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高中数学函数知识点总结.doc

高中数学函数知识点总结

lele
2009-08-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高中数学函数知识点总结doc》,可适用于高中教育领域

http:txtjixiezhijiacnreadsaspbookid=高中数学函数知识点总结对于集合一定要抓住集合的代表元素及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么?A表示函数y=lgx的定义域B表示的是值域而C表示的却是函数上的点的轨迹进行集合的交、并、补运算时不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集是一切非空集合的真子集。显然这里很容易解出A={,}而B最多只有一个元素。故B只能是或者。根据条件可以得到a=,a=但是这里千万小心还有一个B为空集的情况也就是a=,不要把它搞忘记了。注意下列性质:要知道它的来历:若B为A的子集则对于元素a来说有种选择(在或者不在)。同样对于元素a,a,……an,都有种选择所以总共有种选择即集合A有个子集。当然我们也要注意到这种情况之中包含了这n个元素全部在何全部不在的情况故真子集个数为非空真子集个数为()德摩根定律:有些版本可能是这种写法遇到后要能够看懂你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)的取值范围。注意有时候由集合本身就可以得到大量信息做题时不要错过如告诉你函数f(x)=axbxc(a>)在上单调递减在上单调递增就应该马上知道函数对称轴是x=或者我说在上也应该马上可以想到mn实际上就是方程的个根、熟悉命题的几种形式、命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。)原命题与逆否命题同真、同假逆命题与否命题同真同假。、熟悉充要条件的性质(高考经常考)满足条件满足条件若则是的充分非必要条件若则是的必要非充分条件若则是的充要条件若则是的既非充分又非必要条件对映射的概念了解吗?映射f:A→B是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性哪几种对应能构成映射?(一对一多对一允许B中有元素无原象。)注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素集合B中有n个元素则从A到B的映射个数有nm个。如:若问:到的映射有个到的映射有个到的函数有个若则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:①表达式相同②定义域一致(两点必须同时具备)求函数的定义域有哪些常见类型?函数定义域求法:·分式中的分母不为零·偶次方根下的数(或式)大于或等于零·指数式的底数大于零且不等于一·对数式的底数大于零且不等于一真数大于零。·正切函数·余切函数·反三角函数的定义域函数y=arcsinx的定义域是-, 值域是函数y=arccosx的定义域是-,值域是,π函数y=arctgx的定义域是R值域是函数y=arcctgx的定义域是R值域是(,π)当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时先分别求出满足每一个条件的自变量的范围再取他们的交集就得到函数的定义域。如何求复合函数的定义域?义域是。复合函数定义域的求法:已知的定义域为求的定义域可由解出x的范围即为的定义域。例若函数的定义域为则的定义域为。分析:由函数的定义域为可知:所以中有。解:依题意知:解之得∴ 的定义域为、函数值域的求法、直接观察法对于一些比较简单的函数其值域可通过观察得到。例求函数y=的值域、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=xx的值域。、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用但这类题型有时也可以用其他方法进行化简不必拘泥在判别式上面下面我把这一类型的详细写出来希望大家能够看懂、反函数法直接求函数的值域困难时可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=值域。、函数有界性法直接求函数的值域困难时可以利用已学过函数的有界性来确定函数的值域。我们所说的单调性最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=的值域。、函数单调性法通常和导数结合是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=EMBEDEquationEMBEDEquation(≤x≤)的值域、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x的值域。数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义如两点的距离公式直线斜率等等这类题目若运用数形结合法往往会更加简单一目了然赏心悦目。例:已知点P(xy)在圆xy=上例求函数y=的值域。解:原函数可化简得:y=∣x∣∣x∣上式可以看成数轴上点P(x)到定点A()B()间的距离之和。由上图可知:当点P在线段AB上时y=∣x∣∣x∣=∣AB∣=当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时y=∣x∣∣x∣>∣AB∣=故所求函数的值域为:∞)例求函数y=的值域解:原函数可变形为:y=上式可看成x轴上的点P(x)到两定点A()B()的距离之和由图可知当点P为线段与x轴的交点时y=∣AB∣==故所求函数的值域为∞)。注:求两距离之和时要将函数、不等式法利用基本不等式ab≥abc≥(abc∈)求函数的最值其题型特征解析式是和式时要求积为定值解析式是积时要求和为定值不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例:倒数法有时直接看不出函数的值域时把它倒过来之后你会发现另一番境况例求函数y=的值域多种方法综合运用总之在具体求某个函数的值域时首先要仔细、认真观察其题型特征然后再选择恰当的方法一般优先考虑直接法函数单调性法和基本不等式法然后才考虑用其他各种特殊方法。求一个函数的解析式或一个函数的反函数时注明函数的定义域了吗?切记:做题特别是做大题时一定要注意附加条件如定义域、单位等东西要记得协商不要犯我当年的错误与到手的满分失之交臂反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x②互换x、y③注明定义域)在更多时候反函数的求法只是在选择题中出现这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:(全国理)函数的反函数是(B)A.y=x-x(x<)B.y=x-x(x≥)C.y=x-x(x<)D.y=x-x(x≥)当然心情好的同学可以自己慢慢的计算我想一番心血之后如果不出现计算问题的话答案还是可以做出来的。可惜这个不合我胃口因为我一向懒散惯了不习惯计算。下面请看一下我的思路:原函数定义域为x〉=那反函数值域也为y>=排除选项C,D现在看值域。原函数至于为y>=,则反函数定义域为x>=,答案为B我题目已经做完了好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?反函数的性质有哪些?反函数性质:、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(yx)关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y=x对称②保存了原来函数的单调性、奇函数性由反函数的性质可以快速的解出很多比较麻烦的题目如(上海春季高考)已知函数则方程的解如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种:()定义法:根据定义设任意得x,x找出f(x),f(x)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与的关系()参照图象:①若函数f(x)的图象关于点(ab)对称函数f(x)在关于点(a)的对称区间具有相同的单调性(特例:奇函数)②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称则函数f(x)在关于点(a)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)()利用单调函数的性质:①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数)当c>时它们是同向变化的当c<时它们是反向变化的。③如果函数f(x)f(x)同向变化则函数f(x)+f(x)和它们同向变化(函数相加)④如果正值函数f(x)f(x)同向变化则函数f(x)f(x)和它们同向变化如果负值函数f()与f(x)同向变化则函数f(x)f(x)和它们反向变化(函数相乘)⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u=φ(x)xαβ与函数y=F(u)u∈φ(α)φ(β)或u∈φ(β),φ(α)同向变化则在αβ上复合函数y=Fφ(x)是递增的若函数u=φ(x),xαβ与函数y=F(u)u∈φ(α)φ(β)或u∈φ(β)φ(α)反向变化则在αβ上复合函数y=Fφ(x)是递减的。(同增异减)⑦若函数y=f(x)是严格单调的则其反函数x=f-(y)也是严格单调的而且它们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减减增减减减增减减∴……)如何利用导数判断函数的单调性?值是()ABCD∴a的最大值为)函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)注意如下结论:()在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数两个偶函数的乘积是偶函数一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判断函数奇偶性的方法、定义域法一个函数是奇(偶)函数其定义域必关于原点对称它是函数为奇(偶)函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称则函数为非奇非偶函数、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下计算然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性、复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶你熟悉周期函数的定义吗?函数T是一个周期。)我们在做题的时候经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)f(xt)=,我们要马上反应过来这时说这个函数周期t推导:同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(ax),或者说f(ax)=f(ax)其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称对称轴可以由括号内的个数字相加再除以得到。比如f(x)=f(ax),或者说f(ax)=f(ax)就都表示函数关于直线x=a对称。如:你掌握常用的图象变换了吗?联想点(x,y),(x,y)联想点(x,y),(x,y)联想点(x,y),(x,y)联想点(x,y),(y,x)联想点(x,y),(ax,y)联想点(x,y),(ax,)(这是书上的方法虽然我从来不用但可能大家接触最多我还是写出来吧。对于这种题目其实根本不用这么麻烦。你要判断函数yb=f(xa)怎么由y=f(x)得到可以直接令yb=,xa=,画出点的坐标。看点和原点的关系就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)注意如下“翻折”变换:你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?(k为斜率b为直线与y轴的交点)的双曲线。应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程②求闭区间[mn]上的最值。③求区间定(动)对称轴动(定)的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。由图象记性质!(注意底数的限定!)利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意等号成立的条件)你在基本运算上常出现错误吗?如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)(对于这种抽象函数的题目其实简单得都可以直接用死记了、代y=x、令x=或来求出f()或f()、求奇偶性令y=x求单调性:令xy=x几类常见的抽象函数正比例函数型的抽象函数f(x)=kx(k≠)f(x±y)=f(x)±f(y)幂函数型的抽象函数f(x)=xaf(xy)=f(x)f(y)f()=指数函数型的抽象函数f(x)=axf(x+y)=f(x)f(y)f(x-y)=对数函数型的抽象函数f(x)=logax(a>且a≠)f(x·y)=f(x)+f(y)f()=f(x)-f(y)三角函数型的抽象函数f(x)=tgxf(x+y)=f(x)=cotxf(x+y)=例已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>时f(x)>f(-)=-求f(x)在区间-,上的值域分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x)=f(x-x)+x=f(x-x)+f(x))再根据区间求其值域例已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+=f(x)+f(y)且当x>时f(x)>f()=求不等式f(a-a-)<的解分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例)再求出f()=最后脱去函数符号例已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且f(-)=f()=当≤x<时f(x)∈()判断f(x)的奇偶性()判断f(x)在+∞上的单调性并给出证明()若a≥且f(a+)≤求a的取值范围分析:()令y=-()利用f(x)=f(·x)=f()f(x)()≤a≤例设函数f(x)的定义域是(-∞+∞)满足条件:存在x≠x使得f(x)≠f(x)对任何x和yf(x+y)=f(x)f(y)成立求:()f()()对任意值x判断f(x)值的符号分析:()令x=y=()令y=x≠例是否存在函数f(x)使下列三个条件:①f(x)>,x∈N②f(a+b)=f(a)f(b)a、b∈N③f()=同时成立?若存在求出f(x)的解析式若不存在说明理由分析:先猜出f(x)=x再用数学归纳法证明例设f(x)是定义在(+∞)上的单调增函数满足f(x·y)=f(x)+f(y)f()=求:()f()()若f(x)+f(x-)≤求x的取值范围分析:()利用=×()利用函数的单调性和已知关系式例设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)如果f(ab)=f(a)+f(b)那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确试说明理由分析:设f(a)=mf(b)=n则g(m)=ag(n)=b进而m+n=f(a)+f(b)=f(ab)=fg(m)g(n)…例已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足以下三个条件:x、x是定义域中的数时有f(x-x)=f(a)=-(a>a是定义域中的一个数)当<x<a时f(x)<试问:()f(x)的奇偶性如何?说明理由()在(a)上f(x)的单调性如何?说明理由分析:()利用f-(x-x)=-f(x-x)判定f(x)是奇函数()先证明f(x)在(a)上是增函数再证明其在(aa)上也是增函数对于抽象函数的解答题虽然不可用特殊模型代替求解但可用特殊模型理解题意有些抽象函数问题对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数因此针对不同的函数要进行适当变通去寻求特殊模型从而更好地解决抽象函数问题例已知函数f(x)(x≠)满足f(xy)=f(x)+f(y)()求证:f()=f(-)=()求证:f(x)为偶函数()若f(x)在(+∞)上是增函数解不等式f(x)+f(x-)≤分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>)()先令x=y=再令x=y=-()令y=-()由f(x)为偶函数则f(x)=f(|x|)例已知函数f(x)对一切实数x、y满足f()≠f(x+y)=f(x)·f(y)且当x<时f(x)>求证:()当x>时<f(x)<()f(x)在x∈R上是减函数分析:()先令x=y=得f()=再令y=-x()受指数函数单调性的启发:由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)=进而由x<x有=f(x-x)>练习题:已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立则()(A)f()=(B)f()=(C)f()=或(D)以上都不对若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y)则下列各式中错误的是()(A)f()=(B)f()=f(x)(C)f()=f(x)-f(y)(D)f(xn)=nf(x)(n∈N)已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f()≠f(x+y)=f(x)f(y)且当x<时f(x)>则当x>时f(x)的取值范围是()(A)(+∞)(B)(-∞)(C)()(D)(-+∞)函数f(x)定义域关于原点对称且对定义域内不同的x、x都有f(x-x)=则f(x)为()(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)+f(y)则函数f(x)是()(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数参考答案:.A.B.C.A.B你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?(和三角形的面积公式很相似可以比较记忆要知道圆锥展开图面积的求法)�EMBEDPBrush����EMBEDWordPicture����EMBEDWordPicture���unknownunknowndocyy=logxOxunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknowndocOR弧度RunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknowndocyOx�EMBEDEquation����EMBEDEquation���unknownunknownunknowndocyy=ax(a>)(<a<)y=log​ax(a>)Ox(<a<)unknownunknownunknowndocy(a>)Okxxxunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknowndoc(k<)y(k>)y=bO’(a,b)Oxx=aunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknowndocuOxunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

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