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数学总复习第七讲：三角函数
一、三角函数的图象和性质
一、教学目的：
1．使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的
方法
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。
2．会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；
3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin(ωx+φ)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。
考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、余切函数的图象和性质；函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
二、基本三角函数的图象
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
{x|x≠kπ，
x∈R}
值域
[-1，1]
[-1，1]
R
R
周期性
最小正周期2π
最小正周期2π
最小正周期π
最小正周期π
单调区间
k∈z
增区间
减区间
增区间
[2kπ-π，2kπ]
减区间
[2kπ，2kπ+π]
增区间
减区间
（kπ，kπ+π）
最值点
k∈z
最大值点
最小值点
最大值点
（2kπ，1）
最小值点
（2kπ+π，-1）
无
无
对称中心
k∈z
（kπ，0）
对称轴
k∈z
x=kπ
无
无
三、（一）性质——单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式及对角的讨论）
例1．用定义证明：f(x)=tgx在
递增。
例2．比较下列各组三角函数的值的大小
（1）sin194°和cos160°；
（2）
和
（3）
和
；
（4）tg1，tg2和tg3；
（1）>（2）<（3）>（4）tg2
0的图象及变换
三、y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
相位变换-φ>0左移；φ<0右移；
周期变换- ω>1，横坐标缩短
倍；0< ω<1，横坐标伸长
倍；
振幅变换-A>1，纵坐标伸长A倍；00）的一个周期的图象，试求函数y的解析表达式
例5．已知函数
，
（1）当y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到（2000年高考，难度0.70）
（1）
（2）
EMBED Equation.3
例6．求下列各方程在区间[0，2π]内实数解的个数
（1）
；
（2）sinx=sin4x；
（1）一个实解
（2）九个实解
例7 已知函数
（1）作出它的简图：
（2）填空回答问题：
〈1〉振幅 2 ；
〈2〉周期 π ；
〈3〉频率
；
〈4〉相位
；
〈5〉初相
；
〈6〉定义域 R ；
〈7〉值域 [-2，2] ；
〈8〉当x=
时
2 ；
当
时，
-2 ；
〈9〉单调递增区间
k∈Z。；
单调递减区间
k∈Z。
〈10〉当x∈
k∈Z时，y>0
当x∈
k∈Z时，y<0
〈11〉图象的对称轴方程
k∈Z。
〈12〉图像的对称中心
k∈Z。
作业：
1．已知函数
求（1）f（x）的值域
（2）f（x）的最小正周期
（3）f（x）的单调区间
单调递增区间为
k∈Z。
k∈Z。
2．判断下列函数的奇偶性。
（1）
（奇）
（2）
（偶）
（3）
（奇）
（4）
（偶）
（5）
（偶）
3．求函数
的单调区间
单调增区间为
k∈Z。
单调减区间为
k∈Z。
4．求下列函数的最小正周期
（1）
（
）
（2）
（3）
（T=π）
（4）
（T=|a|π）
二、三角函数的求值
例1 求值
利用积化和差 原式=
例2 求值
先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式=
．
或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用
，
出现特殊角．
解1原式=
解2原式
例3 求值
方法1 可用积化和差
方法2 逆用倍角公式
原式
例4 求值
原式=1
例 5 求
的值
原式
一般形式
例6 求值
解：原式
（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则）
例7 求值
原式
例8 求值
．
解：设法出现特殊角：原式
（出现倍角关系）
三、三角函数的求值
例1 求值
利用积化和差 原式=
例2 求值
先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式=
．
或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用
，
出现特殊角．
解1原式=
解2原式
例3 求值
方法1 可用积化和差
方法2 逆用倍角公式
原式
例4 求值
原式=1
例 5 求
的值
原式
一般形式
例6 求值
解：原式
（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则）
例7 求值
原式
例8 求值
．
解：设法出现特殊角：原式
（出现倍角关系）
四、三角中常用的变角代换技巧
在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系。三角中的变角代换具有很强技巧性，本文就三角中常用到的一些变角代换作些说明。
1. 单角化复角
这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角变换式有：
<1>
<2>
例1. 求证：
。
证明：左边
例2. 求证：
证明：左边
2. 单角化倍角
单角化倍角的主要角度换式有
。
例3. 求证：
证明：左边
例4. 求证：
证明：左边
3. 倍角化复角
倍角化复角常用的角变换式有：
例5. 已知
，且
，
，求
。
解：因为
所以
又因为
所以
所以
所以
4. 复角化复角
复角化复角内容丰富，但主要有以下三组变换式：
<1>
<2>
<3>
例6. 已知
，求
之值。
解：因为
，所以
所以
例7. 已知
，并且
，试求
之值。
解：因为
所以
因为
所以
所以
例8. 已知
，且
，求
之值。
解：因为
，所以
所以
所以
所以
在有些三角问题中，有时既要把单角化为复角，同时又要把复角化为复角。
例9. 已知
，求证：
。
证明：因为
所以
所以
所以
所以
由以上数例可以看到，应用变角代换技巧，常可优解一些三角问题。
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