正确认识层次分析法_AHP法_

　·技术与方法 · 文章编号 :100628309 (2000) 0220032204 正确认识层次分析法 (AHP 法) 陈伟 (中国科学技术大学评估中心 ,安徽 合肥 230026) 　　摘要 :层次分析法 (AHP 法)作为较早引入我国的多属性决策方法 ,在管理学、运筹学等领域广泛应用。 然而人们对于层次分析法的有效性大都鲜有考虑。通过列举具体实例 ,对应用 AHP 法产生的诸种矛盾和问 题进行了探讨。由分析可以看出 ,AHP 法求出的结果并非完全可靠 ,在实践应用中要谨慎对待。 关键词 :层次分析 ;AHP 法 ;多属性决策 中图分类号 :C93 - 03 　　　文献标识码 :A 1 　引言 多属性和多指标决策问题的分析最早是米勒 (Miller) 1966 年在其博士 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 [1 ]中提出的 ,我们 称之为米勒层次分析过程 (MHP) [2 ,3 ] 。他关于指 标分解的概念被应用到许多多指标决策方法 ,比 如 Raiffa 在 1969 年提出的多属性效用理论 (MAU T) [4 ] 。后来美国数学家托马斯·萨迪 ( Thomas Saaty)在 MHP 方法的基础上 ,提出了层 次分 析 法[5 ,6 ,7 ] ( Analytical Hierarchy Process , AHP) ,在管理科学及运筹学等领域广泛应用。 所谓 AHP 是基于下述层次合成原理的方法 : 给定两个有限集合 S 和 T , S 是独立属性的 集合 , T 是以这些属性作为特征的对象的集合 ,假 设对于每个 S j ∈S ,相应地有相对重要性指数 W j > 0 , j = 1 , ⋯, n ,并且 ∑ n j = 1 W j = 1 ;又假设对于每个 t i ∈T ,有相对于 S j 的“权”ωij > 0 ,i = 1 , ⋯,m ,并 且 ∑ m i = 1 ωij = 1 ,则诸ωij的凸组合 　　∑ n j = 1 W jωi 　　i = 1 , ⋯, m 表示 t i 对于 S 的相对重要性或优先数。 今将此原理用于下述简单情形。最高目标是 b ,有 n 个独立属性 s1 , s2 , ⋯, sn 表征它 ,通过合 理地进行 m 种活动 t1 , t2 , ⋯, t n 实现它。每个属 性在 b 实现中的分量是ωj , j = 1 , ⋯, n。活动 t i 对 b 的实现的总分量是 　　∑ n j = 1 ωijωj 　　i = 1 , ⋯, m 　　在实践中 ,人们对于使用 AHP 法似乎从未产 生过疑问。然而实际上包括米勒的层次分析过 程 ,AHP 法在根本上是有缺陷的。对此国外的一 些运筹学工作者已经有所研究。本文将对 AHP 法使用中出现的种种问题进行讨论。 2 　“权重比率”与“相对重要性” AHP 法最终构造的是如下形式的线性 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 函数 　　f ( x ) = ∑ n j = 1 w j x j 其中 x j 是第 j 个评价指标 , w j 是 x j 相对应 的权系数。AHP 法的核心就是通过求出权重比 率并将之归一化 ,从而得出各指标的权重。为决 定比率 w i∶w j ,评价者必须回答 x i 与 x j 哪一个 重要 ,重要性有多大。在这里 w i∶w j 即被认为是 两个指标的相对重要性。这种理解在根本上是可 疑问的。 由评价函数的定义我们可知 　　w i ÷w j = 5 f5 x i ÷5 f5 x j 　　这个式子意味着比率 w i : w j 是与 x i 和 x j 的 度量单位有关的 ,也就是说 w i : w j 的大小是随 x i 和 x j 的度量单位改变而改变的 ,它并不能代表指 ·23· 人类工效学 　2000 年 6 月第 6 卷第 2 期 标的相对重要性 :如果 x i 用“千米”度量时是“不 重要”的指标 ,那么它用“厘米”度量时 ,绝不会变 为“很重要”指标。事实上 5 f5 x i ÷5 f5 x j是 x i 与 x j 的 边际替换率 ,它当然是与 x i 和 x j 的度量单位有关 的。 3 　“九级分制”带来的不相容性往往不可避免 AHP 法是基于成对比较来得出相对重要性 矩阵 ,设为 A = { ɑij} ,其中 ɑij是用九级分制来标 度的。当 ɑij = ɑik ɑjk 时 ,我们称该矩阵具有相容性 , 但实际应用中矩阵 A 往往不具相容性。 我们不妨举 2 个例子来看一下。 设 A 、B 、C、D 四元素经成对比较后得出如 下矩阵 : A B C D 　 　A 　B 　C 　D 　 1 5 6 7 1 5 1 4 6 1 6 1 4 1 4 1 7 1 6 1 4 1 又设在计算总成绩时对语文、数学、英语三门课作 出如下比较 : 语文 数学 英语 　　　 语文　数学 　英语 1 　　　1 　　5 1 　　　1 　　6 1 5 　　 1 6 　　1 则根据 AHP 法的定义 ,我们有 例 1 : A / C = 6 C/ D = 4 A / D = 7 如果相容性成立 ,则应有 A / D = 6 ×4 = 24 例 2 : 　　语文/ 数学 = 1 　　数学/ 英语 = 6 然而 　　　　语文/ 英语 = 5 ≠1 ×6 故不相容性在九级分制下往往不可避免。 4 　多评价主体时评价综合结果的不一致性 我们知道 ,AHP 的成对比较矩阵 ɑij = A i/ A j 是对某一评价者作出的 ,当出现多个评价主体时 (设为 m 个) ,则会有 m 个不同的比较矩阵 ɑ( m)ij , 如果简单地将这 m 个矩阵进行算术平均 ,求 ɑ’ij = 1 m ∑ m i = 1 ɑ( m)ij ,这一方面 ɑ’ij的涵义已不是原来的 成对比较 ,另一方面不相容的情况会更为严重 ,以 而对结果的可信度就更为降低。 我们看如下一个实例。设有 3 个评价对象 O1 、O2 、O3 ,2 个评价者 A 和 B ,分别独立地对 O1 、 O2 、O3 进行层次分析 ,他们的评价矩阵分别为 SA = 1 2 5 1/ 2 1 3 1/ 5 1/ 3 1 SB = 1 1/ 7 1/ 9 7 1 1/ 4 9 4 1 则由 SA 和 SB 可求出其主特征向量分别为 W A = 01581 01309 01110 WB = 01053 01254 01693 设 A 和 B 的意见同等重要 ,则最后的综合评 价结果为 W A + B = 1 2 W A + 1 2 WB = 01317 0 01281 5 01401 5 由此得到 O1 、O2 、O3 的排序为 : 　　O3 : O1 : O2 如果我们先对评价矩阵进行综合 ,有 S合 = 1 2 SA + 1 2 SB = 1 1107 2155 3175 1 11625 416 2117 1 则由 S合求出的主特征向量为 : W合 = 01273 01333 01394 由此得到 O1 、O2 、O3 的排序为 : 　　O3 : O1 : O2 从而产生不一致的情况。 从评价方法论的角度讲 ,先求和再评价与先 评价再求和应该具有一致性。以上我们仅以 2 个 评价人为例在 AHP 法合成下即出现了倒序现象 , 如果评价人数增多 ,则最后的综合评价结果产生 倒序的情况就更为可能。 5 　主特征向量的序变 ·33·人类工效学 　2000 年 6 月第 6 卷第 2 期 我们知道 ,AHP 的最终结果是以成对比较矩 阵的右主特征向量求出的。我们不妨考虑如下矩 阵 : R = A 1 A 2 A 3 A 4 　 　A 1 　A 2 　A 3 　A 4 1 3 13 1 2 1 3 1 1 6 2 3 6 1 1 2 12 1 1 它的最大特征根对应的右特征向量为 (01184 , 01152 , 01436 , 01227) , 由之得出的排序为 　　A 3 : A 4 : A 1 : A 2 R 中的元素 rjk表示了评价者相对 A k 对 A j 的 喜好程度。那么右主特征向量中的元素就表示了 评价者对 A 1 、A 2 、A 3 、A 4 的“满意度”。如果我们 换个角度 ,让评价者表达相对 A k 而言对 A j 的厌 恶程度 ,那么我们得到的矩阵肯定是 R 的转置 , 即 R T ( 比如 A j 比 A k 强 3 倍 , 那么 A j 比 A k 差 1/ 3 倍) ,那么 R T 的右主特征向量恰好是 R 的 左主 特 征 向 量 , 为 ( 01248 , 01338 , 01105 , 01259) ,其元素表示了评价者对 A 1 、A 2 、A 3 、A 4 的“不满意度”。这时得出的排序为 　　A 3 : A 1 : A 4 : A 2 这里 A 1 与 A 4 产生了变序。这种变序的产 生就是由于我们用右主特征向量表达对各属性的 重要性所致[8 ][9 ] 。 6 　等价层次分解但评价结果不等价 为了把问题说清楚 ,我们考虑这样一个实例 : 一个公司的总经理和 3 位副经理正在考虑公 司的市场规划。这个公司生产一种产品并且该产 品以同一价格在其 5 个分店销售。分店 1 与分店 2 在城市的西部 ,分店 3 位于城市的中心 ,分店 4 与分店 5 在城市的东部。总经理与 3 位副经理的 目标函数 (利润函数) 是一致的 ,即υ( x ) =υ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5) ,其中 x i 代表了第 i 分店的年销售 额 ( i = 1 ,2 , ⋯,5) 。公司有 2 个市场策略 ,分别为 A 和 B ,它们产生的效果可用 P = (3 , 3 , 1 , 1 , 1) 即 x 1 = 3 , x 2 = 3 , x 3 = 1 ⋯和 ã= (1 ,1 ,1 ,3 ,3) 表示。 如果把 x i 看作评价指标 ,则评价对象就是市 场策略 A 和 B。4 位公司领导都同意各指标间无 差异 ,也即 x i 与 x j 同等重要。这样总经理认为公 司的目标函数即为 υ( x ) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 , 则υ( P) =υ(ã) = 9 ,即 A、B 之间无差异。 3 位副经理应用 AHP 方法把问题分别进行 了如下分解 : 管辖城市中心分店的副经理的分解为 : 　　各 x i 含义与前相同 ; S 1 代表分店 1 与分店 2 的销售额之和 ; S 2 代表分店 3 的销售额 ; S 3 代表 分店 4 和分店 5 的销售额。依据 AHP 过程 ,很显 然地 ,他给出的各层次间的权重分别为 W S 1 = W S 2 = W S 3 = 1 3 , W x1 = W x2 = 1 2 , W x3 = 1 , W x4 = W x5 = 1 2 , 这样总权重即为 (1 , 1 , 2 , 1 ,1) / 6 ,其目标函 数为 υ1 ( x ) = x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 + x 5 为方便起见 ,我们把υ1 ( x ) 放大 6 倍。 与此相似 ,管辖东部地区的副经理的分解为 : 　　管辖西部地区的副经理的分解为 : ·43· 人类工效学 　2000 年 6 月第 6 卷第 2 期 　　通过与前类似的层次赋权 ,它们的目标函数 分别为 : υ2 ( x ) = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 3 x 5 υ3 ( x ) = 3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 由此我们可以得出 , υ1 ( P) =υ1 ( Q) υ2 ( P)〈υ2 ( Q) υ3 ( P) 〉υ3 ( Q) 这与原来υ( P) =υ( Q) 的结果产生矛盾。 从上例我们可以看出 ,在应用 AHP 法时 ,同 一问题的等价层次分解却产生不等价的评价结果 和排序[10 ] 。 7 　总结 以上我们通过具体实例较形象地分析了 AHP 法在实际应用中出现的问题。由上种种情 况分析我们可以看出 ,AHP 法无论在原理上或是 在方法上都有不可避免的缺陷性[11 ] [12 ] ,而这种 缺陷性即使在其成对比较矩阵满足一致性条件时 也会存在。虽然 AHP 法在一定条件下使用时是 有效的 ,但是我们在使用 AHP 法解决多指标或多 属性决策问题时要注意分析具体问题 ,切不可认 为其为包医百病的良药 ,一定要谨慎采用。 参 考 文 献 [1 ] 　Miller J R. 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