%A0数学精品资料：第三章+导数及其应用

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算 基础自测 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则 为 （ ） A. B. C. D. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 C 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则 等于 （ ） A.cos2x-cosx B.cos2x-sinx C.cos2x+cosx D.cos2x+cosx 答案 C 3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x ＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立 的是 （ ） A.af(b)＞bf(a) B.af(a)＞bf(b) C.af(a)＜bf(b) D.af(b)＜bf(a) 答案B 4.（2008·辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是 ，则点P横坐标的取值范围为 （ ） A.  B.［-1，0］  C.［0，1］  D. 答案A 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2 例1 求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解 ∵Δy= 例2 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 解 (1)∵ ∴y′ （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11. 方法二 = = （x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11. （3）∵y= ∴ （4） ， ∴ 例3 （12分）已知曲线y=  （1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k= |x=2=4. 2分 ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 4分 （2）设曲线y= 与过点P（2，4）的切线相切于点 ， 则切线的斜率k= | = . 6分 ∴切线方程为 即 8分 ∵点P（2，4）在切线上，∴4= 即 ∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 12分 1.求y= 在x=x0处的导数. 解 2. 求y=tanx的导数. 解 y′ 3．若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= . 答案 2或 一、选择题 1.若 则 等于 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D. 答案 A 2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于 （ ）A.2 B. C. D.-2 答案D 3.若点P在曲线y=x3-3x2+(3- )x+ 上移动，经过点P的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 答案 B 4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 ( ) A.5x+y+2=0  B.5x-y-2=0 C.5x+y-2=0 D.5x-y+2=0 答案C 5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的只有 （ ） A. B.f(x)=|x| C.f(x)=2x D.f(x)=x2 答案 A 6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 二、填空题 7.曲线y= 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 . 答案 8. 若函数f(x)的导函数为 =-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是 . 答案 三、解答题 9. 求下列函数在x=x0处的导数. （1）f（x）= （2） 解 （1）∵ ∴ =0. （2）∵ ∴ 10. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离. 解 设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2， 则 解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-y+3=0的距离为 ， ∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 . 11.（2008·海南、宁夏，21）设函数 (a,b∈Z)，曲线 在点 处的切线方程为y=3. （1）求 的解析式； （2）证明：曲线 上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 ， 于是 解得 或 因为a,b Z，故 （2）证明 在曲线上任取一点 ． 由 知，过此点的切线方程为 ． 令x=1，得 ，切线与直线x=1交点为 ． 令y=x，得 ，切线与直线y=x的交点为 ． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为 ． 所以，所围三角形的面积为定值2. 12. 偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式. 解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ① 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）. 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0，d=0. ② ∴f（x）=ax4+cx2+1. ∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1. ③ ∵ =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④ 由③④得a= ，c= .∴函数y=f（x）的解析式为 §3.2 导数的应用 基础自测 1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g= 的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案A 2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0时， ＞0, ＞0，则x＜0时 （ ） A. ＞0, ＞0 B. ＞0, ＜0 C. ＜0, ＞0 D. ＜0, ＜0 答案 B 3.（2008·广东理）设 R，若函数y=eax+3x， R有大于零的极值点，则 （ ） A．a＞-3 B．a＜-3 C．a＞- D．a＜- 答案B 4.函数y=3x2-2lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 5.（2008·江苏，14）f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= . 答案 4 例1 已知f(x)=ex-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解 =ex-a. （1）若a≤0， =ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x）在R内单调递增，∴ ≥0在R上恒成立. ∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立. ∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. （3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴ =0,即e0-a=0,∴a=1. 例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x= 时，y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值； （2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得 =3x2+2ax+b, 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x= 时，y=f(x)有极值，则 =0,可得4a+3b+4=0 ② 由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. （2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴ =3x2+4x-4, 令 =0,得x=-2,x= . 当x变化时，y,y′的取值及变化如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ： x -3 (-3,-2) -2 1 y′ + 0 - 0 + y 8 单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 单调递增 ↗ 4 ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为 例3 （12分）已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴ =2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 1分 令 >0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得02时,f(x）在（1，2）上是减函数, ∴f（x）max=f（1）=e-a. 6分 ②当1≤ ≤2,即1≤a≤2时， f(x)在 上是增函数，在 上是减函数， ∴f(x)max=f =4a-2e-2. 9分 ③当 >2时，即02时，f(x)的最大值为e-a. 12分 例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）. 解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］. (2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令 =0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 在x=6+ a两侧L′的值由正变负. 所以①当8≤6+ a＜9即3≤a＜ 时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+ a≤ ，即 ≤a≤5时， Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)［12-(6+ a)］2=4(3- a)3. 所以 答 若3≤a＜ ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元). 1．已知函数f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； （3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. （1）解 由已知 =3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴ =3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立. ∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时， =3x2≥0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0. （2）解 由 =3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-10，当x变化时， 的正负如下表： x (-∞, ) ( ,a) a (a,+∞) - 0 + 0 - f(x) ​↘ ↗ 0 ↘ 因此，函数f(x)在x= 处取得极小值f（ ）， 且f（ ）=-  函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0. ②若a<0，当x变化时， 的正负如下表：  x (-∞,a) a (a, ) ( ,+∞) - 0 + 0 - f(x) ↘​​​​ 0 ↗ - ↘ 因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x= 处取得极大值f（ ）, 且f（ ）=- . 4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为 C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x). （1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解 （1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19). （2） =-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴ =0时,x=12， ∴当00,当x>12时， <0, ∴x=12时，P(x)有最大值. 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. （3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少. 一、选择题 1.(2009·崇文模拟)已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数 的图象如图所示，则 （ ） A.f(x)在x=1处取得极小值 B.f（x）在x=1处取得极大值 C.f（x）是R上的增函数 D.f（x）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数 答案C 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 （ ）  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案A 3.函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)= 在区间（1，+∞）上一定 （ ）A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 答案 D 4.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）A.6 B.8 C.10 D.12 答案B 5.已知f(x)=2x3-6x2+a (a是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f(x）的最小值是 （ ） A.-5 B.-11 C.-29 D.-37 答案D 6.已知函数f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是 （ ） A.m≥  B.m＞ C.m≤ D.m＜  答案 A 二、填空题 7.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m= . 答案 32 8.（2008·淮北模拟）已知函数f(x)的导数 =a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 . 答案 （-1，0） 三、解答题 9.设a＞0,函数f(x)= ,b为常数. （1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个； （2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值. （1）证明 = , 令 =0,得ax2+2bx-a=0 (*) ∵Δ=4b2+4a2>0, ∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x1,x2(x10,解得x<-1或x>3;又令 <0,解得-1-7且b≠-3. 12. (2008·安徽文，20)已知函数f(x)= +(a+1)x+1，其中a为实数. （1）已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值； （2）已知不等式 >x2-x-a+1对任意a∈（0,+∞)都成立，求实数x的取值范围. 解 （1） =ax2-3x+a+1, 由于函数f(x)在x=1处取得极值，所以 =0,即a-3+a+1=0,∴a=1. （2）方法一 由题设知:ax2-3x+a+1>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立， 即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0,+∞)都成立. 设g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R)，则对任意x∈R,g(a)为单调递增函数(a∈R)， ∴对任意a∈(0,+∞),g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0,即-x2-2x≥0,∴-2≤x≤0. 于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}. 方法二 由题设知:ax2-3x+a+1>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立， 即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0,+∞)都成立.于是a> 对任意a∈(0,+∞)都成立， 即 ≤0,∴-2≤x≤0.∴x的取值范围是{x|-2≤x≤0}. 单元检测三 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） A. e2 B.2e2 C.e2 D.  答案D 2.（2008·福建文，11）如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y= 的图象可能是 ( ) 答案A 3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ） A.(0, B.( +∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪( ,+∞） 答案 A 4.(2008·广东文，9）设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则 ( ) A.a<-1 B.a>-1 C.a<-  D.a>-  答案A 5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为 （ ） A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,6 答案A 6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为 （ ） A.36 B.18 C.25 D.42 答案A 7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （ ） ①f(x)>0的解集是{x|00  D.b< 答案A 二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 . 答案 ［-1，2］ 14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x）在［-2，-1］上是增函数； ②x=-1是f(x)的极小值点； ③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数； ④x=3是f(x)的极小值点. 其中判断正确的是 . 答案 ②③ 15.函数f(x)的导函数y= 的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 . 答案 ［-1，0］和［2，+∞） 16.已知函数f(x)的导函数为 ,且满足f(x)=3x2+2x ,则 = . 答案 6 三、解答题 (本大题共6小题,共74分) 17.（12分）已知函数f(x)=x3- x2+bx+c. (1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围; (2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)2或c<-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）. 18.（12分）设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R. 如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围. 解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴ =3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线. 由条件得 ≥0且 ≥0, 即 ∴-2≤a≤2. 命题q:  ∵该不等式的解集为R，∴a<-1. 当p正确q不正确时,-1≤a≤2; 当p不正确q正确时，a<-2. ∴a的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］. 19.（12分）已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围. 解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax ∴ =3x2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需 =3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足 ≥0即可. ∵ =3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x= , ∴a的取值应满足： 或 解得:a≤ .∴a的取值范围是a≤ . 20.（12分）已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值. （1）求f(x)的解析式； （2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性. 解 （1）∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数, ∴F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3. ∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴ =0. f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c ∴ =-6-6+c=0,c=12. ∴f(x)=-2x3+3x2+12x, （2） =-6x2+6x+12=-6(x2-x-2). 令 =0,得x1=-1,x2=2, x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 （2，3） 3 - 0 + 0 - f(x) 45 ↘ -7 ↗ 20 ↘ 9 ∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数， 函数f(x)在［-1，2］上是增函数. 21.（12分）如图所示，P是抛物线C：y= x2上一点，直线l过点P并与抛物线 C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时， 求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.  解 设P（x0，y0），则y0= , ∴过点P的切线斜率k=x0, 当x0=0时不合题意，∴x0≠0. ∴直线l的斜率kl=- , ∴直线l的方程为y- . 此式与y= 联立消去y得 x2+ 设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点， ∴ 消去x0，得y=x2+ +1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0, ∴y=x2+ +1≥2 上式等号仅当x2= ,即x=± 时成立， 所以点M到x轴的最短距离是 +1. 22.（14分）已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［ ，4］时，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范围. 解 =3t2+2bt+c. 由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值. 则 =0, =0. 即 解得 ∴ =3t2-12t+9=3(t-1)(t-3). 当t∈［ ，1）时， >0. 当t∈(1,3)时， <0. 当t∈(3,4)时， >0. 则当t=1时，s(t)取得极大值为4+d. 又s(4)=4+d， 故t∈［ ，4］时，s(t)的最大值为4+d. 已知s(t)<3d2在［ ，4］上恒成立， ∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2. 解得d> 或d<-1.∴d的取值范围是{d|d> 或d<-1}. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网