第 5 章 模糊数学模型

第 5 章 模糊数学模型 描述和处理现实世界模糊性数量关系的数学分支，称为模糊数学。模糊数学 诞生于 1965年，创始人是美国加利福尼亚大学自动控制专家扎德（Lotfi Zadeh） 教授，他在第一篇论文“模糊集合”（Fuzzy Set）中，引入了“隶属函数”这 个概念来描述差异的中间过渡问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。经过近 30年的发展，模糊数学在理论和应 用方面均已取得很大成果。 随着科学的发展，研究对象越来越复杂，而复杂的东西难以精确化的。这种 矛盾随着电子计算机的发展而日益激化。一方面是严密的程序要求高度的精确； 另一方面，机器所执行的任务更加复杂，必然涉及到大量的模糊概念。这就是“大 系统”出现所带来的突出矛盾。 以至使许多科技工作者从实践中总结出来一 条所谓“不相容原理”—当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减 少，在达到一定阈值（限度）之上时，复杂性和精确性将相互排斥。从某种意义 上来说，模糊数学是架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥梁，可以把多年积 累起来、形式化思维的数学成果应用到复杂系统中去，并通过少量的信息而得到 大量的成果。 大量事实表明，许多事物过分追求精确反倒更模糊，适当地模糊反而可以达 到精确的目的。模糊数学不是让数学放弃其严格性去迁就研究对象的模糊性，而 是让数学吸取人脑对于模糊现象识别和判决中的优点，用精确的数学方法去处理 模糊的现象，从而为数学的运用开辟了新的方向。模糊数学同样具有数学的共性： 条理分明、一丝不苟，即使描述模糊概念（现象）也会描述的清清楚楚。 在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分为两大类： 确定性的和不确定性的，而后者又可分为随机性和模糊性对于现实世界中大量使 用的一些含义确定但是不准确的语言表述，例如“天气很热”，“速度过快”等， 模糊数学能够较好的表达。 模糊数学有几种不同的名称，例如“模糊集”，“模糊逻辑”，“模糊控制”等。 模糊数学是一种更广泛地称呼，用来指采用了模糊数学的思想和理论的方法或系 统，而其中采用的一些技术往往称为模糊技术或模糊方法。在应用中我们不严格 区分这些说法。 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门。农业、林 业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、经济管理等方面都有模糊数学成功的 应用。在地理学中，模糊数学主要用于分类和综合评判问题。 5.1 精确性、随机性与模糊性 5.1.1 精确性与模糊性 所谓精确性或清晰性，指的是事物性态或类属的非此即彼性，亦即对于是否 具有某种性态，是否属于某个类别的问题，可以作出非此即彼的明确结论。用精 确方法建立的自然科学理论，如牛顿力学、相对论，量子力学、分子生物学等， 在解释自然现象的本质、发现客观的规律、预见自然过程的演变等方面显示出威 力。所有这一切成就，充分显示了数学方法在严格性、精确性和普适性上无与伦 比的魅力。 所谓模糊性，指的是事物性态或类属上的亦此亦彼性、中介过渡性，亦即对 于事物是否具有某种性态，是否属于某个类别的问题，不能作出非此即彼的明确 结论。 精确性与模糊性都是客观实在的特性。众所周知，欲以精确方法描述某个对 象，必须获得该对象的精确数据、资料，然后建立数学模型。但在模糊性明显的 对象领域，许多数量特征无法精确获取，不具备应用精确方法的前提。一般来说， 自然系统，特别是力学系统基本上是清晰的，能够进行精确描述。人文社会系统 是模糊的，很难用精确的方法加以描述。生物和地理现象的许多方面具有模糊性， 也难以像物理系统那样作精确描述。与精确性相比，模糊性更普遍性，现实世界 本质上是模糊的，精确性只是一种局部特征，有时甚至只是对现实世界的一种近 似。 5.1.2 随机性与模糊性 假设您坐在一张桌旁，桌上有两杯盛有液体的杯子。一杯中的液体据说有 95%的可能性对人体健康有益。另一杯中的液体据说是有 0.95 属于对人体健康有 益的那一类（最大为 1）。您会选哪一杯呢?请记住第一杯中有 5%的可能是对人 体健康无益的液体，甚至可能是毒药。 根据这两类信息，人们应作出怎样的理性判断呢?假设我们能测量杯中液体， 那么 0.95的先验概率就变成了 1.0或 0.0的后验概率了。液体要么对人体有益、 要么有害。然而，“0.95 属于”在测量或品尝之后仍保留 0.95 的隶属关系，因 为它测量的是液体的可喝性是否属于“有利健康的和好喝的”。所以，随机性与 模糊事件之间的信息内容不同。 以上给出了模糊性与随机性之间最清晰的判断：模糊性描述事件的含糊程度，而 随机性描述事件发生的不确定性（某事件或者将发生或者不发生）。对事件的非 模糊性描述是否足以测出事件将发生或不发生呢？下面的几何问题可帮助我们 用数学的方法形象化地认识模糊性。 图 5.1（a）中的几何图形可以是盘、柱和棒，这取决于比值 d/h的情况。 当 d/h≤l，物体的形状接近于一根长棒；事实上 d/h→0时，其形状接近于一条 线。当 d/h≥1，物体形状近似于一个平盘；当 d/h→ 时，物体形状接近于圆面， 对其他比值，如当d/h≈1时，其形状就成了平常所称的“正圆柱体”，见图 5.1。 图 5.1 数学术语与模糊术语之间的关系 (a)数学术语 (b)模糊术语 5.1.3 信息中的不确定性 图 5.2 信息世界中的不确定性形式 图 5.2说明了一典型问题中所包含的信息。我们将所有信息的集合称为“信 息世界”。图中仅有一小部分信息可认为是必然的或肯定的（确定的），而大量 的信息是不确定的。 问题中不确定性的性质是人们在选择适当的不确定表示法之前应首先考虑 的关键点。模糊数学表示了自然问题或人文科学中的模糊性。人们在生活中不知 不觉地用到了模糊术语。例如，叫孩子烤面包，通常会说，烤到棕色为止，而不 会说，烤到 39度、3分钟。当然，成熟的计算方法同样可用来表达和处理模糊 性问题。 5.2 模糊集合和隶属函数 首先熟悉几个基本的概念。 1）集合与元素。研究对象的全体称为集合，这些对象称为集合中的元素。 集合由元素组成。 2）论域。某一具体的研究范围称为论域，通常用 U，V，X，Y来表示。论域 中的每个对象就是元素，常用小写字母表示，如 u，v，x，y。给定一个论域 U， U中的部分元素的全体，叫作 U 中的一个集合，常用 A，B，C，D，„，来表示。 模糊数学的理论有两大支柱，其一是模糊集的概念，它是普通集合论（即经 典集合论）的推广，也就是把{0，1}两点上取值的特征函数推广到可在[0，1] 闭区间上取任意值的隶属函数。第二是分解定理和扩张 原则 组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则 。从方法论的角度上 来看，任何模糊数学的定理可通过分解定理化为普通集合论的问题来处理，而扩 张原则是把普通集合论的方法扩张到模糊数学中去。从概念上说，模糊数学是经 典数学的推广和发展，从方法上说，模糊数学使用的是传统的普通集合论的方法。 5.2.1 模糊集合 利用集合概念可按严密的逻辑来定义数学的其他概念，用这些概念精确表述 各种数学定理，从而建立现代数学的整个框架。经典集合概念的基础是概括原则， 它假定论域上的每个元素与集合的关系是明确的。以 x记元素，A记论域 U的一 个集合，则概括原则要求，要么∈x A，要么 x A： 其中，A（x）为特征函数，刻画了元素与集合之间的关系。通过这样的方法 界定的集合概念，即经典集合，它定义了清晰事物性态的分明性、类属的非此即 彼性。建立在集合论之上的整个数学框架是对事物作精确化、定量化、形式化描 述的理想工具。 但是，对“属于”概念作如此绝对化的规定，也使经典集合和全部经典数学 无法描述“高个子”“满意的解答”“充分小的实数”之类具有明显亦此亦彼 特征的模糊事物。身高多少才算高个子，不存在确切的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，无法从论域中明确 划分出这个类别，这个类别不能用经典集合描述。要把这种对象的类表示为集合， 须人为地规定一个划分标准，作硬性分类。如规定身高 h≥1.8 米为高个子，h<1.8 米者为非高个子，每个人按身高标准的归类就完全确定了。但这种解决方法的过 分简单，它人为忽略了从差异的一方“高个子”到另一方“非高个子”的过渡性， 而这种过渡性正是我们描述模糊事物时最重要的东西。人为地化模糊为精确是对 真实性的一种歪曲。经典集合以舍弃模糊性为前提，决定了它本质上不适于描述 模糊现象。 要用数学方法刻画模糊事物的类属特性，必须推广集合概念，放弃过分确定 的概括原则，代之可以容纳不确定性的隶属原则，也就是承认事物从具有某种性 态到不具有该性态、从属于某一类到不属于该类是逐步过渡而非突然改变的。采 取这一假定意味着：1）把元素属于集合的概念模糊化，承认论域上至少存在一 部分元素，它们既非完全属于某个集合，也非完全不属于该集合，变绝对的属于 关系为相对的属于关系；2）把属于关系定量化，承认论域上的每个元素都以一 定的程度属于集合，这通过引入隶属度（degree of membership）概念来解决元 素与集合之间的属于关系。 用精确的数学语言讲，对于论域 U上的一个集合 A，如果元素与集合的关系 用元素 x到区间[0，1] 的函数 描述，那么，A为模糊集合。由于 A是论域 U 上的子集，所以又称为模糊子集。x U 的 的数值表示元素 x 对集合 A 的 隶属度， 称为集合 A的隶属函数。 隶属函数表示一个元素 x属于集合 A的程度，取值范围是[0，1]，即0≤ ≤1。经典的集合可以认为是模糊集合的特例， =1表示 x 完全属于集合 A， 相当于经典集合概念上的 x∈A；而 =0则表示 x完全不属于集合 A，相当于 经典集合概念上的 x A。 如果论域是连续，那么它包括的元素的无限的，模糊集合表示为： 在实际工作中，往往用分段函数来表示。 如果论域是离散的，那么它包括的元素是有限的。设包括的元素数为 n，模 糊集合表示为： 例如，对于论域 U={1,2,5,8}，一个模糊集合可能是 A={0/1+0.5/2+0.6/5+1/8}（或 A=0/1+0.5/2+0.6/5+1/8，本文不采用这种表示 方法）。 借用经典集合中的概念，这里的 xi仍然可以叫作模糊集 A中的元素， 或 μ i为元素 xi的隶属函数。 如果模糊集中的元素可以用一个标量 x来表征，则隶属度函数 就是 x 的一个单变量函数。比如用单位平方米的草地蝗虫数目表示的“蝗虫成灾”这个 概念，如图 5.3所示。如果用确定集合表示，集合的定义可能是草地蝗虫密度 为 30头/平方米则出现了蝗虫灾害（图 5.3a），或者标准放宽一些为在 20-30 之间（图 5.3b）；而如果用模糊集表示，则可以用类似图 5.3（c）这样的隶属 度函数来表示。显然，模糊集的表示更接近我们日常的理解。 图 5.3 “蝗虫成灾”概念的模糊集与确定集 在模糊集合中，对于上图（c）中的“蝗虫成灾”概念，假如论域为单位平 方米的蝗虫数目{0,10,20,25,30}，隶属函数的一个可能的表示如下： 蝗虫成灾={0/0+0/10+0.8/20+0.87/25+1/30} 其中（0，0.2，0.7，0.87，1）是论域元素对应的隶属度值。[20，30]之间 的隶属函数是图中的曲线，用数学近似表示为： 这是用分段函数表示的隶属函数。 模糊集合的定义体现了从精确性向模糊性的逼近。与经典集合不同，模糊集 合是用隶属函数描述的。给定隶属函数，就是给定了模糊集合，不同的隶属函数 代表不同的模糊集合。经典集合着眼于确定哪些元素属于集合，不考察元素对集 合属于程度的差别，描述的是一种边界确定的硬分类。对于模糊集合，讨论哪些 元素属于集合是没有意义的。原则上讲，论域上的每个元素都在一定程度上属于 每个模糊集合，不同模糊集合的差别不在于包含元素的不同，而在于元素属于集 合的程度不同，更准确地，在于隶属函数的不同。隶属度反映的是处于过渡状态 的事物对于差异一方的倾向程度，隶属函数表述的是元素从属于集合到不属于集 合的渐变过程，或隶属度在论域上的分布。经典集合舍弃了这些信息，无法表示 模糊事物。模糊集合保留和提取了有关过渡性信息，并用数值表示出来，因而能 够对模糊性提供定量描述。 当然，模糊集合与经典集合之间有着内在联系。经典集合是模糊集合的特殊 情形。模糊集合是经典集合的推广。使模糊集合转变为经典集合的基本途径，是 取截集。选定隶属度的一个门坎值，由论域上一切满足的元素构成的经典集合， 称为模糊集合的截集。对于同一个模糊集合，不同门坎值所确定的截集，代表对 模糊集合的不同程度的逼近。随着取值从 1到 0，得到一个边界放宽的经典集合 序列，反映出模糊集合刻画的是边界游移的软分类。截集概念是对人脑处理模糊 问题时常用的数学表述。经典集合给出的是在舍弃模糊性之后的截集。模糊集合 是让模糊性不加取舍地进入数学模型，尽量利用过渡性信息，通过对隶属函数的 数学演算，最后在一个适当的门坎进行截断，作出非模糊的判决。 5.2.2 隶属函数 隶属函数是模糊集合中的关键，直接影响着模糊数学模型的成败。 隶属函数描述的是元素对集合的“属于”程度的分布状况。隶属度是隶属函 数的具体取值，是对模糊事物中介过渡性的度量，隶属度本质上是客观的，不允 许主观随意指定。 隶属函数的表达形式为连续的数学表达式，或离散的隶属度形式。例如， 是数学表达式，“蝗虫成灾 ={0/0+0.2/10+0.7/20+0.87/25+1/30}”是隶属度形式。在隶属度的形式中，等 号左边部分称为“语言变量”，例如这里的“蝗虫成灾”，右边部分的上面是隶 属度值，下面是论域的元素，又称为语言值或标称值。 确定隶属函数是应用模糊集合概念解决具体问题的基石。“年轻”是个模糊 集合，25岁的隶属度不能大于 20岁的隶属度，这是确定无疑的。有关模糊统计 试验的研究发现，在许多情形下，存在隶属频率的稳定性，表明隶属度概念反映 的内容是存在的。但也不可否认，隶属度的指定与人的经验、甚至人的心理过程 有关，往往有一定的主观成分。同一个模糊集合在不同背景下有不同的隶属函数， 而且不同人给出的隶属函数可能都是可以接受的。我们定义 25 岁属于年轻的程 度为 1，但是如果有人指定为 0.95，也未尝不可。在一定意义上讲，隶属度的这 种不确定性利于模仿人的经验，可以更好的表现人脑思维的灵活性和主动性。 确定隶属函数的方法目前还很不完善。在较简单的情形下，是凭经验指定隶 属度，再根据实践加以修正。如果条件适宜，通过模糊统计试验来确定隶属度要 更为科学。应当指出，不存在适用于一切情形的方法，在不同情况下确定隶属函 数的方法不同。把科学性和艺术性结合起来，体现了模糊方法的应用特点。 5.2.2.1 确定隶属函数的基本原则 隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性，遵守如下基本原则。 1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 凸模糊集合可以这样描述：随着论域中元素值的增加，隶属函数的隶属值随 之严格单调增加或减少，或严格地先增加后减少。 下面，以专家经验法为例来确定“速度适中”的隶属度函数。某专家根据实 际情况和他本人的经验对“速度适中”这一语言值进行隶属度函数的定义，给出 的结果为： 速度适中={0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70} 这里隶属度为 1的速度值定在 50km/h。就是说，50km/h 左右的速度为最适 中。越偏离这一速度值其隶属度函数的值越小，即速度适中的程度越小，这符合 凸模糊集合的要求。如果上面的结果最后为 0.8/70，就不符合凸模糊集合的要 求了。 综上所述，隶属度函数的确定形象地说要求呈单峰馒头形，用数学的语言来 表示就要求是凸模糊集合，不允许出现如图 5.4所示的非凸模糊集合的隶属度 函数。实际应用中，为了简化计算常选用三角形、梯形等作为隶属度函数，就是 为了满足凸模糊集合的要求。 2）隶属度函数通常是对称和平衡的 在模糊应用系统中，每一个输入变量（以后又可称语言变量）可以有多个标 称名（又称语言值）。一般情况下，描述变量的标称值安排得越多，在论域中的 隶属度函数的密度越大，模糊应用系统的分辨率就越高，其系统响应的结果就越 平滑，但带来的不足之处是模糊规则会明显增多，计算时间大大增加，系统 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 难度加重。如果标称值安排得太少，则系统的响应可能会不敏感，并可能无法及 时响应小的输入变化。因此，模糊变量的标称值选择既不能过多又不能过少。一 般地，标称值取 3—9个为宜，通常为奇数个，并在“零”、“适中”或“合适” 集合的两边语言值保持对称。针对上例，除“速度适中”这一语言值外，如果选 择另一个语言值“速度高”，则一般应该选一个“速度低”的语言值相对应，以 满足对称性。 图 5.5 交叉越界的隶属度函数 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠 在相同论域上使用的具有语言顺序关系的若干标称的模糊集合，其中心值位 置必须按顺序排列，例如从“速度很低、速度低、速度适中、速度高、速度很高” 的排列，不能违背常识和经验。因为设计中的很大一部分尤其是规则库的设计要 依赖于专家的经验，而专家的经验往往是与这些语言值相关的。语言值的分布必 须满足常识和经验。除此之外，由中心值向两边模糊延伸的范围也有一定的限制， 间隔的两个模糊集合的隶属度函数尽量不相交。如图 5.5的隶属度函数定义明显 是不符合实际情况的，即 32km／h的速度隶属于“很高”的程度比隶属于“适中” 的程度还要高。若有这样的安排，制定出的模糊规则会相互矛盾。这显然不是人 们所期望的。 对于具体的隶属度函数，选择时应遵循： 1）论域中的每个元素应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一般应 该属于至多不超过两个隶属度函数的区域。 2）对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时给出最大隶属度。 3）当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属度函数的最大隶属度不 应该有交叉。 5.2.2.2 常用确定隶属函数的方法 隶属度函数的确定多建立在经验和实验的基础上。通常是初步确定粗略的隶 属函数，然后再通过学习来修正和完善。 目前，确定隶属函数的方法大致有下述几种。 1）主观经验法 当论域离散时，根据主观认识或个人经验，直接或间接给出元素隶属的具体值， 由此确定隶属函数。 比如“几个”一词，在一定的场合下有人凭经验可以表示为： 几个={0.5/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.5/8} 这里，我们取论域 U={1，2，...，10}。 对于所确定的隶属度我们应当承认两条事实：（1）从挑剔的角度来看，我 们承认 5个或 6个是“几个”的隶属度为 1时，为什么 4个的隶属度是 0.8，3 个的隶属度是 0.5等，可以说这样的隶属度递减规律带有很强的主观人为性。（2） 从可行性角度来看，尽管上式所取的数值不一定确实可信，但这是一次可喜的逼 近，它总比只用（0，1）两个隶属程度来描写“几个”这一概念要更接近于真实 程度。 为了尽可能避免问题，具体的实现方法有以下几种： （1）专家评分法：即综合多数专家的评分来确定隶属函数的方法，这种方 法广泛应用于经济与管理的各个领域。 （2）因素加权综合法：若模糊概念是由若干因素相互作用而成，而每个因 素本身又是模糊的，则可综合考虑各因素的重要程度来选择隶属函数。 （3）二元排序法：通过对多个事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺 序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。 2） 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 推理法 当论域连续时，根据问题的性质，应用一定的分析与推理，决定选用某些典 型函数作为隶属函数。 比如地震科学中的震中烈度，可以看作是震级论域中的模糊子集，因影响震 中烈度和震级关系的因素太多、太复杂，所以，可以假定这些模糊子集的隶属函 数呈正态分布，即： 这里，m表示震级， , 是某个震中烈度内的震级数据的平均值和标准离 差。 3）调查统计法 调查统计结果得出的经验曲线可作为隶属函数曲线，根据曲线找出相应的函 数表达式。 在三种方法中，第一种方法和第二种方法都带有很强的主观性。第三种方法 实际是一种多人主观性的平衡。一般而言，通过对大自然提供给我们的原始信息 进行分析和统计所得隶属函数比较客观一些，而且也比较容易被一般学者所接受。 5.2.2.3 常用的隶属函数 表 5.1和图 5.6 常用的隶属度函数的图形表示图给出的是实际工作中常用 的隶属函数及其所代表的语言概念（黄崇福，1992）。 表 5.1 常用的隶属度函数 类别 语言概念 隶属度函数 图 5.7 形 容 词 大（远） 1 小（近） 1 接近于 a 在 a左右 2 大于 a 比 a大许多 3 小于 a 4 大 小 定 量 多 少许 几个 U={0,1,„10} 真 假 真 假 不可能 可能 U=[0,1] 5 表中，a,b,c,k 等为不等于 0的常数 图 5.6 常用的隶属度函数的图形表示 在实际应用中，某些问题可以用同一种类型的隶属函数所表示的模糊集来刻 画，下面给出的模糊集是常见的几种形式。 1．偏小型模糊分布 这类模糊集适合于刻画像“小”、“冷”以及颜色的“淡”等偏向小的一方 的模糊现象，其隶属函数的一般形式可以表述为： 其中，a为常数，而 f(x)是非增函数，且可通过 f的选择得到不同的偏小型 模糊分布。常用的有 1）半矩阵模糊分布，2）降半 分布， ，3） 降半正态分布等。 2．偏大型模糊分布 这类集合适合于刻画像“大”、“热”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的 模糊现象，隶属函数的一般形式可表达成 其中，a为常数，而 f(x)是不减函数，且可通过 f的选择得到不同的偏大型 模糊分布。 3．中间型模糊分布 这类模糊集合适合于刻画“适中”，“温和”，“中等”等处于中间状态的 模糊现象，其隶属函数可以通过偏大型模糊分布和偏小型模糊分布表示出来。下 面是常用的几种。 1）矩阵模糊分布 2）点型模糊分布 ，k为大于 0的常数 3） 梯形模糊分布 当 a1=0时，梯形模糊分布为三角形模糊分布。 5.3 模糊关系和模糊运算 5.3.1 模糊关系 世界上存在有各种各样的关系，例如两个数之间有“大于”关系、“等于” 关系等，人与人之间有“同事”关系、“亲戚”关系等。 为了描述关系，需要引入直积的定义。 设两个集合 U和 V，其各自的元素 x，y作为序偶（x,y），所有这样的（x,y） 构成的集合，称为的 U与 V的直积，记作 U×V，即： U×V={（x,y）|x∈U，y∈V} 对于集合 U和 V，其直积 U×V 上的任一子集 R均可称为 U与 V之间的二元 关系。如果 R是一个模糊集合，那么这种关系就是模糊关系。模糊关系用两个论 域的隶属函数 μ R（x,y）来表示。 假如我们考虑身高 U和体重 V的关系，根据医学知识，一般有：V=U-100。 设论域 U={140，150，160，170，180}，V={40，50，60，70，80}，由此，那么， 身高(cm)和体重（kg）的普通关系可由表 5.2示。 表 5.2 普通关系实例 身高\体重 40 50 60 70 80 140 1 0 0 0 0 150 0 1 0 0 0 160 0 0 1 0 0 170 0 0 0 1 0 180 0 0 0 0 1 但是，实际上受胖瘦等影响，体重与身高大多没有这种标准的关系。在这种 情况下，模糊关系可以较好的表现身高与体重接近于标准的情况。 表 5.3 模糊关系实例 身高\体重 40 50 60 70 80 140 1 0.8 0.2 0.1 0 150 0.8 1 0.8 0.2 0.1 160 0.2 0.8 1 0.8 0.2 170 0.1 0.2 0.8 1 0.8 180 0 0.1 0.2 0.8 1 5.3.2 模糊关系运算 模糊运算中常用的是取大和取小。取大相当于经典集合的并集，取小相当于 经典集合的交集。对于任意两个数值 a和 b， b 表示普通的乘法。更多的算子请参阅汪培庄所著的《模糊集合论及其应用》。  另外，a 设 R和 S是 X×Y上的模糊关系，则主要的关系运算如下： 并： 交： 补： 包含： 5.3.3 模糊相似关系和等价关系 论域 X上的模糊关系 R是从 X到 X的关系，如果矩阵 R满足下面的三个性质： 自反性 对称性 传递性 ，其 中 ， 则称该关系为模糊等价关系。仅满足第一条和第二条的关系称为模糊相似关 系。 对于具有自反性和传递性的任何模糊相似关系，可以通过至多 n-1（假设有 n个 要素）次的复合（计算方法参下面），重新组成一个模糊等价关系。 例如，对于下面的相似矩阵，它具有自反性和对称性，但是没有传递性。例 如 ，但是， 。 通过两次复合运算后，得到的矩阵具有了传递性。 例如， ， 。 5.3.4 复合运算 设 R是从论域 X的元素到论域 Y的对应或映射关系，且设 S是从论域 Y的元 素到论域 Z的映射关系，那么可以找到一个关系 T，将论域 X 中的相同元素与 S 所包含论域 Z中的相同元素对应起来。复合运算就是用来寻找这种关系的运算。 对应的复合运算表示为： 。在模糊识别和模糊综合评判中，经常要用到这种计 算。 复合运算有两种形式，1）最大一最小复合；2）最大积复合。 1）最大一最小复合 用集合论和隶属函数表达式可定义为： 2）最大积复合 最大积复合有时也称最大点积复合，用集合论和隶属函数的表达式可定义为： 对于最大一最小复合运算，有一个非常有趣的物理模拟。下图（图 5.8）表 示若干个链条以平行方式连在一起组成的系统，每一条链条由许多链环构成。如 果从系统中取出一个链环，再把系统置于拉力测验机器中，给它一个很大的拉力， 会发现链将在最弱的一环上断开。因此，每条链条的强度等于其最弱一环的强度， 换言之，链中所有环的最小（∧）强度决定了整条链的强度。如果把完整的系统 置于拉力机中，给它一个拉力，会发现链条系统持续运转直到系统中最后一条链 断开，即较弱的链条会随着负荷的不断增加而陆续断开，直到最结实的链条独自 留下来，最后，它也断掉了。换言之，链条系统中所有链条的最大（∨ ）强度 决定了整个链系统的强度。在这个系统中，每一条链模拟为最大一最小复合中的 最小运算（∧），整个链系统的强度模拟为最大一最小复合中的最大运算（∨ ）。 图 5.7 最大-最小复合的链强度模拟 复合运算的过程可以通过下面的例子来说明。在下面的图中，对于关系 R和 关系 S，仅有始于 x1止于 z2的通道(即：x1-y1-z2和 x1-y3-z2)。设： R和 S关系矩阵可表示为（这是一种非模糊关系），如图 5.9所示： 复合关系 T由最大一最小复合式或由最大积复合式决定(在清晰情况下，复 合算子的这两种形式有相同的结果)。例如，对于最大一最小复合，有： 同理，可以计算出 x2、x3和 z1、z2之间的关系。 最后，可以确定的复合关系是： 假设把上图中包含的信息进一步扩展，使之成为模糊关系 X×Y(用模糊关系 R表示)和 Y×Z(用模糊关系 S 表示)，此时设： 模糊关系为： 则可在定义的笛卡尔空间 X×Z 上，利用最大一最小复合方法导出关系 T， 使论域 X中的元素与论域 Z中元素相关联。 通过最大一最小复合得到如下关系： 通过最大积复合得到如下关系： 由最大一最小复合与由最大积复合得到的结果不相同。 对于 5.3.3“模糊相似关系和等价关系”中的矩阵，通过一次最大一最小复 合得到下列关系： 它仍然不具备传递性。R2再经过最大一最小复合后，得到的矩阵具有了传递 性。 5.4 模糊聚类分析 分类是确认同质对象、区分异质对象的思维活动。概念的建立、判断的形成、 规律的发现和阐述，都以对象的合理分类为前提。现实世界的事物类别大都是模 糊的，宜采用模糊数学方法划分。依据论域上的模糊等价关系对论域中的对象进 行分类的数学方法，称为模糊聚类分析，可作为依据经典等价关系把对象精确地 划分为若干等价类的传统分类方法的推广。 聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度，并以此来 实现分类。模糊聚类分析的实质就是根据研究对象本身的属性来构造模糊矩阵， 在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。从统计学的角度看，模糊聚类 是对于样本的分类。 模糊聚类分析的步骤如下： 1．建立模糊关系矩阵 把待分类的对象全体作为论域 U，U中的元素为 xij，i=1，2，„，n，n为待 分类对象的个数，j=1，2，„，m，m为属性变量的个数。建立从 U到 U自身的 模糊等价关系矩阵 R=(rij)，以 R 为分类标准。 1）计算相似系数矩阵 类似于统计分析，在进行计算前可以根据变量的情况对变量进行标准化变换 或极差变换，然后用下面的公式计算对象之间的相似系数矩阵 r。当然，对于某 些特定的问题或对象较少的情况，也可以用主观评定或集体打分的办法直接定义 相似系数矩阵。 对于任意两个对象 i,j，设变量有 m个，常用的相似系数有： （1）欧氏距离 为了使得欧氏距离满足相似关系的要求，需要在计算完 r 后，进行如下的变 换： （2）夹角余弦距离 相似系数值介于[0，1]之间，系数值越大，表明对象之间越相似。 （3）指数相似系数 2）计算模糊相似矩阵。通过复合运算，将相似关系转换为等价关系，形成 模糊相似矩阵。 2．进行模糊聚类 取模糊等价关系 R的截集 Rλ (Rλ 为普通等价关系)，则 Rλ =（rij’)，其中 （rij’)=1，如果 rij≥λ （rij’)=0，如果 rij<λ Rλ 是一个以 0和 1为元素的普通矩阵。把 Rλ 中元素相同的行归为一类，便 得出一个关于论域中全体元素的分类。不同的 λ 值对应于不同的分类结果。根 据问题给定的条件，确定一个关于聚类水平 λ 的序列顺序 1≥λ 1>λ 2>„>λ k≥0，可以得到逐步归并的聚类图。 按经典等价关系分类，得到的是一种类别之间界限分明的硬分类。按模糊关 系进行分类，得到的是一种动态的软分类，能全面提供对象在不同聚类水平下的 类属关系信息，适用于缺乏明确分类标准的复杂问题。 最后的分类数根据聚类图来确定。如果具有专业知识，那么可以根据相关的 专业知识来划分最后的类数。如果没有，可以参照如下方法：考察分类数与 λ 的关系，当 λ 变化较大而分类数不变时，该分类比较稳定，可以作为最后的分 类结果。与该分类数对应的最小 λ 是最后应该选取的阈值。 以前面得到的模糊等价矩阵为例，如果以 λ ≥0.8 来做截取，对象可以分为 三类，其中 1，2，5 可以连接起来，构成一类，3和 4则分别构成第二类和第三 类。如果以 λ ≥0.5 来做截取,对象分为两类，其中 1，2，4，5为一类；3为一 类。将不同水平的分类逐步归并，可以得到一个聚类图。 模糊等价关系矩阵： 截关系矩阵（λ ≥0.8）： 数据可分为三类，1类：1，2，5；2类：3；3类：4。 截关系矩阵（λ ≥0.5）： 图 5.10 数据聚类图 数据可分类两类，1类：1，2，4，5；2类：3。综合各个划分后的分类得到 了聚类（图 5.10）。从分类数与相似系数的关系来看，结果分为三类较好，对 应的阈值可以取 0.75。 将原始的相似矩阵和变换后的等价关系矩阵用图形来表示（图 5.11），用 矩阵中的值表示连通性，则可以更好的表示相似关系和模糊等价关系。 图 5.11 具有自反性和对称性的五点图 上面模糊聚类常用于少量对象的分类，对于大批量对象的分类，一般使用模 糊 C均值聚类方法（Fuzzy c-means）。 5.5 模糊识别 识别问题在实际工作中是普遍存在的。例如，在野外采集到一个植物标本， 要识别它属于哪一个属或种。识别有两个本质的特征：一是事先已知若干标准模 型（标准模型库），二是有待识别的对象。上述例子中，事先建立的植物标本室 或分类系统是标准模型库，采集到的植物是待识别的对象。因此，识别就是按照 已有的体系，根据对象的某些特征将对象进行归并和分类。 模糊识别是指用于识别的模型是模糊的，或者是有待识别的对象是模糊的。 人类的思维活动就是模式识别。依据对象的的模糊信息，以模糊数学原理为工具 进行的识别，称为模糊模式识别。 Administrator 文本下划线工具 5.5.1 工作步骤 识别的工作步骤原则上分为三步： 1． 特征抽取 从对象 x中提取与识别有关的特征，并测定 x在各个特征上的具体数据。 2． 建立模式的隶属函数 对于给定的模式 A，通过明确的算法产生对应的隶属函数 。如果有多个特 征，则按最近原则取各个特征的隶属度或贴近度值作为模式的隶属度值。 3． 进行识别 通过识别方法对未知的 x 进行识别，确定其所属的类型。 5.5.2 识别方法 模糊模式识别有两种基本的识别方法，基于最大隶属度原则的直接方法和基 于择近原则的间接方法。最大隶属度原则和择近原则都不是现有数学方法平移的 结果，而是以模糊数学为工具对人脑模式识别方式的模写。 5.5.2.1 基于最大隶属度原则的识别 基于最大隶属度原则的模糊识别是一种直接的方法，要解决的问题是，待识 别的对象是明确的，模式类型有模糊性，用模糊集合描述模式类型，识别任务是 判明给定的对象优先归属哪个类别，或哪个对象优先属于给定的模式。其中又分 下面两种情形。 1）最大隶属度原则 I 给定论域 U上的模糊模式，用模糊集合 A表示，论域中有 n个待识别对象 x1，„，xn。要确定哪个对象优先属于 A，答案为： 若 则优先将 xi归属 A。 作为该原则的一个变化，可以规定一个阈值进行判别。所有大于该阈值的均 归入 A。 2）最大隶属度原则Ⅱ 给定论域 U上的 p个模式，其模糊集合为 A1，A2，„，Ap。 为待识别 对象，要确定 x0优先归属于哪个模式，答案为： 若 则 x0优先划归 Ai。 5.5.2.2 基于择近原则的识别 基于择近原则的模糊识别是一种间接方法，要处理的问题是，模式类型是模 糊的，被识别对象也是模糊的，都需要用模糊集合来描述。模式识别在数学上归 结为衡量两个模糊集合的接近程度，按接近程度确定对象归属的模型。常用的数 学工具是贴近度和择近原则。贴近度代表两个模糊集合之间的接近程度，记作 ,有不同的定义，需要根据问题选定适当的贴近度形式。 设模糊集合中包括的特征为 xi，共有 m个。常用的贴近度有： 1） 相对欧氏距离 2） 相对海明距离 3） 格贴近度 B称为 A与 B的内积，A⊙B称为外积： 其中，A i=1,2,..,m 择近原则也可分两种形式来表述。 1）择近原则 I 给定论域 U上的一个模糊集合 A，代表一个模式，论域中的 n个待识别对象 分别用模糊集合 B1，B2，„，Bn表示。要确定哪个对象优先归属 A，答案为： 则把 B优先划归 A。 2）择近原则Ⅱ 给定论域上的 p个模糊集合 A1，A2，„，Ap，代表 p个模式，被识别对象为 模糊集合 B。要确定 B应归属于哪个模式，答案为： 若 则把 B优先划归 A。 在应用中，一般 A是由标准数据产生的模糊集，B是来自于研究对象数据的 模糊集。例如，国家规定了大气污染的标准，根据该标准的有关特征和特征值可 以确定不同污染级别的模糊集 A。对于研究地区的这些特征的实际调查数据，可 以确定其模糊集 B，这时，可以利用择近原则来判断 B所属的污染级别 A。 5.6 模糊综合评判 应用模糊数学方法对决策活动所涉及的人、物、事、方案等进行多因素多目 标的评价和判断，称为模糊综合评判。所谓综合，表示在评判过程中，要将评判 的数个单独要素和部分要素综合到一种聚合形式之中去，其整体是部分的综合。 评判包括评判因素（性能指标）和评语两方面。因素和评语一般都有模糊性， 不宜用精确数学工具刻画。用模糊集合和模糊关系（矩阵）来刻画因素和评语， Administrator 文本下划线工具 Administrator 文本下划线工具 用相应的运算来模拟评判活动，作出带有模糊性的结论，就是模糊综合评判。 设因素集为 X={xl，„，xn}，评语集 Y={yl，„，ym} x,y均为有限集。记单因素评判矩阵为 R（代表 X到 Y的一个模糊关系）， 记刻画各因素权重的模糊向量为 A，则模糊综合评判的数学模型为以下模糊运算 AoR=B 其中，B=(b1，„，bm)为 Y 上的一个模糊集合(向量)，代表评判活动的结论。 “o”为关系合成运算。 评判分为两个问题，即正问题和逆问题。其中，评判的正问题是：已知单因 素评判矩阵 R和权重 A，问评判的结果 B。逆问题是：已知评判矩阵 R和评判结 果 B，问权重 A是多少。在数学上，这归结为解模糊关系方程 AoR=B。合理的权 重常常来自专家的丰富经验。解综合评判的逆问题，可用于总结宝贵的经验。 综合评判的正问题求解包括三个步骤。 m维模糊矢量矩阵 R=(rij)。 1）对 X中给出的各因素作出单因素判断，得 到 n个因素 m个评语的评判向量，构成一个 n 2）确定因素的权重集 A，权重代表各因素在被评判事物总体中的重要程度， A是一个模糊集合（向量），根据经验确定。 3）作最大最小关系复合运算 AoR，求出综合评判结果向量 B。 以服装评判为例，设 因素集={花色式样，耐穿程度，价格费用} 评语集={很欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎} 对某一种服装，请若干专门人员进行了单因素评价。单就花色式样考虑，若 有 20%的人很欢迎，有 70%的人比较欢迎，10%的人不太欢迎，便可得出花色式样 的评判向量（0.2，0.7，0.1，0），类似地，设有耐穿程度（0，0.4，0.5，0.1）， 价格费用（0.2，0.3，0.4，0.1）。联合以上单因素评价，可得评判矩阵 R： 假如我们已经知道某类顾客的因素权重为 a=（0.2，0.5，0.3）， 通过最大最小复合运算，可求得此类顾客对这种服装的综合评判结果为 b=aoR=（0.2，0.4，0.5，0.1），即顾客对这种服装不太喜欢。 在适当场合下，也可以将评判结果归一化，即 0.2+0.4+0.5+0.1=1.2 b=（0.2÷1.2，0.4÷1.2，0.5÷1.2，0.1÷1.2） =（0.17，0.34，0.40，0.09） 如果我们事先知道的不是 a 而是 b，要由综合评价 b反过来确定权重 a，这 便是综合评判的逆问题。设 b=（0，0.8，0.2，0） 权重集 J={a1，a2，a3}，其中 al=（0.2，0.5，0.3） a2=（0.5，0.3，0.2） a3=（0.2，0.3，0.5） 求解综合评判逆问题时，其方程可能有解，也可能无解。有解时，解也可能 有多个，这需根据实际情况作出恰当选择。一般可根据贴近原则来解模糊关系方 程。 出了前面给出的贴近度公式外，也可以用 ： 其中，A={a1，a2，a3}, 是外积运算，∧是取小运算。 先计算： a1 oR=（0.2，0.4，0.5，0.1） a2 oR=（0.2，0.5，0.3，0.1） a3 oR=（0.2，0.3，0.4，0.1） 然后计算： (a1 oR,b)=0.4Λ 0.9=0.4 (a2 oR,b)=0.5Λ 0.9=0.5 （较大） (a3 oR,b)=0.3Λ 0.9=0.3。 按照择近原则，认为 a2比较接近于此类顾客的考虑方式。 在实际问题中，单因素的评判相对简单，多因素的综合评判则比较复杂。多 因素的综合评判涉及到因素的权重问题，要得到综合评价，先要知道因素的权重， 而要确定权重，往往又需要先知道综合评价的结果。以服装问题为例，一类顾客 的考虑方式 a，是这类顾客的一种固有属性，它适用于一大类评判对象—各种不 同的服装。如果能够从某种典型的（能获得可靠的综合评判的）服装上确定出考 虑方式 a（逆过程），那么便能对其它各种服装作出综合评判（正过程）。 把 R看作转换器，正问题是已知输入求输出，逆问题是已知输出求输入，如 图 5.82所示。 图 5.8 模糊综合评判的求解 综合决策问题，尤其是逆问题，有普遍的实际意义。经验与技术，常常归结 为头脑对诸因素的权重分配。从这个角度来看，综合评判的逆问题比其正问题更 有意义，这将有助于经验的总结。但是，由于这类模型的处理涉及到的问题多， 而且有一些仍然处于探讨阶段，所以，在实际工作中要根据情况进行选择和改进。 5.7 其他应用 1. 模糊决策 决策是在人们生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能 发生的问题，选择最佳方案的过程。模糊的目的是要把论域中的对象按优劣进行 排序，或者按某种方法从论域中选择一个“令人满意”的方案。 2. 模糊线性规划 线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法，理论和方法已经十分成熟， 可以应用于物资调运、资源优化配置和地区经济规划等问题。普通线性规划的约 束条件和目标函数都是确定的。但实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函 数可能不是单一的，必须借助模糊集的方法来处理。模糊线性规划是将线性规划 的约束条件或者目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问 题，它的最优解为原问题的模糊最优解。 应用模糊线性规划解决实际问题，一般包括建模、解模、用模三个环节，其 中建模是最关键的一环。建模首先是从问题的要求出发，写出将要执行的方案， 定义数据的变量表示和每一变量的含义，然后找出各变量之间的相互制约关系和 所要达到的目的。 3.模糊控制论 根据模糊数学原理制定控制策略对实际过程进行控制，称为模糊控制。模糊 控制的特点和优点是绕过建立精确模型这一关，运用模糊逻辑和模糊语言，表示 人工控制复杂系统的经验，形成模糊控制指令。 制定模糊控制指令的过程在数学上表示为作模糊数学运算。根据最大隶属度 原则，给定输入 A，就可决定控制量 B。把这一系列处理交给机器去实现，就是 模糊自动控制。目前模糊自动控制已用于多种系统工程的实践中。