形F上的任意一点P(xy)在平移后图形上的对应点为且的'F'''(,)Pxy'PP����坐标为(,)hk“按向量平移”的几个结论()点按向量a=平移后得到点(,)Pxy(,)hk'(,)Pxhyk()函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式()yfx=C(,)hk'C'C为()yfxhk=−()图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数'C(,)hkCC()yfx='C解析式为()yfxhk=−()曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为C(,)fxy=(,)hk'C'C(,)fxhyk−−=()向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=(,)xy(,)hk(,)xy三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点角所对边长分别为则OABC∆,,ABC,,abc()为的外心OABC∆OAOBOC⇔==������������()为的重心OABC∆OAOBOC⇔=�������������()为的垂心OABC∆OAOBOBOCOCOA⇔⋅=⋅=⋅������������������������()为的内心OABC∆aOAbOBcOC⇔=�������������()为的的旁心OABC∆A∠aOAbOBcOC⇔=������������常用不等式:()(当且仅当a=b时取“=”号).,abR∈⇒abab≥()(当且仅当a=b时取“=”号).,abR∈⇒abab≥()(,,)abcabcabc≥>>>()柯西不等式()()(),,,,abcdacbdabcdR≥∈()bababa≤≤−极值定理已知都是正数则有yx,()若积是定值则当时和有最小值xypyx=yxp()若和是定值则当时积有最大值yxsyx=xys推广已知则有Ryx∈,xyyxyx)()(−=()若积是定值,则当最大时,最大xy||yx−||yx当最小时,最小||yx−||yx()若和是定值,则当最大时,最小||yx||yx−||xy当最小时,最大||yx−||xy一元二次不等式如果与()axbxc><或(,)abac≠∆=−>a同号则其解集在两根之外如果与异号则其解集在两根之axbxcaaxbxc间简言之:同号两根之外异号两根之间()()()xxxxxxxxx<<⇔−−<<,()()()xxxxxxxxxx<>⇔−−><或含有绝对值的不等式当a>时有xaxaaxa<⇔<⇔−<<或xaxaxa>⇔>⇔>xa<−无理不等式()()()()()()()fxfxgxgxfxgx≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩()()()()()()()()()fxfxfxgxgxgxfxgx≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或()()()()()()()fxfxgxgxfxgx≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩指数不等式与对数不等式()当时,a>()()()()fxgxaafxgx>⇔>()log()log()()()()aafxfxgxgxfxgx>⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩()当时,a<<()()()()fxgxaafxgx>⇔<()log()log()()()()aafxfxgxgxfxgx>⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩斜率公式(、)yykxx−=−(,)Pxy(,)Pxy直线的五种方程()点斜式(直线过点且斜率为).()yykxx−=−l(,)Pxyk()斜截式(b为直线在y轴上的截距)ykxb=l()两点式()(、())yyxxyyxx−−=−−yy≠(,)Pxy(,)Pxyxx≠()截距式(分别为直线的横、纵截距)xyab=ab、ab≠、()一般式(其中A、B不同时为)AxByC=两条直线的平行和垂直()若:lykxb=:lykxb=①||,llkkbb⇔=≠②llkk⊥⇔=−()若,,且A、A、B、B都不为零,:lAxByC=:lAxByC=①||ABCllABC⇔=≠②llAABB⊥⇔=夹角公式()tan||kkkkα−=(,):lykxb=:lykxb=kk≠−()tan||ABABAABBα−=(,,):lAxByC=:lAxByC=AABB≠直线时直线l与l的夹角是ll⊥π到的角公式ll()tankkkkα−=(,):lykxb=:lykxb=kk≠−()tanABABAABBα−=(,,):lAxByC=:lAxByC=AABB≠直线时直线l到l的角是ll⊥π.四种常用直线系方程()定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线(,)Pxy()yykxx−=−),其中是待定的系数经过定点的直线系方程为xx=k(,)Pxy,其中是待定的系数.()()AxxByy−−=,AB()共点直线系方程:经过两直线,的交点:lAxByC=:lAxByC=的直线系方程为(除)其中λ是待定的系数.()()AxByCAxByCλ=l()平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时表示平行直线ykxb=系方程.与直线平行的直线系方程是()λ是AxByC=AxByλ=λ≠参变量.()垂直直线系方程:与直线(A≠B≠)垂直的直线系方程是AxByC=,λ是参变量.BxAyλ−=点到直线的距离(点,直线:)||AxByCdAB=(,)PxylAxByC=或所表示的平面区域AxByC><设直线则或所表示的平面区域是::lAxByC=AxByC><若当与同号时表示直线的上方的区域当与B≠BAxByClB异号时表示直线的下方的区域简言之,同号在上,异号在下AxByCl若当与同号时表示直线的右方的区域当与B=AAxByClA异号时表示直线的左方的区域简言之,同号在右,异号在左AxByCl或所表示的平面区域()()AxByCAxByC><设曲线()则:()()CAxByCAxByC=AABB≠或所表示的平面区域是:()()AxByCAxByC><所表示的平面区域上下两部分()()AxByCAxByC>所表示的平面区域上下两部分()()AxByCAxByC<圆的四种方程()圆的标准方程()()xaybr−−=()圆的一般方程(>)xyDxEyF=DEF−()圆的参数方程cossinxarybrθθ=⎧⎨=⎩()圆的直径式方程(圆的直径的端点是()()()()xxxxyyyy−−−−=、)(,)Axy(,)Bxy圆系方程()过点,的圆系方程是(,)Axy(,)Bxy()()()()()()()()xxxxyyyyxxyyyyxxλ−−−−−−−−−=,其中是直线()()()()()xxxxyyyyaxbycλ⇔−−−−=axbyc=的方程,λ是待定的系数.AB()过直线:与圆:的交点的圆系方程lAxByC=CxyDxEyF=是,λ是待定的系数.()xyDxEyFAxByCλ=()过圆:与圆:的交CxyDxEyF=CxyDxEyF=点的圆系方程是,λ是待定的()xyDxEyFxyDxEyFλ=系数.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种(,)Pxy)()(rbyax=−−若则()()daxby=−−点在圆外点在圆上点在圆内dr>⇔Pdr=⇔Pdr<⇔P直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:=CByAx)()(rbyax=−−<∆⇔⇔>相离rd=∆⇔⇔=相切rd>∆⇔⇔<相交rd其中BACBbAad=两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为OO半径分别为rrdOO=条公切线外离⇔⇔>rrd条公切线外切⇔⇔=rrd条公切线相交⇔⇔<<−rrdrr条公切线内切⇔⇔−=rrd无公切线内含⇔⇔−<<rrd圆的切线方程()已知圆.xyDxEyF=①若已知切点在圆上则切线只有一条其方程是(,)xy()()DxxEyyxxyyF=当圆外时,表示过两个切点(,)xy()()DxxEyyxxyyF=的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为再利用相切条件求k这时必()yykxx−=−有两条切线注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为再利用相切条件求b必有两条切线.ykxb=()已知圆.xyr=①过圆上的点的切线方程为(,)Pxyxxyyr=②斜率为的圆的切线方程为kykxrk=±椭圆的参数方程是()xyabab=>>cossinxaybθθ=⎧⎨=⎩椭圆焦半径公式()xyabab=>>)(caxePF=)(xcaePF−=.椭圆的的内外部()点在椭圆的内部(,)Pxy()xyabab=>>xyab⇔<()点在椭圆的外部(,)Pxy()xyabab=>>xyab⇔>椭圆的切线方程()椭圆上一点处的切线方程是()xyabab=>>(,)Pxyxxyyab=()过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是()xyabab=>>(,)Pxyxxyyab=()椭圆与直线相切的条件是()xyabab=>>AxByC=AaBbc=双曲线的焦半径公式(,)xyabab−=>>|()|aPFexc=|()|aPFexc=−双曲线的内外部()点在双曲线的内部(,)Pxy(,)xyabab−=>>xyab⇔−>()点在双曲线的外部(,)Pxy(,)xyabab−=>>xyab⇔−<双曲线的方程与渐近线方程的关系()若双曲线方程为渐近线方程:=−byax⇒xyab−=⇔xaby±=()若渐近线方程为双曲线可设为xaby±=⇔=±byax⇒λ=−b

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